CC BY
0
УДК 62-55: 681.55
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-1-26-27
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ
СО СКОЛЬЖЕНИЕМ
В.С. Хорошавин, В.С. Грудинин, М.В. Гордиенко
Для современной науки и техники характерна потребность в наиболее рациональном использовании ограниченных временных, материальных, энергетических ресурсов. Полученные аналитическим путем для приближенной модели реального процесса законы управления и построения оптимальных систем носят качественный характер, сложны и трудно реализуемы на жестких функциональных элементах. Целью работы является применение в оптимальной системе, построенной аналитически на классических методах, алгоритмических методов нечеткого и робастного управления на элементах нечеткой (fuzzy) логики, позволяющих учесть неточности задания модели и действующих возмущений. Рассмотрен пример нечеткого управления колебательным процессом с непрерывным и скользящим режимами.
Ключевые слова: оптимальное управление, программное движение, колебательный процесс, топология траекторий, нечеткая логика, скользящий режим
Введение. Требования минимизации потребляемых ресурсов в задачах оптимального управления формулируются как задачи быстродействия, энерго- и ресурсосбережения, программного движения (точности) с последующей стабилизацией конечного состояния [1]. Но оптимальные системы чувствительны к параметрам модели реального объекта и возмущающих воздействий. Они могут терять не только оптимальность, но и работоспособность, когда априорная информация об объекте и внешней среде известна неточно. Это приводит к постановкам задач оптимального управления, позволяющим избежать или компенсировать несоответствие реального объекта и его математической модели [2].
При нечетком управлении [3] используемые в оптимальном управлении понятия и знания о конкретных точечных координатах и управлениях могут быть преобразованы в нечеткую форму для областей состояний объекта с одинаковым характером траекторий и управлений, определены нечеткие правила логического вывода принимаемых решений, а затем произведено обратное преобразование принятых решений в управляющие переменные.
При робастном управлении [4], обеспечивающим работоспособность замкнутой системы в присутствии неопределенностей и возмущений, наиболее успешно может быть применен скользящий режим движения по требуемой траектории. Совместное использование в оптимальной системе нечеткой логики и скольжения позволит обеспечить эффективность управления и простоту реализации управляющего устройства.
Методы исследования. Предварительное качественное исследование оптимальной системы для применения нечеткой логики проводится известными методами теории автоматического управления [5], принципа максимума Понтрягина [6], условий общности положения для нелинейных объектов (УОП) [7], качественной теории дифференциальных уравнений [8], структурного синтеза [9], моделирования [10]. Результатом этого исследования являются графики переходных процессов и топология координат [8] как разбиения фазового пространства состояний объекта на области с одинаковым характером траекторий.
Процессы нечеткого управления реализуются на базе систем нечеткого логического вывода (FIS, Fuzzy Interference System). Такие системы состоят из четырех блоков: базы знаний, фаззификатора, блока логического вывода и дефаззификатора [3, 11].
На рис. 1 показана структура фаззи-регулятора для преобразования двух входных переменных в одно управляющее воздействие через три функциональных блока, работающих в соответствии с фаззи-логикой [12].
X,
X,
Блок
Фаззификатор логического вывода Дефаззификатор
tfxp
РВ РМ 1
РМ Z NM
Z NM NB
Рис. 1. Структура фаззи-регулятора
База знаний (этот блок на рис. 1 не показан) включает следующие компоненты: описание лингвистических переменных; базу данных, содержащих описание функций принадлежности; набор нечетких высказываний в форме «ЕСЛИ-ТО», левая часть каждого высказывания — конъюнкция элементарных условий, а правая часть — множество элементарных действий.
Фаззификатор осуществляет преобразование входных величин в значения их функций принадлежности к термам входных лингвистических переменных.
В блоке логического вывода на основе свода правил, записанных в памяти фаз-зи-регулятора, входные термы преобразуются в термы выходных переменных с соответствующими функциями принадлежности. При этом, во-первых, для каждого высказывания вычисленное значение истинности предпосылок применяется к заключению посредством использования нечеткой логики «И»; во-вторых, выполняется операция композиции (аккумуляции): объединяются вместе нечеткие подмножества заключений для формирования одного нечеткого подмножества для каждой переменной вывода, с этой целью используется нечеткая логика «ИЛИ».
Дефаззификатор трансформирует нечеткие результаты для переменных вывода в четкие значения управляющих воздействий.
Известны [3] четыре классических алгоритма нечеткого вывода: Мамдани, Су-гено, Ларсена и Цукамото. В большинстве практических случаев достаточно использовать алгоритмы нечеткого вывода Мамдани или Сугено. В алгоритме Мамдани основными этапами являются: формирование базы правил, фаззификация входных переменных, агрегирование подусловий в нечетких правилах, активизация подзаключений и аккумуляция заключений нечетких правил. В алгоритме Сугено аккумуляция фактически отсутствует, т.к. расчеты осуществляются с обычными действительными числами или формулами.
Скользящий режим в оптимальном управлении применяется для выпуклого замыкания траекторий, движение по которым не реализуется измеримым управлением. Он заключается в таком переключении допустимых управлений, что соответствующая им последовательность траекторий сходится к требуемой предельной траектории. Если же существует допустимое непрерывное управление для реализации оптимальной траектории, то существует и оптимальный скользящий режим. Режим скольжения является, по мнению [4, 13], наиболее успешным подходом для обеспечения робастности системы, т.е. инвариантности к возмущениям. Недостатком традиционных скользящих режимов является дребезг в управляющей цепи, что может привести к неустойчивой работе системы, и высокие энергозатраты, так как используется максимальная амплитуда управляющего воздействия.
Для моделирования процессов нечеткого управления используется пакет расширения Fuzzy Logic Toolbox в среде MatLab [14, 15].
27
Результаты. Для апробирования алгоритмов и структур четкого (жесткого) и нечеткого управлений и их сравнения выбран электропривод постоянного тока с управлением по цепи якоря, у которого выходной сигнал (угол поворота вала двигателя) должен изменяться по гармоническому закону с регулируемой амплитудой и частотой колебаний, что важно во многих практических применениях [библиография в [16]]. Приближенная модель объекта имеет вид
х^ — Ы х-[, х2 , (1)
где: и— напряжение якоря двигателя, <1; хг — угловая скорость двигателя; х2 — угол поворота вала двигателя. Требуется определить управление в замкнутой системе, обеспечивающее движение выходной координаты по синусоидальному закону
х2 тр = Asin^¿^t, (2)
где: А - амплитуда колебаний, ш — угловая частота колебаний.
В работе [16] описан способ решения этой задачи путем нахождения высших производных как обратной задачи динамики для выходного сигнала и проведено моделирование замкнутой системы. Указано на трудности с запуском системы для выхода на требуемое множество х2 тр(х1тр) и нестабильность ее работы для дотягивания при максимальном угле и смене знака управления при нулевом угле поворота,
Избежать этих трудностей позволяет описанный в [17] способ синтеза особого оптимального управления как совместного применения принципа максимума Понтря-гина, условий общности положения для нелинейных объектов, качественной теории дифференциальных уравнений, теории автоматов и моделирования. При этом способе исходная задача (1, 2) рассматривается как оптимальная задача программного движения с минимизацией функционала
/= I (Asin^t — х2)2dt, *о
учитывающего квадратичные отклонения текущей выходной траектории от требуемой.
Топология траекторий объекта при оптимальном управлении для А = 1, ш = 1 показана на рис.2. Движение по требуемой траектории может быть реализовано или непрерывным управлением, или в виде скользящего режима, при этом должна быть произведена проверка выполнения условий ограничения на координаты и управление (области |^ос|>1 на рис. 2 заштрихованы).
В структуре замкнутой системы программного движения с непрерывным управлением можно выделить контуры реализации: фазовой траектории (линии переключения) у( х1 ос,х2 ос) = 0, непрерывного управления иос( х1 ос,х2 ос), релейного управления ирел = +1, действующего только на интервале от начальной точки (0,0) до линии переключения и затем отключаемого для исключения влияния на работу системы с иос( хг ос,х2 ос). Структура и траектории движения системы с непрерывным управлением на четкой логике показаны на рис. 3.
Products
а
1 O.S 0.6 0.4 0.2 О -О 2 и х2
\ /
-О -4-
-О 6 / __>
-О 8
~1< t,c
э г 3 А 5 6 7 8
б
Рис. 3. Моделирование колебательного движения с непрерывным управлением на четкой логике (а — структура, б — траектории)
Программное движение на четкой логике можно реализовать и с использованием скользящего режима движения по линии у( хг ос,х2 ос) = 0. Для выпуклого замыкания предельной траектории скользящего режима необходимо изменять знак управления не только относительно отклонения от линии переключения, но и от знака координат хг и х2, а также предыдущего состояния последовательного логического устройства выработки управляющего сигнала, т.е. для программирования управляющего устройства необходимо рассмотреть как минимум 16 тактов его работы. Результаты моделирования системы со скользящим режимом с использованием варианта логического устройства на элементах программы Simulink приведены в [17].
Из моделирования оптимальной системы на четкой логике с непрерывным управлением и скользящим режимом видно, что более качественный характер переходных процессов из-за отсутствия дребезга управления и меньшего расхода энергии управляющего воздействия имеет система с непрерывным управлением, переходные процессы в которой в дальнейшем послужат основой для системы с нечеткой логикой.
Последовательность применения нечеткой логики для реализации оптимального управления совпадает с принятыми этапами синтеза нечеткого управления (рис. 1).
На этапе фаззификации для входных переменных выбирается максимально возможное количество функций принадлежности - по 9 для каждой, при этом координатная сетка функций принадлежности входов как бы накладывается на фазовую плоскость координат или топологию траекторий (рис.2). В качестве термов выходной переменной (до пяти) принимаются значения управляющего воздействия от -1 до 1, для чего используются имеющиеся графики переходных процессов (рис. 3б) или рассчитываются аналитически по формуле £/ос( хх ос,х2 ос).
Далее составляется таблица правил логического вывода, в которой в форме «ЕСЛИ-ТО» каждой комбинации входных переменных указывается терм выходной переменной.
Для наглядности правил логического вывода на рис. 4 показан блок «surface» как поверхность выходной переменной в функции входных сигналов, где желтым цветом отмечены положительные значения выходной переменной, а синим - отрицательные значения выходной переменной.
Таблица правил логического вывода
Параметры хл
-0,6 -0,45 -0,3 -0,15 0 0,15 0,3 0,45 0,6
-0,5 1 1 0,5 0 0,5 0 -0,5 -0,5
-0,375 1 0,5 0 -0,5 0 0,5 0 -0,5
-0,25 1 0 -0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0 -1
-0,125 1 -0,5 -0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0,5 -1
0 1 -0,5 -0,5 -0,5 1 0,5 0,5 0,5
0,125 1 -0,5 -0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0,5 -1
0,25 1 0 -0,5 -0,5 0 0,5 0,5 0
0,375 1 0,5 0 -0,5 0 0,5 0 -0,5
0,5 1 0,5 0,5 0 -0,5 0 -0,5 0,5 -1
Рис. 4. Блок «surface»
Модель с применением фаззи-логики для реализации колебательного процесса со скользящим режимом управления представлена на рис. 5, а результаты моделирования приведены на рис. 6.
Рис. 5. Модель колебательного процесса со скользящим режимом
на нечеткой логике
Нечеткий регулятор показал работоспособность в получении колебательного процесса оптимальной системы, нечувствительной в определенных пределах к изменению параметров и действию возмущений из-за фаззификации переменных, что можно сравнить с дискретизацией или квантованием сигналов по уровню в информационных системах. В рассмотренном примере для выбранной фаззификации переменных и правилах логического вывода получен скользящий режим движения с дребезгом и высоким расходом энергии управления. Отметим, что проблема реализации замкнутой в четырех квадрантах фазовой траектории трудно разрешима на элементах жесткой логики и применение нечеткой логики может быть вариантом ее решения.
30
Обсуждение и заключение. Применение нечеткого управления в простой структуре позволяет получить произвольную динамику объекта от плавного непрерывного до скользящего режима путем корректировки фаззификации и правил логического вывода. Авторами так же было рассмотрено применение нечеткого управления в оптимальной системе с апериодическим характером траекторий для линейных и нелинейных объектов, в которых без особых затруднений были получены качественные результаты по робастности, точности и энергозатратам.
Б
Рис. 6. Результаты моделирования колебательного процесса со скользящим режимом на нечеткой логике (а — управление, б — координаты, в — фазовый
портрет)
Дальнейшее развитие нечеткого управления в оптимальных системах предполагается проводить в следующих направлениях: формализация на систематической основе продукционных правил для оценки и обеспечения качества и устойчивости замкнутой системы; разработки технической реализации при наличии элементной базы
31
а
в
фаззи-регуляторов; совершенствования процессов управления на основе классических методов оптимального управления в нечеткой интерпретации, предлагаемых в [18,
19].
Результаты работы могут быть использованы при управлении движением в ме-хатронике и робототехнике, тепловыми процессами и в других приложениях.
Список литературы
1. Аналитическое конструирование регуляторов, оптимальных по точности и быстродействию /В. В. Сурков, Б. В. Сухинин, В. И. Ловчаков, А. Э. Соловьев. Тул. Гос. Ун-т; Тула, 2005. 300 с.
2. Рачков М. Ю. Оптимальное управление в технических системах. М.: Юрайт, 2018. 120 с.
3. Гостев В. И. Проектирование нечетких регуляторов для систем автоматического управления. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 416 с.
4. Управление и наблюдение в режиме скольжения /Ю. Штессель, К. Эдвардс, Л. Фридман, А. Левант. Техника автоматического управления_Birkhäuser, Нью-Йорк. 2015. 356 с. DOI: 10.1007/978-0-8176-4893-0.
5. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 3: Методы современной теории автоматического управления /Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 748 с.
6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.
7. Хорошавин В. С., Зотов А. В. Особое оптимальное управление нелинейными объектами: моногр. Киров: Науч. изд-во ВятГУ, 2019. 219 с.
8. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.
9. Хорошавин В. С. Структурный синтез управляющих устройств оптимальных систем. Киров: Науч. изд-во ВятГУ, 2020. 132 с.
10. Черных И. В. Система численно-математического моделирования MatLab. Система моделирования динамических систем Simulink [Электронный ресурс]. URL: http://bourabai.ru/cm/simulink.htm (дата обращения: 10.01.2024).
11. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Некоторые проблемные аспекты нечеткого ПИД регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т.19, №12. С. 762-769. DOI: 10.17587/mau.19.762-769.
12. Электротехнический справочник. Т. 4 / Под ред. Герасимова В. Г. и др. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 696 с.
13. Забихифар С.Х., Маркази А.Х.Д., Ющенко А.С. Управление двухзвенным манипулятором с использованием нечеткого управления скользящего типа // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. № 6. С. 30-45. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-6-30-45.
14. Дьяконов В.П. MatLab 6/6.1/6.5+Simulink 4/5 в математике и моделировании. Полное руководство пользователя. М.: СОЛОН-Пресс. 2003. 576 с.
15. Симулинк: Имитационное и модельно-ориентированное проектирование [Электронный ресурс] URL: https://www.mathworks.com/help/simulink (дата обращения: 10.01.2024).
16. Бойчук Л. М. Метод структурного синтеза нелинейных систем автоматического управления. М.: Энергия, 1971. 112 с.
17. Хорошавин В. С., Грудинин В. С. Синтез программного движения на основе особого оптимального управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 8. С. 395-403. DOI: 10.17587/mau.22.395-403
32
18. Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое оптимальное управление линейными системами. Часть 1. Позиционное управление // Информационные технологии. 2019. Т. 25, № 5. С. 259-270. DOI: 10.17587/it.25.259-270
19. Деменков Н. П., Микрин Е. А., Мочалов И. А. Нечеткое оптимальное управление линейными системами. Часть 2. Программное управление // Информационные технологии. 2019. Т. 25, № 6. С. 323-330. DOI: 10.17587/it.25.323-330
Хорошавин Валерий Степанович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Киров, Вятский государственный университет,
Грудинин Виктор Степанович, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Киров, Вятский государственный университет,
Гордиенко Михаил Владимирович, магистр, mikhail. gordienko. 99@mail. ru, Россия, Киров, Вятский государственный университет
APPLICATION OF FUZZY LOGIC IN OPTIMAL SLIDING CONTROL V.S. Khoroshavin, V.S. Grudinin, M.V. Gordienko
Modern science and technology are characterized by the need for the most rational use of limited time, material, and energy resources. The laws of control and construction of optimal systems obtained analytically for an approximate model of a real process are of a qualitative nature, complex and difficult to implement on rigid functional elements. The goal of the work is to use in an optimal system, built analytically on classical methods, algorithmic methods of fuzzy and robust control on elements of fuzzy logic. This allows taking into account the inaccuracies of specifying the model and operating disturbances. An example of fuzzy control of an oscillatory process with continuous and sliding modes is considered.
Key words: optimal control, programmed motion, oscillatory process, topology of trajectories, fuzzy logic, sliding mode.
Khoroshavin Valerii Stepanovich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Kirov, Vyatka State University
Grudinin Victor Stepanovich, candidate of technical sciences, docent, grudinin@,vyatsu.ru, Russia, Kirov, Vyatka State University
Gordienko Mikhail Vladimirovich, master's degree, mikhail.gordienko.99@,mail.ru Russia, Kirov, Vyatka State University
