CC BY
24
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ НА АКТИВНЫХ УЧАСТКАХ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
12 3
Манглиева Ж.Х. , Норов Г.М. , Ибрагимов А.Д. Email: Manglieva1167@scientifictext.ru
'Манглиева Журагул Хамрокуловна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра технологии машиностроения; 2Норов Гуломжон Мирзоголибугли - ассистент, кафедра высшей математики и информационной технологии, Навоийский государственный горный институт, г. Навои, Республика Узбекистан; 3Ибрагимов Алишер Давлатович - студент,
кафедра общей химии, Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола, Республика Марий Эл
Аннотация: целью исследований являлось выявление существующей проблемы при оптимизации движения точки переменной массы (центр масс космического аппарата - КА) в гравитационном поле. Она включает в себя выбор, прогнозирование, оптимизацию и расчет траекторий управляемых объектов. Большой вклад в решение указанной проблемы внес профессор Азизов Ахмед Ганиевич. Его ученики продолжают получать существенные результаты в данной области. Ниже приведены некоторые результаты, полученные ими в последнее время. Вариационная задача в постановке Лоудена заключается в определении управлений (величина и направление реактивной силы) и оптимальных траекторий точки, движущейся с ограниченным секундным расходом массы т.
Ключевые слова: движение точки, гравитационное поле, гамильтонова система, реактивная сила, аналитическая механика.
APPLICATION OF METHODS OF ANALYTICAL MECHANICS WHEN OPTIMIZING TRAJECTORIES AT ACTIVE SECTIONS IN GRAVITATIONAL FIELDS Manglieva Zh.Kh.1, Norov &М.2, Ibragimov A.D.3
'Manglieva Zhuragul Khamrokulovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor, DEPARTMENT OF ENGINEERING TECHNOLOGY; 2Norov Gulomzhon Mirzogolib ugli - Assistant, DEPARTMENT HIGHER MATHEMATICS AND INFORMATION TECHNOLOGY, NAVOI STATE MINING INSTITUTE, NAVOI, REPUBLIC OF UZBEKISTAN; 3Ibragimov Alisher Davlatovich - Student, DEPARTMENT OF GENERAL CHEMISTRY, MARI STATE UNIVERSITY, YOSHKAR-OLA, REPUBLIC OFMARIEL
Abstract: the aim of the research was to identify the existing problem in optimizing the movement of a point of variable mass (the center of mass of the spacecraft - SC) in a gravitational field. It includes the selection, forecasting, optimization and calculation of trajectories of managed objects. A great contribution to the solution of this problem was made by Professor Azizov Akhmed Ganievich. His students continue to receive significant results in this area. The following are some
of their recent results. The variational problem in the formulation of Louden is to determine the controls (magnitude and direction of the reactive force) and the optimal trajectories of a point moving with a limited second mass flow rate m.
Keywords: point motion, gravitational field, Hamiltonian system, reactivating force, analytical mechanics.
УДК531.01: 629.72
Существует проблема оптимизации движения точки переменной массы (центр масс космического аппарата - КА) в гравитационном поле. Она включает в себя выбор, прогнозирование, оптимизацию и расчет траекторий управляемых объектов. Большой вклад в решение указанной проблемы внес профессор Азизов Ахмед Ганиевич. Его ученики продолжают получать существенные результаты в данной области. Ниже приведены некоторые результаты, полученные ими в последнее время. Вариационная задача в постановке Лоудена заключается в определении управлений (величина и направление реактивной силы) и оптимальных траекторий точки, движущейся с ограниченным секундным расходом массы m. Относительная скорость истечения продуктов сгорания с считается постоянной. Несмотря на актуальность и многочисленные исследования проблема определения аналитических решений на активных участках оптимальной траектории в центральных и тем более в нецентральных гравитационных полях до сих пор остается нерешенной. Поэтому приходится аппроксимировать эти участки точками соединения или отказываться от критерия оптимальности, или использовать численное интегрирование. Импульсная теория хорошо разработана, но на практике такая аппроксимация часто не отражает истинного маневра. Метод Лоудена, основанный на введении базис-вектора и функции переключения, позволил нам свести указанную проблему к проблеме интегрирования некоторых замкнутых гамильтоновых систем четырнадцатого порядка по участкам нулевой (m=0), промежуточной (0< m < m ) и максимальной (m = m ) тяг.
a cm Я а ^ -
v =---hg(r), r = v , M = —m ,
M Я
Я =—яг , яг = —8gЯ , ям = -mЯ .
8r M
Такое обстоятельство дает возможность использовать аппарат аналитической механики, развитый для гамильтоновых систем. Здесь r , v, M - радиус-вектор, скорость и масса
точки; Я , Яг, ЯлM - сопряженные им множители, Я =
Я
g (r ) - гравитационное
ускорение.
В случае центральных гравитационных полей к настоящему времени известны для участков промежуточной тяги (ПТ) семь, а для участков максимальной тяги (МТ) пять общих интегралов. В случае осесимметричных полей гамильтонова система четырнадцатого порядка имеет для участков ПТ четыре, а для участков МТ три известных общих интеграла. В случае ограниченной задачи трёх тел для участков промежуточной тяги известны только два общих интеграла. Этих интегралов недостаточно для определения общего решения дифференциальных уравнений вариационной задачи. Поэтому представляет интерес определение частных интегралов и частных решений. К методам нахождения частных решений гамильтоновых систем относятся: метод Леви-Чивита, использующий знание только некоторого числа интегралов или инвариантных соотношений, находящихся в инволюции (этот метод добавляет к имеющимся интегралам инвариантные соотношения, недостающие до сведения задачи к квадратурам); метод Леман-Филе, использующий знание неполного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби; а также метод Докшевича, основанный на анализе структуры интегралов, которые ещё не найдены для данной системы дифференциальных уравнений [1].
Такой подход позволил нам найти ряд аналитических решений дифференциальных уравнений вариационной задачи для активных участков. Аналитически полученные опорные траектории имеют ряд преимуществ по сравнению с численно построенными решениями. Они не связаны с вопросами сходимости, позволяют заранее определить начальные значения множителей Лагранжа (составляющие базис-вектора), обеспечивают непрерывность параметров траектории при изменении режима силы тяги и содержат важные функциональные зависимости между параметрами точки (КА) и параметрами траектории.
К настоящему времени нами получены следующие основные результаты:
Показана возможность использования аппарата аналитической механики, развитого для гамильтоновых систем, в качестве инструмента нахождения опорных траекторий в задачах небесной баллистики. Проанализирована возможность применения при отыскании частных интегралов и частных решений для ряда задач оптимизации траекторий методов Леви-Чивита, Леман-Филе и Докшевича. Показано, что метод Леман-Филе приводит к более частным результатам, чем метод Леви-Чивита. Метод Докшевича может работать и в случаях, когда нет известных интегралов или они не находятся в инволюции [2].
Выяснена принципиальная трудность сведения вариационной задачи к квадратурам на активных участках в центральных, осесимметричных и других гравитационных полях [3].
Методами Леви-Чивита и Леман-Филе найден ряд новых частных \решений задачи о минимизации характеристической скорости на участках промежуточной тяги в центральном ньютоновском поле, в случае предельного варианта задачи двух неподвижных центров и в поле двух неподвижных центров. Показано, что найденные участки промежуточной тяги могут быть практически использованы для построения конкретных перелетов. Например, для центрального ньютоновского поля решена задача о повороте плоскости и линии апсид эллиптической орбиты с минимумом расхода массы.
Разработана методика применения метода Якоби для анализа участков ПТ. Получены квадратуры для этих участков в случае центральных полей. Получена функциональная зависимость числа активных участков от числа постоянных интегрирования аналитических решений. Эта зависимость позволяет определить структуру траектории и число точек переключения.
На основе \метода Докшевича проведен анализ и выяснена структура общих интегралов для участков максимальной тяги в случае центрального Ньютоновского поля. В плоском случае найдены два частных интеграла, находящихся в инволюции. Найдено каноническое преобразование, которое позволило свести систему дифференциальных уравнений вариационной задачи к автономной и интегрируемой. Получено решение, соответствующее движению с максимальной касательной тягой по раскручивающимся спиралевидным кривым. Решена задача об оптимальном уходе с эллиптической орбиты.
Сведена к квадратурам вариационная задача на участках максимальной тяги в центральном линейном поле в случае, когда годографом базис-вектора является эллипс. Показано, что решением ряда вариационных задач в случае, когда движение происходит в тонком сферическом слое центрального Ньютоновского поля с тягой, близкой к трансверсальной, будет с достаточной степенью точности решение задачи, полученное для центрального линейного поля.
Показано, что при определенных начальных условиях участком максимальной тяги в центральном линейном поле может быть дуга окружности. Это решение нашло применение в случае центрального Ньютоновского поля при рассмотрении ряда прикладных задач, когда движение происходит в тонком сферическом слое. Решена задача о мягкой встрече с минимальным расходом массы двух точек, движущихся по одной и по двум различным компланарным круговым орбитам в центральном Ньютоновском поле.
Следуя методу Леви-Чивита, найден класс частных решений для участков промежуточной тяги задачи о минимизации характеристической скорости в случае гравитационного поля двух неподвижных центров. Области существования траекторий зависят от значений гравитационных параметров неподвижных центров. Найдены соотношения, определяющие величину и направление тяги, а также скорость точки через
7
начальные условия, отношение масс центров притяжения и расстояние между ними. Найдена зависимость расхода массы от начальных условий.
Используя метод Докшевича, проведен анализ структуры общих интегралов для участков ПТ в случае гравитационных полей двух неподвижных центров и в случае предельного варианта двух неподвижных центров, то есть выяснено, от каких переменных должны зависеть новые, пока не найденные, общие интегралы дифференциальных уравнений вариационной задачи.
В случае предельного варианта двух неподвижных центров для задачи о минимизации характеристической скорости на участках промежуточной тяги методом Леви-Чивита и методом Докшевича найдены классы частных решений, которым соответствуют траектории, лежащие в плоскостях, перпендикулярных силовым линиям однородного поля, а также расположенных на конической поверхности с вершиной в неподвижном центре, ось симметрии которой совпадает с линией центров. Найдены ограничения на область существования траекторий. Получены законы изменения массы и направления силы тяги.
Методом Докшевича найден ряд частных интегралов и аналитических решений для участков промежуточной тяги вариационной задачи о движении точки в случае круговой ограниченной задачи трёх тел. Массы центров притяжения соизмеримы. Центр с большей массой - неподвижный, а второй центр движется относительно первого по круговой орбите. В числовых примерах в качестве гравитационных параметров взяты их значения для Земли и Луны.
Рассмотрен вопрос об осуществимости найденных программных движений при автоматическом управлении в случае различных гравитационных полей. Решены задачи о стабилизации полученных движений точки до асимптотической устойчивости по первому приближению. В качестве программных управлений взяты направляющие косинусы реактивной силы и реактивное ускорение. Для каждых конкретных случаев найдены линейные регуляторы, обеспечивающие асимптотическую устойчивость рассматриваемых программных движений. Выяснено, программу, каких переменных следует изменять в каждом конкретном случае для стабилизации невозмущенного движения.
Полученные результаты могут служить инструментом нахождения опорных траекторий в задачах небесной баллистики и могут быть применены для решения конкретных задач перелета.
Список литературы /References
1. Беген А. Теория гироскопичнских компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями. Наука. Москва. 1967.
2. РойтенбергЯ.Н. Гироскопы. М.: Наука, 1975.
3. Муратов Г.Г., Юлдошов Х.Э., Жураев А.Ш. Требования к электроприводу напора карьерного экскаватора. Journal of Advanced Research in Technical Science. North Charleston, USA: SRC MS. Create Space, 2018. Issue 8.80-82 p.
