Применение модели Раша оценки латентных переменных в экспертном оценивании Текст научной статьи по специальности «Математика»

26. Abdo, A.A. Measurement of the Cosmic Ray e++e- Spectrum from 20 GeV to 1 TeV with the Fermi Large Area Telescope / A.A. Abdo [et. Al]. // Phys. Rev. Lett. - 2009. - V. 102. - P. 181101 (6pp).

27. J. Chang, An excess of cosmic ray electrons at energies of 300-800 GeV / J. Chang [et. Al]. // Nature. - 2008. - V. 456. - P. 362-365.

28. Adriani, O. An anomalous positron abundance in cosmic rays with energies 1.5-100 GeV / O. Adriani [et. Al]. // Nature. - 2009. - V. 458. - P. 607-609.

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ РАША ОЦЕНКИ ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЭКСПЕРТНОМ ОЦЕНИВАНИИ

© Киреев Ю.В.*

Институт менеджмента, маркетинга и финансов, г. Воронеж

В работе предлагается метод экспертного оценивания качественных альтернатив при принятии решений, основанный на модели Раша оценки латентных переменных. Метод позволяет получить линейные оценки привлекательности альтернатив с учетом особенностей работы группы экспертов.

Ключевые слова: принятие решений, латентные переменные, модель Раша, качественные альтернативы, экспертное оценивание.

Под латентными или скрытыми переменными принято понимать такие переменные, которые не могут быть измерены в явном виде, а могут быть лишь оценены с помощью каких-либо математических моделей на основе наблюдаемых переменных, называемых индикаторными. Примерами латентных переменных являются качество, степень риска, уровень жизни, привлекательность и т.д. Поэтому, особенно в последнее время, теория латентных активно внедряется в различные сферы практической и научной деятельности. Одной из наиболее полных и эффективных современных математических моделей оценки латентных переменных является модель Раша [1-3]. Согласно этой модели, единицами измерения латентных переменных являются логиты - некоторые безразмерные величины, шкалы измерения которых являются линейными и интервальными, начало отсчета не фиксировано, и с помощью линейных преобразований легко перевести оценки измерений в логитах в другие шкалы.

Рассмотрим возможность применения модели Раша в теорию экспертного оценивания. При принятии решений и выборе лучшей альтернативы из имеющихся, необходимо сравнить возможные альтернативы по одному или нескольким критериям. Для критериев, допускающих количественное измерение, используют количественные показатели. Значения таких показателей

* Старший преподаватель кафедры Прикладной информатики и математики.

выражаются в виде некоторого действительного числа, имеющего определенный физический, экономический или иной смысл. Однако, большое количество критериев строгому количественному измерению не поддаются. Для их оценивания используют качественные показатели. Качественные показатели измеряют с помощью экспертных оценок, т.е. субъективно, путем наблюдения за процессом, явлением или полученным результатами. Иногда качественные показатели удается представить в численном виде косвенно, измеряя некоторый другой показатель. Но в большинстве случаев различным значениям качественных показателей искусственно приписывают некоторые числа (баллы), как бы переводя их в разряд количественных. Однако такой подход не всегда позволяет объективно оценить степень различия между альтернативами, и его необдуманное использование может привести к необоснованным выводам. Учитывая, что качественные оценки являются латентными показателями, для их расчета и анализа можно использовать теорию Раша.

В работе предлагается модель экспертной оценки альтернатив по качественному критерию с возможностью получения итогового количественного показателя каждой альтернативы, что позволит принять наилучшее решение и оценить его превосходство.

Пусть имеется п альтернатив А1, А2, ..Ап, которые оцениваются по некоторому критерию с помощью т экспертов. Рассмотрим сначала классический случай применения классической дихотомической модели Раша. Согласно ей, эксперты могут давать только 2 вида оценок альтернатив - положительную и отрицательную. Эти оценки описываются матрицей:

1% если эксперт г положительно оценил альтернативу у;

X Чп (1)

[0, если эксперт г отрицатель но оценил альтернативу у.

В качестве латентных переменных будем использовать в, - степень привлекательности 1-й альтернативы в логитах, и Ру - некоторый показатель, характеризующий «лояльность» у-ого эксперта в логитах (чем меньше Р, тем более требовательным является эксперт к оценкам альтернатив). В такой модели вероятность ру того, что у-й эксперт положительно оценил ,-ю альтернативу, определяется функцией:

ев-Р

р = тет* (2)

Для нахождения латентных показателей в, и Ру в модели Раша основываются на результатах экспертизы (1) и, применяя метод максимального правдоподобия (МП метод) [4], оценивают привлекательность альтернатив и уровень требовательности экспертов. В основе МП метода составляется функция правдоподобия, равная совокупной вероятности того, что эмпирические данные (1) совпадут по вероятности с теоретическими, полученными на основе (2). На практике, задачу можно решать на ЭВМ, с использова-

нием специализированного программного обеспечения, например Winsteps, RUMM 2020, Facets, Quest, ConQuest, Summary и др.

Рассмотрим пример применения такого подхода. Пусть оценивается 9 альтернатив и в экспертизе принимают участие 15 экспертов, каждый из которых может положительно или отрицательно оценить каждую альтернативу. Результаты экспертизы отражены в табл. 1

Таблица 1

Результаты экспертного оценивания альтернатив

Альтернатива Экспе рт

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0

3 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0

4 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1

5 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

6 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0

7 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1

8 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0

9 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Результаты расчета вероятностей р, а также оценок привлекательности альтернатив 0,- и уровня экспертов р,, выполненные с помощью математического пакета ЯиММ, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты применения Раш-анализа к данным из табл. 1

Альтернатива Эксперт

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-0,13 -0,67 -0,25 -0,15 -1,32 -0,65 -0,68 0,17 0,71 0,70 0,26 1,19 0,28 0,20 0,34

1 -0,71 0,36 0,49 0,39 0,36 0,65 0,49 0,49 0,29 0,20 0,20 0,28 0,13 0,27 0,29 0,26

2 0,42 0,63 0,75 0,66 0,64 0,85 0,74 0,75 0,56 0,43 0,43 0,54 0,32 0,54 0,55 0,52

3 -0,13 0,50 0,63 0,53 0,50 0,77 0,63 0,63 0,43 0,30 0,30 0,40 0,21 0,40 0,42 0,38

4 0,42 0,63 0,75 0,66 0,64 0,85 0,74 0,75 0,56 0,43 0,43 0,54 0,32 0,54 0,55 0,52

5 -0,71 0,36 0,49 0,39 0,36 0,65 0,49 0,49 0,29 0,20 0,20 0,28 0,13 0,27 0,29 0,26

6 0,14 0,57 0,69 0,60 0,57 0,81 0,69 0,70 0,49 0,36 0,36 0,47 0,26 0,47 0,48 0,45

7 0,71 0,70 0,80 0,72 0,70 0,88 0,80 0,80 0,63 0,50 0,50 0,61 0,38 0,61 0,62 0,59

8 0,14 0,57 0,69 0,60 0,57 0,81 0,69 0,70 0,49 0,36 0,36 0,47 0,26 0,47 0,48 0,45

9 -0,13 0,50 0,63 0,53 0,50 0,77 0,63 0,63 0,43 0,30 0,30 0,40 0,21 0,40 0,42 0,38

Из этих результатов можно сделать выводы, что наиболее привлекательной является альтернатива А7, в результате оценивания наибольшую требовательность показал эксперт № 5, а наиболее лояльным был эксперт № 12.

Описанный подход имеет ряд преимуществ по сравнению с классическими методами оценивания:

1. Оценки альтернатив являются их уникальными свойствами и не зависят от набора экспертов.

2. Оценки альтернатив измеряются по линейной безразмерной шкале, которую можно легко перевести в любую другую оценочную шкалу.

3. Кроме оценок альтернатив удается получить оценки качества работы экспертов р.

Главным недостатком такого подхода является ограниченность использования исходных данных. Выборка ху должна быть дискретной и равной 1 (вероятность включается в функцию правдоподобия) либо 0 (не включается). Это ограничение не позволяет применять экспертные критерии оценивания, отличные от (1).

Для устранения этого недостатка предлагается МП-метод, используемый для расчетов, заменить на метод наименьших квадратов (МНК) [5]: параметры 0i и PJ модели (2) выбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических данных ху от расчетных вероятностей ру была наименьшей.

Задача сводится к минимизации остаточной суммы:

s (0, р, )=II (x, - pv )2 =II

"=1 j=1 i=1 j=1

í

Y -

" 1 + e0-p

^ min. (3)

В случае нормирования логитов и установки начала отсчета на средние значения логитов (как это принято в Раш-анализе), целевая функция (3) дополняется системой ограничений:

m n

I0 = о; IP = о. (4)

i=1 j=1

Основное преимущество данной модели в том, что в качестве эмпирических данных в ней вместо (1) можно использовать нечеткое множество Ху, имеющее смысл степени привлекательности альтернативы А¿ для у-го эксперта. Это позволит использовать любые шкалы оценивания, в том числе непрерывные и кусочно-непрерывные, но для дальнейших расчетов будем считать эти шкалы единичными, изменяющимися от 0 до 1. Если шкала не единичная, ее можно преобразовать в единичную путем нормирования.

Еще одно немаловажное преимущество заключается в том, что предлагаемый подход значительно расширяет инструментальные возможности решения задачи. Если в классической модели Раша, основанной на МП методе, для решения задачи на ЭВМ нужно использовать специализированное программное обеспечение, то предлагаемая модель, основанная на МНК, представляет собой классическую задачу нелинейного программирования с целевой функцией (3) и необязательными ограничениями (4), численное решение которой возможно с помощью множества прикладных программ, в том числе, с использованием MS Excel и ее надстройки «Поиск решения» (Solver).

Автором проведены расчеты по МП-методу и МНКдля большого числа данных различной размерности. Полученные результаты свидетельствуют о том, что оценки хорошо коррелируют друг с другом. Коэффициент корреля-

2

ции Пирсона [4] между оценками 9 и в, полученными МП-методом и методом МНК более 0,94. Однако описанный в работе подход дает более гибкие оценки, позволяющий ранжировать альтернативы в случаях, когда классический Раш-анализ не позволяет это сделать. Кроме того, оценки привлекательности альтернатив оказываются более устойчивыми к малым изменениям экспертных оценок.

Список литератупы:

1. Rasch G Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests / G Rasch. - Copenhagen, Denmark: Danish Institute for Educational Research, 1960.

2. Rasch Models. Foundations, Resent Developments and Applications. EditorsFischer G. H., Molenaarl.W. Springer, 1997.

3. Маслак А.А. Измерение латентных переменных в социально-экономических системах: монография. - Славянск-на-Кубани: Изд. Центр СГПИ, 2006.

4. Гмуран В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.Е. Гмуран. - М. Высшее образование, 2008.

5. Баркалов С.А., Моисеев С.И., Соловьева Е.В. Применение метода наименьших квадратов при оценке латентных переменных методом Раша // Научный вестник Воронежского ГАСУ Сер. «Управление строительством». -Воронеж, 2014. - Выпуск № 1 (6). - С. 98-100.

ТРЕЩИНА ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА В БИУПРУГОЙ ПОЛОСЕ, БОКОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ КОТОРОЙ БЕЗ ЗАЗОРА УПИРАЮТСЯ НА АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ ТЕЛА

© Кулиев В.Д.*, Борисова Н.Л.Ф, Глушкова И.В.*

Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),

г. Москва

В статье рассматривается краевая задача, в которой биупругая полоса с упругими свойствами /и1 и /и2 - модуль упругости) содержит трещину продольного сдвига при y = 0, |x| = l. Первая однородная изотропная упругая среда занимает область -ж < x < ж, 0 < y < h, а вторая область -ж < 0 < ж, -h < y < 0. Предполагается, что эти упругие материалы «жестко» сцеплены при |x| > l, y = 0. Далее, предполагается, что

* Заведующий кафедрой Прикладной математики, доктор физико-математических наук, профессор.

* Старший преподаватель кафедры Прикладной математики. " Магистрант кафедры Прикладной математики.