CC BY
26
УДК 004
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ НЕПРОТИВОРЕЧИВЫХ ОТНОШЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
С.Н. Коршиков, Д.О. Малик, В.В. Родин, Н.И. Гребенникова
В работе введены нечеткие отношения, которые являются фундаментальными математическими структурами, лежащими в основе предложенной паранепротиворечивой интуитивной нечеткой модели данных. Модель используется при моделировании информационных систем
Ключевые слова: информационная система, модель данных, паранепротиворечивые нечеткие отношения
В условиях обработки и управления неполной и непоследовательной информацией в сложных информационных системах необходима разработка соответствующей модели данных [1-3]. В качестве такой модели данных предлагается использовать
паранепротиворечивую интуитивную нечеткую модель данных. Рассмотрим
паранепротиворечивые интуитивные нечеткие отношения.
Обобщим нечеткие отношения как, чтобы иметь возможность назначить меру веры и меру сомнения каждому кортежу. Такие обобщенные нечеткие отношения можно назвать как паранепротиворечивые
интуитивные нечеткие отношения.
Кортежу в паранепротиворечивом интуитивном нечетком отношении назначим меру < а, Ь>,0 £ а, Ь < 1, где а -коэффициент доверия, Ь - коэффициент сомнения. Интерпретация этой меры, будет следующее: кортеж находится в отношении с уверенностью а и с сомнением р.
В отличие от нечетких отношений, где степень членства кортежа установлена, паранепротиворечивые интуитивные нечеткие отношения связывают степень членства кортежа с интервалом [а,1 - /3] для случая
а + Ь < 1.
Операторы на нечетких отношениях могут также быть обобщены для
паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений.
Формализуем понятие пара-
непротиворечивого интуитивного нечеткого
Коршиков Сергей Николаевич - ТГТУ, соискатель, e-mail: gromov@is.tstu.ru
Малик Дмитрий Олегович - ТГТУ, соискатель, e-mail: gromov@is.tstu.ru
Родин Владимир Валентинович - ТГТУ, соискатель, e-mail: gromov@is.tstu.ru
Гребенникова Наталия Ивановна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: g-naty@yandex.ru
отношения. Обозначим т(Е) набор всех кортежей на любой схеме S .
Определение 1. Паранепротиворечивое интуитивное нечеткое отношение R на схеме S является любым отображением R :t(S) ® [0,1] х [0,1]
Для любого t е t(S) обозначим R(t) =< R(t)+, R(t) >, где R(t) + является коэффициентом доверия, назначенным на t к R, и R(t)- - коэффициент сомнения,
назначенный на t к R . Обозначим набор всех паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений на S как V (S) .
Определение 2. Паранепротиворечивое интуитивное нечеткое отношение R на схеме S является непротиворечивым, если
R(t) + + R(t) < 1, для всех t е t(S) .
Пусть C (S) набор всех непротиворечивых паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений на S. Кроме того, R является законченным, если R(t) + + R(t) > 1, для всех t е т(Е). Если R является и непротиворечивым и законченным, то есть R(t) + + R(t) = 1, для всех t е t(S) , в этом случает это - полное паранепротиворечивое интуитивное нечеткое отношение. Пусть T (S) набор всех полных паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений на S . R является псевдонепротиворечивым, если
выполняются условия
max R(ti)+ + max R(ti)- > 1,
R(ti)+ + R(tt )-= 1,
для некоторых tt е г(Х), tf имеют те же
самые значения на S с различным коэффициентом уверенности и коэффициентом сомнения для всех других t е т(Е),
R(ti) ++ R(ti)-< 1. Пусть P(S) набор всех псевдонепротиворечивых
паранепротиворечивых интуитивных нечетких
отношений на Е .
Отметим, что псевдонепротиворечивое паранепротиворечивое интуитивное нечеткое отношение - это подкласс непротиворечивого паранепротиворечивого интуитивного
нечеткого отношения.
Нужно заметить, что полные паранепротиворечивые интуитивные нечеткие отношения - это чрезвычайно нечеткие
отношения, где неопределенность в степени членства устранена. Сделаем эти отношения явными, для чего определим взаимно-
однозначное соответствие:
4 : Т(Е) ® Г(Е),
где ЛЕ (Я)(ґ) = Я(ґ) + для всех ґ є т(Е) .
Легко заметить, что
паранепротиворечивые интуитивные нечеткие отношения - это обобщение нечетких
отношений, так для каждого нечеткого отношения есть паранепротиворечивое интуитивное нечеткое отношение с тем же самым объемом информации, но не наоборот. Таким образом, естественно думать об обобщении операций на нечетких отношениях к паранепротиворечивым интуитивным нечетким отношениям.
Разработаем структуру для операторов на обоих видах отношений и введем два различных понятия обобщения отношений среди их операторов.
п-мерный оператор на нечетких отношениях с сигнатурой (Е1з..., Еп+1) является функцией
0 : Г(Ег)х...хГ(Е„) ® Г(Еп+і),
где < Еі,...,Еи+1 > являются любыми схемами.
Точно так же п-мерный оператор на паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях с сигнатурой <Еі,...,Еи+1 >
является функция
¥ : V(Еі)х...XV(Е„) ® V(Еи+1).
Определение 3. Оператор ¥ на паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях с сигнатурой <Еі,...,Еи+1 >
является полным, если для любых полных паранепротиворечивых интуитивных нечётких отношений Я1з..., Яп на схемах Е1з..., Е п
¥ (Я1,..., Яп ) является также полным.
Определение 4. Оператор ¥ сохранения всего количества на паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях с сигнатурой <Е і,..., Е п+1 > есть слабое
обобщение оператора 0 на нечетких отношениях с той же самой сигнатурой, если для любых полных паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений Яг,...,Кп на
схемах 21,...,Еп.
Соответственно, имеем ^ (¥№,...,яп)) = 0(1 (Я1),..Ап (Кп)) .
Вышеупомянутое определение по существу требует, чтобы ¥ совпал с 0 на полных паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях. Следует отметить, что может быть много операторов на паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях, которые являются слабыми обобщениями данного оператора 0 на нечетких отношениях. Поведение слабых обобщений 0 на даже просто непротиворечивых паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях может вообще измениться. Следует разработать более сильное понятие оператора обобщения. Однако до этого, необходимо рассмотреть само «представление» паранепротиворечивого
интуитивного нечеткого отношения.
Свяжем с непротиворечивыми
паранепротиворечивыми интуитивными
нечеткими отношениями К набор всего общего количества паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений, доступных от К .
Пусть отображение гвр$Е : С(Е) ® 2р(Е) представлено как
терЧ(К) = {2 е ^(Е) | Л (К(*1)+ < 2(Ь) < 1 -)-)}
1,ет(Е)
Представители набора геръЕ содержат все нечеткие отношения, которые являются «завершениями» непротиворечивого
паранепротиворечивого интуитивного
нечеткого отношения К . Заметим, что представители repsЕ определены только для непротиворечивых паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений и производят наборы нечетких отношений. Тогда имеем.
Суждение 1. Для любых
непротиворечивых паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений К на схеме Е, repsЕ (К) являются единичным предметом
{1 (К)}.
Доказательство. Это ясно из
определения непротиворечивого и полного паранепротиворечивого интуитивного
нечеткого отношения и из определения операции ггръ^.
Расширим операторы на нечетких отношениях к наборам нечетких отношений. Пусть для любого оператора
0 : Г(Е і) X... X Г (Е п) ® Г(Е п+1) на нечетких
отношениях S(0) : 2Г(Е1) X...X2Г(Еп) ® 2Г(Еп+1) будет отображением на наборах нечетких отношений. Для любого набора М1,...,Мп
нечетких отношений на схемах Е1,...,Еп
S(©)(M1,...,Mn) = {©(Rl,...,Rn) | R. є Mi,для всех i,1 <і< n}
Другими словами, $(0)(М1,...,Мп) - это набор 0 -изображений всех кортежей в декартовом пространстве М1,...,Мп .
Выведем более сильное понятие обобщения оператора.
Определение 5. Оператор ¥ на паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях с сигнатурой <Е1,...,Еп >
является сохранением последовательности, если для любых непротиворечивых паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений Я1,..., Яп на схемах Е1,..., Еп,
¥ (Я,..., Яп ) является также
непротиворечивым.
Определение 6. Оператор ¥ сохранения последовательности на паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях с сигнатурой <Е1,...,Еп > является сильным
обобщением оператора 0 на нечетких отношениях с той же самой сигнатурой, если для каких-нибудь непротиворечивых паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений Я1,...,Яп на схемах Е1,...,Еп, имеем ГЄР*Е И+1(Y(Я1,..., Яп )) = $ (0)(repSЕl(Rl),..., ГЄр&Е„ (Я„ )) .
Учитывая оператор 0 на нечетких отношениях, поведением слабого обобщения
0 «управляют» только по полным
паранепротиворечивым интуитивным нечетким отношениям. С другой стороны, поведением сильного обобщения «управляют» по всем -непротиворечивым паранепротиворечивым интуитивным нечетким отношениям. Это предполагает, что сильное обобщение - более сильное понятие, чем слабое обобщение. Следующее суждение доказывает это.
Суждение 2. Если ¥ - сильное обобщение
0 , то ¥ - также слабое обобщение 0 .
Доказательство. Пусть <Е1,...,Еn > является сигнатурой Y и ©, и пусть Rl,... , Rn
любые полные паранепротиворечивые интуитивные нечеткие отношения на схемах Е1,...,Еn, соответственно. Tак как все полные отношения являются непротиворечивыми, и Y - сильное обобщение © , то мы имеем
reps Е n+1 ( Y (Rn )) = S (Q)( reps Е1 (^Х.^ reps Е n (Rn ))
Суждение l говорит, что для каждого ,
1 < i < n i, repsY^ (Ri) являются набором
единичного предмета {ЛЕі (Ri)}. Поэтому,
S(©)(repSЕl (Rl),..., г^еn (Rn )) является
просто набором единичного предмета: {©(1sl(Rl),...,1s n (Rn)}.
Здесь, Y (R1,..., Rn ) является полным, и
l n+l(Y( Ri,..., Rn )) ={©(1еі( Rl),...,1s n (Rn )},
то есть Y - слабое обобщение.
Хотя может быть много сильных обобщений оператора на нечетких отношениях, они все ведут себя одинаково, когда ограничены непротиворечивыми
паранепротиворечивыми интуитивными
нечеткими отношениями. Предложенные обобщенные операторы на
паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях соответствуют интуиции системы веры паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений.
Введем два специальных оператора (разбиение и объединение) на
паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношениях.
Определение 7 (разбиение). Пусть R будут паранепротиворечивыми интуитивными нечеткими отношениями на схеме Е . ^гда,
A(R) = {ti є R|(R(ti)++ R(ti)- > 1)л(A(R)(t.)+ = R(tt)+лRft)- = 1 -R(t,)+ vAR(t.)+ = = 1 - R(ti)- л AR(t.)- = R(ti)- ) v R(ti)+ + R(ti)- < 1) л (A(R)(t.)+ = R(t.)+ л AR(t.)- = R(t.)- }.
Очевидно, что А(К) является Определение 8 (объединение). Пусть К
псевдонепротиворечивым, если К паранепротиворечивое интуитивное нечеткое
непоследователен. отношение на схеме Е . Тогда,
D(R) = {ti е R | ("г )(D(R)(ti)+ = max(R(tt)+) л (A(R)ft)- = max(R(t,)-)}
Очевидно, что АК непоследовательно, если К является псевдонепротиворечивым.
Отметим, что сильное обобщение, определенное выше, подходит только для непротиворечивых или
псевдонепротиворечивых паранепро-
тиворечивых интуитивных нечетких отношений. Для любых произвольных паранепротиворечивых интуитивных нечетких отношений в первую очередь необходимо использовать операцию разбиения, чтобы преобразовать их в весьма непротиворечивые паранепротиворечивые интуитивные нечеткие отношения, а затем применить операции, определенные в статье «Моделирование
данных в информационных системах на основе нечетких отношений» и данной статье, для преобразования результата в произвольное паранепротиворечивое интуитивное нечеткое отношение.
Литература
1. Громов Ю.Ю. Дидрих В.Е., Дидрих И.В., Мартемьянов Ю.Ф., Драчев В.О., Однолько В.Г. Информационные технологии: учебное пособие. Тамбов; М.; СПб; Баку; Вена: Изд-во «Нобелистика», 2010.-130с.
2. Громов Ю.Ю., Земской Н.А., Лагутин А.В., Иванова О.Г., Тютюнник В.М. Системный анализ в информационных технологиях. Учебное пособие. -Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. - 176 с.
3. Когаловский М.Р. Перспективные технологии информационных систем. - М.: ДМК Пресс, 2003. - 288 с.
Тамбовский государственный технический университет Воронежский государственный технический университет
APPLICATION OF THE INDISTINCT CONSISTENT RELATIONS WHEN MODELLING
INFORMATION SYSTEMS
S. N. Korshikov, D.O. Malik, V.V. Rodin, N.I. Grebennikova
In work the indistinct relations which are the fundamental mathematical structures underlying offered paraconsistent intuitive indistinct model of data are entered. The model is used when modeling information systems
Key words: information system, model of data, paraconsistent indistinct relations
