Применение модели вязкого течения пористой среды к описанию процесса спекания порошковых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Таким образом, части упругой линии, соответствующие одинаковым значениям переменной с, проектируются в один кусок проекции.

Следствие 3. Если уравнение для угла а не имеет неинтегрируемых особенностей, то длина проекции упругой линии не превышает некоторой фиксированной величины при любых значениях дуговой координаты.

Пример. Для иллюстрации теоремы 1 рассмотрим решение Лагранжа. При условии Ь + ¡38 = 0 в обозначениях работы [3] уравнение проекции имеет вид

р2 =4п2(к + Ь2-р2+а), ^ = (р8-Ь)/2п(8 + а) (14)

£ = ^(8 + о)(1-о2)-(к-р8)2 (15)

При условии Ь + ¡38 = 0 подкоренная функция имеет корни

а0 = (-р2 - -4РЧ + 4)/2, о-! = -5, а2 = (-£2 + - 4¡34 + 4)/2.

Переменная с в решении Лагранжа введена вместо угла нутации 9: а = созв. Областью определения для уравнений (14) и (15) служит отрезок а1< а < а2, на концах которого эти уравнения удовлетворяют условию теоремы 1. В работах [1,2] присутствуют случаи, когда выполняются условия каждой из приведенных теорем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горр, Г. В., Илюхин, А. А., Ковалев, А. М. Савченко, А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. - Киев.: Наукова думка, 1984. - 288 с.

2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев.: Наукова думка, 1979. - 216 с.

3. Николаи, Е. Л. К задаче об упругой линии двоякой кривизны. - Петроград. - 1916. - 200 с.

В.Н. Сёмин, С.А. Донских, В.Н. Котов

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССА СПЕКАНИЯ ПОРОШКОВЫХ СИСТЕМ

Аннотация. Рассмотрено применение модели вязкого течения пористого тела к описанию процесса спекания железного и никелевого порошков. Рассчитаны кинетические константы процесса изотермического спекания для этих систем. Дана интерпретация значений энергии активации температурной зависимости кинетики уплотнения.

Ключевые слова: кинетика усадки, вязкое течение, энергия активации спекания.

V.N. Semin, S.A. Donskikh, V.N. Kotov

APPLICATION OF THE MODEL OF VISCOUS FLOW OF A POROUS MEDIUM TO DESCRIBE THE PROCESS OF SINTERING OF POWDER SYSTEMS

Abstract. The application of models of viscous flow of a porous body to the description of the sintering process of iron and nickel powders. Calculated kinetic constants of the process of isothermal sintering for these systems. The interpretation of the values of the activation energy the temperature dependence of the kinetics of compaction.

Keywords: kinetics, shrinkage, viscous flow, the activation energy of sintering.

В наиболее общей форме движение порошковой прессовки к состоянию термодинамического равновесия определяется уравнением:

. . . ... +

J Psdv = -J jsadLa + J© sdv

дt „

V Ь V

Выражение производства удельной энтропии для п-компонентной системы, в которой возможны процессы диффузии и теплопроводности, вязкие потоки, химические реакции, имеет вид:

ГЛ ^ А 1 ^ Л^г д¥оа Р г 1 ^

©, = -X -~тг + тЛуГо — т £ •

Согласно идеям Я.И. Френкеля [9], кинетика процесса самопроизвольного уплотнения при спекании порошковых систем определяется скоростью вязкого течения спекаемой среды, что соответствует составляющей:

© =-

ар

д¥„,

Т дХ

р (1)

Развитие этой идеи в рамках модели вязкого течения пористой среды, разработанной Абрамовичем Т.М. и Дорожкиным Н.Н. [2], позволило получить кинетическое уравнение в виде уравнения Маккензи-Шаттлворса:

dZ k ,

-7 = — dt

1 + Z3 3

(2)

где

3 4пп 1 а

к = — (-) 3

2 3 ' Л т

(3)

Обобщение на случай, когда система представляет собой «раствор» двух подсистем, что имеет место при жидкофазном спекании, предполагает представление кинетического параметра в виде

к = КА + к2f2 ,

где к и к2- параметры, характеризующие подсистемы; f2- их объемные доли, при ^ = f0 е х, f2 = 1 — f0 е х, f0 - объемная доля более активной подсисте-

этом

мы в начальный момент, X - величина, обратная характеристическому времени процесса усадки при спекании. Уравнение (2) в этом случае преобразуется к выражению

1, 1+Z3

-1п--

2 (1 + Z )3

— ^33(аг^ Щ-1 — аг^ = ^(к1 к2) (1 — е ~х>) + кгХ •

л/3

Л

X

(4)

Оно было применено к расчету экспериментальных кривых относительной объемной усадки стальных [5] и никелевых [4] порошков при различных температурах. В обоих случаях установлена линейная зависимость 1п кх от обратной температуры, что позволяет описать данные

температурные зависимости уравнением Аррениуса к1 = А1е КТ и рассчитать энергию Еак в каждом случае. В качестве примера график этой зависимости для никелевого порошка приведен на рисунке 1.

ьк1

3 -1

0.3 0.9 1.0 1.1 1.2 1ГГ10,К

Рис. 1 График линейной зависимости 1пК1 от обратной температуры для никелевого порошка

Кинетические параметры спекания приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Кинетические параметры спекания железного и никелевого порошков

Т,0С Кь с-1 К2, с-1 Еак, кДж/моль

Железо 1062

1200 2,9-10-4 3,0-10-5

1220 14,2-10-4 15,4-10-5

1230 38,7-10-4 19,0-10-5

Никель 62

900 5,45-10-4 2,43-10-5

800 3,77-10-4 1,27-10-5

700 1,79-10-4 0,28-10-5

600 0,84-10-5 0,29-10-5

500 0,53-10-5 0,21-10-5

Авторы [7] на основе метода изоординатных сечений показали, что для многих порошковых систем температурная зависимость кинетики уплотнения характеризуется значениями энергии активации Еак, которые близки энергиям активации объемной либо зернограничной диффузии. В случае железа (таблица 1) Еак превышает энергию активации коэффициента диффузии приблизительно в семь раз, а в случае никелевого порошка она приблизительно в два раза меньше. Одним из факторов такого несовпадения может быть то, что в модели вязкого течения пористой среды не учитываются процессы на границах зерен. С целью подтверждения этого положения модель применили для описания усадки пористых кварцоидных стекол [8] . Кинетические константы для этого случая представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Значения К1 при спекании пористого кварцоидного стекла

Т0С 820 840 850

К1 , с-1 1,41 10-5 4,30 10-5 9,28 10-5

ьк

-10

0.90

0.91

1ГГ 10 , к

.-1

Рис.2. График линейной зависимости 1пК1 от обратной температуры при спекании пористого кварцоидного стекла

Как следует из графика на рис.2, линейный характер зависимости имеет место и для усадки стекол. При этом значение энергии активации Еак процесса уплотнения составило порядка 140 ккал/моль, что достаточно близко совпадает с энергией активации вязкого течения кварцоидного стекла (130 ккал/моль [8]). Совпадение этих значений свидетельствует о правильности гидродинамической модели и раскрывает физический смысл k1.

При анализе кривых усадки кварцоидных стекол было замечено (таблица 3), что во временном интервале от 15 до 60 минут изменение объема при всех трех изотермах происходило по закону, близкому к экспоненциальному к = У0 е , тогда

а1 3

а

и = - - ^ .

(5)

Таблица 3

Зависимость значений константы а от температуры

К' = хое

t ч 0.25 0.50 1.00 Т

У Уо 0.96 0.92 0.85 820С0

а=Ьп( -0.163 -0.166 -0.163

У Уо 0,91 0.82 0.69 840С0

а=Ьп( - 0.377 -0.397 -0.367

У Уо 0,86 0,72 850С0

a=Ln( - 0,603 -0,567 -

Это позволило полагать, что в указанном временном интервале усадка имеет характер, близкий к всестороннему равномерному сжатию, а процесс уплотнения при нагревании можно рассматривать как вязкое течение матрицы, сопровождающееся уменьшением объема пор. Пористое вещество в этой новой модели обладает сдвиговой ^ и объемной С вязкостью , а тензор напряжений может быть представлен в виде:

ди- ди. 2 (6)

=л[(—- +--'-) — divv] + С8 -divv,

' дх1 дк/ 3 ' '

где п = П^1(П), С = g2 (П) , g1 и g2 - некоторые функции пористости. Из (5) и (6) следует,

что

п

а 1} = = —. (7)

п

Выражение (7) имеет паскалевский вид а ^ = — , откуда р = £ —. Полагая, что определяющим фактором спекания является стремление системы уменьшить свободную поверхност-

2а 6а ^

ную энергию, можем записать выражение для давления в виде р =--, откуда п =-. Полагая а = атО(I ), R = R0¥(I ) , £ = 7mg2 (I ) , приходим к выводу:

6а = 6атУ( 1 )

RoЛmW(I )g2 (I )

Из того, что = п = nmst , следует, что Ф(П) = ь, где Ь - постоянная величина; ^ ¥( П ) g 2 ( П)

6а , , -Ь = а.

таким образом,

(9)

Из величин, входящих в левую часть (9), от температуры зависит сдвиговая вязкость матЕ

рщы 7т = ЛтаеКТ , тогда

6 — Е — Е а = -6а^Ье~^ = аое. (10)

Ка7та

Учитывая данные о значениях ст и Я,, приводимые в [8], можно из (10) определить Е и пто , так Е=90 ккал/моль, при этом пто=2,2 1011пз, что хорошо согласуется с данными работы [3]. Сравнение (3) и (9) позволяет утверждать, что Еак должна соответствовать энергии активации вязкого течения. Это положение подтверждается в работе [6], в которой модель [2] используется для описания кинетики спекания оксидной ванадиевой бронзы, модифицированной боратным стеклом; приводятся зависимости энергии активации К1 от температуры стеклования. Из них следует, что при низких Tg (жидкая прослойка играет определяющую роль) энергия активации К1 совпадает с энергией активации вязкости соответствующего стекла. При более высоких значениях температуры различия в значениях энергий активации все более возрастают (влияют процессы, возникающие при контакте зерен между собой). Этот результат в рамках [2] объясняется при рассмотрении диссипативной функции « раствора», которую можно представить в виде суперпозиции диссипативных функций подсистем

¥ = /т + /2^2,

откуда следует формула

1=А+А. (11)

7 71 72

Для систем, у которых эффекты на границах зерен отсутствуют (достаточное количество жидкой фазы) либо зерен нет (пористое стекло), вязкость системы определяется В случае спекания порошковых систем с отсутствием достаточного количества жидкофазной прослойки вязкость системы ^ определяется как так и (модельная среда, свойства которой определяются многими факторами). Похожие закономерности возникают при изучении процессов миграции зерен. Оценки показывают, что во многих случаях экспериментальные данные по энергии активации в уравнении скорости миграции намного превышают их значения, диктуемые моделью миграции с помощью единичных переходов атомов. Мотт [1] предложил свой механизм миграции, связанный с конкретной структурой границ. По Мотту, число атомов в группе п - размер структурного элемента границы, которая при своем движении «расплавляет» группу в п атомов на стороне исчезающего зерна и «кристаллизует» такую же группу на стороне растущего зерна. Сочетание процесса переноса с плавлением позволяет записать выражение для энергии активации в виде Е = пЬ, где Ь - скрытая теплота плавления. В случае спекания железных и никелевых порошков основными факторами, влияющими на процесс вязкого течения, являются соотношение между поверхностными энергиями твердого и жидкого металлов и на их межфазной границе; микрорельеф твердой поверхности, состояние поверхности твердого металла (наличие окисных пленок). Особую роль играет степень смачивания твердого металла жидким и образования жидкой фазы в

виде тонкой смачивающей прослойки на поверхности твердой фазы. Наличие и свойства жидкой фазы, вероятно, и определяют значения Еак в модели вязкого течения пористой среды.

ЛИТЕРАТУРА

1.Бокштейн, Б.С., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. - М : Металлургия, 1986. - 224 с.

2. Дорожкин ,Н.Н., Абрамович, Т.М., Ярошевич ,В.К. Импульсные методы нанесения порошковых покрытий. -Минск: Наука и техника, 1985. - 78 с.

3. Исаева, Л.В. Вязкость оптических стекол в интервале размягчения и отжига. // Оптико-механическая промышленность. - 1967. - № 10. - С. 43 - 47.

4. Порошковая металлургия и напыление покрытий. / под ред. Б.С. Митина. - М.: Металлургия, 1987. - 720 с.

5. Сёмин, В.Н., Абрамович, Т.М., Разумова, М.И. Кинетические параметры спекания стального порошка. / Сборник научных трудов 6-й международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства". - Таганрог, 2000. - С. 65.

6. Сёмин, В.Н., Донских, С.А. //Боратные стекла как активатор спекания порошковых систем. Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. Физико-математические и естественные науки. Таганрог, 2015. - №1. - С. 15 - 22.

7. Скороход, В.В. Реологические основы теории спекания. - Киев : Наукова думка, 1972. - 152 с.

8. Филипович ,В.Н., Алексеева З.Д., Калинина А.М. //Кинетика спекания пористых стекол. Физика и химия стекла . - 1990. - т.16. - №1. - С. 81-84.

9. Френкель, Я.И. ЖЭТФ// 1946. - т.16.- С. 29

А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ДВУМЕРНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ*

Аннотация. В настоящей работе рассматривается линеаризованная пространственно-двумерная модель транспорта наносов под воздействием волн в прибрежной зоне. Приводится схема доказательства и условия единственности решения, соответствующей линеаризованной начально-краевой задаче.

Ключевые слова: модели транспорта наносов, прибрежная зона, донная поверхность, нелинейное параболическое уравнение, линеаризация, единственность решения.

A. I. Sukhinov, V.V. Sidoryakina

ON THE UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF THE LINEARIZED TWO-DIMENSIONAL BOTTOM DEPOSIT TRANSPORTATION PROBLEM

Abstract. In this paper we consider the linearized spatial-dimensional model of sediment transport by wave action in the coastal zone. The scheme of the proof of the uniqueness of the conditions and the corresponding linearized initial boundary value problem.

Key words: bottom deposit transportation models, coastal zone, bottom relief, linearization, uniqueness of boundary value problem solution.

Исследование гидрофизических процессов в прибрежных системах является актуальной фундаментальной и прикладной проблемой. Такие исследования чаще всего строятся на основе определенных математических моделей изучаемых процессов. Математическое моделирование позволяет осуществить анализ и прогноз развития прибрежных систем, не прибегая к дорогостоящим, а в ряде случаев опасным в экологическом отношении экспериментам. Рассматриваемые модели транспорта наносов имеют важное значение для обеспечения безопасности судоходства, а также при проектировании объектов прибрежной инфраструктуры (причалов, берегозащитных сооружений, при проведении дноуглубительных работ и т.д.).

В России работы, связанные с математическим моделированием гидродинамических систем, включая исследования в прибрежных зонах, проводились В.К. Дебольским, В.Б. Залесным, Р.А. Ибраевым, О.К. Леонтьевым и др.

Применение метода математического моделирования к исследованию указанных гидродинамических процессов приводит к необходимости рассмотрения начально-краевых задач для нелинейных уравнений параболического типа, которые при построении дискретных моделей, как правило, линеаризуются.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 15-01-08619 и 15-07-08626)