CC BY
43
УДК 612.111:577.4 А.А. Машанов, О.В. Шестернева
ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ПРОНИ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ АДАПТАЦИИ МЕТАБОЛИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЛИМФОЦИТОВ КРОВИ ЧЕЛОВЕКА К НОВЫМ ЭКОЛОГИЧЕСКИМ УСЛОВИЯМ
В статье описан метод математического анализа состояния гомеостатической системы организма в сложных экономических условиях на основе исследования динамики показателей системы, отражающих реакцию организма на внешнюю среду и описываемых линейным дифференциальным уравнением конечного порядка.
Ключевые слова: человек, кровь, лимфоциты, экология, математический анализ.
A.A. Mashanov, O.V. Shesterneva MODIFIED PRONI METHOD APPLICATION FOR THE ADAPTATION DYNAMICS ANALYSIS OF METABOLIC PARAMETRES OF THE MAN BLOOD LYMPHOCYTES TO THE NEW ECOLOGICAL CONDITIONS
Method of the mathematical analysis of an organism homeostatic system condition in difficult economic conditions on the basis of research of the system indicators dynamics reflecting reaction of an organism to an environment and described by the linear differential equation of a final order is described in the article.
Keywords: man, blood, lymphocytes, ecology, mathematical analysis.
Фундаментальное положение об единстве организма и среды, обоснованное И. М. Сеченовым, явилось основополагающим в развитии учения об адаптации. Способность к адаптации - фундаментальное свойство любых живых систем на любом уровне их организации, основное свойство и условие жизни [8].
В соответствии с этой концепцией неадекватные факторы среды обуславливают формирование в высших нервных центрах опережающей стратегии поведения на основе оценки вероятных морфофункциональных и энергетических изменений в организме. Именно последнее является важным фактором в выборе дальнейшего поведения биосистемы, которая опережающе оценивает не только возможные варианты поведенческих реакций, но и вероятную меру морфофункциональной «платы» за их реализацию. Постоянное сопоставление этих двух прогнозируемых программ и определяет оптимальный выбор адаптивного поведения организма (Казначеев В.П., 1986). Ф.З. Меерсон (1988) утверждал, что приспособление реакций всегда носят интегральный системный характер [5; 6].
Адаптационный синдром сопровождается напряженным функционированием гомеостатических систем. Результатом адаптации может явиться формирование нового уровня гомеостаза.
Адаптационные процессы как ответ на изменение экологической ситуации развертываются на самых различных уровнях биологических систем.
Для установления некотрых механизмов адаптациинных поцессов в ответ на изменение экологических условий было проведено комплексное исследование практически здоровых мужчин 18-25 лет, прибывающих в Заполярье.
Полученные в результаты исследования данные обрабатывались методом Прони, описывающим динамические характеристики изучаемых параметров.
Описание динамики структурно-метаболических парметров лимфоцитов крови с помощью метода Прони
Изучение динамических характеристик различных сторон гомеостаза является важным критерием при оценке функционального состояния организма в целом. Значительный интерес при этом представляет анализ состояния гомеостатических систем организма в сложных экологических условиях, в частности, при воздействии на организм экстремальных условий Крайнего Севера.
Одним из распространенных математических методов при исследовании динамики биологических процессов является аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений. К подобным моделям приводят, например, релаксационные исследования биофизических систем, причем вблизи состояния равновесия системы это может быть класс линейных дифференциальных уравнений, как правило, не очень высокого по-
рядка. Подобным релаксационным характером обладает и ряд показателей гомеостатических систем, отражающих реакцию организма на внешнюю нагрузку. Поэтому естественным представляется при исследовании динамических характеристик гомеостаза применение указанного математического аппарата.
В данной статье описан метод математического анализа состояния гомеостатической системы организма в сложных экологических условиях на основе исследования динамики показателей системы, отражающих реакцию организма на внешнюю нагрузку и описываемых линейным дифференциальным уравнением конечного порядка.
Пусть динамика показателя гомеостатической системы описывается линейным дифференциальным уравнением вида
8т + а1ё” + а2§' + азё = а1’ (1)
где д(1) - исследуемый показатель системы; а, 1=1,2,3,4 - вещественные постоянные, такие, что у соответствующего характеристического уравнения все корни либо отрицательные, либо отрицательна их вещественная часть, если они комплексно-сопряженные. Эти случаи соответствуют гомеостатическому характеру исследуемого показателя и могут, в частности, задаваться условием вида
1пп g(t) = g(aО) = £(0) , (2)
?—>С0
т.е. динамический параметр биологического процесса в гомеостатической системе, отклонившись от начального (оптимального) уровня, стабилизируется с течением времени к прежнему уровню.
Условие (2) указывает, кроме того, на существование постоянного решения уравнения (1) вида: до=а4/аз=д(0), аз+0 (проверяется непосредственной подстановкой). Тогда можно считать, что а4=0, д(0)=0, т.е. в дальнейшем будем рассматривать в качестве исходного дифференциальное уравнение вида
ё"’ + сг^п + сг= О, д{0)=д{°°)=0. (3)
При этом д(1) будет динамическим параметром, характеризующим, например, отклонение в момент времени I некоторого показателя гомеостатической системы от исходного уровня д0.
В зависимости от вида корней характеристического уравнения дифференциальное уравнение (3) бу-
дет иметь следующие решения:
g-(7) = A(eKt — екъ*) -+- В(е^г — екъ*), (4)
S(f) = — ек* ) -+- Btek*, (5)
g(0=(A + B0tekt, (6)
g(ty = Aea t sin /3t H- B(ekt - ea t cos (7)
git} = Aea t sin у3t + B(ea t cos /3t — ekt), (8)
где А, В, к/,у=1,2,3; к, а, в - вещественные постоянные; к<0; к<0, а<0, А+ВФ0, А+0, ВФ0, причем в соотношениях (7),(8) будет к<а и к>=а соответственно. Кроме того, предполагается, что в этих же соотношениях
0<И<^, где Ь>0.
Пусть 0={д(1)} - решения дифференциального уравнения (3), образующие класс функций, удовлетворяющих наложенным выше ограничениям; 0,1=1,...,5 - подклассы класса 0, соответствующие функциям вида (4)-(8).
Введем в рассмотрение некоторый вектор р=(р1,р2,рз) е Я3, координаты которого являются коэффициентами кубического уравнения
23+Р122+Р21+Рз=0, (9)
а дискриминант для этого уравнения будет, как известно,
п (Р2. А2 43 ,Р\ РхРг . Р3
^ ^ 3 6 2 ’
для «неполного» кубического уравнения у3+ау+Ь=0 дискриминант равен
Теоретическое обоснование метода исследования динамики показателей гомеостатической системы организма осуществлено из различных интерполяционных свойств экспоненциально-гармонических функций, являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами [5]. При получении этих результатов для случая дифференциальных уравнений 3-го порядка была использована идея метода Прони.
Алгоритм математического прогноза динамики показателей гомеостатической системы
Новая модификация метода аппроксимации Прони положена в основу построения алгоритма математического прогнозирования динамики показателей гомеостатической системы [1; 2].
Предполагается, что исследуемый процесс описывается классом целых функций, являющихся решениями линейного дифференциального уравнения вида
gn + а^" + а2^' + а3£ = О, д(0)=д(°°)=0. (10)
Данный алгоритм предназначен для расчета неизвестных параметров теоретической кривой прогноза динамики исследуемого процесса по исходному дискретному набору клинико-лабораторных наблюдений, проведенных через равные промежутки времени.
Итак, пусть известен набор (вектор) У=(Уо, VI,..,Уы), N>=5 лабораторных данных, где Ук - либо значение динамического показателя гомеостатической системы, описываемой уравнением вида (10) в момент времени tk=kh, к=0,1,..,Ы ( Н>0 - фиксированный временной шаг), либо его среднее значение, если изучается однородная группа людей. Положим f=(fо, и,---М, где !к=Ук-Уо, к=0,1,..,Ы. Тогда на основании интерполяционной теоремы расчет неизвестных параметров функции класса в, описывающих исследуемый процесс, можно представить в виде следующих этапов:
1. Методом наименьших квадратов (МНК) определим вектор р*=(р1*,р2*,рз*), минимизирующий функционал
N-3
Ф(Р)=Х(/к+3 +АЛ+2 + Р2/к+1 +РзЛ)\ (11)
к=О
отражающий невязку разностного аналога дк+з+Р1 дк+2+Р2дк+1+рздк=0, к=0,..,Ы-3 дифференциального уравнения (10) при значениях fk=д(kh), к=0,1,..,Ы, до=0 [3; 4].
Ф(р)=0 тогда и только тогда, когда набор исходных данных удовлетворяет соотношению fk+з+P1 fk+2+ Р2 fk+1+pз fk=0, к=0,1,..,Ы-3, т.е. f допускает интерполяцию классом целых функций в.
2. В случае, когда N велико, система линейных уравнений (11) может быть плохо обусловленной. Тогда неизвестные параметры теоретической кривой прогноза можно определить следующим способом.
На основе найденного вектора р* по интерполяционной теореме определяем конкретный вид экспоненциальной или экспоненциально-гармонической функции д($ Е в/. Неизвестные параметры А, В этой функции могут быть найдены из условия минимума функционала, построенного в соответствии с видом корней многочлена
Т-\/ -ч 3 *2 * *
Р{2) = 2 +РХ2 +р2г + ръ. (12)
При этом могут быть следующие случаи:
а) если корни многочлена (12) вещественные и различные равны, например, т, ]=1,2,з, то, считая для определенности 21<22<1з, находим неизвестные постоянные А, В из условия минимума функционала
ТУ
&,( А, В) = £ А( < -<2 ) + В( -2 )-/,
2=1
а вещественные коэффициенты к будут к=^ 1п т, ]=1,2,з;
б) если корни многочлена (12) вещественные и среди них есть кратные, то соответствующие функционалы минимизации имеют вид
w2 ( а, В) = ]Т А( <[-< 2) + В-2- Х- ^
/=1
когда один из корней имеет кратность два, либо
(А, В) = X (А + ^,
*=1
когда корень многочлена (12) единственный и имеет кратность три. При этом постоянные к в соотношениях (5) и (6) будут соответственно кФ11п т, где 21,22 либо Т1 - корни многочлена (14); Ь>0 - временной шаг;
в) если многочлен (1 2) имеет комплексно-сопряженные корни, то функционалы минимизации будут
равны
Ж4( А, В) = ЪА х1 ею//? + В{г1 —х1 соы{3) — ^
/—1
при k<a\ k=h~1ln z; a=h~1ln x, где z - вещественный корень; x(cos /ЗЛ± / sin /3h) - комплексно-сопряженные корни многочлена P(z) (здесь i2=-1). В случае же k>a
ЛГ
W (A,, B) = ZA x' sin ip + B(x' COS ip — z' ) — ft
i=1
Тем самым полностью определяются параметры функции вида (7) или (8).
Рассмотренным способом расчета неизвестных параметров функций g(t) класса G осуществляется теоретический прогноз динамики исследуемого гомеостатического процесса в каждый момент времени t>0, т.е. теоретическую кривую прогноза построить как для наблюдаемого, так и для ненаблюдаемого временного интервала.
3. В том случае, когда нет гипотезы о виде линейной модели исследуемого процесса, используем имитационный подход. Вначале вектор исходных данных f аппроксимируется решениями линейного дифференциального уравнения 2-го порядка аналогичного уравнению (3). Затем решениями дифференциального уравнения 3-го порядка. Далее выбираем модель гомеостатического процесса.
4. Если N=5, то исходные кпинико-лабораторные данные можно принять за теоретические, а вектор
р =\Pi ,Р2>Рз) определить из системы 3-линейных разностных уравнений из соотношения (11).
Таким образом, построенный алгоритм дает, как правило, единственную теоретическую кривую прогноза динамики исследуемого показателя гомеостатической системы по известным лабораторным данным.
По исходным клинико-лабораторным данным были построены модели, отражающие динамику гомеостатических показателей. В качестве модели было выбрано дифференциальное уравнение третьего порядка, параметры которого определялись по модифицированному методу Прони.
Полученная теоретическая кривая прогноза динамики лактата описывается уравнением следующего
вида:
g(t) = 9,2\е-°^вп + <-0,2021 6yas/-1,9123/,J +3,6771 л7/7Г-1,923/, /^0 2Ж8 '' -5,6017.
На рисунке 1 представлены исходные данные (выборочные значения, объем выборки составлял 13 точек) и поведение полученной модели лактата. Среднеквадратичная ошибка моделирования составила 1,0044.
1х -Д.
s i=i
где g(ti) - теоретическая кривая прогноза динамики исследуемого показателя; f - выборочные данные; s - объем клинико-лабораторных данных.
Исследования выявили моделирование наиболее информативных структурно-метаболических показателей лимфоцитов крови адаптации к условиям Крайнего Севера.
Рис. 1. Теоретическая и практическая кривая динамики адаптации структурно-метаболических показателей лимфоцитов (лактатдегидрогеназа)
На рисунке 2 представлены исходные данные (выборочные значения, объем выборки составлял 13 точек) и поведение полученной модели свободных жирных кислот. Среднеквадратичная ошибка моделирования составила 3,8001.
g(t) = —1,2475е-0403:ш + 0,2082cos(l, 2958793181446974314t
—0,4139sin(l, 295879318114469743145?)) х е
0,2140586594713150677/
+ 2,7004.
■(-++ Высорка (13 точек)
Рис. 2.. Теоретическая и практическая кривая динамики адаптации структурно-метаболических показателей лимфоцитов (свободных жирных кислот)
Выводы
На основе изучения структурно-метаболических параметров лимфоцитов крови человека можно выявить общие закономерности и особенности течения адаптивных реакций.
Построены модели, отражающие динамику гомеостатических показателей. В качестве модели было
выбрано дифференциальное уравнение третьего порядка, параметры которого определялись по модифицированному методу Прони.
Литература
1. Маергойз, Л.С. О методе гармонического разложения Прони / Л.С. Маергойз, Б.Н. Варава // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. - Красноярск, 1996. - С. 86-94.
2. Maergoiz, L.S. A Method Identifying Homeostasis Relaxation Characteristics / L.S. Maergoiz, B.N. Varava // Asimptotic Characteristics of Entire Function and Their Application in Mathematics and Biophysics. Kluwer Academic Publisher. - Dordrecht, Boston, London, 2003. - P. 69-83.
3. Маергойз, Л.С. Взаимосвязь линейных дифференциальных и разностных уравнений третьего порядка с постоянными коэффициентами / Л.С. Маергойз, Б.Н. Варава // Комплексный анализ и дифференциальные операторы. - Красноярск, 2000. - С. 80-84.
4. Маергойз, Л.С. Об одном математическом подходе к анализу процессов в экологической физиологии / Л.С. Маергойз, Б.Н. Варава, В.Т. Манчук // Общие проблемы экологической физиологии. - Сыктывкар, 1982. - С. 92-93.
5. Казначеев, В.П. Адаптация и конституция человека / В.П. Казначеев, С.В. Казначеев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 118с.
6. Меерсон, Ф.З. Адаптация к стрессорным ситуациям и физическим нагрузкам / Ф.З. Меерсон, М.Г. Пшенни-кова. - М.: Медицина, 1988. - 254 с.
7. Маейргойз, Л.С. О методе гармоничного разложения Прони / Л.С. Маейргойз, Б.Н. Варавва // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. - Красноярск, 1996. - С. 86-94.
8. Сеченов, И.М. Лекции по физиологии / И.М. Сеченов. - М.: Медицина, 1975. - 230 с.
