CC BY
70
УДК 539.4:622.023.23
Применение нелокальных и градиентных критериев для оценки разрушения геоматериалов в зонах концентрации растягивающих напряжений
С.В. Сукнев
Институт горного дела Севера им. Н.В. Черского СО РАН, Якутск, 677018, Россия
Исследовано влияние исходного состава гипсового материала на характер образования и развития трещин отрыва в зонах концентрации растягивающих напряжений при одноосном сжатии. Проведен анализ результатов испытаний с позиций традиционные, нелокальные и градиентные критериев разрушения.
Ключевые слова: разрушение, геоматериалы, масштабный эффект, концентрация напряжений, градиентные критерии, нелокальные критерии
Application of nonlocal and stress gradient criteria for estimation of fracture of geomaterials in tensile stress concentration zones
S.V. Suknev
Chersky Institute of Mining of the North SB RAS, Yakutsk, 677018, Russia
The effect of the initial composition of gypsum on the nucleation and development of opening mode cracks in tensile stress concentration zones under uniaxial compression was studied. The results of tests were analyzed in the context of traditional, nonlocal and stress gradient fracture criteria.
Keywords: fracture, geomaterials, size effect, stress concentration, stress gradient criteria, nonlocal criteria
1. Введение
Механические свойства структурно-неоднородных материалов, в том числе геоматериалов и горных пород, подвержены сильному влиянию масштабного фактора, т.е. существенно зависят от нагруженного объема. Наиболее сильно масштабный эффект проявляется в условиях концентрации напряжений, когда эффективный нагруженный объем определяется размером зоны концентрации напряжений, размер которой мал по сравнению с характерными размерами деформируемого тела. В этих условиях традиционный подход к расчетам на прочность, который заключается в сопоставлении внутренних напряжений, возникающих в деформируемом теле, с некоторым предельным значением, имеет весьма ограниченную область применения. Условие прочности имеет вид:
ае <0
0>
(1)
где ае = f (а у); а0 = const. Эквивалентное напряжение ае характеризует внутреннее напряженное состояние тела и в общем случае является функцией компонент тензора напряжений а у. Предельное напряжение а0 характеризует стандартные (усредненные) механические свойства тела и полагается константой материала. Наступлению предельного состояния (разрушению) соответствует знак равенства в выражении (1), а критическое напряжение ас, при котором в наиболее напряженной точке тела достигается предельное состояние, определяется выражением
ас =00
Kt
(2)
где Kt — коэффициент концентрации напряжений,
© Сукнев С.В., 2011
характеризующий отношение эквивалентного напряжения ае в наиболее напряженной точке тела к приложенному напряжению а.
Поскольку традиционные критерии прочности не учитывают масштабный эффект, получили распространение нелокальные и градиентные критерии предельного состояния, основы которых были заложены в работах [1-10]. В последнее время эти подходы были развиты в работах [11-17]. Большинство нелокальных и градиентных критериев основано на представлении о формировании в материале зоны предразрушения, в которой происходит локальное перераспределение напряжений, в то время как основной материал деформируется упруго вплоть до разрушения. Типичными представителями таких квазихрупких материалов являются геоматериалы (бетон, гипс, горные породы), композиты, высокопрочные металлические сплавы, чугун, графит и др. Разрушение рассматривается как физический процесс, происходящий не в математической точке, в которой достигается максимальное значение эквивалентного напряжения, а в некоторой ее малой окрестности (зоне предразрушения). Общим свойством этих критериев является введение внутреннего размера материала, характеризующего его структуру, что позволяет описать масштабный эффект в условиях концентрации напряжений и тем самым расширить область применения по сравнению с традиционными критериями.
В отличие от расчетных параметров критерия разрушения (максимальное значение эквивалентного напряжения, размер зоны концентрации напряжений), которые вычисляются на основании решения соответствующей краевой задачи, характерный размер структуры материала является феноменологическим параметром и определяется на основании аппроксимации экспериментальных данных о величине локальной прочности в зоне концентрации напряжений в момент образования трещины. Вопрос о том, как этот размер связан с составом, структурой и, возможно, с другими параметрами реального материала, до сих пор не изучен. В настоящей работе исследовано влияние исходного состава гипсового материала на характер образования и развития трещин отрыва в зонах концентрации растягивающих напряжений при одноосном сжатии и проведен анализ результатов испытаний с позиций традиционных, нелокальных и градиентных критериев разрушения.
2. Экспериментальное исследование процессов образования и развития трещин отрыва при сжатии
В качестве модельного материала использовали дигидрат сульфата кальция (двухводный гипс) CaSO4 • 2Н20, приготовленный из водного раствора строительного гипса. В свою очередь, строительный гипс получают термической обработкой и измельчением
природного гипсового камня, при этом двухводный гипс превращается в полуводный. Однако полученный таким образом строительный гипс может содержать определенную долю двухводного гипса, не перешедшего в полуводное состояние в процессе термообработки, либо образовавшегося после термообработки во время хранения произведенного строительного гипса. Содержащиеся в исходном гипсовом материале кристаллы двухводного гипса не участвуют в реакции гидратации при затворении гипсового вяжущего водой и фактически играют роль заполнителя. После высыхания образцы, изготовленные из гипсового материала различного исходного состава (с различным соотношением полувод-ного и двухводного гипса в исходном составе), будут иметь одинаковый химический состав, но определенные различия в структуре, связанные с присутствием большего или меньшего количества заполнителя. Это должно отразиться на механических свойствах материала, а также на характере его деформирования и разрушения.
Долю полуводного гипса в исходном составе нетрудно рассчитать, определив (после полного высыхания образца) затраченное на гидратацию количество воды. Время просушки образцов составляло от 30 до 40 суток, хотя контрольными измерениями было установлено, что вес образцов стабилизируется уже на 7-14 сутки после изготовления. Кроме этого, исходный состав определяли по данным дифференциально-термического анализа. В результате были изготовлены две партии образцов: одна из гипсового материала с высоким (более 90 %) содержанием полуводного гипса (гипс 1), вторая — из гипсового материала с низким (в пределах 60-70 %) содержанием полуводного гипса в исходном составе (гипс 2).
Образование трещин отрыва в зонах концентрации напряжений исследовали на образцах, содержащих центральные круговые отверстия различного диаметра и подвергнутых одноосному сжатию. Образцы представляли собой квадратные плиты размером 200x200 мм2 и толщиной 30-35 мм. Диаметр отверстия изменяли от 3.5 до 25 мм. Было испытано от 5 до 19 образцов с отверстиями каждого диаметра. На контур отверстия наносили графитовые датчики электропроводимости. Регистрацию трещин отрыва осуществляли по диаграммам изменения электропроводимости графитовых датчиков в процессе нагружения образца. Методика проведения эксперимента описана в работе [18].
На рис. 1 приведены типичные диаграммы электропроводимости, полученные при испытании образцов, в которых наблюдалось внезапное образование протяженных трещин отрыва. Два датчика располагали симметрично в верхней (1) и нижней (2) частях контура отверстия. Диаграмма состоит из четырех характерных участков, которые обозначены цифрами 1-1У. Момент образования трещины, который носил внезапный ха-
Рис. 1. Диаграммы электропроводимости при внезапном образовании трещин. 1 — верхний датчик, 2 — нижний датчик
Рис. 2. Диаграммы электропроводимости при постепенном образовании трещин. 1 — верхний датчик, 2 — нижний датчик
рактер и сопровождался характерным щелчком, определяли на границе между участками II и III диаграмм. Образованию макротрещины предшествует формирование зоны предразрушения (участок II), в которой происходит образование и накопление микротрещин.
На рис. 2 приведены типичные диаграммы электропроводимости, полученные при испытании образцов, в которых появление и распространение трещин происходило постепенно. На диаграммах отсутствует четкая граница между участками II и III, соответствующая моменту образования макротрещины. В таких случаях по диаграммам электропроводимости определяли момент зарождения трещин на границе между участками
I и II. Величина приложенного давления в этот момент, очевидно, представляет собой нижнюю оценку критического давления, соответствующего образованию макротрещины.
Предел прочности на сжатие С0 определяли на образцах таких же размеров, как и образцы с отверстиями, при той же скорости нагружения. Это обеспечивало соблюдение одинаковых условий трения на торцах образцов. Величина С0 составила 10 МПа для гипса 1 и
II МПа для гипса 2. Предел прочности на растяжение Т0 определяли из прямых экспериментов, т.е. путем испытания на разрыв образцов с минимальным поперечным сечением 30 х 25 мм2. Использовали специальные захваты, обеспечивавшие равномерное нагружение образца. Все образцы продемонстрировали абсолютно хрупкий характер разрушения в результате внезапного распространения трещины отрыва в плоскости, перпендикулярной оси нагружения. Диаграмма деформирования линейная, с резким обрывом в момент разрушения образца. Величина предела прочности на растяжение Т0 составила 1.9 МПа для гипса 1 и 2.1 МПа для гипса 2.
Гипс 1. Формирование трещин отрыва на контуре кругового отверстия носило внезапный характер для всех исследованных диаметров отверстий, протяженность трещин в момент образования составляла 5-6 см.
С увеличением диаметра отверстия наблюдалось снижение величины критического давления в момент образования трещин, который определяли по диаграммам электропроводимости первого типа (рис. 1). Дальнейшее развитие трещин приводило к разрушению образца путем раскалывания на две части.
Гипс 2. Формирование трещин отрыва на контуре кругового отверстия имело различный характер для малых и больших отверстий. Их образование на контуре отверстий малого диаметра (до 5 мм включительно) носило внезапный характер, протяженность трещин в момент образования составляла 5-6 см. Трещины образовывались при достижении максимальной нагрузки на диаграмме деформирования, ее величина практически совпадала с величиной С0, определенной на образцах без отверстия. Затем возникали удаленные от отверстия трещины, происходило расслоение образца, смятие нижней или верхней грани, и дальнейший процесс разрушения не отличался от разрушения образца без отверстия. Деформирование образца в запредельной области характеризовалось образованием в плоскостях, проходящих через ось нагружения, вертикальных трещин отрыва. Их развитие приводило к разделению образца на отдельные фрагменты путем последовательных расслоений и раскалываний. Иначе происходило формирование трещин на контуре отверстия большого диаметра (более 5 мм). Их появление и распространение носило постепенный характер, после образования удаленных трещин их раскрытие уменьшалось, рост прекращался. На дальнейший процесс разрушения образца они влияния не оказывали. Характерные диаграммы электропроводимости показаны на рис. 2. С увеличением диаметра отверстия наблюдалось снижение величины критического давления.
Таким образом, изменения в структуре материала, связанные с присутствием большого количества заполнителя — двухводного гипса — в исходном составе, привели к повышению сопротивления материала образованию первичных (исходящих от контура отверстия)
трещин отрыва. Хотя отрывной механизм разрушения на начальной стадии оказался в определенной степени подавленным, называть такой материал пластичным (в смысле преобладания сдвигового механизма разрушения) было бы преждевременным, поскольку несмотря на незначительную роль первичных трещин отрыва разрушение образцов в целом носило хрупкий (отрыв-ный) характер. Кроме того, в условиях одноосного растяжения исследованные материалы также демонстрировали хрупкий характер разрушения. Это свидетельствует о том, что характер разрушения определяется не только составом и структурой материала, но также и условиями нагружения. При этом под условиями нагружения следует понимать не просто способ приложения нагрузки, а реальное распределение напряжений вдоль пути распространения трещины.
Полученные результаты являются в этом отношении показательными. Для отверстий большого диаметра характер образования трещин в значительной степени определяется составом и структурой материала. Увеличение количества полуводного гипса в исходном составе (образцы с отверстиями одного диаметра, изготовленные в первом случае из гипса 2, во втором — из гипса 1) приводит к изменению характера трещинообразо-вания с постепенного на внезапный. Но к такому же результату приводит и уменьшение диаметра отверстия при постоянных размерах образца (гипс 2), что может быть связано только с перераспределением напряжений в опасном сечении.
3. Сопоставление полученных экспериментальных данных с результатами расчетов по различным критериям
Результаты экспериментального определения критических напряжений в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия проанализированы с позиций традиционных, нелокальных и градиентных критериев разрушения.
3.1. Критерий средних напряжений
Из нелокальных критериев наибольшее распространение получил критерий средних напряжений, или интегральный критерий, который имеет вид:
Ыа <а0, (3)
где (Сте)* — усредненное на расстоянии dпо опасному сечению значение эквивалентного напряжения:
1 *
Ы * = Ы хЖ-
а 0
(4)
Размер усреднения d полагают константой материала. Необходимость усреднения напряжений связывают, прежде всего, с образованием зоны предразрушения, в которой происходят перераспределение напряжений и изме-
нение физико-механических свойств материала. Размер этой зоны приблизительно равен d.
Эквивалентное напряжение будем определять по теории наибольших нормальных напряжений. Распределение нормальных напряжений ау вдоль линии приложения нагрузки (ось х) имеет вид [19]:
(
а у =-
2
З^-Г--
(5)
где р — приложенное сжимающее напряжение (давление); а — радиус отверстия. Начало координат выбрано в центре отверстия, напряжение р принято положительным. Растягивающие напряжения достигают своего максимального значения атх = р на контуре отверстия в точках х = ±а, при удалении от него напряжения быстро убывают. Как видно из формулы (5), напряжение а у асимптотически стремится к нулю, поэтому при уменьшении диаметра отверстия I = 2а среднее напряжение также стремится к нулю, а критическая величина приложенного давления рс, при котором на контуре отверстия образуются трещины отрыва, соответственно, — к неограниченному значению. В действительности, это значение, очевидно, ограничено пределом прочности материала на сжатие С0, откуда следует, что существует критическое значение размера отверстия I = 1с, ниже которого трещины отрыва на контуре отверстия не образуются. Другими словами, при I < 1с материал не чувствует присутствия концентратора напряжений. Это согласуется с современными представлениями о реальном твердом теле, обладающем изначальной, присущей ему дефектностью. В соответствии с ними малые искусственные дефекты, размеры которых сопоставимы с размерами структурных составляющих материала, не оказывают влияния на его прочность до тех пор, пока их размеры не достигнут определенного (критического) значения.
Критическое давление получим, подставив (5) в (4) с пределами интегрирования [а, а + d ] и приравняв результат интегрирования к а0:
Рс = ХС0
(1 + 2*/I )З
I > 1с
(6)
1 + а/1
Здесь х = а<)/С0 = 70/С)'
На рис. 3 представлены экспериментальные данные (темные точки) о величине нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гип-са1, и результаты расчета критического давления (кривая 1) по формуле (6). Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу. Там же приведены экспериментальные данные (светлые точки) и результаты расчета (кривая 2) для гипса 2. Размер усреднения d для гипса 1 составил 1.1 мм и оказался сопоставимым с размером наиболее крупных пор. Для гипса 2 размер
усреднения составил 4.5 мм. Рисунок 3 иллюстрирует существенный масштабный эффект, т.е. влияние диаметра отверстия на локальную прочность материала. С его уменьшением критическое давление возрастает, достигая предела прочности на сжатие, с увеличением — асимптотически приближается к пределу прочности на растяжение. Такое поведение качественно описывается критерием средних напряжений. Однако хорошее количественное соответствие расчетных и экспериментальных значений получено только для гипса 1. Критический диаметр отверстия 1с оказался приблизительно равным 2^
3.2. Критерий напряжений в точке
Применение критерия средних напряжений требует выполнения процедуры интегрирования, что в ряде случаев вызывает определенные трудности, особенно при решении несимметричных задач. Поэтому наряду с критерием средних напряжений широкое распространение получил критерий напряжений в точке. В этом критерии интегрирование заменяется вычислением эквивалентного напряжения ае в некоторой точке, удаленной от точки максимума на расстояние d. Критерий прочности принимает вид:
ае(а) <а0- (7)
Параметр d полагается новой константой материала, вообще говоря, не совпадающей с аналогичным параметром в интегральном критерии. Для обоснования критерия (7) приводятся те же рассуждения о перераспределении напряжений в зоне предразрушения, что и для критерия (3). Ввиду малости d напряжения на границе зоны предразрушения считаются приблизительно равными напряжениям, полученным из решения линейно-упругой задачи.
Критерий (7) обладает основными достоинствами и недостатками интегрального критерия и представляет собой определенный компромисс между точностью и простотой: при некотором увеличении погрешности его использование значительно проще, чем интегрального
критерия. Критическое давление получим, подставив в (5) значение х = а + d и приравняв полученный результат к :
Рс = ХС0
2(1+ 2А/1 )4
I > 1с.
(8)
з -(1+2а/I)
На рис. 4 представлены экспериментальные данные (темные точки) о величине нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гип-са1, и результаты расчета критического давления (кривая 1) по формуле (8). Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу. Там же приведены экспериментальные данные (светлые точки) и результаты расчета (кривая 2) для гипса 2. Величина параметра d составила 0.55 мм для гипса 1 и 2.25 мм для гипса 2. Из рис. 4 видно, что поведение критического давления качественно описывается критерием напряжений в точке. Однако удовлетворительное количественное соответствие расчетных и экспериментальных значений так же, как и в предыдущем случае, получено только для гипса 1. Критический диаметр отверстия 1с оказался приблизительно равным 6^
3.3. Критерий фиктивной трещины
Конечно, критерии средних напряжений и напряжений в точке не лишены недостатков, которые приводят к некоторому ограничению области их практического использования [20, 21]. Однако наибольшие нарекания в адрес этих критериев связаны с тем, что рассуждения, которые приводятся для их физического обоснования,
о существовании зоны предразрушения вблизи концентратора напряжений, в которой происходят перераспределение напряжений и изменение физико-механических свойств материала, носят умозрительный характер. Иначе говоря, при использовании этих критериев образование зоны предразрушения в явном виде не учитывается. Соответственно, расчет критического напряжения производится на основании решения линейно-упругой задачи без учета образования зоны предразрушения.
Рис. 4. Зависимость критического давления от диаметра отверстия. Расчет по критерию напряжений в точке
Следующим логическим шагом является расчет напряжений с учетом образования зоны предразрушения. Критерий фиктивной трещины основан на моделировании зоны предразрушения в виде трещины, исходящей из вершины концентратора. Для трещины, находящейся в неоднородном поле напряжений, рассчитывается коэффициент интенсивности напряжений и применяется подход линейной механики разрушения, в соответствии с которым наступление предельного состояния (рост трещины) связывают с достижением коэффициентом интенсивности напряжений критического значения. Условие прочности записывают в виде:
К < Кс, (9)
где К—коэффициент интенсивности напряжений; Кс — его критическое значение, характеризующее локальные свойства материала.
Отметим, что для рассматриваемой задачи критерий применим, если отверстие имеет достаточно большой диаметр. На рис. 5 показано распределение напряжений ау вдоль пути распространения трещины, рассчитанное по формуле (5). Как видно из рис. 5, на некотором расстоянии от контура отверстия напряжение ау переходит через ноль и меняет знак. Если отверстие мало, то критерий, очевидно, не может быть применен, поскольку трещина оказывается в поле сжимающих напряжений и физический механизм отрыва не реализуется. Таким образом, мы снова приходим к представлению о критическом размере отверстия I = 1с, ниже которого трещины отрыва на контуре отверстия не образуются.
Вместе с тем, в классическом пределе, когда диаметр отверстия очень большой, мы приходим к задаче о краевой трещине в однородном поле растягивающих напряжений и к проблеме сшивки с традиционным критерием
[22]. Действительно, для краевой трещины длиной d в однородном поле растягивающих напряжений р коэффициент интенсивности напряжений К = 1.12рл/Лй
[23]. Отсюда для критического давления можно записать:
рс =
Кс
1.12л/Лй
(10)
Рис. 6. Задача Бови
Теперь вместо сжатия вдоль оси х образца, ослабленного круговым отверстием радиуса а, от контура которого исходит трещина длиной d, рассмотрим его растяжение вдоль оси у (рис. 6).
Затем устремим а к нулю и запишем выражение для коэффициента интенсивности напряжений для трещины длиной d в поле растягивающих напряжений а [23]:
К = а/лй/ 2.
Отсюда критическое напряжение
Кс
ас =-
•у/лй/ 2
Поскольку в отсутствие отверстия критическое напряжение характеризует не что иное, как прочность гладкого образца а0, можно записать:
Кс = а„^ П/2. (11)
Подставив выражение (11) в формулу (10), получим а0
рс =
, что, очевидно, неверно, поскольку в клас-
1.1272’
сическом пределе критическое давление должно равняться пределу прочности материала на растяжение, как это следует из выражения (5).
Чтобы обеспечить сшивку с традиционным критерием, используем процедуру приближенного вычисления коэффициента интенсивности напряжений [23], в соответствии с которой исходная задача заменяется задачей о трещине, к берегам которой приложено распределенное давление ау (х) (рис. 7).
Рис. 5. Распределение нормальных напряжений вдоль линии приложения нагрузки
Рис. 7. Трещина, нагруженная внутренним давлением
Общее выражение для коэффициента интенсивности напряжений в этой задаче (К вычисляется в точке х = Ь) имеет вид [24]:
К =
г! а у (х).
I п(Ъ - а) а у 'У Ъ - х Напряжение ау (х) определяется из решения исходной задачи при отсутствии трещины, т.е. в данном случае по формуле (5). Подставив выражение (5) в формулу (12) и выполнив интегрирование, приняв Ь = а + d, получим:
1", й '\Ф --|1 + -| +
К = Р,Ьт
1+-
-7/2
, й й2
1 +------+-------2
2а 8а
(13)
Приравняв выражение (13) к Кс и с учетом (11) получим формулу для критического давления:
Рс = ХС
"-1 "1+й 1-3,2 21 а
-7/2
(14)
й
1 + + —2
2а 8а
При больших значениях диаметра отверстия I = 2а критерий фиктивной трещины дает значение рс =а0, т.е. обеспечивает сшивку с традиционным критерием.
На рис. 8 представлены экспериментальные данные (темные точки) о величине нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гипса 1, и результаты расчета критического давления (кривая 1) по формуле (14). Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу. Там же приведены экспериментальные данные (светлые точки) и результаты расчета (кривая 2) для гипса 2. Размер фиктивной трещины d составил 0.8 мм для гипса 1 и 3.3 мм для гипса 2. Критический диаметр отверстия 1с оказался приблизительно равным 4d. Результаты, приведенные на рис. 8,
в целом повторяют выводы, сделанные выше в отношении критериев средних напряжений и напряжений в точке.
3.4. Градиентные критерии
Для описания образования сдвиговых трещин и трещин отрыва в образцах геоматериалов, содержащих отверстия различной формы, в [8, 9] предложен градиентный критерий, в основе которого лежит критерий средних напряжений с линеаризованной подынтегральной функцией
аое
dx
(dаe (
Здесь атах и I d I вычисляются в точке концен-
V -тах
трации напряжений х = 0. Применение критерия средних напряжений с подынтегральной функцией (15) и областью интегрирования [0, 2d ] приводит к выражению
ае(Х) = атах +1
х > 0.
(15)
1----------
Le
< а,
0
(16)
где
Le =
dae
dx тах
В силу принятого допущения о линейном распределении напряжений область применения критерия (16) ограничена условием й << Ье. Данное условие выполняется либо для «мягких» концентраторов с невысоким значением коэффициента концентрации напряжений, либо для концентраторов большого размера. В обоих случаях масштабный эффект является незначительным, поэтому они не представляют большого практического интереса, тем более, что погрешность экспериментального определения механических свойств материала может в этом случае оказаться сопоставимой с величиной масштабного эффекта, характеризуемой отношением
й/4-
Однако работы [8, 9] вызвали научную дискуссию [25], в которой обсуждалась обоснованность гипотезы
о перераспределении напряжений в зоне их концентрации, которая лежит в основе нелокальных критериев разрушения, а также градиентного критерия (16). В диссертации [26] исследовано влияние градиента напряжений на величину локального разрушающего напряжения в хрупких материалах. Установлено, что для гипса и ряда горных пород повышение прочности связано не с перераспределением напряжений, а с реальным увеличением локального разрушающего напряжения.
На основе этой гипотезы был предложен градиентный подход [27], в соответствии с которым локальная прочность материала предполагается зависящей от размера зоны концентрации напряжений Le. Если размер
а
Ье достаточно велик по сравнению с размерами структурных составляющих материала, то величина локальной прочности мало отличается от величины предельного напряжения а0, определенной в условиях однородного распределения напряжений. Наоборот, если Le сопоставим с размерами структурных элементов, их влияние на локальную прочность становится заметным. Причем это влияние тем больше, чем меньше размер Le по отношению к характерному размеру структуры материала Таким образом, локальная прочность материала зависит не просто от размера зоны концентрации напряжений Le, а от соотношения L0/Le, которое характеризует масштаб в рассматриваемой задаче. С учетом этого условие локальной прочности можно представить в виде:
ае < f (а0,Lo|Le). (17)
Функция локальной прочности /(а0,Ь0/Ье) определяется с учетом дополнительных условий, отражающих специфику рассматриваемой задачи. Для задачи об образовании трещин отрыва при сжатии функция локальной прочности имеет вид [28]:
(
f (а0, Lo/Le) = а0
Л
1 +
(18)
где
=-,
ае|'
Соответственно, критическое давление, при котором на контуре отверстия образуются трещины отрыва, определяется выражением
(
Рс = хС
1+
(19)
Размер зоны концентрации напряжений, рассчитанный по формуле (18) с учетом (5), составил Ье = I/10, где
I — диаметр отверстия.
На рис. 9 представлены экспериментальные данные (темные точки) о величине нагрузки в момент образова-
ния трещин отрыва на контуре отверстия в зависимости от его диаметра, полученные на образцах из гипса 1, и результаты расчета критического давления (кривая 1), сделанные на основе градиентного подхода по формуле (19). Штриховая прямая рассчитана согласно традиционному подходу. Экспериментальные данные хорошо описываются градиентным критерием. Параметры критерия Ь0 и п для гипса 1 составили 0.7 мм и 1 соответственно. Там же приведены экспериментальные данные (светлые точки) и результаты расчета (кривая 2) для гипса 2. Эти данные также хорошо описываются градиентным критерием с параметрами = 14 мм и п = = 0.5. Критический диаметр отверстия 1с оказался равным 1.7 мм для гипса 1 и 7.2 мм для гипса 2.
4. Заключение
В результате проведенных исследований установлено, что особенности формирования структуры гипсового материала различного состава (с различным соотношением полуводного и двухводного сульфата кальция в исходном составе) оказывают существенное влияние на процессы образования и развития трещин отрыва в зоне концентрации растягивающих напряжений при равномерном одноосном сжатии. В частности, уменьшение доли полуводного гипса в исходном составе приводит к снижению чувствительности к концентрации напряжений и повышению критической нагрузки в момент образования трещин отрыва на контуре кругового отверстия. Процесс разрушения образцов, изготовленных из материала с высоким содержанием полуводного гипса в исходном составе (гипс 1), характеризуется внезапным образованием на контуре отверстия трещин отрыва протяженностью 5-6 см и их дальнейшим развитием, приводящим к разрушению образца. Также образуются трещины на контуре отверстий малого диаметра (до 5 мм включительно) в материале с низким содержанием полуводного гипса (гипс 2). Образование трещин отрыва на контуре отверстий большого диаметра (более 5 мм) носит постепенный характер. Их рост замедляется или прекращается после образования в образце вторичных трещин, не оказывая сколько-нибудь существенного влияния на разрушение образца.
Определенное влияние на процессы трещинообразо-вания оказывают условия нагружения, а именно распределение напряжений вдоль пути распространения трещины. При одинаковых условиях нагружения образование трещин отрыва в зоне концентрации растягивающих напряжений хорошо описывается градиентным критерием разрушения, который учитывает влияние размера зоны концентрации напряжений на локальную прочность материала. Нелокальные критерии (критерий средних напряжений, критерий напряжений в точке, критерий фиктивной трещины), также как градиентный критерий, позволяют описать масштабный эффект ло-
а
Рс/Со
0.0 -I--------1----------1---------1-------
0 1 2 3 /, см
Рис. 10. Зависимость критического давления от диаметра отверстия. Сплошные кривые — расчет по критериям средних напряжений, напряжений в точке и фиктивной трещины, штрихпунктирные кривые — расчет по градиентному критерию, штриховая прямая — расчет по традиционному критерию
кальной прочности материала в условиях концентрации напряжений. Экспериментально показано, что для некоторых материалов (гипс 1) нелокальные критерии могут быть успешно использованы как для описания масштабного эффекта, так и для оценки критического размера дефекта при сжатии. Однако их применение для других материалов (гипс 2) позволяет получить лишь качественные оценки локальной прочности. Полученные в работе экспериментальные данные и результаты расчетов по различным критериям представлены на объединенном рис. 10, наглядно иллюстрирующем сделанные выводы.
Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН (проект № 22.22) и РФФИ (грант № 09-08-00017).
Литература
1. Wieghardt K. Uber das Spalten und Zerreisen elastischer Korper // Z. Math. Phys. - 1907. - V 55. - No. 1-2. - P. 60-103.
2. Серенсен С.В. Динамическая прочность металлов и расчет деталей авиаконструкций // Тр. Всесоюз. конф. по прочности авиаконструкций, 23-27 дек. 1933 г. - М.: ЦАГИ, 1935. - Вып. 2. - С. 3957.
3. Афанасьев Н.Н. О пределе усталости образцов с выточкой // ЖТФ. - 1936. - Т. 6. - № 8. - С. 1393-1402.
4. Neuber H. Kerbspannungslehre, Grundlagen fur genaue Spannung-srechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937. - 160 p.
5. УжикГ.В. Масштабный фактор в связи с оценкой прочности металлов и расчетом деталей машин // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. - 1955. - № 11. - С. 109-121.
6. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 212-222.
7. Waddoups M.E., Eisenmann J.R., Kaminski B.E. Macroscopic fracture mechanics of advanced composite materials // J. Compos. Mater. -1971. - V.5. - No. 4. - P. 446-454.
8. Lajtai E.Z. Effect of tensile stress gradient on brittle fracture initiation // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 1972. - V. 9. - No. 5. - P. 569-578.
9. Nesetova V, Lajtai E.Z. Fracture from compressive stress concentrations around elastic flaws // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1973. - V. 10. - No. 4. - P. 265-284.
10. Whitney J.M., Nuismer R.J. Stress fracture criteria for laminated composites containing stress concentrations // J. Compos. Mater. - 1974. -V. 8. - No. 4. - P. 253-265.
11. SewerynA., MrozZ. A non-local stress failure condition for structural elements under multiaxial loading // Eng. Fract. Mech. - 1995. -V. 51. - No. 6. - P. 955-973.
12. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength condition and fracture criteria // Eng. Fract. Mech. - 1995. - V. 52. - No. 4. -P. 731-754.
13. Isupov L.P., Mikhailov S.E. A comparative analysis of several nonlocal fracture criteria // Arch. Appl. Mech. - 1998. - V. 68. - No. 9. -P. 597-612.
14. Сукнев С.В. О применении градиентного подхода к оценке локальной прочности // ПМТФ. - 1999. - Т. 40. - № 4. - С. 222-228.
15. Li J., ZhangX.B. A criterion study for non-singular stress concentrations in brittle or quasi-brittle materials // Eng. Fract. Mech. - 2006. -V. 73. - No. 4. - P. 505-523.
16. Новопашин М.Д., Сукнев С.В. Градиентные критерии предельного состояния // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2007. -№4(54). - С. 316-335.
17. Смирнов В.И. Структурный подход в задачах предельного равновесия хрупких тел с концентраторами напряжений // ПМТФ. -2007. - Т. 48. - № 4. - С. 162-172.
18. Сукнев С.В., Елшин В.К., Новопашин М.Д. Экспериментальное моделирование процессов трещинообразования в образцах горных пород с отверстием // ФТПРПИ. - 2003. - № 5. - С. 47-54.
19. Седов ЛИ. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1984. - Т. 2. -560 с.
20. Сукнев С.В. Нелокальные критерии разрушения. Критерий средних напряжений // Наука и образование. - 2007. - № 1. - С. 28-33.
21. Сукнев С.В. Нелокальные критерии разрушения. Критерий напряжений в точке // Наука и образование. - 2008. - № 1. - С. 27-32.
22. Сукнев С.В. Нелокальные критерии разрушения. Критерий фиктивной трещины // Наука и образование. - 2009. - № 1. - С. 29-36.
23. Хеллан К. Введение в механику разрушения. - М.: Мир, 1988. -364 с.
24. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
25. Gonano L.P. Discussion of V! Nesetova and E.Z. Lajtai’s paper: Fracture from compressive stress concentrations around elastic flaws. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 10, 265-284 (1973) // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. - 1974. - V. 11. - No. 8. - P. 339.
26. Gonano L.P. Stress gradient and size effect phenomena in brittle materials: Ph.D. Dissertation. - James Cook University, Australia, 1974. - 364 p.
27. Сукнев С.В., Новопашин МД. Определение локальных механических свойств материалов // Докл. РАН. - 2000. - Т. 373. - № 1. -С. 48-50.
28. Сукнев С.В., Новопашин М.Д. Критерий образования трещин отрыва в горных породах при сжатии // ФТПРПИ. - 2003. - № 2. -С. 30-37.
Поступила в редакцию 01.06.2010 г., после окончательной переработки 21.03.2011 г.
Сведения об авторе
Сукнев Сергей Викторович, д.т.н., зав. лаб. ИГДС СО РАН, [email protected]
