Применение минимальных интерполяционных сплайнов к решению задачи Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 519.62/642

И. Г. Бурова, Инаам Р. Хассан

ПРИМЕНЕНИЕ МИНИМАЛЬНЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ СПЛАЙНОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ КОШИ1

Традиционно при построении метода Адамса рассматривается интегральное тождество, в котором подынтегральное выражение приближенно заменяется на интерполяционный многочлен (см., напр., [1]).

В данной работе строятся неявные методы решения задачи Коши, аналогичные интерполяционному методу Адамса. При этом подынтегральное выражение заменяем неполиномиальными минимальными интерполяционными приближениями ненулевой высоты (под высотой понимается наивысший порядок производных функции, заданных в узлах сетки, используемых при построении приближения Эрмита). Метод построения таких приближений аналогичен полиномиальному случаю [2].

Неполиномиальные приближения рассмотрены одним из авторов в [3-4]. Аппроксимация интерполяционными неполиномиальными сплайнами ненулевой высоты, так же как и в полиномиальном случае, строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции и ее младших производных, в нескольких соседних узлах сетки. Выполняется свойство «точности» приближений на обобщенных полиномах соответствующей степени.

В частном случае получаем неполиномиальные сплайны, аналогичные гиперболическим (см., напр., [5]), весьма популярным при решении задачи изогеометрической интерполяции, так как они хорошо адаптируют поведение сплайна по отношению к данным.

1. О сплайнах ненулевой высоты. На интервале (а,Ь) рассмотрим сетку (х]},... < _1 < X] < х] + 1 < ... Пусть

функции 91(х) достаточно гладкие и такие, что вронскиан системы функций <А1(х), I = 0,1,..., т, отличен от нуля на

промежутке [а, Ь]. Пусть также А]а (х) —некоторые функции, называемые в дальнейшем базисными, таковы что

БиррА^а = [х]-г, х]+Г1 ], а = 0,1,..., в, где неотрицательные числа в, т, М, г и Г1 связаны соотношениями г + г1 =

М, (в + 1 )М = т + 1.

Функцию и в Ст +1 [а,Ь] при х в [хк,хк+;) будем приближать выражениями и(х) вида

в

и(х) =АХ1 шаН^ )*],а(х). (1)

] а = 0

Базисные функции Ш],а(х) находим из условий и(х) = и(х), и(х) = А,(х), I = 0,1,..., т. Нетрудно видеть, что аппроксимация (1) точна на функциях у>;(х), I = 0,1,..., т, тогда и только тогда, когда при х в [хк,хк + 1)

к+г в

Е У,(*в(х]))'а)]а(х) = лв(х), 0 < в < т; (2)

]=к-Н + 1 а=0

здесь (лв(X]))<а> означает производную порядка а от функции лр(Ь) в точке х].

Предположим, что определитель матрицы системы уравнений (2) отличен от нуля. Можно доказать, что на равномерной сетке узлов с шагом Н = хк+ъ — хк на промежутке х б [хк,хк+1) справедливо соотношение

Е(х)= и(х) — и(х) = 0(Нт + }), (3)

где 0(Нт + ]) зависит от функции и(х) и ее производных до порядка т + 1.

2. Применение сплайнов ненулевой высоты для решения задачи Коши.

Пусть N — целое число, N > 2, а а хо < х1 < ... < хА = X а Ь. Будем решать задачу Коши VI = /ъ(х,у 1(х),у 2(х), . . . ,уп(х)), х в [хо,Х], уъ(хо) = у0, I = 1,...,п.

Предположим, что (ъ(х, у 1(х), у 2(х),..., у п(х)) —достаточно гладкие функции своих аргументов и у; в С(т + Г)[а, Ь]. Рассмотрим интегральное тождество

Г х] + 1

у;(х]+1) = у;(х])+ у;(х)ёх, I =1,...,п. (4)

^х;

Обозначим и-;(х) = у1(х). Подынтегральное выражение и-;(х) заменим на соотношение (1). Положим у; « у(х;). После интегрирования и отбрасывания погрешности получим неявный метод нахождения уъ(х]+1).

Более подробно рассмотрим случай применения сплайнов четвертого порядка ап- проксмации первой высоты, т.е. возьмем т = 3, в = 1, г = г1 = 1. Функции ик в С1¥ [а, Ь] при х в [х], х] + 1) будем приближать выражениями вида

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №04-01-00026, №04-01-00692).

© И. Г. Бурова, Инаам Р. Хассан, 2007

и к(х) = и к (х] )А],о(х) + ик(х]+1)и]+1,0(х) +ик (х] )ш],1(х) +ик (х]+1 )и] + 1,1(х), где базисные функции Ш] ^ (х) находим из условий

+ Е <у 3(а.....*("»/»(», 2Я(а:), .. ., уп(х)), I = к=1 ук

р/ А _ йд(х,у I (х),..

. ,уп{х)) | А№ ~ dx +

г >4+1 _ _ _

/ ик,1(х)йх, к = ],] + 1, I = 0, 1.

J X,

Неявный метод теперь принимает вид

у]+1 = у] + ц(х, ,уь,. .., у°п)у,,о + н(х,+1 , У1 + 1, .. ., у3п+^+1,о +

+ Е]Ь],1 + .)У)+1,1, 1 = 1,...,п. (5)

С помощью соотношения (3) можно показать, что при равномерной сетке с шагом Н метод (5) имеет порядок 0(Н4).

В частном случае, при равномерной сетке с шагом Ь и а^ (х) = х1 имеем у),о = У)+1,о = Н/2, У],г = -У]+1,г = -Н/12.

Если возьмем функции а,, (х) = х1, I = 0,1, 92(х) = еАх, 93(х) = е-Ах, где параметр А > 0, то получим Уо,о = Н/2, уо,1 = Н/2,

_ Н еАНАН - 2еАН + 2 + АН _ Н еАНАН - 2еАН + 2 + АН

У1' °~2 Н(еАН - 1)А2 ' щл — 2 Н(еАН - 1)А2 '

Последняя система функций у>1(х) позволяет генерировать неполиномиальные сплайны, аналогичные гиперболическим

[5].

Решение задачи Коши для одного уравнения. Применяя для решения уравнения у' = д(х,у(х)), х О [хо, X], у(хо) = у о неявный метод (5) находим

У)+1 = у, + g(xj, у])“],о + g{xj+i,yj+i)vj+i,o +

+ (g'x(xj,yj) + ^у(х],у])^х],у])) vji +

+ ^'х(х,+^у,+^ + g'y(xj+iyj+i)g(xj+iyj+iлvгn,1. (6)

Можно показать стандартными методами, что из соотношении (3) при равномерной сетке с шагом Н метод (6) имеет порядок 0(Н4).

В случае применения сплайнов второй высоты шестого порядка получаем

Уj+i = у1 + g(xj, у1 )“1,о + g(xj+i,yj+i)vj+i,o +

+ 01 + Оj+i vj+i,i + 011 “1, 2 + 01)+1 у_)+1,2. (7)

где

01 = g'x (х], У1) + g'y (х], у, ^(х], У1), 011 = g'L(xj у,) + g'yy(xj у, ^2(х, у,) + 2g'xy(xj у, ^(х1 у,) + g'y (х1 у, )01.

Аналогично предыдущему можно показать, что при равномерной сетке с шагом Н метод (7) имеет порядок 0(Н6).

Г +1

Ук-.

Таблица 1.

<Р1( х) Очэ. '"""Т) =т Ы Л2 Щ? Ну Щ? А2

1 0,41 • КТу 0, 12 0,62 • КГ11 0, 12 0,44 • кг11 0,44 • 0,44 • КТ1? 0,44

2 • 10-6 0,62 • • 10-10 0,62 • 10-10 0,93 • КТ9 • 10-16 0,57- КГ11

3 КТ6 КГ10

3. Результаты численных экспериментов. Будем решать уравнение y' = -2(y — sin(x)) + cos(x), x G [0, 20], с начальным условием y(0) = 0. Очевидно, решение этой задачи y(x) = sin(x).

Ниже, в табл. 1 приведены результаты численных экспериментов, проведенных в среде Maple при значении параметра Digits=25. Используем следующие обозначения:

Ra = max[o,20] lv(Xi) — y(xi)\ —погрешность, вычисленная на вспомогательной равномерной сетке {Xj},

построенной на промежутке [0, 20] при основной сетке с шагами hi = 0,1, h2 = 0,01. Здесь y — приближенное решение задачи Коши, построенное с помощью методов, задаваемых формулами (6) и (7), при применении Ai(x) вида

1)у^х) = x1, i = 0,1, 2, 3, и i = 0,1, 2,... 5 для методов (6) и (7) соответственно;

2) Aj,(x) = x1, i = 0,1, A2(x) = eAx, As(x) = e-Ax в случае метода (6) и

<A>i(x) = xi, i = 0, 1, A2(x) = eAx, As(x) = e-Ax, y>4(x) = e2Ax, A 4 (x) = e-2Ax, A = 1 в случае метода (7);

3) fi,(x) = e-ix, i = 0,1, 2, 3 и i = 0,1, 2,... 5 для методов, задаваемых формулами (6) и (7) соответственно.

Summary

I. G. Burova, Inaam R. Hassan. Application of minimum non-polynomial interpolating splines to the solution of the Cauchy problems.

The methods for solving Cauchy problems are suggested. The non-polynomial splines, which are used, generate given accuracy when applied to a rather wide class of functions. The results of machine computations are given.

Литература

1. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. СПб., 1998. 472 c.

2. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория миниимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 c.

3. Бурова И. Г. Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1. 2005. Вып.1. С.9-13.

4. Бурова И. Г., Тимофеев В. А. Построение сплайнов ненулевой высоты // Методы вычислений. Т. 21. СПб., 2005. С. 31-39.

5. Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.; Ижевск, 2006. 416 с.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.