CC BY
41
УДК 621.3.084
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРВАЛЬНОГО АНАЛИЗА ПРИ КАЛИБРОВКЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ
А.Е. Попов
APPLICATION OF INTERVAL ANALYSIS IN CALIBRATION OF PRESSURE TRANSDUCERS
A.E. Popov
Применение интервального анализа при расчете калибровочных коэффициентов обусловлено тем, что в метрологии принята интервальная модель неопределенности. Предполагается, что некоторое измерение получено с помощью неточного прибора с известной абсолютной ошибкой измерения, которая включает как систематическую, так и случайную погрешности. В случае калибровки известен класс точности образцового задатчика давления.
Ключевые слова; интервальный анализ, калибровка, преобразователь давления.
Application of interval analysis to calculate calibration coefficients is connected to the fact that in the metrology the interval model of uncertainty has been accepted. It is assumed that a measurement is obtained by using inaccurate device with a known absolute error of measurement, which includes both systematic and random errors. In the case of calibration, accuracy class of model pressure drive is known.
Keywords: interval analysis, calibration, pressure transducer.
Введение
Расчет калибровочных коэффициентов измерительных преобразователей давления практически всегда производится с использованием методов регрессионного анализа и вероятностностатистической модели.
Вероятностно-статистическая модель основана на предположении, что рассматриваемые переменные являются случайными величинами с заданными функциями плотности вероятности. Эта модель относится к классическим вследствие ее глубокой теоретической и методической проработанности для огромного числа приложений, включая регрессионный, корреляционный, факторный и дисперсионный анализ. Вероятностно-статистичес-кая модель до сих пор является наиболее популярной и широко используется в практике калибровки преобразователей давления ввиду её простоты [1].
В рамках вероятностно-статистической модели по данным эксперимента находятся статистические оценки калибровочных коэффициентов прямой модели. Далее производится переход к обратной модели, в ходе которого возникают теоретические сложности при построении доверительного интервала, предсказать который является практически невозможно. Однако в ряде случаев возможность построения доверительного интервала
является необходимой. В этом случае можно гораздо точнее оценить класс точности измерительного преобразователя сразу после калибровочной процедуры и нет необходимости проводить трудоёмкую процедуру поверки прибора.
Помимо широко используемого в настоящее время вероятностного подхода, существует также альтернативный подход, основанный на методах интервального анализа, в рамках которого задача построения доверительного интервала решается достаточно просто.
1. Введение в интервальный анализ
В интервальной модели неопределенность параметра х описывается границами его возможных значений в следующем виде:
[х] = [х-А;д: + А].
В отличие от теории вероятности внутри интервала [х] не задается никакой вероятностной меры, т.е. все значения внутри интервала предполагаются равновозможными.
Применение интервального анализа при расчете калибровочных коэффициентов обусловлено тем, что в метрологии принята интервальная модель неопределенности. Предполагается, что некоторое измерение х получено с помощью неточного прибора с известной абсолютной ошибкой изме-
Попов Андрей Евгеньевич - инженер-программист глобального инженерного центра ПГ «МЕТРАН»; [email protected]
Popov Andrey Evgenevich - engineer-programmer of global engineering center of IG «METRAN»; [email protected]_____________________________
рения А, которая включает как систематическую, так и случайную погрешности. В случае калибровки известен класс точности образцового задатчика давления. Именно значение класса точности принимается в качестве известной абсолютной ошибки измерения А [2].
Предметом интервального анализа является решение задач с интервальными неопределенностями и неоднозначностями в данных, возникающими в постановке задачи или на промежуточных стадиях процесса решения. Методы интервального анализа характеризуются рассмотрением множеств неопределённое™ как самостоятельных целостных объектов, посредством проведения над ними арифметических, аналитических операций и отношений [3].
Рассмотрим некоторые базовые операции над интервальными данными а и Ь: а+Ь = [а+Ь,а+Ь], а-Ъ = [а-Ъ,а-Ь\,
а-Ь= [шш {аЬ, аЬ, аЬ, аЬ}, тах{аЬ, аЬ, аЬ, аЬ}\,
а1Ъ = а-\\1Ь,\1Ь] дляЬйО.
Известно, что вероятностно-статистическая модель не позволяет учесть факторы неопределенности, обусловленные систематическими ошибками измерения и ошибками округления. Кроме того, постулируемое в вероятностной модели нормальное распределение, которое задает неограниченный диапазон величины, на практике часто оказывается неадекватным, например, для заведомо положительных переменных. Интервальная модель позволяет учесть любые факторы неопределенности [4].
Попробуем применить методы интервального анализа при расчете калибровочных коэффициентов.
2. Метод наименьших квадратов для интервальных данных
В рамках статистического подхода для нахождения оценок параметров обычно используется множественный регрессионный анализ, основанный на методе наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов можно применить при работе с интервальными данными. В этом случае в качестве экспериментальных данных необходимо использовать интервалы. Например, если образцовый задатчик давления показывает величину давления 15 кПа, а класс точности задатчика при работе с диапазоном 160 кПа составляет
0,008 %, то при расчете будет использован следующий интервал:
М = [15-А;15 + А];
[х] = [15-160-0,008/100; 15 + 160 0,008/100];
[х] = [14,9872; 15,0128].
Проведение численных расчетов с интервальными данными несколько затруднено в силу неко-
торых особенностей вычислений, однако общий ход вычислений соответствует стандартному методу наименьших квадратов.
Суть метода сводиться к следующему.
Пусть полином имеет вид
f(x,z) = Со + Сгх + С2х2 + ... + Стхт +Cm+lz + +Cm+2ZX + • • ■ + Cm+m+\zXm + Cm+m+2z2 + ■ • ■ +
+Cm+m+3z x + ■ • •+ Cm+m+m+2z x +••• +
+^-'mn+nZ + •■■ + Cm+n+mnZ X ’
В более компактном виде F = XZ C,
где F - матрица значений функции; XZ - матрица значений аргументов; С - матрица коэффициентов. Критерий минимизации:
min{E2 =(F-XZC)2}.
Для получения минимума необходимо взять частную производную по вектору С.
— = -2-XZT-F + 2-XZT-XZ-C = 0, dC
откуда
XZT XZ C = XZT -F,
получаем
c = (xzTxzr,xzTF.
Все остальные вычисления над матрицами проводятся по приведенному выше алгоритму. Для работы с интервальными матрицами существует специальная библиотека INTLAB, работающая в среде MATLAB.
3. Пример расчета калибровочных коэффициентов с использованием интервальных данных Применяя функции библиотеки INTLAB, рассчитаем калибровочные коэффициенты измерительного преобразователя давления. Экспериментальные данные представлены в табл. 1.
Таблица 1
Экспериментальные данные
Температура, °С Код температуры Давление, кПа Код давления
1 2 3 4
0 14333207 0 8314658,81
0 14332247 3 8460744,63
0 14331635 5 8531040,45
0 14330439 10 8706786,81
0 14328955 16 8917639,72
0 14327933 20 9058226,81
0 14326759 25 9233991,18
0 14323707 40 9761025,36
0 14319637 60 10463472,8
0 14311885 100 11867937
0 14305841 130 12920312,4
0 14299557 160 13971705,5
20 14029485 0 8362142,09
20 14029111 3 8458444,81
Применение методов интервального анализа при калибровке преобразователей давления
Окончание табл.1
1 2 3 4
20 14028857 5 8525074,45
20 14028201 10 8691797
20 14027417 16 8891855,72
20 14026909 20 9025206,45
20 14026209 25 9191976,63
20 14024063 40 9692122,27
20 14021113 60 10358671,1
20 14014839 100 11690962,0
20 14009885 130 12689079,7
20 14004717 160 13686233,9
50 13679453 0 8365945,36
50 13679045 3 8458600,81
50 13678767 5 8521816,09
50 13678059 10 8679713,36
50 13677163 16 8869111,72
50 13676577 20 8995417,36
50 13675849 25 9153258,27
50 13673725 40 9626679,90
50 13670861 60 10257539,7
50 13665077 100 11517994,8
50 13660485 130 12462044,4
50 13655805 160 13404765
Рассмотрим некоторые функции библиотеки INTLAB, необходимые для расчета коэффициентов измерительного преобразователя.
Функция «midrad» позволяет осуществить ввод интервального значения, используя центр и радиус интервала. Данную функцию необходимо применить для перевода экспериментальных данных, представленных в табл. 1, в интервальный вид. В качестве центра интервала необходимо принять значение, измеренное прибором. В качестве радиуса интервала примем класс точности образцового задатчика.
Для умножения и транспонирования матриц используются функции «/» и «transpose», которые переопределены для работы с интервальными данными внутри пакета INTLAB.
Для решения системы линейных алгебраических уравнений, заданных в интервальном виде, применяется функция «verifylss», использующая для решения метод Кравчука.
Запрограммируем представленный ранее алгоритм в виде т-файла MATLAB.
Итак, после запуска подпрограммы, реализующей метод наименьших квадратов для интервальных данных, получаем набор калибровочных коэффициентов. Данный набор также будет представлен в интервальном виде. То есть в результате работы программы будет произведен расчет нижних и верхних границ значений коэффициентов.
Для проверки результатов расчета подставим исходные коды в полученную математическую модель и вычислим интервалы характеристики полученных значений. Результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты расчета
Точка, кПа Нижняя граница, кПа Верхняя граница, кПа Радиус интервала, кПа
0 0,060 0,073 0,007
3 2,956 2,971 0,008
5 4,958 4,976 0,009
10 9,966 9,993 0,014
16 15,972 16,012 0,020
20 19,974 20,023 0,025
25 24,976 25,039 0,031
40 39,966 40,079 0,057
60 59,918 60,124 0,103
100 99,739 100,241 0,251
130 129,555 130,394 0,419
160 159,371 160,662 0,646
Таким образом, в результате расчета с использованием методов интервальной статистики были получены значения доверительных интервалов.
Далее необходимо оценить точность полученных результатов. Для этого рассчитаем абсолютную величину отклонения середины полученного интервала от задаваемой точки. Данные расчета представлены в табл. 3.
Таблица 3
Оценка точности вычислений
Точка, кПа Середина интервала, кПа Величина абсолютной ошибки, кПа
0 0,067 0,067
3 2,963 0,037
5 4,967 0,033
10 9,980 0,020
16 15,992 0,008
20 19,999 0,001
25 25,008 0,008
40 40,023 0,023
60 60,021 0,021
100 99,990 0,010
130 129,975 0,025
160 160,017 0,017
Заключение
Приведенный пример показывает, что применение интервального анализа позволяет снять некоторые проблемы и методические сложности, возникающие при решении прикладных задач статистическими методами. Интервал неопределенности позволяет описать широкий класс неопределенных, неоднозначных, вариабельных и неточных исходных данных. Значения ошибок в исходных данных могут колебаться в широких пределах. Результаты, полученные в рамках парадигмы с помощью интервального анализа, имеют ясную и четкую интерпретацию в терминах интервалов и областей неопределенности. В результате расчета
были получены интервальные значения калибровочных коэффициентов измерительного преобразователя, на основе которых затем получены доверительные интервалы.
Литература
1. Зоркстъцев, В.И. Метод наименьших квадратов / В.И. Зоркальцев. - Новосибирск: ВО «Наука», 1995. — 220 с.
2. Попов, Б.А. Приближение функций для технических приложений / Б.А. Попов, Г.С. Теслер. — Киев: Наукова думка, 1980.
3. Шарый, С.П. Конечномерный интервальный анализ/ С.П. Шарый. - М.: XYZ, 2008. - 569 с.
4. Померанцев, A.JI. Построение многомерной градуировки методом простого интервального оценивания / А.Л. Померанцев, O.E. Родионова. -Журн. аналит. химии. - 2006. -№ 61. - С. 1032-1047.
Поступила в редакцию 3 февраля 2009 г.
