CC BY
0ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ СРЕДНЕГО КОМПОНЕНТНОГО СОСТАВА ПЛАСТОВЫХ ФЛЮИДОВ МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ
Евстафеев Евгений Александрович, Мамбетсапаев Курбанияз Айниязович
Филиал РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина в г. Ташкенте https://doi.org/10.5281/zenodo.13896815
Аннотация. Предложена методика расчета среднего состава пластовых флюидов при проектировании разработки месторождений углеводородов. Методика основана на проверке статистической гипотезы о нормальном распределении ряда данных по критерию Пирсона при заданном уровне значимости и выборочном методе математической статистики, который заключается в том, чтобы по определенной части данных (выборке) судить о свойствах всего ряда данных. В частности, предлагается определять средний по месторождению компонентный состав пластового флюида в виде диапазона значений мольных долей компонентов, лежащих в доверительном интервале при заданном уровне надежности. Проведена статистическая обработка составов природного газа, полученных при отборе проб со скважин разрабатываемого газоконденсатного месторождения.
Ключевые слова: компонентный состав, математическая статистика, выборка, интервальный ряд, доверительный интервал, проба пластового флюида.
Abstract. The paper proposes a method for calculating the average composition of reservoir fluids when planning the development of hydrocarbon fields. The method is based on the sampling method of mathematical statistics, which consists in judging the properties of the entire data series based on a certain part of the data (sample) and testing the statistical hypothesis about the normal distribution of the data series using the Pearson criterion at a given significance level. In particular, it is proposed to determine the average component composition of the reservoir fluid for the field as a range of mole fractions of components lying in the confidence interval at a given reliability level. Statistical processing of the compositions of natural gas obtained by sampling wells of the gas condensate field under development was carried out.
Key words: component composition, mathematical statistics, sample, interval series, confidence interval, reservoir fluid sample.
Annotatsiya. Uglevodorod konlarini o'zlashtirishni loyihalashda qatlam suyuqliklarining o'rtacha tarkibini hisoblash usuli taklif qilingan. Texnika matematik statistikaning tanlab olish usuliga asoslangan bo'lib, u ma'lumotlarning ma'lum bir qismidan (namuna) butun ma'lumotlar seriyasining xususiyatlarini baholash va Pearson yordamida ma'lumotlar seriyasining normal taqsimlanishi haqidagi statistik gipotezani sinab ko'rishdan iborat. ma'lum bir muhimlik darajasidagi mezon. Xususan, ma'lum bir ishonchlilik darajasida ishonch oralig'ida joylashgan komponentlarningmolulushlari qiymatlari diapazoni shaklida qatlam suyuqliginingdala o'rtacha komponent tarkibini aniqlash taklif etiladi. O'zlashtirilgan gaz kondensati konining quduqlaridan namuna olish jarayonida olingan tabiiy gaz tarkibini statistik qayta ishlash amalga oshirildi.
Kalit so'zlar: komponent tarkibi, matematik statistika, namuna olish, intervalli qatorlar, ishonch oralig'i, hosil bo'lgan suyuqlik namunasi.
Введение:
Компонентный состав пластовых флюидов является важнейшей информацией о месторождении, которую должен знать разработчик. При проектировании разработки месторождения корректная информация о составе и свойствах пластового флюида позволяет наиболее точно провести подсчет запасов, выбрать наиболее рациональный способ разработки и спрогнозировать возможные негативные физические процессы, происходящие в пласте и связанные с компонентным составом (Алиев, Мараков 2011). Так как данные о составе пластового флюида поступают со скважин, расположенных в разных точках площади месторождения, находящихся зачастую на очень больших расстояниях, возникает задача более точного определения среднего по месторождению состава флюида. Актуальность данной работы обусловлена тем, что на сегодняшний день большинство разрабатываемых газоконденсатных месторождений приурочены к валанжинским и ачимовским залежам. Гидродинамическое моделирование процессов разработки таких залежей осложнено ввиду неопределенности при синхронизации статистических выбросов их компонентного состава, полученного при отборе проб.
Материалы и методы:
В качестве исходных данных для решения задачи предлагается ряд мольных долей компонентов пластового газа и потенциального содержания конденсата в нем, полученный при отборе проб с эксплуатационных скважин газоконденсатного месторождения, находящегося в промышленной разработке.
На начальном этапе осуществляется проверка статистической гипотезы по критерию Пирсона (Гмурман В.Е. 2004) о том, что заданный ряд данных X = {х1 ,х2 , ...,хп }, коим и является мольная концентрация каждого компонента пластового газа, имеет нормальное распределение при заданном уровне значимости а. Для проверки гипотезы необходимо:
1. Сформировать вариационный ряд путем ранжирования данных, т.е. упорядочивания чисел х1, х2,..., называемых вариантами, по убыванию.
2. Разбить множество значений вариантов на интервалы, т.е. произвести их группировку. Количество интервалов определяется по формуле Стерджерса:
п = 1 + 1,4 • Ы(Ы) (1)
где N - количество вариантов
3. Определить длину интервала по формуле: _ Хтах — Х-тт
^ = Z (2)
П
где хтах и хт1П - соответственно максимальное и минимальное значения вариантов.
3.Пронормировать ряд X = {х1 ,х2 , ...,хп }, т.е. перейти к случайной величине:
*
X X/->»-»
2 =-Г2 (3)
а*
где х*р - среднее арифметическое каждого интервала;
*
а - среднеквадратичное отклонение каждого интервала.
4.Рассчитать теоретические частоты по формуле:
М1еор = N^1 (4)
где N — объем выборки (сумма всех частот); Р^ = Ф(г^+1) — Ф(г^) - вероятности попадания X в интервал (Х1 ,Х1+1 ); Ф(г) — функция Лапласа. Значения функции Лапласа берутся из приложения (Лунгу К.Н. и др. 2007).
5.Рассчитать наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
,2
1 = 1 1
где - эмпирические значения частот
6.По таблице критических точек распределения х2 по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к = 5 — 3 (з — число интервалов выборки) находится критическая точка правосторонней критической области Хкр(а,к ) из приложения (Гмурман В.Е. 2004).
Если Хнабл. < Хкр - нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении ряда данных. Если Хнабл. > Хкр - гипотезу отвергают.
Далее в случае подтверждения гипотезы рассчитываются числовые характеристики полученной случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению. В случае опровержения гипотезы проводится статистический анализ данных используется выборочный метод математической статистики, который заключается в том, чтобы по определенной части данных (выборке) судить о свойствах всего ряда. Для составленного ранее вариационного ряда вычисляются следующие параметры и числовые характеристики:
- частость (относительную частоту), т.е. долю варианты в выборке по формуле:
Щ = М1/м (6)
- накопленную частоту по формуле:
М_1 = 11Х<хМ1 (7)
- накопленную частость, соответствующую эмпирической функции распределения по формуле:
^ = (8)
- эмпирическую плотность распределения по формуле:
П = Щ/Ь (9)
- среднюю арифметическую величину по формуле:
= (10) i=1
- среднее линейное отклонение по формуле: d = ZtiWrIXi-XCpl (11)
- дисперсию по формуле:
п
22 хср
i=1
a2=^Wi^(Xi-Xcp)2 (12)
i=1
- среднее квадратическое отклонение по формуле:
° = ^=iWi • (Xi - Хср)2 (13)
- линейный коэффициент вариации по формуле:
= (d/xJ •100% (14)
эффициент вариации по формуле:
= (а/хСр)^100% (15)
п
Для интервальной оценки Хср вычисляется наибольшее отклонение Д средней, т.е. предельная ошибка выборки:
- для бесповторной выборки при Ы> 30 по формуле:
д Н-Р-^ (16)
- для бесповторной выборки N<30 по формуле:
. (17)
Vп
где t - параметр, который определяется из условия:
Ф(0=у (18)
где Ф(^ - функция Лапласа, у- доверительная вероятность или уровень надежности.
Далее определяется доверительный интервал для Хср по формуле:
Хср — Д< Х-ср.истин. < Хср + Д (19)
Интервальной оценкой параметра, в данном случае Хср , называется интервал (Хср — Д ; Хср + Д), который с заданной доверительной вероятностью у (или надежностью) накрывает неизвестное значение параметра Хср.
Далее дополнительно вычисляются следующие числовые величины для заданного вариационного ряда:
- относительная ошибка выборки по формуле:
Дотп= (Д/хср) • 100% (20)
- коэффициент асимметрии по формуле:
А = гщ = Т1=1(Х1—Хср)3 (21)
а3 па3
- коэффициент эксцесса по формуле:
т4 '£?=1(Х1 — Хср)4
Ек=—Г — 3=-—4--3 (22)
а4 па4
Для визуализации проведенной статистической обработки заданного ряда данных строится график функции плотности распределения с указанием доверительного интервала (Лунгу К.Н. и др. 2007).
Полученные результаты и Обсуждение:
В качестве исходных данных были взяты величины мольных концентраций компонентов пластового газа из 60 представительных проб, отобранных из скважин при проведении исследований в рамках контроля за разработкой газоконденсатного месторождения. В качестве примера применения данной методики представлены результаты расчетов для компонента С5+, который характеризует мольную концентрацию газоконденсата в составе пластового газа. Точное значение его определения существенно влияет на подсчет запасов и проектирование разработки газоконденсатного месторождения. В таблице 1 представлены интервалы вариационного ряда, вариантами которого являются мольные концентрации компонента С5+. В таблице 2 приведены результаты расчетов, проведенных для проверки статистической гипотезы о нормальном распределении мольных концентраций компонента С5+.
Таблица 1. Исходные данные для статистической обработки вариационного ряда компонента С5+
№ Интервалы , %
1 0,303-0,383
2 0,383-0,462
3 0,462-0,542
4 0,542-0,621
5 0,621-0,701
6 0,701-0,780
Таблица 2. Результаты расчетов числовых параметров, необходимых для проверки статистической гипотезы
Н ижняя граница Ве рхняя граница * Хф Mi мтеор i Mi (Mi -Mlеор.)2 (Mi-Ml ео мтеор
2,057 1,255 1,66 0 0, 000 0, 000
1,255 0,453 0,85 1 3 2 4, 000 0, 308
0,453 0,3 49 0,05 9 9 1 0 10 0,000 5, 263
0, 349 1,1 51 0 ,75 4 7 49 ,000 3, 500
1, 151 1,9 53 1 ,55 0 0, 000 0, 000
1, 953 2,7 55 2 ,35 1 1, 000 1, 000
Сумма 0 8 2 ,000 15 4,000 10 ,071
Таким образом, Х2абп. = 10,071, а правосторонняя критическая точка Хкр =
9,3484, следовательно, гипотеза о нормальном распределении мольных концентраций компонента С5+ отвергается. Следовательно, проводится статистическая обработка выборочным методом математической статистики, результаты которой приведены в таблице 3.
Таблица 3 - Результаты статистической обработки выборочным методом вариационного ряда мольных концентраций компонента С5+
№ Название параметра Обозначен ие Значен ие
1 Количество элементов выборки N 60
2 Количество интервалов n 6
3 Максимальный элемент выборки Xmax 0,78
4 Минимальный элемент выборки Xmin 0,303
5 Длина интервала L 0,08
6 Среднее арифметическое Хср 0,507
7 Среднее линейное отклонение d 0,072
8 Дисперсия о2 0,010
9 Среднеквадратичное отклонение а 0,099
1 0 Линейный коэффициент вариации, % и 14,200
1 1 Коэффициент вариации, % V 19,556
1 2 Предельная ошибка выборки А 0,024
1 3 Относительная ошибка выборки, % Аотн 4,79
1 4 Коэффициент асимметрии ряда данных А 0,35
1 5 Коэффициент эксцесса ряда данных Е 0,56
1 6 Доверительный интервал Хср+А 0,531
Хср-А 0,483
На рисунке 1 приведены графики эмпирической и огибающей плотности вероятности ранжированного ряда данных компонента С5+ при уровне надежности у=0,95.
Рисунок 1. Графики эмпирической и огибающей плотности вероятности ранжированного ряда данных компонента С5+ при уровне надежности у=0,95
Для наглядной демонстрации важности определения доверительного интервала для мольных концентраций компонентов пластового газа, полученные при статистической обработке среднее и граничные значения мольных концентраций компонента С5+ были использованы для построения PVT-модели флюида рассматриваемого месторождения в гидродинамическом симуляторе tNavigator компании Rock Flow Dynamics. Для данных составов был проведен PVT-эксперимент дифференциальная конденсация (CVD), позволяющий математически смоделировать истощение газоконденсатной залежи при изотермической фильтрации газа (Брусиловский А.И. 2002 г.). Полученные кривые потерь конденсата в пласте, представленные на рисунке
2, наглядно демонстрируют важность учета доверительных интервалов для мольных концентраций компонентов пластового газа.
□ .35
□ 30
□ 25
з 0 20 (-з: а Я-
0.15 0.10 0.05 0.00
20 40 60 80 100 120 140
Давление, Вар
-Вариант 1 - Правая граница доверительного интервала : Выпадение жидкости (объем при давл. насыщ.) (проценты)
- Вариант 2 - Средний состав : Выпадение жидкости (обьем при давл. насыщ.) (проценты)
Вариант 3 - Левая граница доверительного интервала : Выпадение жидкости (обьем при давл. насыщ.) (проценты)
Рисунок 2. Результаты РУТ-эксперимента СУО для различных составов пластового
газа
Заключение:
Анализ результатов проведенных расчетов показывает, что применение методов математической статистики позволяет решать множество задач, связанных с разработкой месторождений углеводородов. В частности, проведение статистической обработки составов природного газа позволяет более детально изучить физико-химические свойства добываемых флюидов. Результаты такой статистической обработки можно использовать при моделировании пластового флюида в гидродинамических симуляторах для построения гидродинамических моделей месторождений, точно описывающих историю разработки месторождения и основные физико-химические процессы, происходящие в залежи при снижении пластового давления во времени разработки. Стоит также отметить, что предложенная методика может лечь в основу усовершенствования многих гидродинамических симуляторов, PVT-дизайнер которых ориентирован лишь на конкретные значения вводимых параметров. Тем самым будет улучшен функционал моделирования газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений.
Список использованной литературы:
1. 1.Алиев, З.С., Мараков, Д.А. Разработка месторождений природных газов: Учебное пособие для вузов / З.С. Алиев, Д.А. Мараков. - М.: МАКС Пресс, 2011, 340 с.
2. 2.Брусиловский, А.И. Фазовые превращения при разработке месторождений нефти и газа / А.И. Брусиловский. - М.: «Грааль», 2002, 575 с.
3. Гмурман, В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
4. статистике: Учебное пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2004, 404 с.
5. 4.Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А., Куланин Е.Д. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу и др.; под ред. С.Н. Федина. - 6-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2007, 592 с.
