ПРИМЕНЕНИЕ НОВОГО ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon), Vladivostok, Russia, 2020. P. 1-4. DOI: 10.1109/FarEastCon50210.2020.9271287.

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@mail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamoryonoff@smail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Чаленков Никита Игоревич, ассистент, chalenkov-nikita@yandex.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет

MODELING OF TECHNICAL SYSTEMS WITH EFFECT: A NEW APPROACH V.Ya. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov

The article deals with the actual problem of studying complex technical systems with aftereffect. The objects of the class under consideration are, in particular, mechanical assembly production as a whole and its subsystems, in which technological inheritance takes place, as well as information and logistics systems. The approach proposed in the article is based on the use of semi-Markov models with a common phase space and makes it possible to significantly simplify the modeling process and ensure high accuracy of the results.

Key words: technical system, semi-Markov process, approximation.

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Zamorenov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryonoff@gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Chalenkov Nikita Igorevich, assistant, chalenkov-nikita@yandex. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University

УДК 51.7

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-2-468-481

ПРИМЕНЕНИЕ НОВОГО ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков, Ю.Л. Рапацкий

В статье рассматривается применение нового подхода к решению проблемы исследования сложных технических систем с последействием. Объектами рассматриваемого класса является механосборочное производство в целом и его подсистемы, в которых имеет место технологическое наследование, а также информационные и логистические системы с последействием. Отличие предлагаемого в статье подхода, основанного на применении полумарковских моделей с общим фазовым пространством, в значительном упрощении процесса моделировании при высокой точности результатов.

Ключевые слова: технологическая ячейка, последовательное соединение, отказ ячейки, полумарковская система.

Авторами в предыдущих публикациях предложен новый подход к математическому моделированию различных технических систем с последействием, в т.ч. информационных и логистических систем, а также механосборочного производства и его подсистем, относящихся к различным иерархическим уровням. Подход основан на применении полумарковских математических моделей с общим фазовым пространством, эффективность которых подтверждена многими опубликованными исследованиями, в т.ч. [1...9]. В частности, авторами была доказана лемма об аппроксимации функции р(;) остаточным

временем наработки системы на основе метода, который может быть назван методом моментов.

Рассмотрим применение ранее полученных результатов [10.12] на примере исследования процесса функционирования системы, состоящей из п последовательно соединенных структурных элементов, например, технологических ячеек. Структурная схема СТС изображена на рис. 1.

468

1 2 3 n

у ••• -

ь

Рис. 1. Структура системы, содержащей n технологических ячеек

На первом этапе исследования рассматриваем систему, состоящую из технологических ячеек ТЯ1 и ТЯ2 и заменяем её эквивалентной ТЯ12, имеющей функцию распределения времени наработки на отказ Fi,2(t) и функцию восстановления Gi,2(t). Далее аналогичным образом рассматриваем процесс функционирования объединенной ячейки ТЯ12 с ячейкой ТЯ3 и получаем эквивалентную ТЯ13. Процесс продолжается, пока не будет получена ТЯ1,п и соответствующие ей Fi,n(t) и Gi,n(t).

Приведём пример фазового укрупнения системы, состоящей из n последовательно соединенных ТЯ при условии, что одновременный отказ двух и более невозможен.

Как говорилось ранее, на первом этапе рассматриваем систему, состоящую из двух последовательно соединенных ТЯ, при условии, что одновременный отказ двух невозможен.

Функции распределения времен наработки на отказ F\(t),) и времен восстановления

G\ (t), G2 (t) первой и второй ТЯ:

Fx(t) = P{ai < t},Gx(t) = P{ßi < t},

F(t) = 1 - Fi(t ),G1(t) = 1 - Gi(t), F2(t) = P{a2 < t},G2(t) = P{ß2 < t},

F2(t) = 1 - Fz(t ),G2(t) = 1 - G2(t).

При отказе первой ТЯ (ТЯ1) вторая прекращает работу и наоборот, то есть - система функционирует только при исправности обоих ТЯ. Отсюда физические состояния системы:

1 — обе ТЯ исправны;

2 — отказала первая ТЯ;

3 — отказала вторая ТЯ (ТЯ2).

Полумарковские состояния:

- 100x — ТЯ 1 и 2 исправны, система находится в работоспособном состоянии, последнее изменение состояния произошло в ТЯ1, которая перешла из неисправного состояния в исправное, до окончания работы ТЯ2 осталось время х;

- 200x — ТЯ 1 и 2 исправны, система находится в работоспособном состоянии, последнее изменение состояния произошло во ТЯ2, которая перешла из неисправного состояния в исправное, до окончания работы ТЯ1 осталось время х;

- 110x — ТЯ1 отказала, система находится в отказовом состоянии, до окончания работы ТЯ2 осталось время х (в этом состоянии вторая ТЯ отказать не может - в ней изменений не происходит);

- 201x — ТЯ2 отказала, система находится в отказовом состоянии, до окончания работы ТЯ1 осталось время х (в этом состоянии первая ТЯ отказать не может — в ней изменений не происходит).

Граф состояний функционирования двухфазной системы представлен на рис. 2.

ЮОх

110 х

201х ЮОх

Рис. 2. Граф состояний функционирования двухфазной системы

На основании ранее доказанной леммы, приведем решение данной задачи при использовании равенства первых двух корреляционных моментов (математического ожидания и дисперсии).

В приведенной не укрупненной системе (рис. 1) имеются две непрерывные компоненты. Запишем два дополнительных условия, необходимых для их определения. Собственно говоря, составление дополнительных уравнений (условий) является наиболее ответственным этапом моделирования. Каждое условие, как указано выше, связано с неизменяющимся параметром, которыми в данном конкретном случае являются коэффициенты готовности Кгд первого и второго производственных элементов. Эти величины равны:

K гд1 =

mi

m1 + mg1

^ Кгд2 =

m2

m2 + mg 2

Определим эти же параметры из укрупненной полумарковской модели. Сумма вероятностей состояний (л 100 + %200 + %201), в которых ТЯ1 работоспособна, представляет собой вероятность того, что ТЯ1 работоспособна при условии, что обе ТЯ одновременно отказать не могут, то есть она является условной вероятностью. Вероятность Рраб того, что обе ТЯ не отказали, равна:

Рг

>раб = (1 - (1 - Кгд1)(1 - Кгд2 )).

(1)

(%100 + %200 + %201) = ■

К

г1

К

г1

Тогда:

Откуда: Аналогично:

Кг 2 = (% 200 + %100 + %110)(1 - (1 - Кгд1)(1 - Кгд2)). Тогда дополнительные условия имеют вид:

Ш1

Рраб (1 - (1 - Кгд1 )(1 - Кгд2 )) Кг1 = (%100 + % 200 + % 201)(1 - (1 - Кгд1 )(1 - Кгд2 )).

(2)

(%100 + % 200 + % 201)(1 - (1 - Кгд1 )(1 - Кгд2 )) = (%200 + %100 + %110)(1 - (1 - Кгд1 )(1 - Кгд2 )) =

Далее определяем выражения для р^ и %^ по формулам:

Рь • Шь

рк = Ер г • Ртк; %к =—-

к еЕ Ер г • Шгк

кеЕ

Ш1 + шя1

Ш2 Ш2 + ШЕ 2

(3)

После проведенных выкладок запишем систему уравнений, которой должны удовлетворять искомые параметры:

Р

110

Р100 =

200

200 р110 =р100

2( р110 + р 201) V 900 100 )

Р

201

р 200 =

100

2( Р110 + Р 201)

р 201 =1 -р100 -р 200 -р110

%100 = % 200 = % 201 = %110 =

р100Ш100

р100 Ш100 +р 201Ш201 +р 200Ш200 +р110 ш110

_р 200Ш200_

р100 Ш100 +р 201Ш201 +р 200Ш200 +р110 Ш110

_р 201Ш201_

р100 Ш100 +р 201Ш201 +р 200Ш200 + р110 Ш110

_р110Ш110_

р100 Ш100 +р 201Ш201 +р 200Ш200 +р110 Ш110

Ш1

(4)

(%100 + % 200 + % 201)(1 - (1 - Кгд1 )(1 - Кгд2 )) =

(% 200 + %100 + %110)(1 - (1 - Кгд1 )(1 - Кгд2 )) =

где Р^1, Р21010) — вероятности перехода из состояния Sloo в состояние S201 и из S2oo в состояние Sllo.

ш1 + шЯ1

Ш2 Ш2 + ш82

Исходя из леммы, эти вероятности равны:

Р12001 = Iр2(?,Хв3,Хв4)/!№;Р2000 = 1Р ^Хв!,Хв2 №,,

00

л л

где Р 1 (I, х , Хв2 ), Р2 (I, хвз , Хв ) - функции распределения СВ, определяющиеся по формулам:

л, . , Р1(' + Хв1)" р1(Хв1) , Р1^ + Хв2) " Р1(Хв 2)

^, Хв1, Хв2) = к-1 1( ) 1 + к2--р--—;

1 2 1 - р1(Хв1) 1 - р1(Хв2)

л , . , р2(1 + Хв3) - р2(Хв3) , Р2( + Хв4) - р2(Хв4) Р2 (1, Хв3 , Хв4 ) = к1-;—^ ч-+ к

1 - Р2( Хв3) 1 - р2(Хв4)

л л

, Х , Х и Х , а также р201 , р110 в1' лв2 ' лв3 лв4 ' ^ 200 100

Численно решив систему (I2), п°лучаем Хв1 , Хв_ , Хв3 и Хв4 , а также Р2001 , Р110100 , р 100, Р110, Р200

л

и Р 201 для укрупненной системы.

Соответственно, функции распределения времен пребывания системы в состояниях будут равны:

г л _ _

Р100 () = 1 - Р1 (I(I, Хв3 , Хв4 )

Р 110(1) = в1(1)

Р 200 (?) = 1 - Р2 (1)^1 (I, Хв1, Хв2 )

[Р 201(0 = ^(0

Найдем функции распределения времени наработки на отказ и восстановление всей системы, для чего воспользуемся формулой смеси, где коэффициентами будут служить условные вероятности

л л л л

удельных частот попадания в состояния Рюд и р 200 для наработки на отказ, Рцд и р 201 - для времени восстановления:

лл

Рр (0 = Р100 (0 л Р10л + Р200 (0 л Р 20^ ;

Р100 +Р 200 Р100 +Р 200

лл

Рт (0 = Р 110(0-—-+ Р201(0-—-.

л л л л

Р110 + Р 201 Р110 + Р 201 Коэффициент готовности такой системы равен:

тРр (0

К г =■

тРр ( 0 + тРт (0

Далее аналогичным образом рассматриваем процесс функционирования объединенной ячейки ТЯ12 с ячейкой ТЯ3.

_ __® л _ _ ® л

(1 -Р1(0Р2(иХ3,Хв4)) | Р 1((,Х1,Хв2)/2№ + (1 -Р2(0Рх(иХв1,Хв2))|Р2^,Хв3,Хв4)тл Рр (0=-0-0-;

рУ ' ® л ® л

IР1 (I, Хв1, Хв2 )/ (0^ + | Р2 (I, Хв3 , Хв4 )/1 (0^

0 0

» л » л

01(01Р Хв1, Хв2 ) /2( 0^ + а2( I) IР 2( I, Хв3, Хв4 )/1( 0^ Р (О =-0-0-

I Р1( I, Хв1, Хв2 ) /2( +1Р 2(Г, Хв3, Хв4 )/1(

0 0

Коэффициент готовности равен:

К г =

шЕр (О

шЕр (0 + шЕш (г)

Объединение с третьей ячейкой: Дополнительные условия:

ш3

, К г =-

шЕр (г)

Кгд3 =' з__г -

ш3 + Ш83 шЕр (г) + шЕш (г) Рраб = (1 - (1 - Кгд3 )(1 - Кг ))-

Тогда дополнительные условия имеют вид:

шЕр (г)

(%100 + %200 + %201)(1 - (1 - Кгд3 )(1 - Кг )) = '

шЕр (г) + шЕш (г)

(%200 + %100 + %110)(1 - (1 - Кгд3 )(1 - Кг)) ='

ш3

ш3 + шg3

Далее определяем выражения длярь и % по формулам:

рк • Шк

р к = Ер г • Ргк; % к =-•

к еЕ Ер г • шгк

кеЕ

После проведенных выкладок запишем систему уравнений, которой должны удовлетворять искомые параметры:

дал

1 Ер (г , хб5 , хб6 )/3(г )Л

0

р100 =

дал дал

2( 1ЕР(г, ^ хв6 Хй(г № +1Е 3& хв7, хв8 )!р(г ^)

00

р110 =р100

р200 =

дал

1Е 3(г , хв7 , хв8 )/р (г )Ж

0

дал дал

2( 1 Ер (г, хв5, хв6 ^ (г ^ + 1Е 3 (г, хв7, хв8 )/р (г )

00

р201 =1 - р100 - р200 - р110

%201 = %110 = %100 = %110 =

р201ш201

(5)

р100ш100 + р201ш201 + р200ш200 + р10ш110

_р110ш110_

р100ш100 + р201ш201 + р200ш200 + р10ш110

_р100ш100_

р00ш100 + р201ш201 + р200ш200 + р10ш110

_р200ш200_

р00ш100 + р201ш201 + р200ш200 + р10ш110

(%100 + %200 + %201)(1 - (1 - Кгд3 )(1 - Кг )) = (%200 + %100 + %110)(1 - (1 - Кгд3 )(1 - Кг )) =

шЕр (г)

шЕр ( г) + шЕш ( г)

ш3

ш3 + шg3

л л

где Ер ( г, хв5 , хвб ),Е3 (г, хв^ , ) - функции распределения СВ, определяющиеся на каждом шаге, которые определяются по формулам:

л Ер (г + хв5)-Ер (хв5) Ер (г + хв6)-Ер (хв6)

Ер (г, хв , хвЛ ) = к1 —-5-£-^ + к2 -6-£-

р «5 «6 1 1-Ер (хв5) 2 1-Ер (хв6) '

л Е3(г + хв7 ) - Е3(хв7) , Е3(г + хв8) - Е3(хв8)

Е3(г, хв7, хв8) = к1-1——)-+ к2-—)-.

7 8 1-Е3(хв7) 1-Е3(х«8)

л л л л

Численно решая систему, получаем х«5 , хв6 , хвГ] и хв8 , а также Р2200()1 , Р11()1()() , р100, р110,

лл

р 200 и р 201 для укрупненной системы.

л дал л дал

Р200 = 1 Ер (г, х«5, х«6)/3(г)Л; = 1 Е3(г, х«7, х«8)/р (г)Л. 0 0 Соответственно, функции распределения времен пребывания системы в состояниях будут рав-

ны:

Е100 (0 =1 - Ер (г)Е3 хв7 , хв8 )

л

е 110(0=т)

л

Е200 (г) =1 - Е3 (г)Ер & хв5 , хв6 ) Е 201(г) = 03(г)

Найдем функции распределения времен наработки на отказ и восстановления всей системы, для чего воспользуемся формулой смеси, где коэффициентами будут служить условные вероятности

л л л л

удельных частот попадания в состояния рю0 и р200 для наработки на отказ, рц0 и р201 для времени

восстановления):

л л

Ерпем, (г) = Е 100( г) — + Е200(0 р 200 •

л л л л

р100 +р 200 р100 + р200

лл

Ешпем,(0 = Е 110(0 л р11° + Е201(0" р201

л л л л

р110+ р201 р110+ р201 После сворачивания п-1 ячеек, получили следующие функции распределения времен наработки на отказ и восстановления, которые используются в качестве исходных для объединения с п-ой ячейкой:

__да л

(1 - Е" 2р (0ЕИ-1 (0 хв4п-9, хв4п-8)) | Е" 2 р (о х4и-11, х4п-10)/п-1 (0^

Еп-1 р (0 = —-0--

да 2 дал 2

р (0 х4п-11, х4п-10)/п- 1 (0^ + 1 Еп~1 (0 хв4п-9 , х«4"-8

)/п~2р №

00

дал

Еп - 1ш (0 =■

(1-Еп-1(0Еп р (0 х4п-11, х4п-10 )) 1Еп-1(0 xв4n-9, х«4п-8)/п р (№

_0_•

да пл 2 да л п 2

1 Е"~ р (0 х4п-11, х4п-10)/п-1(0^ + 1 Еn-1(t, xв4n-9, хв4п-8)/п~ р (№

00 п 2 дал п 2 дал п 2

Еп-2ш(01 Еп- 1(0 х«4п 9, х«4п 8)/п-2 р № + Оп-1(01 Еп-1(0 х«4п 9, х«4п 8)/п-2 р №

0_0_

да пл 2 да л п 2

1 Е"~ р (0 х4п-11, х4п-10)/п-1(0^ + 1 Еn-1(t, xв4n_9, х«4п-8)/п- р 00

Коэффициент готовности равен:

Кп-1г =

Объединение с п-ой ячейкой: Дополнительные условия:

тРп-1 р (I)

тРп-1 р (I) + тРп-1т (I)'

К гд -

т„

тп + тЯп

Кп-1г =

тРп-1 р (I)

тРп-1 р (I) + тРп-1т (I)'

,п-1

Рраб = (1 - (1 - К гд )(1 - Кп~'г )). Тогда дополнительные условия имеют вид:

(^100 + *200 +*201)(1 - (1 - Кпгд )(1 - Кп-1г )) =

тРп-1 р (I)

тРп-1 р (0 + тРп-1т ( I)

(^200 + *100 + *ш)(1 - (1 - Кпгд )(1 - Кп-1 г)) = -

тп + т„

" &п

Далее определяем выражения для р к и п к по формулам:

V- Р к • тк

р к - Хр г • ргк;п к -•

кеЕ ХРг • тгк

кеЕ

После проведенных выкладок запишем систему уравнений, которой должны удовлетворять искомые параметры:

|РП-1 р (и ХвАп^ Хв4п-6)/п №

Р100 -■

2( IРП 1 р (и ХЧп_7 , Хв4п-6 )/п № +|Рп (и Хв4п-5 , Хв4п-4ХГ 1 р (0^0

дал

п-1

0

Р110 -р00

дал

I Рп (I,

Хв4„-4)/^ р ( №

в4п-5 ' в4п - 4

р200 - ■

дал

2( IРп-1 р (I, Хв4п-7, Хв4п-6 )/п № + IРп ( I, Хв4п-5, Хв4п-4 / -1 р ( №)

00

р201 - 1 -р00 -р200 -р10

п201 -п110 -п100 -п110 -

р201т201

р00 т100 + р201т201 + Р200т200 + р10тП0

_р110т110_

р100 т100 + р201т201 + р200т200 +р110 т110

_р100т100_

р100 т100 + р201т201 + р200т200 +р110 т110

_р200т200_

р100 т100 + р201т201 + р200т200 +р110 т110

-п-1

тРп-1 р ( I)

(п00 +п200 +п201)(1 - (1 - К"гд )(1 - ^ г)) — п , п , :

тРп-1 р ( г) + тРп т ( о

(П200 + пШ0 + пШ)(1 - (1 - Кпгд )(1 - Кп~\)) -

474

тп + т£п

(6)

да

Соответственно, функции распределения времен пребывания системы в состояниях будут рав-

ны:

Г100 (?) = 1 - 1 р (?(и Хв4и_5, Хв4 4 )

1

Г110 (?) = ГпЧш(?)

Г200 (?) = 1 _ Гп (0^-1 р (?, Хв4п_7 , Хв4п_6 )

[Г 201(0 = Сп (0

Найдем функции распределения времен наработки на отказ и восстановления всей системы, для чего воспользуемся формулой смеси, где коэффициентами будут служить условные вероятности

Л Л Л Л

удельных частот попадания в состояния Рю0 и р 200 для наработки на отказ, рц0 и р 201 для времени восстановления):

Л Л Л Л

бпр (?) = г 100(0

р100

ЛЛ р100 + р200

+ г200 (?)

р200 ; гпш (?) = г110(?)

р110

ЛЛ р100 + р200

ЛЛ р110 + р201

+ г 201 (?)

р201

ЛЛ р110 + р201

шГпр (?)

шГпр (?) + шГпш (?)

Рассмотрим пример моделирования трех последовательно соединенных технологических ячеек при равенстве корреляционных моментов 1-го и 2-го порядка.

Исходными данными для моделирования служат ФР Г (?), Г? ( ?), Г? (?), 01 ( ?), 02 (?), О3 (?) распределенные по закону Эрланга второго порядка с параметрами и, X, ц, у. Причем

о^-"1? _е_и2?)

где и1= 2.00 (ч-1); и2=0.03 (ч-1).

гдеХ1=0.5 (ч-1); Х2=0.1 (ч-1);

где Р1=2 (ч-1); Р 2=0.1 (ч-1);

где щ=2 (ч-1); ^=0.18 (ч-1);

где у1=1 (ч-1); у 2=0.5 (ч-1);

/1(?) =

/2 (?) = /з (?) =

gl(?) = ё 2 (?) = Ы?) =

"2 _"1

Х1Х2(е_Х1? _е" "X 2?)

х 2 _Х1

Р1Р2(е_Р1? _е~ "Р 2?)

Р2 _Р1

Ц1Ц2(е_И? _е_ "Ц 2?)

Ц 2 _Ц1

У1У2(е_У1? _е" -У 2?)

У2 _У1

Ф1Ф2(е_Ф1? _е Ф2 )

Ф 2 _Ф1 где ф1=1 (ч-1); ф 2=0.5 (ч-1).

Математические ожидания времен наработки на отказ и восстановления равны: Ш1 = 33.83;

ш2 = 12; ш3 = 10.5, шё1 = 6.05; шё = 3, шё = 3.

Объединяем два ТЯ в одну эквивалентную систему.

Находим нижние граничные значения хв , хв , хв , хв . Далее осуществляется поиск значений х^1, Хд2, Х^3 и х^4 , являющихся решениями системы (4). Поиск может осуществляться одним из численных методов.

Л

Л

Л

Кп г =

Поиск дал следующие результаты:

х«1 3-3, х«2 2.9, х«3 5.5, х«4 5.95. При этом коэффициенты готовности равны:

Кгд1 = 0.8481, Кг1 = 0.8482, Кгд2 = 0.8, Кг2 = 0.7993.

Погрешность определения Кгд равна:

АКгд1 = 0.0049%, АКгд2 = 0.0822%.

л

Анализ полученных результатов. На рис. 3 приведены результаты моделирования ФР Ер (?)

л

и Е ш ( г) времени наработки на отказ и восстановления системы, полученные предлагаемым и классическим методами. Как видно из графиков, на каждом из них кривые также полностью совпадают.

л л

Рис. 3. Результаты моделирования функций Ер ( г) и Еш ( г) распределения времени наработки на отказ и восстановления системы при использовании классического и предложенного метода

лл

Полученные ФР Ер ( г) и Еш (г) времени наработки на отказ и восстановления системы состоящей из двух последовательно соединенных ТЯ служат исходными данными для объединения системы с третьей ТЯ. Объединение производится аналогичным образом. Искомые величины:

х*5 = 10.5, х*6 = 10.7, х«7 = 2.35, х*§ = 8.1.

При этом коэффициент готовности равны:

Г^гд4

Погрешность определения Кгд равна:

Кгдз = 0.6991, Кгз = 0.6986, Кгд4 = 0.7777, Кг4 = 0.7775.

АКгдз = 0.0703%, ДКгд4 = 0.0273%.

Коэффициент готовности всей системы:

Кгд1,3 = 0.5437, К^з = 0.5430.

Погрешность определения Кгд равна:

ДКгд13 = 0.1296%.

Л Л

На рис. 4, 5 приведены результаты моделирования функций F100 (t) и F 200 (t) и их плотно-

Л Л

стей f 100 (t) и f 200(Ораспределения времени пребывания в состояниях 100 и 200, полученные предлагаемым и классическим методами. Как видно из графиков, на каждом из них кривые полностью совпадают.

б

а

10 20 30 40

/

а б

л л

Рис. 4. Результаты моделирования - функций Е100 ( 0 и Е 200 ( г) времени пребывания в состояниях (а) 8100 и (б) S200 при использовании классического и предложенного метода

л л

Рис. 5. Результаты моделирования - плотностей /^ (г) и /200 ( г) времени пребывания в состояниях (а) 8100 и (б) S200 при использовании классического и предложенного метода

л л л л

На рис. 6, 7 приведены результаты моделирования ФР Ер ( г) иЕш (г) и ПР / ( г) и /ш (г)

времени наработки на отказ и восстановления системы, полученные предлагаемым и классическим методами. Как видно из графиков, на каждом из них кривые также полностью совпадают.

В таблице приведены характеристики системы, полученные классическим, предлагаемым и численным методом, описанным в [13].

Из представленного примера моделирования СТС, состоящей из трёх последовательно соединенных ячеек, следует, что предлагаемый метод эффективен и позволяет получить более точную аппроксимацию ФР разности двух СВ. Практическое применение полученных результатов актуально для исследования СТС в различных отраслях промышленности, информационных технологиях, логистике и других сферах деятельности.

а б

л л

Рис. 6. Результаты моделирования функций Ер ( ?) и Ет (?) распределения времени наработки на отказ и восстановления системы при использовании классического и предложенного метода

л л

Рис. 7. Результаты моделирования плотностей £ ( и £ т (?) распределения времени наработки на отказ и восстановления системы при использовании классического и предложенного метода

Сравнительная оценка характеристик

Укрупненные характеристики Классический метод Предлагаемый метод Численный метод

К1 0.8481 0.8482 0.8483

К 2 0.8 0.7993 0.8002

К 3 0.6991 0.6986 0.7048

К 4 опт 0.7775 0.7993

К 1,3 0.5437 0.5430 0.5482

Заключение. Поставленная цель исследований достигнута, однако следует отметить недостаток предлагаемого метода: с увеличением числа последовательно соединенных элементов естественно увеличивается и число искомых констант. Однако при современном уровне развития вычислительной техники это не представляет значительной сложности.

Направление дальнейших исследований связано с верификацией.

Список литературы

1. Байхельт Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Ф. Байхельт, П. Франкен, пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.

2. Райншке К. Оценка надежности систем с использованием графов / К. Райншке, И.А. Ушаков. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.

3. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. A.I. Peschansky. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.

4. Копп В.Я. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, А.И. Песчанский. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.

5. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления. В.С. Королюк.Кибернетика, №4, 1981. С. 121 - 124.

6. Королюк В.С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.

7. Королюк В.С. Полумарковские процессы и их приложения. В.С. Королюк В.С., А.Ф. Турбин. К.: Наук. Думка, 1976. 181 с.

8. Korolyuk V. S, Limnios N 2005 Stochastic Systems in Merging Phase Space. World Scientific

9. Королюк В.С. Фазовое укрупнение сложных систем. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. К.: Вища школа, 1978. 112 с.

10. Копп В.Я. Разновидность фазового укрупнения полумарковских систем на примере моделирования синхронной автоматизированной линии. В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков. Интеллектуальные системы в производстве. 2018. Т.16 №3. С.97-102.

11. Kopp V.Ja The numerical nethod of the phase integration of non-regenerating semi-Markov systems. V.Ja. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov. Transaction of Azerbaijan National Academy of Science, Series of PhysicalTechnical and mathematical Science: Informatics and Control Problems, Vol. 38, №6, 2018. pp. 3-15.

12. Kopp V.Ya. Phase enlargement of semi-markov systems without determining stationary distribution of embedded markov chain. V.Ya. Kopp, M.V. Zamorenov, N.I. Chalenkov, I.A. Skatkov. SPIIRAS Proceedings, no. 3, vol. 19, 2020. pp. 539-563.

13. Kopp V.Y. Approbation of the Numerical Method of Phase Enlargement on the Example of Modeling the Process of Functioning of a System of N Series-Connected Elements. V.Y. Kopp, E.S. Vladimirova, N.I. Chalenkov, M.V. Zamoryonov, A.I. Peschansky. 2020 International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon), Vladivostok, Russia, 2020, pp. 1-4, doi: 10.1109/FarEastCon50210.2020.9271287

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamoryonoff@gmail. com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Чаленков Никита Игоревич, ассистент, chalenkov-nikita@;yandex.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Рапацкий Юрий Леонидович, канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой, u.l.rapatskiy@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет

APPLICATION OF A NEW APPROACH TO MODELING OF TECHNICAL SYSTEMS WITH AFTER EFFECT

V.Ya. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov, Y.L. Rapatskiy

The article considers the application of a new approach to solving the problem of studying complex technical systems with aftereffect. The objects of the class under consideration are the mechanical assembly production as a whole and its subsystems, in which technological inheritance takes place, as well as information and logistics systems with aftereffect. The difference between the approach proposed in the article, based on the use of semi-Markov models with a common phase space, is in a significant simplification of the modeling process with high accuracy of the results.

Key words: technological cell, serial connection, cell failure, semi-Markov system.

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Zamorenov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryonoff@smail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Chalenkov Nikita Igorevich, assistant, chalenkov-nikita@yyandex. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Rapatskiy Yuri Leonidovich, candidate of technical sciences, docent, head of the department, u.l. rapatskiy@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University