Применение релятивисткой теории в ракетодинамике
Ю.А.Новикова, Г.В. Терещенко, М.Б. Рыжиков
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения
Аннотация: В данной работе получены и исследованы основные соотношения релятивистской ракетодинамики в случае многокомпонентной реактивной струи. Рассмотрены различные типы релятивистских ракет с однокомпонентной реактивной струей как частные случаи общей теории. Выполнен предельный переход к нерелятивистской ракетодинамике.
Ключевые слова: релятивисткая динамика, многокомпонентная реактивная струя, ионный двигатель, фотонная ракета.
Классическая механика тела переменной массы, созданная выдающимися русскими учеными И. В. Мещерским [1] и К. Э. Циолковским [2], является основой существующей ракетодинамики, которую можно назвать нерелятивистской. Для современных ракет на химическом топливе максимальные скорости и скорости истечения реактивных струй много меньше скорости света в вакууме с. Поэтому существующие ракеты можно назвать нерелятивистско-нерелятивистскими, или чисто нерелятивистскими. Однако в ближайшем будущем надо ожидать появления нерелятивистско-релятивистских ракет, например, ионных [3], у которых максимальные скорости гораздо меньше скорости света в вакууме, но скорости истечения реактивных струй сравнимы с ней.
Уже в период 1997-1999 годов полеты спутников связи с использованием систем ионных двигателей и полет экспериментальной автоматической межпланетной станции Deep Space 1 подтвердили, что эти вспомогательные и основные двигательные установки достигли высокого уровня готовности к полету [4].
В отдаленном будущем возможно создание релятивистско-релятивистских или чисто релятивистских ракет [5-7], для которых
максимальные скорости и скорости истечения реактивных струй являются субсветовыми, т. е. сравнимы со скоростью света в вакууме.
В настоящее время релятивистские ракеты рассматриваются главным образом в научно-фантастических романах и фильмах, а не в научных работах [8,9]. Эго вполне понятно. Однако уже сейчас возможно построить релятивистскую ракетодинамику, описывающую чисто релятивистские ракеты, из соотношений которой путем предельных переходов получаются как частные случаи формулы, описывающие релятивистско-нерелятивистские, нерелятивистско-релятивистские и чисто нерелятивистские ракеты. Эту ракетодинамику можно назвать общей теорией ракет, так как она охватывает не только все существующие и разрабатываемые, но и все гипотетические типы ракет. Заметим, что релятивистская ракетодинамика должна обязательно учитывать многокомпонентность реактивной струи, так как принципиально возможны ракеты с несколькими различными реактивными струями, истекающими с различными скоростями из сопел ракеты.
Релятивистская механика тела с переменной массой покоя в настоящее время разработана достаточно, так что основа для построения релятивистской ракетодинамики имеется. В научной литературе уже были рассмотрены некоторые типы чисто релятивистских ракет с однокомпонентными реактивными струями. Из общей теории, предлагаемой в данной работе, все эти типы ракет получаются как частные случаи.
Рассмотрим чисто релятивистскую ракету, которую в дальнейшем для краткости будем называть просто релятивистской, с многокомпонентной реактивной струей в собственной системе отсчета, которая жестко связана с ракетой. Поэтому скорость ракеты в собственной системе отсчета равна нулю. Все величины, характеризующие ракету в собственной системе
и
отсчета, снабжены индексом штрих. Из закона сохранения массы-энергии [10] за собственное время Ж' следует, что:
йк• = -йц'С2 = -£ фС = -£ Р (1 а) , (1)
¿=1 ¿=1 ш2
г- ^
так как ракета и отброшенные продукты сгорания образуют замкнутую систему. В выражении (1) dE' - это приращение энергии ракеты; - масса отброшенных продуктов сгорания, п - число компонент топлива; dцi' - масса отброшенных продуктов сгорания ¡-й компоненты топлива; dц0 - масса покоя сгоревшего топлива; весовая доля ¡-ой компоненты топлива, причем
п
Е Р, = 1, (2)
¿=1
где аI - отношение энергии, выделяющейся при сгорании ¡-й компоненты топлива, к её энергии покоя; с - скорость света в вакууме, юг- - величина скорости истечения продуктов сгорания ¡-й компоненты топлива. Все скорости истечения считаются постоянными относительно ракеты. Кроме того, предполагается пока, что все ю^с, т. е. среди продуктов сгорания нет электромагнитного излучения.
По закону сохранения импульса за собственное время dt' будем иметь,
что:
¿=1
где ф- приращение импульса ракеты. Выбирая ось абсцисс по направлению сф\ получим, что со,Л.= -со„ с!р/= с!р'. Поэтому выражение (3) принимает вид:
ёр = е Ф , ю = Е ¡2— (4)
, = 1 , =1 I, Ю:
Г
°С 2
Выражения (1), (3) и (4) справедливы в собственной системе отсчета. Для перехода к так называемой неподвижной системе отсчета, связанной с «неподвижной» Землей, следует воспользоваться хорошо известными формулами преобразования составляющих четырехмерного вектора импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Из этих формул следует, что:
Л Ф' + цйЕ' + цйр' Л'
йр =-. С , йЕ =—, ^ , Ж = ,
(5)
1 -
ц
1 -
ц
1 -
ц
где dp и dE - соответственно приращения величины импульса и энергии ракеты за время dt в неподвижной системе отсчета, ц - величина скорости ракеты в этой системе. Если ц - величина скорости истечения продуктов сгорания /-ой компоненты топлива в неподвижной системе координат и ось абсцисс выбрана по направлению движения ракеты, то тогда релятивистский закон сложения скоростей дает, что:
и, =■
ш. - и 1
(6)
На основании выражения (6) легко найти, что:
У
V
1 -и2 Л
1 -
ш,
1 -
ц
1-
цш
(7)
Подставляя в выражения (5) выражения (1) и (4), получим с помощью выражений (7), что:
йр = й
т0 ц
1 -
ц
=2
1=1
р, (1 -а, )ц,й
(8)
1 -
ц
2
2
2
С
С
С
С
2
С
2
С
ёЕ = ё
т0е
1 -
= -2
Д (1 -аг ) С 4^0
(9)
1 -
и
где т0 - текущая масса покоя ракеты. Выражения (8) и (9) справедливы в неподвижной системе отсчета, которая интересует, нас в данной работе. Сравнивая выражения (8) и (9) соответственно с выражениями (4) и (1), находим, что первые отличаются от последних только величинами скоростей истечения, как и н должно быть согласно специальному принципу относительности.
Подставляя в выражения (9) и (8) соотношения (7), получим, что:
ёт = ё
т„
1 -
и
ё До
1 -
и2 1 =1
2 ф -
иш,
и
ёР = -ёт^¿сг (ш1.и),
1
2
и 1=1
(10)
(11)
где постоянные коэффициенты с определяются формулой:
с, =
Д (1 -«1)
(12)
1 -
ш.
Если разделить выражение (10) почленно на выражение (11), то после элементарных преобразований будем иметь, что:
ётп
тп
ё с
1=1
и21 V
1 "и2 № с ш
= - ^ •
ё и
1 -
и
(13)
Интегрирование выражения (13) дает обобщение знаменитой формулы К. Э. Циолковского на случай релятивистской ракеты с многокомпонентной реактивной струей:
2
с
2
с
2
с
п
2
с
m
Mn
= v =
1 -
и
1+
и
C-F 2
(14)
где М0 - стартовая масса ракеты. Выражение (14) является основным в релятивистской ракетодинамике и играет в ней ту же роль, что и формула Циолковского в нерелятивистской ракетодинамике.
Из выражения (10) с помощью выражения (13) и основной формулы (14) легко найти, что:
d | =
md и
м о 11 -
и 12
0 ( .,2
1-
и
(15)
Z cw
i=1
1+
v 12
n
Z c
i=1
Несложное интегрирование выражения (15) с помощью подстановки:
••=(' - c И' • v)
дает массу покоя топлива, сгоревшего за время разгона ракеты до скорости и,
мо(1 -и)
1о =-
Z c
(16)
где V определяется основной формулой (14). Выражение (16) является очень важным. Энергия, которая освобождается при сгорании топлива, очевидно, будет равна:
n Z«A
Q = Z «А-lo c2 = J=3n-M о c2 (1 - v),
-= Z c
i=1
а кинетическая энергия ракеты составляет:
т =
m0c 2^,2
-¡=^= - mo c = мо c v
Г- 1
1 -
(17)
(18)
c
c
c
2
i=1
n
и
Определим теперь кинетическую энергию реактивной струи, т. е. кинетическую энергию продуктов сгорания, выброшенных из сопел ракеты
за время ее разгона до скорости и. Очевидно,
( \
1
X =
-1
1 -
и
(1 ) С 2 а
(19)
0 г =1
V V С у
С помощью выражений (9) и (16) получим, что:
х = Ы0е2 •
(
1 -УЛ 1 -
и
Л ^ 1 ~± ад.
у у с
г=1
(20)
По закону сохранения энергии Q =Т + х. с помощью выражений (17), (18) и (20) легко вывести из закона сохранения энергии условие:
Е с- =Е
Р. (1 -а.) = 1
(21)
г =1
г =1
1 -
называемое нами в дальнейшем топливным условием. Это условие также имеет большое значение для релятивистской ракетодинамики.
Рассмотрим релятивистскую ракету с многокомпонентной реактивной струей в собственной системе отсчета, когда среди продуктов сгорания присутствует электромагнитное излучение. Выражение (1) заменится на:
ак' = -е
Р, (1 -аг ) ^Д
0 -рпС 2 ё До,
(22)]
1 -
ш,
где Рп - весовая доля п-й компоненты топлива, которая при сгорании превращается в электромагнитное излучение, а выражение (4) заменится на:
Ф' = Е (' ^ ёД0 +Рп.с • ё До.
(23)
г=1
1 -
ш,
Так как ап=1 и шп=с, то отношение:
2
2
С
г=1
2
С
2
С
1 а- = 1 (24)
-Ш
и согласно выражению (12) си=ри. На основании соотношения (24) выражения (22) и (23) могут быть записаны соответственно в виде (1) и (4), так что именно эти выражения являются общими. Переходя к неподвижной системе отсчета с помощью формул (5), получим, используя выражения (7) и (24), что:
Е » Р< (1 -аг)сVи (25)
ар = £(1 -а' (26)
причём ии = с. Таким образом, выражения (8) и (9) сохраняют силу. Отсюда следует, что все соотношения, полученные в разделах 2 и 3, являются справедливыми и точными, если для компоненты топлива, превращающейся при сгорании в электромагнитное излучение, учитывать выражение (24).
Рассмотрим главнейшие частные случаи релятивистских ракет, вытекающие из предложенной общей теории. Во-первых, рассмотрим термоядерную релятивистскую ракету. Топливом является водород, продуктом сгорания - гелий, реактивная струя однокомпонентна. Основное выражение (14) принимает вид:
=
Мо V
1
1
2ш
(27)
с _
а топливное условие (21) дает:
-ш2/с2 = 1 -а, (28)
с
как и должно быть. Из выражения (28) следует, что ш = 0,115 с, так как для термоядерной реакции превращения водорода в гелий а=0,0066.
Рассмотрим ионную релятивистскую ракету. Это несколько сложнее. Внутри такой ракеты имеются запасы легко ионизируемого металла (например, рубидия или цезия), дающего тяжелые положительные ионы, и реактор, являющийся источником энергии, необходимой для ионизации. Поэтому для ионной релятивистской ракеты (индекс 1 относится к металлу, индекс 2 - к реакторному топливу) будем иметь, что а1 = 0, р1 = 1 - Р, ш1 = ш, а2 = а, р2 = Р и ш2 = 0.
Применяя выражение (13), получим:
Выражение (30) показывает, что если источником энергии служит термоядерный реактор (а = 0,0066), то скорость истечения ионной реактивной струи будут значительно меньше скорости света в вакууме при всех разумных значениях Р (даже при Р = 0,3, ш/с = 0,075). Однако если источником энергии является аннигиляционный реактор (а = 1), то при всех разумных значениях Р скорости истечения ионной реактивной струи будут субсветовыми (Р = 0,3, ш/с = 0,72). Отметим, что для случая аннигиляционного реактора справедливо выражение (27), так как а = 1.
Рассмотрим фотонную ракету [11] как предельный случай релятивистских ракет. Топливом служат водород и антиводород, продуктом сгорания является гамма-излучение, реактивная струя однокомпонентна. Выражение (27) примет вид:
(29)
а топливное условие (21) дает:
(30)
т мп
= у =
1 -
и
1+
и
(31)
так как ю = с, а топливное условие (28) превращается в единицу. Таким образом из предложенной общей теории легко получить как частные случаи все известные из научной литературы результаты для релятивистских ракет.
В заключение рассмотрим предельный переход к существующей нерелятивистской ракетодинамике, т. е. к ракетам на химическом топливе. Для этих ракет юг- << с, и << с и аг- << 1, так как топливо химическое. Согласно выражению (12) получим, что с а с помощью выражений (13), (21) и (2) находим, что:
Р = 1 £ Р, ю,.
/ ,=1
Основное выражение (14) принимает вид:
(32)
тп
т
М м
V
/■ чсР
1 -иЛ
V
с
-иР
(33)
У
т. е. превращается в формулу К. Э. Циолковского для случая многокомпонентной реактивной струи. При п=1 имеем обычную формулу Циолковского. Выражение (16) переходит в:
= ^= М (1 -V),
(34)
где V определяется формулой (33).
Индекс нуль у масс покоя в дальнейшем можно не писать, так как в нерелятивистском случае масса равна массе покоя. Выражение (17) принимает вид:
п
Я = £а,РМ (1 -V), (35)
,=1
а выражение (18) будет:
т=mnL=MvLL (36)
т =1M 2
£ргШг2 -V L
i=1
г г
i=1 у
(37)
1 n
Q = 1M (1 -v)]TPiW2 (38)
2 i=i
Выражения (37) и (38) при n = 1 переходят в известные выражения для однокомпонентной реактивной струи. Таким образом, предельный переход к нерелятивистской ракетодинамике не представляет трудностей. Можно рассмотреть также без всяких затруднений менее важные в настоящее время предельные переходы к нерелятивистско-релятивистским и релятивистско-нерелятивистским ракетам. Заметим, что всю изложенную общую теорию можно, разумеется, расширить на релятивистские ракеты с неидеальными двигателями.
Литература
1. Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. М.: Гостехиздат, 1952. 281 с.
2. Циолковский К. Э. Труды по ракетной технике. М.: Оборонгиз, 1947. 368 с.
3. Жильцов В. А., Кулыгин В.М. Термояд и космос // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Термоядерный синтез. 2018. Т. 41. № 3. С. 5-20.
4. Sovey J.S., Rawlin V.K., Patterson M.J. Ion propulsion development projects in U.S.: Space electric rocket test I to deep space 1 // Journal of Propulsion and Power. 2001. 17(3). p. 517-526.
5. Semyonov O.G. Relativistic rocket: Dream and reality // Acta Astronautica. 2014. 99(1). p. 52-70.
6. Walter U. Relativistic rocket and space flight // Acta Astronautica. 2006. 59(6), p. 453-461.
М Инженерный вестник Дона, №4 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2022/7583
7. Holmlid L., Zeiner-Gundersen S. Future interstellar rockets may use laser-induced annihilation reactions for relativistic drive. // Acta Astronáutica. 2020. 175. p. 32-36.
8. Фиговский О.Л. В интервале пяти лет появятся инновации, которые сегодня кажутся фантастикой // Инженерный вестник Дона, 2011, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/643/.
9. Фиговский О.Л. От нано-науки к нано-будущему // Инженерный вестник Дона, 2010, № 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/201/.
10. Günther H., Müller V. The special theory of relativity: Einstein's world in new axiomatics. Singapore: Springer, 2019. 542 p.
11. Lun A.W.C. Photon rockets and radiation reactions // Helvetica Physica Acta. 1996. 69(3). p. 348-352.
References
1. Meshherskij I. V. Raboty po mehanike tel peremennoj massy [Works on the mechanics of bodies of variable mass]. M.: Gostehizdat, 1952. 281 p.
2. Ciolkovskij K. Je. Trudy po raketnoj tehnike [Proceedings on rocketry]. M.: Oborongiz, 1947. 368 p.
3. Zhiltsov V.A., Kulygin V.M. Questions of atomic science and technology. Series: Thermonuclear Fusion. 2018. V. 41. No. 3. p. 5-20.
4. Sovey J.S., Rawlin V.K., Patterson M.J. Journal of Propulsion and Power. 2001. 17(3). p. 517-526.
5. Semyonov O.G. Acta Astronautica. 2014. 99(1). p. 52-70.
6. Walter U. Acta Astronautica. 2006. 59(6), p. 453-461.
7. Holmlid L., Zeiner-Gundersen S. Acta Astronautica. 2020. 175. p. 32-36.
8. Figovskiy O.L. Inzhenernyj vestnik Dona, 2010, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/643/.
М Инженерный вестник Дона, №4 (2022) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2022/7583
9. Figovskiy O.L. Inzhenernyj vestnik Dona, 2010, № 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/201/.
10. Günther H., Müller V. The special theory of relativity: Einstein's world in new axiomatics. Singapore: Springer, 2019. 542 p.
11. Lun A.W.C. Helvetica Physica Acta. 1996. 69(3). p. 348-352.