CC BY
16
_Доклады БГУИР_
2007 июль-сентябрь № 3 (19)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 658.56+519.81
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАЛИМЕТРИИ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ ПРИНИМАЕМЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА
В.И. КИРИЛЛОВ, Н.Б. АНОШЕНКО
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 14 января 2007
Во многих случаях выбор управленческого решения (одной из нескольких возможных альтернатив) существенно затруднен, так как исходные данные (результаты возможных решений и "внешние условия") являются неформализованными. Статья посвящена использованию методов квалиметрии для сведения управленческой задачи в условиях неопределенности к формализуемой задаче принятия решения в условиях вероятностного риска.
Ключевые слова: условия риска и неопределенности, ранжирование, метод попарных предпочтений, формализованная задача.
Во всех областях человеческой деятельности приходится сталкиваться с проблемой принятия решения, которая состоит в выборе одного из нескольких возможных вариантов деятельности (процессов, объектов и т.п., именуемых в дальнейшем альтернативами), обеспечивающего наилучшее достижение поставленной цели. Если критерий достижения цели удается формализовать, то выбор решения, как правило, может быть строго обоснован. Однако во многих случаях "качество достижения цели" неформализовано и выбор решения существенно затруднен (вспомните библейскую притчу о муках Буриданова осла, выбирающего одну из двух полных кормушек, да так и умершего с голода). Здесь на помощь могут прийти некоторые методы решения, применяемые в квалиметрии — науке о количественных методах измерения качества объектов различной природы (продукции, процессов, видов деятельности и т.п.). Один из примеров такой "квалиметрической поддержки" в задаче определения победителя конкурса на лучшее учебно-методическое издание приведен в [1]. Ниже рассмотрены другие возможности применения квалиметрии, обеспечивающие достаточно строгое обоснование выбираемого решения в условиях риска и неопределенности.
В зависимости от полноты информации об условиях принятия решения и его возможных последствиях выделяют следующие виды задач принятия решений (выбор одной из нескольких альтернатив, обеспечивающей наилучшее достижение цели):
принятие решений в условиях определенности: при выборе решения точно известны результаты реализации выбранного решения;
принятие решений в условиях риска и неопределенности: результаты реализации решения заранее точно не известны.
Для последнего случая наиболее успешно решаемыми считаются задачи принятия решений в условиях "природной" неопределенности, когда внешние факторы, существенно влияющие на исход операции, могут принимать одно из нескольких возможных состояний 0={0ь 02,-•• й,... QL}, для которых известна вероятность их осуществления £(0^=5/. При этом
влияющие факторы зависят от объективной действительности и безразличны к решаемой задаче и, лицу принимающему решение (ЛПР) [2, 4].
Если для каждой из возможных альтернатив I,, /е(1, АО, в условиях действия фактора Qj известен результат (исход) операции ау — значение некоторой выбранной функции полезности (выигрыша), например, величина какого-либо физического показателя, прибыли от реализации и т.п., то тогда задача принятия решения сводится к анализу матрицы выигрышей ||ау|| (см. табл. 1) по определенным правилам (критериям). Выбор того или иного критерия всегда субъективен и зависит от отношения ЛПР к риску — нежелательному исходу при выборе той или иной альтернативы [3]. В частности, риск полностью отсутствует (его вероятность равна нулю), если ЛПР руководствуется критерием "осторожного наблюдателя" (Вальда или макси-мина), но при этом гарантированный выигрыш, как правило, весьма мал. Очень высок риск, если ЛПР ориентирован на выбор такого решения, который обеспечивает лучший результат для наилучшего состояния "природы" (критерий максимакса).
Таблица 1. Примерная запись матрицы выигрышей
щ
11 а„ ац ац
12 а21 ац агь
I а,1 ац
1а аА1 аА аАЬ
Гарантированный риск обеспечивается, если ЛПР выбирает критерий "взвешенного выигрыша" (ВВ), определяемого для каждой альтернативы I, по формуле [2]
ВВ (I, ) = В (I, )-Хов (I,); г е(1, N), (1)
где
В (I )1 ¿А ; (2)
j=l
( ь
=(1 )= I ^ ( -В (I)) I . (3)
^ j=1 )
При этом В(1г) характеризует средний выигрыш от использования I, а сВ(1г) — средне-квадратическое отклонение выигрыша от среднего; показатель Х(Х>0) характеризует субъективное отношение ЛПР к риску.
Можно показать, что при выборе X в пределах от 0,5 до 1,5 вероятность того, что взвешенный выигрыш будет не меньше, чем определяемый по (1), растет от 0,7 до 0,9. По эмпирической шкале рисков это соответствует малому и минимальному риску [4]. С такой долей уверенности ЛПР выбирает ту к-ю альтернативу 1к, ке(1, А), для которой взвешенный выигрыш (1) максимален.
Путем несложных преобразований матрица выигрышей ||ау|| может быть трансформирована в матрицу проигрышей ||6у|| ("сожалений" о неиспользованных возможностях). Для нее также предложен ряд субъективных критериев предпочтения ЛПР, например, критерий мини-макса (Сэвиджа), минимина, "взвешенного проигрыша" и др. [3, 4]. Среди них только критерий "взвешенного проигрыша" (ВП), определяемый по принципам (1)-(3), позволяет обеспечить принятие решения с той вероятностью риска, которая устраивает ЛПР. При этом
ВП (I ) = П(1, ) + Хап (I,); /е(1, N), (4)
где
П (I )£ SA ;
j=1
(I) = iisi ( -П(I))
(6)
Здесь П (I) характеризует средний проигрыш от использования альтернативы а сП(/г) — среднеквадратическое отклонение проигрыша от среднего. Коэффициент X имеет тот же смысл, что и ранее в (1)-(3).
Например, выбирая в (1)-(3) величину X=1,5, ЛПР знает, что рассчитанный выигрыш ему гарантирован с 90%-ной уверенностью. Такой результат для него более обоснован и понятен, чем, например, по критерию "пессимизма-оптимизма" (Гурвица) [3], в котором коэффициент "оптимизма" не имеет вероятностного обоснования.
Во многих случаях описанная процедура принятия решения по совокупности рассмотренных критериев не может быть проведена по ряду причин:
1) отсутствует достоверная информация о вероятности того или иного состояния "природы";
2) отсутствует достоверная информация о численных значениях выигрышей (проигрышей), получаемых в результате реализации того или иного варианта решения (альтернативы).
Отсутствие этих данных не позволяет составить матрицы выигрышей и потерь и соответственно выполнить формализованный расчет эффективности предполагаемых решений по совокупности рассмотренных критериев оптимальности при допустимой (заданной) вероятности риска.
Целью работы является использование методов квалиметрии для получения дополнительной словесной (вербальной) информации от ЛПР (или группы экспертов) с последующим преобразованием ее в числовую форму и таким образом сведение задачи в условиях неопределенности к задаче принятия решения в условиях вероятностного риска.
Рассмотрим ее сначала применительно к первой проблеме — получению оценки субъективной вероятности Sj проявления того или иного состояния "природы" Qj для je(1, L). Здесь возможно несколько подходов.
В первом из них каждый эксперт производит ранжирование состояний "природы" по степени вероятности его проявления: наиболее вероятное состояние получает максимальный ранг L, наименее вероятное — ранг 1. Далее по известной процедуре производится усреднение рангов по группе экспертов и окончательное групповое ранжирование. Пусть состояние "природы" Qj получило некий ранг Rj, Rje(1, L). Тогда принимается решение, что вероятность Sj состояния "природы" Qj прямо пропорциональна его рангу Rj: Sj=A Rj, где A — коэффициент пропорциональности.
Более точно величину Sj можно рассчитать на основе метода попарных предпочтений. С этой целью ЛПР или каждый эксперт группы составляет таблицу предпочтений типа табл. 2. Коэффициент попарных предпочтений 5;к отражает предпочтение (в смысле вероятности появления) j-го состояния Qj "природы" перед к-м состоянием Qk.
l
l
Учитывая, что ^ Sj = A^ Rj = AL (L +1)2 = 1,0 , получим окончательно
(7)
Состояния "природы"
Ql Qkk QL
Ql 5П §1к 51ь
8,1 8,Ь
QL 5ы 5ьк 5ьь
Если выбрана трехуровневая шкала значений 5;к (5;к=0; 0,5 или 1,0) так, что 5;к=1,0, если вероятность /-го состояния природы больше, чем к-го; 5^=0,5, если вероятности /-го и к-го состояния равны; 5/к=0, если вероятность/-го состояния природы меньше, чем к-го, то субъективная вероятность _)-го состояния рассчитывается из выражения [4]
5=е5 £ £5 /к • (8)
к=1 / /=1 к=1
Точность определения можно повысить, применяя многоуровневую шкалу предпочтений Саати [5, 6]. Коэффициент попарных предпочтений 8]к в такой 9-уровневой шкале определяется из условия:
5;к=1,0 — при равенстве вероятности событий;
5;к=3,0 — умеренное (легкое) превышение вероятности события Qj относительно события Qk (имеются некоторые основания так считать);
5/к=5,0 — существенное (сильное) превышение вероятности появления события Qj по сравнению с событием Qk (имеются достаточно веские основания так считать);
5/к=7,0 — значительное превышение вероятности появления события Qj относительно события Qk (имеются очень веские основания так считать);
5/к=9,0 — абсолютная уверенность в том, что событие Qj более вероятно, чем Qk;
5^=2, 4, 6, 8 — промежуточные решения между двумя соседними суждениями.
Очень важным в этой шкале является то, что при обратном сравнении: вероятности события Qk относительно вероятности события Qj — принимают коэффициент предпочтения 5. из условия: 5^=1/5^.
После заполнения таблицы попарных предпочтений по типу табл. 2 субъективная вероятность Sj состояния Qj рассчитывается из выражения [5, 6]
( ь / Ь ( ь ]/ь
5=(№.] /еж.) . (9)
V к=1 У / j=1 V к=1 У
Согласованность предпочтений ЛПР (или группы экспертов) проверяется по известной методике [5]. При необходимости экспертам предлагается уточнить свои предпочтения. Отме-
ь
тим, что из (9) следует ^ 5 ■ =1,0, что соответствует природе вероятностных оценок.
;=1
После определения субъективных значений вероятности Sj дальнейший процесс определения оптимального решения идет по описанной выше процедуре, в частности, путем использования критерия (1)-(3).
В случае отсутствия достоверной информации о численных значениях выигрышей (проигрышей), полученных в результате реализации того или иного варианта решения (альтернативы), можно попытаться получить субъективные оценки этих выигрышей на основе субъективных предпочтений ЛПР или группы экспертов. Пусть формально имеем типовую запись матрицы выигрышей вида табл. 1.
Значение ац — выигрыша от принятия решения I, в условиях Sj (с вероятностью 5) точно неизвестно, но ЛПР имеет определенные субъективные суждения о возможных соотношениях между значениями выигрышей для разных альтернатив при неизменных условиях "при-
роды". Тогда при 5/=соп81 эксперту (или ЛПР) предлагается вывести суждение о том, как соотносятся между собой возможные выигрыши а у, а2;, ..Мц..Ма для всех /е(1, А). Целесообразно (проще для эксперта) эти суждения свести в таблицу попарных предпочтений типа табл. 2 из коэффициентов 5гр, где г, ре(1, А), гФр, и коэффициент 5гр отражает предпочтение (превышение) возможного выигрыша ац относительно ар-.
Если коэффициент предпочтения выбирается в рамках трехуровневой шкалы (5гр=0; 0,5 или 1,0), причем 5гр=1,0, если aij>aрj, и 5гр=0, если ау<ар-, то можно определить "относительную силу выигрыша а^" в виде оценки qif
n n n
=1§г»/Ц5гр . (10)
р=1 / г=1 р=1
Если коэффициент предпочтения выбирается на основании многоуровневой шкалы Саати [5, 6], когда 5гре(1; 9), причем 5гр=3; 5; 7; 9 соответствует умеренному, существенному (сильному), значительному и очень сильному превосходству выигрыша ац по сравнению с выигрышем ар]-, а 5рг =1/5гр, то "относительная сила выигрыша ав виде оценки qij будет определяться по формуле
qц =15, /II . (11)
Согласованность предпочтений ЛПР (или группы экспертов) при назначении 5гр проверяется по известной методике [5]. Такую процедуру необходимо провести для каждого состояния природы Qj, уе(1, Ь).
Оценка qij по (11) более точная, чем по (7), но в обоих случаях имеем
n
I qг] = 1,0, для всех ] е (1, Ь). (12)
г=1
Далее оценки qij следует подставлять в матрицу типа табл. 1 вместо неизвестных точно выигрышей ау, а затем с полученной таким образом матрицей производятся все типовые расчеты, например, (1)-(3), по рассмотренным критериям оптимальности. Для удобства расчетов все оценки qij, где ге(1, N); _/е(1, Ь) предварительно умножают на постоянный коэффициент ,Р=10К, к=1, 2, 3.
Подытоживая вышесказанное, можно сделать следующие выводы.
1) предложенный квалиметрический подход позволяет получить дополнительную субъективную информацию от ЛПР или группы экспертов в виде оценок попарных предпочтений, что, с одной стороны, не вызывает затруднений у экспертов, а с другой стороны, позволяет получить достаточно точные оценки "относительной силы" или исходов (выигрышей аг]) или вероятности влияющих факторов (Б}) или того и другого;
2) в результате этого задачу принятия решений в условиях "природной" неопределенно -сти удается свести к более формализованной задаче принятия решений в условиях риска;
3) для последней задачи целесообразно использовать критерий "взвешенного выигрыша" (или проигрыша), позволяющего принять решение (выбрать альтернативу) с известной и приемлемой для ЛПР вероятностью риска.
APPLICATION OF QUALIMETRY METHODS FOR A SUBSTANTIATION ACCEPTED SOLUTION IN CONDITIONS OF UNCERTAINTY AND RISK
V.I. KIRILLOV, N.B. ANOSHENKO Abstract
In many cases the choice of the management decision (one from the few possible alternatives) is essentially complicated because initial dates (results of possible decisions and "external conditions") are not-formalized. It is shown how qualimetry methods may be used for transforming of the management problem in uncertainty conditions to a formalized problem in likelihood risk conditions.
Литература
1. Кириллов В.И., Германович О.В. // Выш. школа. 2005. № 3. C. 72-78.
2. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. М., 2002.
3. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рискованных ситуаций. М., 2005.
4. НикифоровА.Д. Управление качеством. М., 2004.
5. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М., 1993.
6. Литвак Б.Г. Экспертные технологии в управлении. М., 2004.
