Применение метода В. Г. Рекача к расчету прямых геликоидальных оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА В.Г. РЕКАЧА К РАСЧЕТУ ПРЯМЫХ ГЕЛИКОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК

М.И. РЫНКОВСКАЯ, магистр техники и технологий

Российский университет дружбы народов, Москва

Геликоидальные (винтовые) поверхности имеют обширный круг применения, как в строительстве, в машиностроении, так и в других отраслях промышленности [1].

Винтовыми поверхностями, в том числе геликоидальными оболочками, применительно к строительству начали интересоваться еще в 60-е годы. В связи с технологическими трудностями на начальном этапе были реализованы лишь единичные объекты, однако в настоящее время в условиях постоянного прогресса в области строительных технологий и материалов строительство геликоидальных конструкций приобрело массовый характер, особенно в подземном

тт цпгтлччлч гл «лпмшгт » лтплитл гт Г отп А п ПаДо^!VIпVI 1

Инженерные расчеты подобных конструкций ведутся в основном с использованием программных комплексов ЛИРА, СКАД и других, в основе которых лежит метод конечных элементов. Аналитическим же методам расчета оболочек, в том числе геликоидальных, уделяется недостаточно внимания. Оболочки, применяемые в реальных конструкциях и спроектированные на основании аналитических расчетов, с геометрической точки зрения относятся к весьма ограниченному числу поверхностей: круговых цилиндрических, конических, сферических, тороидальных, прямого переноса и некоторых других.

Среди известных аналитических методов расчета геликоидальных оболочек, не реализованных еще на ЭВМ, стоит выделить метод расчета геликоидальных оболочек с использованием рядов Фурье, предложенный В.Г. Рекачом. Первое упоминание об этом методе можно найти в статье [2], опубликованной в 1957 году. Однако численных результатов расчета по данной методике нет до сих пор.

Метод В.Г. Рекача заключается в следующем. Он использовал параметрические уравнения винтовых поверхностей

х-и собу; _у = и8шу; г = су + /(и) для вычисления геометрических характеристик срединной поверхности прямого геликоида:

Л~> 1 п2 2,2 2 2 Т- Г1

А =\, В =и +с «и «г ,7? = 0, — £

1 = 0, М - ■■•■--■■--■ « с/и « с / г, N -0, 2 2 и +С

где Л, В, Р - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, I, М, N - коэффициенты второй квадратичной формы.

Взяв за основу два дифференциальных уравнения Е. Рейснера

, , Н \ д (У Як Л

л: г2 дг {г ду 1 Э( г Эу

п г2 дг

В.Г. Рекач свел их к одному дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка

V4V4 (/, у)Ф(*, V) + р2V; У; (/, у)Ф(Г, V) = VV)/ В, (1)

где 1 = \пг,(р = (ЕИН)У1((^)Ф(1,у),иг=У\1,у)Ф((,у), (2)

к

Н- шаг винта, V4 - гармонический оператор, - дифференциальный оператор второго порядка.

Решение дифференциального уравнения (1) было взято в тригонометрических рядах Фурье

00

Ф(*,у)= £Фт(/)8Н1/ЯУ,

т=1

что сделало возможным получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка для определения коэффициентов тригонометрических рядов Фурье Ф„,(0 . В развернутом виде операторы имеют вид [3]

= ... + 2(2-т2)-; ...+ 4 тг ...+ т2(т2-4)../, (3)

с1г йг Л

„•>, .

\-к{1,т)... = ±т\,- -I)..., ш

Ф m{t) = Amiea»'1. (4)

Неизвестные коэффициенты Ат, ищутся посредством решения характеристического уравнения

а4 - 4а3 + 2(2 - т2 )а2 + т(4т ± р)а + т[т{т2 - 4) + р) = 0. (5)

При т- О уравнение (5) принимает вид

а4 -4а3 + 4а2 =0

и удовлетворяется четырьмя корнями а, =а2 - 0 , аг=аА- 2 , что приводит к известному полярно-симметричному решению для круглой пластинки:

и, = Д), + AQ2t + Аюв2' + 4)4/е2' = Д), + Aq2 In и + А^^и2 + A^au2 In и.

При т > 1 уравнение (5) решается через нахождение действительных корней кубического уравнения [3]

у3 -(2-т2)у2-т4у-т2(т4-2т2 + /?/8] = 0 (6)

через 23 -3pz + 2q = 0, (7)

где р = -4(т4-т2 +1)/9; q = -(Hmb -\2т4 - 12m2 + 8 + 21тр2 /16) .

Для нахождения частного решения необходимо рассмотреть неоднородное уравнение (1), полагая частное решение в форме

00

т

т~ 1

При нагрузке Z(t,v) = q = const частное решение (0 < v < л) находится из уравнения

тп D

откуда Ф(?) = Ае4', где А= ■■■■ ■ ■ ■ . ']Ч ,„ , 7 . (9)

Dxm[45(2-m2)2 + 43т4(2 - т2) + ms-9pW]

При изучении статей [2], [3] и поэтапном проверочном решении уравнений для составления программы по расчету прямых геликоидов на основе аналитического метода В.Г. Рекача были выявлены следующие опечатки и неточности, которые значительно влияют на окончательные результаты расчета. Обнаружились разночтения в записи выражения для гармонического оператора V4 (t,m).

Правильная запись оператора (3) и характеристического уравнения (5) представлена в монографии [3]. В статье [2] оператор (3) дан в виде

V4(f,m)...

d4

...-4 з ... + 2(2-т2) ... + 4т2

. + т

dt4 dt " ' ' dr dt

характеристическое уравнение (5) записано следующим образом

а4 - 4ау + 2(2 - т2)а2 ± рта + т[тъ + р)-0.

И, следовательно, имеются разночтения в записи кубического уравнения (6). В статье [2] оно дано в виде

у3 -(2 -т2)у2 -тАу-т3{т3 + р)- р2т2 /8 = 0 .

Однако проверка промежуточных выводов показала, что уравнение (4) правильно было записать следующим образом:

у3 -(2- т2 )у2 - т4у - т2 (от4 - 2т2 + р2 / 8] = 0, а выражения для q и р в уравнении (7) будут иметь вид

q = -($mb -12от4 -12тг +% + 21mlр1 /16), р = 4(т4 -т1 + 1)/9 .

Также при решении уравнения (8) установлено, что формула (9) должна быть записана в следующем виде

■4д

А =

Dmi[46 + m8 -40m6 + 528m4 -2560m2 -9p2m2}

Для определения тангенциальных перемещений ии и и,, используются первые три уравнения, связывающие составляющие деформации с перемещениями для оболочки, средняя поверхность которой отнесена к произвольной косоугольной системе криволинейных координат [4]:

£„ -

д

А ди д В dv

{ии +uv cos%)~

В sin2 ^ ill

2J К

k

+ и„ cos

х)-

Asm2 х\22. В2 1

■ии +

К

sin х duv

сои =

А ди

sin j J121

В Ml

£uv = OJu + COv ,

1

1

A ди

1_ sin j

uu + cos x

\

1 cos У

Kv к

и.

CO„ =

sin х с"„

В dv

L

sin* Jl2] 1 дх

А \ 2 J В dv

1

sin

(

K^liv

uv + COS J

cos И * )

5sin x П 1

A2 2 1 Adu

A sin % ¡22) 1 dx

Вz

В dv

(10)

k =

При A-I, B-u, кривизнах изгиба ku - kv = 0, кривизне кручения 1 M с

R„

АВ

и

уравнения (10) представляются в следующей форме:

дии 1 duv 1 дВ \( диг л

е = " е v = - + - и = I +и ди В dv АВ ди и{ dv

£„„ = СО,, + &>,. = U

д (и >

Эи

+

1 Зм

V и У

и Sv

" + 2

(И)

Общее решение однородных уравнений (10) имеет вид:

ии = -A, sin V + А2 cos v , uv = - A, cos v - А2 sin v + A3u , т.е. соответствует перемещениям оболочки как твердого тела. Решение неоднородной системы (11) при

1

Su= {Nu-vNy) = Eh Eh

1 , ч

— IN - vNu) = Eh v Eh

{1 dm 1 d2<p d2m^

... . r + - y

и du и2 dv2 du2 j

f ~~> Л я 1 a2 V

1 dm 1 dm

-V - r + у ,

и du u~ dv

д2(р ди2

2(l + i/) 2(1 + v) д ( 1 dtp' ij —

J J

ЕЬ ЕЬди\иду

и значениях <р и и7, определяемых формулами (2) и т.д., является весьма сложной задачей, разрешенной лишь для сферических пологих оболочек [5], а поэтому, следуя В.З. Власову [6], тангенциальные перемещения можно определить приближенным методом.

Согласно формулам закона Гука теории оболочек

К =с(еа.+у£р), Ыр =с{ер+у£а), Ма = +

Мр = + Жа), = Бр = 5 = 12У Сеар, Мар = Мра =# = (]- ,

можно записать

i - V I - V

Eh

ди„ + "и + 1 5l<v

dw и и dv

S-l~V Ek s

с другой стороны

Eh (1 ди,. duv uv 2 с ^

7-----\\ ...... + ----- + --yuz

2(1 + v j у m dv du и и )

д f\ dtp

лт лг д2(Р 1 дер 1 d2cp ,

Nv+Nv = ; + ■ ^ + , = V'cp, S =

du' и du u~ dv du\u dv

Откуда получаются два уравнения

ди„ и„ 1 ди„ _ " + " + ' = Q,

ди и и dv

du„ duv

+ и -uv = R, dv ди

где

1 — V т

е- vv, д

Eh

2(l+ v) 5 (1 2c

w 3v

(12)

Ек ди

Исключая из уравнений (12) последовательно функции ии и и„, можно получить для их определения два отдельных уравнения типа Эйлера

d2u„ ди„

и —f + du du

д uv dv2

+ U„

J

£ д2ии

( д2

о и,

dv2

" + 2и„

= r¡,

, dR R dQ dQ _ 1 dR

где 4 =---------, т] — и — Q--------------.

du и dv du и dv

Принимая во внимание, что d2.../dv2 = -m2..., окончательно получается

сС'и,, й?«„ 1 ( ■) Л „ Й?2И„ 1 С 7 \

и- + /+ И---" + - = 77 . (13)

шг яи и ' аи~ и

С помощью подстановки и-е'(( = 1п и) уравнения (13) приводятся к

виду

с4)

аг «¿г ш

Их общее решение будет [2]:

щ = V + , и„ = Аиек< + Я,/4', (15)

где

-" . 1 9 ,

кХ1-±\ - т~ , к, л - - пг ,

1.2 3,4 2 4

Варьируя произвольные постоянные решения (15), можно найти частные решения уравнений (14), т.е. выразить ии и м„ через известные функции <р и г/ Сем гЪопмугты 2У

„ у. -г - 1 ^ — - /

Для первого уравнения (14) при дифференцировании решения (15) по С, получается

^ = Д>*'' +5,,'^' +к,Вх,ек'-'

Ж

и, полагая

ДУ'ЧЯ/е*2'=0, (16)

после второго дифференцирования получается

<12и„ Л2

с!2и„ Ж2

привести к виду:

т - к2А/< + к]Ау,ек'1 +к2В/г' + к2Ву'ек>' . (17)

При подстановке ир (15) и ) (17) в первое уравнение (14) его можно

кхА;ек'' +к2Ву'ек>' = (18)

Решая совместно уравнения (16) и (18), можно найти

откуда А, = ' )„<'"'■>£//, в,. = ' .

к\ — к2 а к2 к] а

Окончательно частное решение первого уравнения примет вид:

К\ ~ К2 а 2 Л| а

где а - произвольная величина.

Для второго уравнения (14) аналогично, при дифференцировании решения (15) по ?, получается

<*"'- = Аи'е«+Ви'ек<+к3Аыек>>+кАВвек* Ш

и, полагая

Аи'ек>' +Ви'ек>' = 0, (19)

после второго дифференцирования получается

= к-;Аиек< + ЬА.'е» + кА2Виек* + к4Вн'ек' . (20)

Л

и

При подстановке ии (15) и " (20) во второе уравнение (14) его можно

йг

привести к виду:

1 л • к-1 г т\ I к,/ I__/О 1 \

к3Аи е • + к4Ви е 4 =е т]. <21;

Решая совместно уравнения (19) и (21), можно найти

Аи'= - т], Ви'= г],

¡с? к л кл к>1

. ' - 1 '

откуда

*3 _ 4 а Л4 «3 а

Окончательно частное решение второго уравнения примет вид [2]:

КЪ к4 а *3 а

Зная тангенциальные (и„ + и„), (ми + им) и нормальные +мг) перемещения, можно удовлетворить краевым условиям по краям и = г , и- К; условия по краям V, и V, полностью не удовлетворяются [3]. Однако, профессор Рекач В.Г. не уточняет как определить 12 констант (Ат1, Ат2, Ат3, Ат4, Ат5, Ат6, Ат?, Атн, Аи, Ви, А„ Ву) из 8 граничных условий на двух винтовых краях (и - г ,и - II).

Частично упомянутые выше неточности и опечатки были описаны в статье [7], однако, последующая работа показала необходимость введения дополнительных корректировок к изложенной методике.

Так уравнение (4) по В.Г. Рекачу принимает вид

ФЫ= ¿(Ат1еа>'+Ат2еа>-1+Ат3е°>'+Ат4еа<>+Ат5е^ +

ш=!

+ Ат6еа"' + А„7еа,> + Ат„еа)8т ту , (22)

где Ат1 - произвольные постоянные т -го члена разложения.

Однако рассмотрение корней характеристического уравнения для т = 1 показало, что среди 8 полученных корней 2 корня являются кратными с кратностью к = 1 (а, = а8 = 1), и в соответствии с [8] решение (22) должно быть записано в виде:

*Ы= Е(Ат1е*<+Ат2е°'+Ат3е«+Ат4е°<+Ат,е°>' +

т=I

+ Ат6еа" + Ат1е^'+ А^'Утту. (23)

Аналогично, при рассмотрении корней характеристического уравнения для т > 1 было обнаружено, что среди 8 полученных корней 4 корня являются однократными сопряженными комплексными корнями (а34 =/у3 ±г3/,

а5 6 - /х5 ± г51), и в соответствии с [8] решение (22) должно быть записано в виде:

®Ы= ¿(а,!^'' +Ат2еаг' +е">'(Ат3 созг31 + Ат4 5тг3г) +

т=1

+ е^(Ат5со&г51 + Ая6$т Ат1еа* + Ат%еа*')$тту . (24)

Проведенные корректировки позволили приступить к численной реализации метода В.Г. Рекача с использованием программы MathCAD13. В качестве тестового примера был взят геликоид со следующими характеристиками: Е = 200000 МПа; h = 0,01м; v= 0,3; Н= 0,628м; г = 5м; R = 6,708м, нагруженный постоянной равномерно распределенной нагрузкой q= 10"2 МН/м2.

По методу В.Г. Рекача при учете 15-ти членов ряда максимальный прогиб "zmax = 6,5мм. При расчете вариационно-разностным методом [9] максимальный прогиб получается нгтах = !2мм; при расчете упругой пластинки с аналогичными характеристиками прогиб г/.тах = 12мм.

Литература

1. Кривошапко, С.Н. Расчет и проектирование винтообразных конструкций, применяемых в строительстве и строительных машинах [Текст] / С.Н. Кривошапко // Строительные конструкции и материалы, РОССТРОИ России ВНИ-ИНТПИ Строительство и Архитектура. М., 2006. Вып. 1-2. - 68 с.

2. Рекач, В.Г. Расчет пологих винтовых (геликоидальных) оболочек [Текст] / В.Г. Рекач // Сб. тр. каф. строит, механики, МИСИ / Под общ. ред. Власова В.З.-М., 1957.-№27.-С. 113-132.

3. Рекач, В.Г. Расчет оболочек сложной геометрии: Монография [Текст] / В.Г. Рекач, С.Н. Кривошапко. - М. : Изд-во УДН, 1988. - С. 4-35.

4. Гольденвейзер, A.JI. Теория упругих тонких оболочек [Текст] / A.JI. Гольденвейзер. - ГИТТЛ, 1953.

5. Рекач, В.Г. Точное определение касательных перемещений при расчете пологих сферических оболочек смешанным методом [Текст] / В.Г. Рекач // Тезисы докладов IV научно-технической конференции инженерного факультета УДН. - М.: изд. УДН, 1968.

6. Власов, В.З. Строительная механика оболочек [Текст] / В.З. Власов. -ГСИ, 1935.

7. Рынковская, М.И. К вопросу расчета прямых геликоидальных оболочек по методу В.Г. Рекача [Текст] / М.И. Рынковская // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - №2 - 2006. - С. 63-66.

8. Выгодский, В.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / В.Я. Выгодский. - 7-е изд. - М. : Наука, 1964. - С. 746-747.

9. Сальман, А.Д. Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме прямого и эвольвентного геликоидов аналитическими и численными методами: Дис. канд. техн. наук. [Текст] / А.Д. Сальман - М. : УДН, 1989. - С. 92-98.

REKACH'S METHOD OF CALCULATION AS APPLIED TO RIGHT

HELICOID

M.I. Rynkovskaya

Rekach's method of calculation of right helicoidal shells is presented. The author corrected some mistakes of the method and made in a Mathcad program. There are results of test-example. There are first numerical results given with the help of the represented method.