CC BY
93
УДК 621.386.8, 004.932
Е.А. Блюштейн, А.О. Мантуров ПРИМЕНЕНИЕ НЕРЕЗКОГО МАСКИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ
Рассматривается задача повышения резкости изображения, получаемого на базе малоракурсного алгоритма реконструкции изображения в компьютерной томографии, основанного на минимизации полной вариации, или TV-функции. Предложенный алгоритм повышения резкости изображения, основанный на методе нерезкого маскирования, представлена его практическая реализация. Описаны результаты применения алгоритма на тестовом изображении.
Компьютерная томография, регуляризация, нерезкое маскирование, повышение резкости
E.A. Blyushteyn, A.O. Manturov APPLICATION OF UNSHARP MASKING TO IMAGE SHARPNESS INCREASING IN COMPUTERIZED TOMOGRAPHY
This work is devoted to the problem of image sharpness increasing, obtained using algorithm of image reconstruction from undersampled projection data based on total variation (TV-function) minimization. Algorithm of image sharpness increasing is proposed, its practical realization is presented. Numerical results of this algorithm applying to a test image, efficiency of the proposed algorithm is shown.
Computerized tomography, regularization, unsharp masking, sharpness increasing
Введение
Разработка новых малоракурсных алгоритмов реконструкции изображений в вычислительной томографии сохраняет актуальность в связи с появлением новых практических приложений в этой области, таких как, например, теневая томографическая микроскопия [1].
В нашей стране малоракурсной томографии посвящено значительное количество работ, например, [2], включая ряд кандидатских и докторских диссертаций [3], [4], [5]. В этих работах используются интерполяционные методы реконструкции изображений, основанные на искусственном увеличении числа проекций за счет интерполяции.
Существует альтернативный подход к решению этой задачи. В [6] предложен итерационный малоракурсный алгоритм реконструкции изображения, основанный на методе регуляризации Тихонова (далее TV-алгоритм). Преимуществом подхода является использование TV-нормы в качестве нормы регуляризации, что позволяет эффективно устранять шум, неизбежно возникающий в процессе получения проекций, а также повышать разрешение результирующего изображения, не снижая его качество. Эти свойства TV-нормы для случая обработки двумерных изображений были показаны в [7], [8]. К преимуществам также можно
отнести отсутствие ограничения регулярности на сетку дискретизации, т.к. не используется преобразование Фурье. Однако при значительном снижении количества ракурсов резкость результирующего изображения, получаемого этим алгоритмом, снижается. Данная работа посвящена устранению этого недостатка.
Малоракурсный алгоритм реконструкции изображения на основе минимизации ТУ-нормы
Рассмотрим ТУ-алгоритм для случая реконструкции трехмерного изображения при использовании точечного источника рентгеновских лучей [9]. В этом случае для решения задачи применяется метод регуляризации Тихонова [2]:
f = а^шт(Е[ f ]) = а^шт^ f ] + ^[ f ]), (1)
^[Я== V Т ]• (2)
У У г,],к
ту [ Дк ] =
+
г, -к
J
йу
+
г, -к
J
йг
(3)
1 N || 2
Е2[и] = -П-тЦрв[И] - ^II2’ (4)
N в А в
где Д-к, г = 1..1, - = 1../, к = 1..К - результирующее воксельное изображение исследуемого
объекта. В качестве нормы регуляризации используется так называемая ТУ-норма (2), а функционал (4) отвечает за соответствие решения исходным данным. Использование в модели ТУ-нормы приводит к снижению кривизны результирующей функции, т.е. к сглаживанию изображения. В этом заключается одновременно и преимущество, и недостаток подобного подхода. На гладких участках это приводит к устранению шума на изображении, а там, где результирующая функция претерпевает разрыв, - к размыванию границ между элементами изображения, в конечном итоге - к снижению его четкости.
Применение метода нерезкого маскирования для повышения резкости результирующего изображения
Нерезкое маскирование - прием цифровой обработки фотографических изображений, который позволяет добиться визуального эффекта повышения резкости [10].
Он выполняется в два этапа.
1. Идентификация границ изображения. Для этого сначала выполняется гауссово раз-
мывание исходного изображения Д -. Далее выполняется вычитание из исходного изображения Д ■ размытого изображения Дй. Полученное изображение позволяет идентифи-
цировать границы изображения. На гладких участках размывание не вносит значительных изменений в изображение, поэтому значения функции Д'л будут близки к нулю. Вблизи скачков интенсивности, размывание будет максимальным, следовательно, в этих точках значение функции Д'л будет велико. Таким образом, точки с наибольшими значениями функции Д й будут соответствовать границам между элементами изображения.
2. Маскирование. На этом этапе с использованием маски, полученной на предыдущем шаге, изменяется профиль границы между элементами изображения, как показано на рис. 1. При этом достигается эффект повышения резкости.
б
Рис. 1. Фронт границы: а - исходный; б - модифицированный с помощью маски
Рис. 2. Приближенные графики функции М [ fd ] (непрерывная линия - линейная функция, штриховая линия - квадратичная функция, штрихпунктирная линия - сплайн-функция)
Такое изменение фронта используется потому, что в классической задаче повышения резкости информация об исходном неразмытом изображении отсутствует. В нашем случае не вместо наложения фильтра на восстановленное изображение, встроим нерезкое маскирование в алгоритм реконструкции изображения. Для этого вместо функции ТУ[] (3), используемой для вычисления ТУ-нормы изображения, воспользуемся функцией
ТУит [ Д, к ] = Ми кТУ [ Д Лк ], (5)
где М{ -к - маска, полученная на основе функции Д'11 . В результате вклад в ТУ-норму точек с большим значением градиента будет уменьшен, что позволит уменьшить размывание границ.
Из этого следует, что точкам с fidj к = должно соответствовать минимальное зна-
ы
чение маски M mln, а точкам с f j k = fmln - максимальное значение маски M max . Рассмотрим три варианта зависимости M [ fd ].
Линейная функция. В качестве M [ fd ] можно использовать зависимость (б).
M , f d < f d < f d ,
max ’ J mln — J i, J ,k JO ’
M (M max - M mln )(fijk - /Щл ) fd - fd
M max fd - fd-, Ji. J,k - J 0 , (б)
fmax - fmln
Mi, jk =
fd < f0d < fd .
J min JO J max
Размывание в разной степени будет наблюдаться и на гладких участках изображения, и на участках с разрывами. При этом маска M должна воздействовать только на точки вблизи границ между элементами изображения, которым соответствуют максимальные значения функции fd , поэтому необходимо отсечь точки с малыми значениями функции fd , которые соответствуют гладким участкам. f0d является пороговым значением функции fd и значения, меньшие его, считаются несущественными и не влияют на маску. На практике следует
выбирать значение в интервале [fmin + °.°5( fdx - fmin); fmin + 0Л5(fmax - fm1n )]. Выбор параметров M Mn и M max также оказывает существенное влияние на результирующее изображение. Для простоты примем M max = 1, другое значение этого параметра можно имитировать выбором соответствующего значения ц в формуле (1). Большее значение MMn приводит к меньшему воздействию маски на результирующее изображение, но повышает устойчивость решения. Меньшее значение, напротив, усиливает воздействие маски на результирующее
Mi, jk
d < f d < f d
min — J i, j,k J 0
ll(fd ), fod — fidj,k — fld ,
d\ fd ^ ^d ^ fd (10)
f max ’
’'d^.rd^rd^rd
изображение, но снижает устойчивость решения. На практике следует выбирать минимальное значение, при котором решение сохраняет устойчивость. Для определения оптимального значения M min можно воспользоваться набором тестовых изображений и подобрать эти параметры экспериментально.
Квадратичная функция. Второй вариант зависимости маски от функции f d определяется формулой (7).
Г m fd — fd < fd■
_ I max ’ J min — J i, j,k J 0 ’
''hk~ И f,dj,k )2 + bfdjk + c, fdhk > fd . ()
Параметры a, b, c определяются из условий
M (fd ) = M max , M (f^ax ) = M mm , M '() = 0. (8)
Произведя несложные вычисления, получим
a = (Mmin - Mmax ) /(fmax - f0 ), b =-2a{f0 ), C = Mmax + af 0 . (9)
Параметры M min, M max и f0d выбираются так же, как и в случае линейной зависимости. Сплайн-фукнция. Третий вариант зависимости маски от функции fd определяется формулой (10).
Г M fd — fd < fd
max min i , j , k 0
fo — fidj,k
[l2(Г ), fid — fdk — f
fLl < f0d < f1d < fmax *
где l1(x) = a1 x2 + b1 x + c1, и l2(x) = a2x2 + b2x + c2 - квадратичные сплайн-функции, с граничными условиями
l1 (f0d ) = M max, 12 ( f^ax ) = M _, £( ) = 0, l2( f^) = 0. (11)
Можно показать, что
a2 = (M max - M min)/[( fLx - f1 )(ftax - f0 )], b2 =-2a2 f^ax, c2 = M min + a2 {f) a1 =-a2( f- f1d )/(f1d - f0 ), b1 = -2a1f0 , c1 = M max + a1 {f0 ) •
M min , M max и f0d выбираются так же, как и в случае линейной зависимости. Параметр f1d зададим следующим образом:
fd = fd+0,5( fmdax - fmu (13)
Для усиления воздействия маски на результирующее изображение наложим на функцию M[ f d ] следующий фильтр:
M'[ fd ] = min(Mmin + (M - Mmin )rY, Mmax ), Г = (M - M_ ) /(M, - M_), Y > 1. (14)
Значение Mt следует выбирать исходя из условия (15).
Mt е [M min + 0,85(M max - M _)■ M _ + 0,85(M max - M mm)]. (15)
Этот фильтр усиливает воздействие маски на результирующее изображение для тех точек, где M — Mt, иначе воздействие ослабляется. Параметр определяет интенсивность
воздействия фильтра на функцию M [ fd ].
Осталась не решенной еще одна задача. Для вычисления маски использовались значения функции f . В случае классической задачи повышение резкости изображения эта функция известна, но в нашем случае, известны лишь ее проекции, но не сама функция. Поэтому для получения первого приближения функции f используем существующий алгоритм без
(12)
использования маски, после чего на его основе рассчитаем маску и применим модифицированный алгоритм. При этом для определения параметров алгоритма вместо тестовых изображений можно использовать изображение, восстановленное без применения маски, сравнивая соответствие экстремумов маски реальным границам изображения.
Следует также отметить, что второй этап занимает значительно меньше времени, чем первый, так как к егу началу имеем хорошее приближение функции f .
Практические результаты применения модифицированного алгоритма реконструкции изображения
Численные эксперименты показали, что использование маски на основе сплайн-функции наиболее эффективно. Сравним результаты применения оригинального и модифицированного алгоритмов реконструкции изображения. В качестве тестового изображения использована функция (16), определенная в области *е [0,Xтах], уе [0,Гтах], ге [0,2шах], а
также пространственная сетка размерами 120x120x50. Реконструкция изображения производилась с р = 60.
1 2 1 2 1 2
,2, если-Х тах < * <-Хтах^ ^тах < У < Т ^ Т Zmax < г <-^, ,л„
f (*, у, г) = ^ 3 3 3 3 3 3 (16)
0, в противном случае.
а б в
Рис. 3. Исходное изображение (а), изображение, восстановленное с помощью стандартного алгоритма (б), изображение, восстановленное с помощью маски на основе сплайн функции (в)
На рис. 3а изображен срез этой функции при z = Zmax / 2 . На рис. 3б, 3в представлены изображение, восстановленное с помощью стандартного алгоритма, и изображение, полученное с использованием маски на основе сплайн-функций, соответственно. На рисунке 4 изображены одномерные срезы при у = Fmax /2, z = Zmax / 2 .
Анализируя рис. 3б, 3в и 4, нетрудно заметить, что изображение, восстановленное с использованием этой маски, значительно более резкое, чем изображение, полученное с помощью стандартного алгоритма реконструкции изображения.
Рис. 4. Одномерный срез результирующего изображения, восстановленного с помощью оригинального (тонкая линия) и модифицированного (толстая линия) алгоритма при ] = 60, к = 60
Заключение
В статье кратко описан малоракурсный алгоритм реконструкции изображения в компьютерной томографии на основе минимизации TV-функции. Отмечено, что основным его недостатком является размывание границ изображения. Также предложен способ повышения резкости результирующего изображения на основе метода нерезкого маскирования, представлены 3 варианта алгоритма повышения резкости. Приведены практические результаты применения предложенного алгоритма, показано, что использование маски на основе сплайн-фукнции позволяет существенно повысить резкость результирующего изображения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Danilova T.V., Volkov Y.P., Manturov A.O. The resolution estimation of the edge scanning optical microscope // XV International school for junior scientists and students on optics, laser physics and Biophotonics «Saratov Fall meeting - SFM’11», 2011.
2. Филонин О.В. Малоракурсная томография. Самара: СНЦ РАН, 2006.
3. Филонин О.В. Малоракурсная вычислительная томография в физических исследованиях : дис. ... д-ра техн. наук: 01.04.01 / Филонин О.В. Самара, 2006. 463 с.
4. Агафонов М.И. Разработка и развитие радиоастрономического метода малоракурсной томографии и дистанционные исследования космических объектов: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.03.02 / Агафонов М.И. Нижний Новгород, 2006. 247 с.
5. Казанцев Д.И. Разработка и исследование итерационных методов в вычислительной малоракурсной томографии : дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Казанцев Даниил Иванович. Новосибирск, 2009. 185 с.
6. Jia X., Lou Y., Li R. et al. GPU-based Fast Cone Beam CT Reconstruction from undersampled and Noisy Projection Data via Total Variation // Medical Physics. 2010. Vol. 37. P. 17571760.
7. Rudin L.I., Osher S., Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms // Physica D. 1992. V.60, P.259-268.
8. Babacan S.D., Molina R., Katsaggelos A.K. Image Processing // IEEE International Conference on image Processing. 2008, P.641-644.
9. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 c.
10. Претт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. 312 с.
Блюштейн Евгений Александрович -
аспирант кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» факультета электронной техники и приборостроения Саратовского государственного технического университета имени Г агарина Ю.А.
Мантуров Алексей Олегович -
кандидат физико-мате наук, доцент кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» факультета электронной техники и приборостроения Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 16.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
