Применение многомерных векторных алгебр для изучения микромира Текст научной статьи по специальности «Физика»

Применение многомерных векторных алгебр для изучения микромира Кравченко П. Д.1, Мешков В. Е.2, Чураков В. С.3

1 Кравченко Павел Давидович / Kravchenko Pavel Davidovich - доктор технических наук, профессор, кафедра машиностроения и прикладной механики,

Волгодонский инженерно-технический институт (филиал),

Национальный исследовательский ядерный университет Московский инженерно-физический институт;

2Мешков Владимир Евгеньевич /Meshkov Vladimir Evgenyevich - кандидат технических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Донской государственный технический университет (филиал), г. Волгодонск;

3Чураков Вадим Сергеевич / Churakov Vadim Sergeevich - кандидат философских наук, доцент, Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования

Институт открытого образования, г. Шахты

Аннотация: в работе показано, что поскольку отсутствует возможность применения 3-D векторных алгебр в области весьма малых расстояний, то принципиально важно построение многомерных векторных алгебр, остающихся в рамках линейных векторных пространств. Развитие многомерных векторных алгебр позволяет применять их для изучения микромира. Широкие возможности для этого открывает формула, аналогичная формуле Планка, способная описать поля при изменении n от единицы до бесконечности. Кроме того, многомерная алгебра и многомерная физика открывают путь к многомерным технологиям (технологиям 2n-1), а также - многопараметровых и многопараметрических систем передачи информации.

Ключевые слова: многомерные векторные алгебры, гравитационные силы, электромагнитные силы, многомерная физика, многомерные технологии, потенциал Юкавы, ядерное взаимодействие, статистики Больцмана, статистики Ферми, статистики Бозе-Эйнштейна, формула Планка.

УДК 530.1:514.114

Статья посвящена попытке использования одного из типов векторной алгебры в физике микромира. В настоящее время в физике микромира используются многомерные квантовые алгебры Вирасоро, лежащие в основе теории струн [3]. Работа носит чисто демонстрационный характер: поскольку отсутствует возможность применения 3-D векторных алгебр в области весьма малых расстояний и для увеличения точности описания процессов в области традиционных расстояний, то поэтому принципиально важно построение многомерных векторных алгебр, остающихся в рамках линейных векторных пространств, но с фиксированным векторным произведением двух векторов. Развитие многомерных алгебр позволяет применять их для изучения микромира.

Необходимо отметить, что предлагаемый авторами подход позволит пополнить арсенал ныне существующих научных инструментов, к коим относятся: многомерная квантовая теория и статистика - и, как вариант, унитарные унимодулярные группы SU (N). Поскольку хорошо известными фактами и экспериментальными данными является то, что при взаимодействии нуклонов в ядре статические ядерные потенциалы можно использовать вплоть до энергий 300 Мэв. При более высоких энергиях ядерные силы нельзя считать статическими, так как необходимо учитывать запаздывание взаимодействий [18]. При взаимодействиях частиц высоких энергий переданная энергия растёт с уменьшением масштаба в пространстве. В физике микромира обобщается на многомерие четырехмерная теория поля, которая считается подтверждённой экспериментально (это так называемая СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ПОЛЯ, за которую Хиггсу в 2013 году была присуждена нобелевская премия за теоретическое предсказание открытого хиггсовского бозона). По мнению авторов, широкие возможности для этого открывает формула, аналогичная формуле Планка, способная расширить область описания полей.

Статья является продолжением и развитием предыдущих работ по теме «Многомерная физика», начатых в предыдущих публикациях [10; 11; 13; 14; 15].

О размерности многомерных векторных алгебр следовало бы сказать, что широко распространенная и сыгравшая в естествознании замечательную роль трехмерная векторная алгебра (Гамильтона-Грассмана), доминирующая уже в течение полутора столетий, имеет в то же время существенные ограничения в описании различных физических процессов. Это связано, прежде всего, с тем, что ограничение размерности приводит к ограничению степени зависимости силовых величин от расстояний величины, обратной второй степени расстояния. В качестве другого недостатка выступает наличие в трехмерной векторной алгебре лишь трех законов сохранения физических величин и описание процессов лишь с помощью двух первых производных от расстояний.

Это обусловливает невозможность применения 3-D векторных алгебр в области весьма малых расстояний и для увеличения точности описания процессов в области традиционных расстояний. Поэтому принципиально важно построение многомерных векторных алгебр, остающихся в рамках линейных векторных пространств, но с фиксированным векторным произведением двух векторов. Этот принцип был использован при создании трехмерной векторной алгебры.

Анализ способов построения многомерных векторных алгебр показал, что размерность алгебр определяется числом способов разбиения множества из n элементов на два непустых подмножества и соответствует ряду чисел: 1, 3, 7, 15, 31... 2п-1... Он определяется рекуррентной формулой вида:

Pn+l = 3Рп - 2Рп-1.

Эти соотношения создают ряд, определяющий все совершенные числа.

Многомерные векторные алгебры могут быть использованы, прежде всего, для описания необыденных, необычных для человека пространств. Если говорить о трёхмерной векторной алгебре, то она описывает пространства, которые меняют потенциал в степени единица на R, т. е. (F = 1/R2 ). К этим силам относят гравитационные и электромагнитные силы. Эти силы дают потенциал 1/R. Многомерные алгебры отличаются совершенно другой размерностью - у них размерность не три (три - это только частный случай), а семь, пятнадцать, тридцать один, шестьдесят три. и т. д.[6; 7; 8]. Эту последовательность можно описать рекуррентным соотношением

Рп+1 = 3Рп - 2Рп-1.

Это приводит к тому, что потенциал и силы меняются совершенно иным образом. Так, силы в семимерной алгебре меняются по закону 1/R6, в пятнадцатимерной алгебре - как 1/ R14, в тридцатиодномерной алгебре - как 1/R30 и т. д. Т. е. расстояния будут уже совершенно иным образом влиять на силу: 1/R6 в знаменателе - это уже не 1/R2, а на четыре порядка большая величина, и рассчитывать на то, что в области больших расстояний удастся использовать многомерные алгебры, проблематично. Но, тем не менее, многомерная алгебра [6; 7; 8; 10; 11; 12] и многомерная физика [11; 12; 13] открывают путь к многомерным технологиям (технологиям 2n-1 [11; 16; 17]). Говоря о размерности физического пространства, следует не только уточнить его размерность (n-мерность), но и алгебру, которой оно описывается.

Следует изучить этот вопрос более досконально для многофазных структур, в частности, многошпиндельных станков с ЧПУ, двигателей, всякого рода многотактных и многофазных механизмов, многопараметровых и многопараметрических систем передачи информации, а также устройств для её приема, хранения, переработки, устройств вычислительной техники, т. е. везде, где осуществляются прием, переработка, хранение и передача многопараметрической информации. Вот та сфера, где, прежде всего, следует рассчитывать на применение многомерных векторных алгебр [10; 11; 12].

Компьютерная техника также может быть построена на базе не булевой алгебры логики (не системе 2п для разрядности числа, а в системе 2п -1 - это даст ряд три, семь, пятнадцать.) и, тем самым, будет задействовано более полное использование компьютерных ресурсов для переработки информации, в частности, в непрерывном слежении за процессом и принятием решений в реальном масштабе времени, когда переработка информации должна осуществляться очень быстро, параллельными, а не последовательными путями [10; 11; 12].

Это относится к уровню повседневных вещей. На уровне микромира - малых расстояний - 1/R2 не срабатывает. Ядерные силы оказываются значительно большей величины. Т. е. на малых расстояниях, на расстояниях атомных, ядерных, субатомных и субъядерных необходимо использовать уравнения, связанные с большой степенью величины R в знаменателе. В частности, семимерная алгебра, пятнадцатимерная алгебра, тридцатиодномерная алгебра [6; 7; 8] дают соответственно: 1/R6 , 1/R14 , 1/R30. Причем следует обратить внимание на то, что процесс осуществляется ступенями: два, шесть, четырнадцать, тридцать. т. о. шаг размерностей векторных алгебр дискретен. И там трёхмерная алгебра не срабатывает. Она описывает процессы только для сил типа 1/R2. Единица на расстоянии большей степени не проходит. Другие векторные алгебры не могут быть использованы. В связи с этим пытаются задействовать не только степенные, но и экспоненциальные функции, обеспечивающие возрастание сил в области малых расстояний в большей степени. Так, например, потенциал Юкавы определяется экспонентой, связанной со степенной функцией

где g - константа, задающая интенсивность ядерного взаимодействия, k - постоянная с размерностью обратной длины, задающей радиус взаимодействия. Знак минус говорит о притяжении [4, С. 427].

На этой же странице можно прочитать следующее: «Гипотеза Юкавы - для описания коротко действующего характера ядерных сил японский физик высказал гипотезу, в которой идёт речь о решении уравнения в виде:

Г

<р = - Ill, гйе R = -^.

г mc

Ж

Это даёт величину массы п-мезона» [4, С. 427]. В данном случае задействованы экспоненциальная и показательная функции. Поскольку это не единица на R в квадрате и не единица на R в шестой степени, то можно попытаться расширить закон Юкавы точно так же, как расширялись векторные алгебры - от трехмерной к многомерным. Расширение даёт следующее: оно приводит к тому, что должна быть осуществлена попытка нахождения зависимости силовых взаимодействий в области чрезвычайно малых расстояний от размерности многомерных векторных алгебр. Многомерные алгебры всегда являются

подалгеброй алгебры большей размерности. Так что, по сути, будет задействована лишь одна алгебра большей размерности. Все алгебры меньшей размерности будут выступать лишь как частный случай. В частности, трёхмерная векторная алгебра является подалгеброй всех многомерных векторных алгебр и позволяет производить разложение в ортогональные ряды. Такое разложение было проделано для размерности векторной алгебры три, семь, пятнадцать и так далее [6; 7; 8].

Этот ряд относится к одному из многочисленных обобщенных многочленов Лагерра. Если обратить внимание на весовую функцию обобщенных многочленов Лагерра, то она фиксируется как е-х на хк, где к -порядок, равный 1, 2, 3... и так далее [5, С. 775]:

' xk e xLkn (x)Lkm (x)dx

ип

L£\x) = exx~a d

(n!)

3

■S„

dxn

(n — k)! (e~xxn+a).

'х, где хк

Т. е. это величина дискретная. В результате опять мы сталкиваемся, как и у Юкавы, с функцией е - расстояние, х ~ r . Но у Юкавы это для физических приложений, а у Лагерра - для приложений математических. На больших расстояниях потенциал описывается функцией ~ 1/r, а на малых расстояниях -функцией ~ е-г. Необходимо отметить, что расширение потенциала Юкавы не было осуществлено должным образом, попытки были неудачные, хотя они предпринимались многократно, и многие ученые стремились найти решения.

Многомерные векторные алгебры дают решение в следующем варианте: на относительно больших расстояниях относительно (по сравнению с 1/R2) силы фиксируются сначала алгеброй размерности три -векторной алгеброй размерности три, это даёт (1/R2), затем с уменьшением расстояния действует векторная алгебра размерности семь - что дает уже (1/R6), с дальнейшим уменьшением расстояния действует векторная алгебра размерности пятнадцать. Это даёт величину силы (1/R14). Можно сказать, что ступени 1, 3, 7, 15. - фундаментальны в этом случае, поскольку других алгебр практически нет. Ни четырех-, ни пяти-, ни

шестимерной алгебр не существует. Многомерные векторные алгебры фиксируют уровни энергии на очень малых расстояниях - субатомных. Ведь даже на расстояниях оболочки атомов действуют электромагнитные силы (1/R2). А дальше пошли уже ступенчатые изменения величины размерности векторной алгебры и, следовательно, сил, действующих на объекты. Все эти силы должны быть в математическом отношении связаны с экспонентой в отрицательной степени. Разложение по ортогональным многочленам дает решение, связанное с решением уравнения многочленов Лагерра. Многочлены - это определенное приближение к реальной функции. Какая же будет реальная функция? Ответ на это вопрос есть в справочниках, например - в справочном сетевом ресурсе ВИКИПЕДИИ [1], подробно описывающей фотонный газ.

Приведенное в указанном электронном ресурсе описание фотонного газа хорошо иллюстрирует действие электромагнитных сил на электромагнитное излучение фотонов - фотонное излучение, подчиняющееся статистике Бозе-Эйнштейна. Эта статистика даёт результат, связанный с силами и энергиями полей. В частности, в справочнике по физике читаем:

« N = Хn = ^

т

/2 V л ^2 л да

— JdVJsrnddd J dpJ-0 0 0 0

/2ds 2 nV (2m)

s+p

. kT - 1

h

2 да

- J-

0

/- ds

e

s—P

~kT

—i

E = X nisi =

2nV (2m)

3/

s22 ds

e

s+p kT

1

Это применение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному выполняется для фотонного газа уравнение Планка

A-5

газу» [2, С. 167]. Т. о. показано, что

E т = 2nhc

ghc! kAT ^

постоянная Больцмана. В трёхмерном

где e - основание натуральных логарифмов, с - скорость света, к -варианте: ~ v3/exphv/kT-l.

Все параметры называть не стоит, поскольку они известны из курса физики и указаны в справочной литературе, но необходимо напомнить, что v - это частота излучения, а V3 - третья степень, результат для приложения к трехмерным векторным алгебрам. И именно трёхмерная векторная алгебра формирует число три, потому что здесь определяется число фазовых ячеек в элементе фазового пространства dx dy dz * dpx dpy dpz - т. е. шести мерное фазовое пространство, которое даёт в конечном итоге величину E, величину энергии излучения фотонного газа. Дальше Макс Планк и его последователи не пошли.

В принципе - здесь прямой намёк на трёхмерную векторную алгебру. В области меньших расстояний, как мы уже отметили выше, действуют силы, начиная с 1/R6 , определяемые семимерной векторной

0

s

s

алгеброй [8]. Семимерная векторная алгебра даёт другое выражение для числа фазовых ячеек, иные соотношения. Соотношения меняются так, что вместо V3 будет фигурировать v7 . Это уже не формула Планка, а последовательное применение этой формулы на многомерный случай. Решение уравнения будет связано с величиной vn , где n - размерность векторной алгебры [9]. Поскольку трёхмерная векторная алгебра - частный случай многомерных векторных алгебр, то речь идет о том, что седьмая, пятнадцатая, тридцать первая степень размерности алгебры и дальнейшее продолжение вплоть до бесконечности описываются одной и той же формулой vn /(expv-1) - выражением для сил, связанных с размерностью векторных алгебр n, причём n может меняться до бесконечности в соответствии с рекуррентным соотношением:

Pn+1 = 2Pn - Pn-1 .

Итак, мы приходим к выводу, что формула Планка является частным случаем более широкого ряда формул с индексом п, где n может принимать дискретные значения 1, 3, 7, 15... и т. д. - вплоть до бесконечности. Как выглядит форма графиков зависимости этой функции от частоты либо длины волны? Эта форма определяется законами теплового излучения абсолютно черного тела, из которых была получена формула Планка [2, С. 210, рис. 142].

Рис.1. Тепловое излучение абсолютного черного тела

Рисунок 1 представляет формы графиков для п=3. Энергия на малых частотах распределения энергии близка к нулю, на больших частотах также стремится к нулю, имеет явно выраженный максимум, и этот максимум изменяется с изменением длины волны или частоты.

Причем эти графики могут давать характерную формулу dz / z5exp1/z-1 . Эта формула приведена там же [2, С. 210]. Теперь нам нужно вместо 5-й степени z применить порядок n+2 для распределения по длинам волн, либо п для распределения по частотам вместо тройки. Причём, 1/z изменяется на z. В результате мы имеем полный аналог формулы Планка для описания уже не фотонного газа, а силовых взаимодействий на очень малых расстояниях. Т. о. гипотеза фотонного газа распространяется не только на электромагнитные взаимодействия, но и на взаимодействия других типов. Форма графиков функции z--5 /(e 1/z -1) была получена для различных значений величины п - не в третьей степени, которая была раньше при размерности, равной трем - трёхмерной алгебре, а в степени величин n, определяемых числами: 3, 7, 15, 31, 63... Полученные графики выявляют схожесть графиков для формулы Планка с графиками при n, изменяющихся от малых значений до самых больших [9]. Были проверены все значения п до значения п в степени 127. Графики показывают значительное смещение положения максимума с изменением частоты или длины волны. Причем появляется соответствие, аналогичное значению Xmax*T, а также постоянной с в функции Планка для законов Вина и Больцмана, при индивидуальных значениях для каждого п.

Аналогичная ситуация возникает с изменением длины волны, а также частоты. График полностью восстанавливает форму графика, соответствующего уравнению Планка при различных величинах n, т. е. начинается при росте длины волны с нуля, достигает максимального значения, а затем медленно падает до нуля. График говорит о том, что функция Планка может быть расширена для различных значений п. Причём п изменяется ступенчато с изменением размерности векторных алгебр. Т. о. выявляется соответствие векторных алгебр большой размерности для малых расстояний, причем с уменьшением расстояний растет размерность векторной алгебры [9]. Или, наоборот: с увеличением размерности векторной алгебры уменьшается расстояние, на котором действуют возрастающие по величине силы. Причем силы резко возрастают с увеличением размерности векторной алгебры. Это очень важный результат, поскольку здесь величина п может меняться от единицы до бесконечности и функции типа функции Планка, которая имеет место при n=3, выражает те же самые функциональные зависимости, что и формула Планка. Т. о. можно говорить, что формула Планка имеет расширение в область больших значений п, малых значений расстояний (что и было показано в работе [9]). Отсюда следует вывод: формула, аналогичная формуле Планка, способна описать поля при изменении п от единицы до бесконечности. Структуры этих полей,

образно выражаясь, напоминают «слоёный пирог», где каждому n соответствует прослойка. А при n = 3, 7, 15... опять-таки образно выражаясь, к «бисквитной прослойке» добавляется «слой крема».

В заключение следует отметить, что, таким образом, здесь просматривается возможный подход к описанию единого поля в многомерном, «слоёном» пространстве. Возможно, что мы находимся на пороге получения теории единого поля, где функция Планка расширяется до функций, описывающих силы в едином поле. (Но это требует дальнейших исследований). Так что векторные алгебры большой размерности имеют принципиально важное применение в области малых расстояний на уровне атомных, ядерных, субатомных и субъядерных расстояний. С ростом n резко падают значения расстояний, на которых действуют силы, и эти силы растут чрезвычайно быстро с увеличением размерности векторных алгебр. Процесс можно продолжать вплоть до бесконечности. Т. о., силы на очень малых расстояниях растут практически до бесконечности (это очень большие силы).

Самое главное то, что формула Планка показывает: на чрезвычайно малых расстояниях, с уменьшением расстояния, растут силы и энергия, и наступает момент достижения максимума энергии (минимума расстояний), соответствующего максимуму расширенной функции Планка с учетом величины n [9]. В дальнейшем сила меняется на противоположное направление. Здесь правый участок в функции Планка будет соответствовать силам отталкивания, а левый на очень малых расстояниях - силам притяжения. Такой характер силы имеет место для атомных сил, описываемых сильными взаимодействиями. Сильные взаимодействия с уменьшением расстояния сначала чрезвычайно растут, но в дальнейшем, с уменьшением расстояния, с приближением к ядру - падают, меняются на силы притяжения, а не отталкивания. Т. е. график воспроизводит требуемый характер изменения сил - силовых взаимодействий с уменьшением расстояния.

Это доказывает целесообразность применения многомерных векторных алгебр для изучения и последующего более детального исследования процессов, происходящих в микромире.

Литература

1. Википедия, Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]: Драйвер. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Драйвер (дата обращения: 21.04.2015).

2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. Том 3. Оптика, физика атомов и молекул, физика атомного ядра и микрочастиц. - Изд. Пятое, стереотипное. М.: Издательство «Наука». Главная редакция физикоматематической литературы, 1972. 495 с.: Илл.

3. КакуМ. Введение в теорию суперструн: пер. с англ. М.: Мир, 1999. 624 с.

4. Карякин Н. И., Быстров К. Н., Киреев П. С. Краткий справочник по физике. Изд. второе, стереотипное. М.: Государственное издательство «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1963. 559 с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Издание четвертое. Пер. со второго американского издания под общей редакцией И. Г. Арамовича. М.: Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1977. 831 с.

6. Коротков А. В. Элементы пятнадцатимерного векторного исчисления. Новочеркасск: Издательство «НОК», 2011. 36 с.

7. Коротков А. В. Элементы многомерного (15-и 31-мерного) векторного исчисления. Новочеркасск: «НОК», 2012. 76 с.

8. Коротков А. В. Элементы семимерного векторного исчисления. Алгебра. Геометрия. Теория поля. Новочеркасск: Набла, 1996. 244 с.

9. Коротков А. В. Формула Планка в D-мерных пространствах. // Альманах науки и образования. 2013. № 3. С. 81-91.

10. Коротков А. В., Мешков В. Е., Чураков В. С., Бабкина Т. А., Козоброд А. В., Прудий А. В. Многозначные и многомерные булевы и небулевы алгебры логики А. В. Короткова и пифагоровы числа в искусственном интеллекте и криптографических системах: монография. (Серия «Семимерная парадигма А. В. Короткова в информатике, искусственном интеллекте и когнитологии». Вып. 1). Новочеркасск: Изд-во <<НОК>>, 2011. 488 с.

11. Коротков А. В., Кравченко П. Д., Мешков В. Е., Чураков В. С., Кочковая Н. В., Брыкина Т. А., Вересников Г. С., Веприков Ю. В. Многомерная алгебра. Многомерная физика. Многомерные технологии: монография. (Серия «Семимерная парадигма А. В. Короткова в информатике, искусственном интеллекте и когнитологии». Вып. 2). Новочеркасск: Изд-во <<НОК>>, 2014. 286 с.

12. Коротков А. В., Чураков В. С. Теоретико-философские аспекты трехмерного и семимерного пространств (собственно евклидова и псевдоевклидова). Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2007. 194 с.

13. Кравченко П. Д., Мешков В. Е., Чураков В. С. Многомерная физика на основе семимерной парадигмы

А. В. Короткова как основа для изучения гравитационного, сильного и слабого ядерных взаимодействий, изучения элементарных частиц и формирования основ квантованной (дискретной) физики. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2012. № 5. С. 51-56.

14. Кравченко П. Д., Мешков В. Е., Чураков В. С., Вересников Г. С. Пифагоровы числа в атоме. // Альманах современной науки и образования. 2013. № 1. С. 78-90.

15. Кравченко П. Д., Мешков В. Е., Чураков В. С., Вересников Г. С. Эволюция представлений об n-мерных пространствах в физике. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2013. № 5. С. 35-37.

16. Кравченко П. Д., Мешков В. Е., Чураков В. С., Брыкина Т. А., Веприков Ю.А. Многомерные технологии. // Альманах современной науки и образования. 2012. № 8. С. 91-97.

17. Кочковая Н. В., Мешков В. Е., Чураков В. С., Брыкина Т. А. Концепция 3D компьютера. // Альманах современной науки и образованя. 2012. № 8. С. 84-89.

18. Современные представления о строении ядра. // Физика микромира. Маленькая энциклопедия / под ред. чл. корр. АН СССР Д. В. Ширкова. М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1980. 528 с.