CC BY
20Ссылка на статью: // Радиостроение. 2021. № 03. С. 1-12.
DOI: 10.36027/rdeng.0321.0000194
Представлена в редакцию: 02.04.2021
http://www.radiovega.su © ю.С. Русов, А.А. Пропастин, 2021
УДК 621.396.677
Применение нечетных функций Матье для синтеза секторной диаграммы направленности многоэлементного излучателя
Русов Ю.С.1'*, Пропастин A.A.1'2 "msov.yu.sig gmail.com
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2АО НПП «Салют», Москва, Россия
Исследованы возможности синтеза секторной диаграммы направленности (ДН) с плоской вершиной главного лепестка при использовании разложения целевой диаграммы направленности в ряд по нечетным функциям Матье. В качестве параметров для сравнения целевой и синтезированной диаграмм направленности использовались ширина главного лепестка по уровню -1 дБ и неравномерность вершины главного лепестка диаграммы направленности. Проведен синтез секторной диаграммы направленности для линейных излучателей различной длины. Выполнена оценка сходимости коэффициентов ряда Матье при синтезе секторной диаграммы направленности. Показано, что использование кусочно-линейной аппроксимации целевой диаграммы направленности при синтезе с помощью разложения в ряд по нечетным функциям Матье позволяет улучшить качество формируемой
ДН.
Ключевые слова: синтез диаграмм направленности; секторная диаграмма направленности; функции Матье
Введение
В настоящее время наблюдается увеличение интереса к созданию излучателей и малоэлементных антенных решеток, формирующих секторные (или столообразные, в англоязычной литературе flat-topped, maximally flat, quasi-smooth) диаграммы направленности. Такие излучатели находят применение в коммерческих радиотехнических системах, где большое внимание уделяется высокой равномерности электромагнитного поля в зоне покрытия и строгому соблюдению установленных границ зоны покрытия. Другой не менее важной областью применения секторных излучателей является радиоизмерительная аппаратура. В частности, такие излучатели требуются для возбуждения зеркальных коллиматоров, используемых при исследовании электрических характеристик антенн. В таких измерительных установках требуется обеспечить высокую равномерность амплитуды и фазы напряженности электрического поля в области расположения исследуемой антенны. Для этого зеркало коллиматора необходимо облучать антенной с секторной диаграм-
Радиостроение
Научно-практический журнал
мой направленности, которая характеризуется минимальной неравномерностью вершины главного лепестка ДН в пределах требуемого сектора углов облучения зеркала коллиматора. При создании такого излучателя в виде плоской малоэлементной антенной решетки представляет практический интерес исследование особенностей синтеза секторной диаграммы направленности.
1. Постановка задачи
Известно большое количество конструкций излучателей, которые могут формировать секторную ДН. Конструктивные параметры таких антенн рассчитываются известными методами по заданному амплитудному распределению, которое получено в результате синтеза секторной ДН с заданной шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков (УБЛ). Следует учитывать, что вследствие нелинейного фазового распределения поля в апертуре излучателя некоторые известные соотношения, часто используемые при расчете излучающих систем с линейным фазовым распределением, в этом случае приводят к некорректным результатам. В частности, в рассматриваемых системах наблюдается ускоренный рост дифракционных максимумов при увеличении расстояния между излучающими элементами. Синтез излучающих систем, формирующих секторные диаграммы направленности, имеет ряд особенностей. Например, это наличие точек разрыва на границах рабочего сектора углов главного лепестка ДН, которые препятствуют сходимости ряда Фурье, и возникновение осцилляций (экстремумов) в этих точках, которые связаны с эффектом Гиббса [1, 2]. С учетом этого накладываются ограничения на выбор метода для синтеза секторной ДН. К наиболее распространенным методам синтеза, с помощью которых можно получить секторную ДН хорошего качества, относятся метод парциальных диаграмм, метод интеграла Фурье и метод изменяющихся проекций [3].
В работе рассматривается формирование секторной ДН с помощью излучателя в виде эквидистантной антенной решетки, содержащей несколько излучающих элементов. Такой многоэлементный излучатель может быть выполнен на основе волноводного делителя. Конструкции таких делителей хорошо отработаны и могут изготавливаться с применением доступных технологических процессов. В связи с этим рассматриваемый излучатель представляет интерес как высокотехнологичная конструкция, обеспечивающая повторяемость при серийном производстве. Для реализации такого излучателя представляет интерес применение метода синтеза ДН, предложенного А.А. Пистолькорсом [4] и использующего разложение целевой диаграммы направленности в ряд по нечетным функциям Матье. Согласно данному методу диаграмма направленности антенны может быть точно воспроизведена, если она представляется в виде сходящегося ряда нечетных функций Матье.
В работе поставлена задача синтеза секторной ДН, формируемой многоэлементным излучателем, а также исследования особенностей представления целевой секторной ДН при разложении ее в ряд с применением нечетных функций Матье.
2. Применение функций Матье в решении задачи синтеза секторной диаграммы направленности
Для решения задачи рассматривается система координат в виде эллиптического цилиндра. Направление нормали антенной решетки и распространение волны совпадает с осью у. Расстояние между фокусами соответствует длине раскрыва (рис. 1).
(1)
Рис. 1. Эллиптическая система координат
На рис. 1 обозначено:
X = / СОзЬ(и) С05(и), у = / БШ^и) 5т(и), 2 = 2, где 0 < и < со, 0<и< 2 и, 2 / - расстояние между фокусами эллипса.
Рассматриваемый метод [4] основан на решении волнового уравнения (2) в эллиптической системе координат (1), к которому применяется метод разделения переменных (3).
(V + к2) и (г) = 0, (2)
и (и, V, г) = I(г) 5 (у) Я (и), (3)
где г - координата по оси г, V - угловая координата, и - радиальная координата, к - волновое число, - решение уравнения Матье для угловой координаты, - решение уравнения Матье для радиальной координаты (решение модифицированного уравнения Матье), - множитель сферической волны.
Подставляя выражения для координат (1 ) в волновое уравнение (2) и выполнив дифференцирование, получаем уравнение (4): < 2 (-
(СОЗП(2и)-СОЗ(2У)) V
£ + В + £ + к2)и(и^) = °-
(4)
Используя метод разделения переменных для решения волнового уравнения (4), получаем систему уравнений:
(¿ + к2)г (г) = °, (5)
(ф + (J. - 2 h2 С О 5 (v ) ) j 5 (v ) = 0 , (6)
~ ( J — 2 h2 СО 5 h (и) ) j R (и) = 0 , (7)
где h = кd/ 4, d - половина длины раскрыва антенны, j - собственное значение уравнения Матье, kz - проекция волнового вектора на ось z.
Таким образом, уравнение в частных производных (4) можно представить в виде системы из трех уравнений (5, 6, 7), из которых (6) является уравнением Матье, а (7) - модифицированным уравнением Матье [5, 6].
Каноническая запись решения уравнения Матье для целого порядка имеет вид (8):
f ( и, и ) = R (и) 5 ( v ) , (8)
где - решение для радиальной координаты (решение модифицированного уравнения Матье), 5 (v ) - решение для угловой координаты (решение уравнения Матье).
Для синтеза ДН используется представление решения уравнений Матье в виде (9):
f (U, V) = я2+х (и) 5 е2т+ 1( С 05 (v ),h2) , (9)
Г2)
где m - порядок, H^m+i - решение модифицированного уравнения Матье (аналог функции Ганкеля второго рода), 5 е2 m+1 - решение уравнения Матье [5, 7, 8, 9], и = 2 kr / h -радиальная координата, - угловая координата. Для задачи синтеза ДН подходят функции, которые относятся к периодическим решениям представленных уравнений [4]. Выбор решения определяется граничными условиями на краях излучателя, направлением излучения в эллиптической системе координат, а также формой целевой ДН.
Решение (3) волнового уравнения (2) в системе координат эллиптического цилиндра представляется в виде выражения (10):
u (u,v,z) = ехр ( i kz z) H22)+1 (u) 5 е2т+1( С05 (v ),h2) . (10)
При синтезе ДН учитывается следующая особенность эллиптической системы координат. При равенстве радиуса эллипса нулю его фокальное расстояние вырождается в прямую, которая может быть представлена как линейный излучатель. Существуют различные варианты представления решения уравнения Матье [5, 7, 8, 9], но для синтеза ДН используется представление нечетными функциями Матье, так как они удовлетворяют граничным условиям на концах излучателя для вектора напряженности электрического поля.
(2)
На рис. 2 представлены функции и в зависимости от номера гармони-
ки m, угловой координаты v и радиуса эллипса и соответственно [8, 9, 10, 11].
и
а) б)
Рис. 2. Представление функций Матье для различного порядка т: а) решение уравнения Матье; б) решение
модифицированного уравнения Матье
Для представления решения модифицированного уравнения Матье используются радиальные функции Матье Щи), которые при больших значениях аргумента являются
Г2)
аналогом функций Ганкеля второго рода #2т+1 [5, 7].
Функции, по которым выполняется разложение заданной ДН, являются решением уравнения Матье [8, 9, 13] и зависят от его собственных значений ц, которые определяются при решении задачи синтеза [4, 5, 7, 12]. Процедура синтеза проводится в два этапа. На первом этапе ДН излучателя Ег (11) раскладывается в ряд по функциям, которые являются решениями волнового уравнения в эллиптической системе координат при радиусе, равном расстоянию до границы дальней зоны излучателя.
Ег = Ит=0ат 5 е2т+1 () ' (11)
Атхп = 5 е2т+ 1(^'Уп) Н2т)+ 1(^-'и) ' (12)
ат = Атхп Ег-: (13)
Ег = БЫ . (14)
В (11), (12), (13) и (14) ат - коэффициенты разложения ДН по функциям Матье,
5 е 2т+1 (к'У) - нечетные функции Матье порядка т, Щт+г - функции Ганкеля второго рода, - целевая ДН, - угловая координата.
В данной работе предлагается использовать линейную аппроксимацию заданной ДН, с помощью которой можно сгладить разрывы. При этом функция с разрывами, в виде которой представляется целевая секторная ДН, заменяется на кусочно-монотонную функцию. Даже при сколь угодно малых отличиях от исходной функции с разрывами согласно признаку Дирихле ряд Фурье новой функции будет сходиться к исходной функции и, сле-
довательно, эффект Гиббса в таком случае не проявляется. Функцию для аппроксимации можно записать в аналитическом виде с применением функции Хэвисайда. Тогда целевая ДН будет представлена в виде выражения (15).
Б(у) = 7] (и + х2) — г](у — х2) + (и + х1)(?7(и + х2) — г](у + хх)) + + (V - XI ) (] (V - х2) - 7](V - Х1) ) + (У+Х2+ х3) (] (V + х2 + х3 ) - (15) -7](и + х2) + (и - х2 - Хз)(?7(и - х2 - Х3) - 7](у - х2)).
В (15) обозначено: х г = в3- t г, х2 = в5 - г2, х 3 = ^ 3 > ^ — ширина главного лепестка ДН, *:2, - параметры, определяющие аппроксимацию вершины и нижнего ската.
На следующем этапе находится амплитудно-фазовое распределение Ео (16), представляющее сумму ряда функций, которые являются решениями волнового уравнения в эллиптической системе координат при радиусе эллипса, равном нулю.
Ео = 1 т=1 ат з е2т+1( М ) #2+х ( к, 0). (16)
В (16) входят коэффициенты ат, определенные на предыдущем этапе по формуле (13). Соответствующие им амплитудные распределения в раскрыве излучателей различной длины показаны на рис. 3, где X - рабочая длина волны.
а) б)
Рис. 3. Синтезированные амплитудные распределения: а) для длины излучателя 3Х: 1 - без аппроксимации целевой ДН, 2 - с кусочно-линейной аппроксимацией целевой ДН; б) для длины излучателя 5Х: 1 - без аппроксимации целевой ДН, 2 - с кусочно-линейной аппроксимацией целевой ДН
Синтезированные ДН для различной длины излучателя рассчитываются по соответствующим им амплитудным распределениям, которые в свою очередь получаются из коэффициентов ряда Матье. Оценка сходимости ряда Матье позволяет сделать утверждение, что если ряд не сходится при увеличении числа функций разложения, то повысить точность воспроизведения заданной ДН бесконечным увеличением членов ряда невозможно и следует искать более подходящее представление заданной ДН [4]. На рис. 4 изображены графики, отображающие сходимость коэффициентов Матье.
1)1 ш
а) б)
Рис. 4. Коэффициенты разложения по функциям Матье: а) без аппроксимации целевой ДН для длины излучателя: 1 - 3Х, 2 - 4Х, 3 - 5Х; б) с кусочно-линейной аппроксимацией целевой ДН для длины излучателя:
1 - 3Х, 2 - 4Х, 3 - 5Х
Таким образом, представление заданной ДН в виде идеальной секторной ДН с кусочно-линейной аппроксимацией в области спадов позволяет при заданной длине излучателя получить более низкий уровень боковых лепестков и меньшее отклонение ширины главного лепестка от заданного значения.
3. Результаты исследования
Решена задача синтеза амплитудно-фазового распределения для линейного излучателя с электрической длиной 3Х, 4Х и 5Х. Целевая ДН имеет следующие электрические характеристики: ширина главного лепестка 37,5° по уровню -1 дБ, УБЛ -20 дБ. Процедура синтеза проведена для двух случаев. В первом случае целевая ДН представлена кусочно-постоянной функцией с заданной шириной (рис. 5). Во втором случае целевая ДН была задана с помощью кусочно-линейной аппроксимации вершины и скатов главного лепестка (рис. 6) [1, 2].
Рис. 5. Синтезированные ДН многоэлементного излучателя, полученные без использования аппроксимации целевой ДН, при длине излучателя 1 - 3Х, 2 - 4Х, 3 - 5Х и 4 - целевая ДН
Рис. 6. Синтезированные ДН многоэлементного излучателя, полученные с использованием кусочно-линейной аппроксимации целевой ДН при длине излучателя 1 - 3Х, 2 - 4Х, 3 - 5Х и 4 - целевая ДН
Сравнение полученных ДН показывает, что в первом случае ширина главного лепестка ДН по уровню -1 дБ составляет 34°, УБЛ изменяется от -15,6 до -17 дБ, а неравномерность вершины главного лепестка ДН лежит в пределах 0,9... 1,2 дБ. Во втором случае ширина главного лепестка ДН по уровню -1 дБ равна 36,5°, УБЛ не выше -17,5 дБ, а неравномерность вершины главного лепестка не более 0,4 дБ. Качество синтезированных ДН зависит от размера излучателя. При большем размере раскрыва излучателя спад ДН за пределами плоской вершины главного лепестка происходит с большей крутизной, однако при этом возрастает неравномерность плоской вершины ДН.
Заключение
Применение рассмотренного метода позволяет получать синтезированные ДН для линейных излучателей различной длины, а также соответствующие им амплитудно-фазовые распределения и коэффициенты ряда Матье. Оценка сходимости ряда Матье показывает, что использование линейной аппроксимации заданной ДН позволяет ускорить сходимость ряда Матье в некоторых случаях до 2,7 раз. Точность воспроизведения секторной ДН методом синтеза с помощью разложения по нечетным функциям Матье дает хорошие результаты при синтезе амплитудно-фазового распределения для линейных излучателей с электрической длиной 5Х и более.
Список литературы
1. Митрохин В.Н., Пропастин А.А. Синтез излучающей системы, формирующей секторную диаграмму направленности с минимизацией эффекта Гиббса // Радиооптика. 2016. № 6. С. 1 - 13. DOI: 10.7463/rdopt.0616.0852509
2. Mitrokhin V.N., Propastin A.A. Synthesis of the radiating system forming the flat-topped radiation pattern with the most flat top // 2017 Radiation and scattering of electromagnetic waves:
RSEMW (Divnomorskoe, Russia, June 26-30, 2017): Proc. N.Y.: IEEE, 2017. Pp. 319 - 322. DOI: 10.1109/RSEMW.2017.8103662
rd
3. Mailloux R.J. Phased array antenna handbook. 3 ed. Norwood: Artech House Inc., [2018]. 530 p.
4. Пистолькорс А.А. Применение функций Матье для расчета распределения поля в антенне по заданной диаграмме направленности // Антенны. 2016. Вып. 9 (229). С. 22 - 25.
5. McLachlan N.W. Theory and application of Mathieu functions. Oxf.: Clarendon Press, 1951. 413 p.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: В 3 т. 14-е изд. Т. 2. СПб.: Лань, 2020. 800 с.
7. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / Ed. by M. Abramowitz, I.A. Stegun. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Wash.: U.S. Government Print. Off., 1964. 1046 p.
8. Coi'sson R., Vernizzi G., Xiaoke Yang. Mathieu functions and numerical solutions of the Mathieu equation // 2009 IEEE intern. workshop on open-source software for scientific computation: OSSC (Guiyang, China, September 18-20, 2009): Proc. N.Y.: IEEE, 2009. Pp. 3 - 10. DOI: 10.1109/QSSC.2009.5416839
9. Cojocaru E. Mathieu functions computational toolbox implemented in Matlab. Режим доступа: https://arxiv.org/abs/0811.1970 (дата обращения 02.12.2020).
10. Strelkov N.O., Coi'sson R. Scilab toolbox for calculating of Mathieu functions // IV Intern. conf. on information technologies in engineering education: INFORINO 2018 (Moscow, Russia, October 23-26, 2018): Proc. N.Y.: IEEE, 2018. Pp. 1 - 6. DOI: 10.1109/INFORINO.2018.8581812
11. Strelkov N.O., Kramm M.N., Coisson R. Calculation of electric potentials generated by a dipole source in an elliptical conducting cylinder of a finite length // Photonics & electromagnetics research symp. - Spring (PIERS-Spring 2019) (Rome, Italy, June 17-20, 2019): Proc. N.Y.: IEEE, 2019. Pp. 3845 - 3853. DOI: 10.1109/PIERS-Spring46901.2019.9017604
12. Белов А.Н., Орлов Ю.Д., Туровцев В.В., Цирулев А.Н. Поиск собственных значений функций Матье как часть алгоритма численного расчета спектров внутреннего вращения молекул // Вестник Тверского гос. ун-та. Сер.: Прикладная математика. 2015. № 2. С. 25 - 34.
13. Pirmohabbati P., Refahi Sheikhani A.H., Saberi Najafi H., Abdolahzadeh Ziabari A. Numerical solution of fractional Mathieu equations by using block-pulse wavelets // J. of Ocean Engineering and Science. 2019. Vol. 4. No. 4. Pp. 299 - 307. DOI: 10.1016/j.joes.2019/05.005
Radio Engineering
Radio Engineering, 2021, no. 03, pp. 1-12. DOI: 10.36027/rdeng.0321.0000194 Received: 02.04.2021
© Yu.S. Rusov, A.A. Propastin, 2021
Odd Mathieu Functions Application to Synthesize a Multi-element Radiator Flat-topped Radiation Pattern
Yu.S. Rusov1'*, A.A. Propastin1'2 "ra&ov.yu.&ig gmail.com
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
2JSC "Salyut", Moscow, Russia
Keywords: radiation pattern synthesis; flat-topped radiation pattern; Mathieu functions
The paper studies synthesizing capabilities of a flat-topped radiation pattern when using the expansion of the target radiation pattern into a series in terms of odd Mathieu functions. As parameters for comparing the target and synthesized radiation patterns, we used a main-lobe width at a level of -1 dB and an irregularity of the top of the main-lobe of the radiation pattern. The sector-shaped radiation pattern has been synthesized for linear radiators of various lengths. The convergence of the coefficients of the Mathieu series in the synthesis of the sector-shaped radiation pattern has been estimated. It is shown that the use of piecewise-linear approximation of the target radiation pattern in the synthesis using a series expansion into odd Mathieu functions allows us to improve the quality of the radiation pattern formed.
The task that involved finding the amplitude-phase distribution for a linear emitter with a length of 3X, 4X and 5X (X is operation wavelength) for a target radiation pattern was solved. The target amplitude distribution has the following electrical characteristics: the main-lobe width is 37.5° at a level of -1 dB and the side lobe level (SLL) is -20 dB. The synthesis procedure was performed for two cases. In the first case, the target radiation pattern is represented by a piece-wise constant function with a given width. In the second case, the target pattern was specified using piecewise linear approximation of the top and slopes of the main lobe.
Comparison of the radiation patterns obtained shows that in the first case, the main-lobe width of the radiation pattern at a level of -1 dB is 34°, the SLL varies from -15.6 to -17 dB, and the irregularity of the main-lobe top of the radiation pattern lies within 0.9 ... 1.2 dB. In the second case, the main-lobe width of the antenna radiation pattern at a level of -1 dB is 36.5°, the SLL is -17.5 dB, and the irregularity of the main-lobe top is 0.4 dB at most. When used, the considered under consideration enables us to obtain both the synthesized patterns for linear radiators of various lengths, and the corresponding amplitude-phase distributions and coefficients of the Mathieu series. An estimate of the convergence of the Mathieu series shows that the use of linear approximation of the target radiation pattern in some cases allows up to 2.7-fold increase in acceleration of the convergence of the Mathieu series. The accuracy of reproducing the sector-
shaped pattern by the synthesis method using the expansion into odd Mathieu functions gives good results when synthesizing the amplitude-phase distribution for the linear radiators with an electric length of 5X or more.
References
1. Mitrohin V.N., Propastin A.A. Synthesis of the radiating system to form the flat-topped radiation pattern for phased array antennas with minimizing Gibbs phenomenon. Radiooptika [Radiooptics], 2016, no. 6, pp. 1 - 13. DOI: 10.7463/rdopt.0616.0852509 (in Russian)
2. Mitrokhin V.N., Propastin A.A. Synthesis of the radiating system forming the flat-topped radiation pattern with the most flat top. 2017 Radiation and scattering of electromagnetic waves: RSEMW (Divnomorskoe, Russia, June 26-30, 2017): Proc. N.Y.: IEEE, 2017. Pp. 319 - 322. DOI: 10.1109/RSEMW.2017.8103662
rd
3. Mailloux R.J. Phased array antenna handbook. 3 ed. Norwood: Artech House Inc., [2018]. 530 p.
4. Pistol'kors A.A. Application of Mathieu functions for calculating the antenna field distribution according to a given radiation pattern. Antenny [Antennas], 2016, no. 9 (229), pp. 22 - 25 (in Russian).
5. McLachlan N.W. Theory and application of Mathieu functions. Oxf.: Clarendon Press, 1951. 413 p.
6. Fikhtengol'ts G.M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Differential and integral calculus course]: a textbook: In 3 volumes. 14th ed.
Vol. 2. Moscow: Lan' Press, 2020. 800 p. (in Russian).
7. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables /Ed. by M. Abramowitz, I.A. Stegun. Wash.: U.S. Government Print. Off., 1964. 1046 p.
8. Coi'sson R., Vernizzi G., Xiaoke Yang. Mathieu functions and numerical solutions of the Mathieu equation. 2009 IEEE intern. workshop on open-source software for scientific computation: OSSC (Guiyang, China, September 18-20, 2009): Proc. N.Y.: IEEE, 2009. Pp. 3 - 10. DOI: 10.1109/QSSC.2009.5416839
9. Cojocaru E. Mathieu functions computational toolbox implemented in Matlab. Available at: https://arxiv.org/abs/0811.1970, accessed 02.12.2020.
10. Strelkov N.O., Coi'sson R. Scilab toolbox for calculating of Mathieu functions. IVIntern. conf. on information technologies in engineering education: INFORINO 2018 (Moscow, Russia, October 23-26, 2018): Proc. N.Y.: IEEE, 2018. Pp. 1 - 6. DOI: 10.1109/INFORINO.2018.8581812
11. Strelkov N.O., Kramm M.N., Coisson R. Calculation of electric potentials generated by a dipole source in an elliptical conducting cylinder of a finite length. Photonics & electromagnetics research symp. - Spring (PIERS-Spring 2019) (Rome, Italy, June 17-20, 2019): Proc. N.Y.: IEEE, 2019. Pp. 3845 - 3853. DOI: 10.1109/PIERS-Spring46901.2019.9017604
12. Belov A.N., Orlov Yu.D., Turovtsev V.V., Tsirulev A.N. Search for eigenvalues of Mathieu functions as part of the algorithm for numerical calculation of the spectra of molecules internal
rotation. Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo univ. Ser.: Prikladnaia matematika [Herald of Tver State Univ. Ser.: Applied Mathematics], 2015, no. 2, pp. 25 - 34 (in Russian).
13. Pirmohabbati P., Refahi Sheikhani A.H., Saberi Najafi H., Abdolahzadeh Ziabari A. Numerical solution of fractional Mathieu equations by using block-pulse wavelets. J. of Ocean Engineering and Science, 2019, vol. 4, no. 4, pp. 299 - 307. DOI: 10.1016/j.joes.2019/05.005
