Применение метода сумматорных тождеств в решении граничной задачи для системы уравнений Ламе Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016, Т. 158, кн. 1 С. 26-39

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 514.762.33

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СУММАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ В РЕШЕНИИ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ

А.В. Ануфриева, Е.В. Рунг, Д.Н. Тумаков

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

Рассмотрена граничная задача для одномерной системы уравнений Ламе на отрезке, соответствующая физической задаче прохождения упругой волны через градиентный слой. При этом коэффициенты уравнений являются комплекснозначными непрерывными функциями. Рассмотрены краевые условия самого общего вида при дополнительном условии, означающем в физическом контексте отсутствие поверхностных волн на рабочей частоте. Сформулировано понятие обобщенного решения в пространстве Соболева. Методом сумматорных тождеств построена разностная схема. Для случая, когда коэффициенты уравнений и искомые функции обладают достаточной гладкостью, показано, что погрешность аппроксимации имеет порядок O(h2).

Ключевые слова: граничная задача, система Ламе, обобщенное решение, метод сум-маторных тождеств, разностная схема

Введение

Граничные задачи для системы Ламе возникают, в частности, при описании процессов распространения и дифракции упругих волн. Например, система обыкновенных дифференциальных уравнений (одномерная система Ламе) возникает при изучении дифракции упругих волн на градиентном изотропном [1, 2] и градиентном трансверсально-изотропном слоях [3].

В последние годы для решения краевых задач для дифференциальных уравнений широко используется метод конечных элементов [4-7]. Данный метод особенно эффективен для многомерных задач и задач со сложной границей [8]. Однако в одномерном случае конкуренцию данному способу решения вполне могут составить конечно-разностные методы.

В настоящей работе сформулирована обобщенная постановка задачи, решение которой принадлежит пространству Соболева и обладает меньшей гладкостью по сравнению с классическим решением. Переход к обобщенной формулировке задачи возможен при определенных требованиях на коэффициенты краевых условий. Эти требования с физической точки зрения означают, что на полуплоскостях, прилегающих к слою, поверхностные волны не возбуждаются. Доказана теорема об эквивалентности классического (дважды непрерывно дифференцируемого) и обобщенного решений задачи.

Метод сумматорных тождеств [9] позволяет достичь погрешности аппроксимации 0(Ь?). Этот алгоритм построения разностных схем нами был использован для решения уравнения Гельмгольца, к которому сводится, например, одномерная задача дифракции упругой волны на градиентном слое [10], и для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации [11, 12].

В методе сумматорных тождеств, как и в большинстве численных методов, требуется дифференцируемость функций в окрестности узловых точек. Это надо учитывать при построении сетки, например, в задаче рассеяния упругой волны на фрактальных структурах [13] требуется, чтобы узлы сетки (в которых нарушается гладкость) не лежали в окрестности фрактальных изломов.

В настоящей работе показано, что если коэффициенты уравнений имеют три ограниченные производные в окрестности узлов сетки, а искомые функции имеют четыре ограниченные производные, то погрешность аппроксимации полученной разностной схемы имеет порядок 0(Ь?).

1. Обобщенная формулировка задачи

Рассмотрим на интервале х € (0, Ь) линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций мх(х), П2(х)

й / йи8 \ йи^

~Г 1~1— + св2и + сэ3—--+ евАии = , в, к = 1, 2, в = к. (1)

ах \ ах ) ах

Краевые условия примем в наиболее общем виде, предполагая, что в, к = 1,2, в = к,

йие (0) , йиь (0)

--+ а82и8 (0) + а8з—--+ авАии(0) = (2)

ах ах

аиь(Ь) йи^(ь)

--+ Ь^иДЬ) + Ь83 ——--+ овАии (Ь) = д6. (3)

Будем считать, что функции с3^(х), д3(х), I = 1, 2, 3, 4; в = 1, 2, являются комплекснозначными непрерывными функциями на отрезке [0, Ь], при этом выполняются соотношения

с,1(0)=0, с81(Ь) = 0, в = 1,2, (4)

числа , Ь^, I = 1, 2, 3, в = 1, 2, удовлетворяют условиям

Д1 = ап • а21 - а2з • а1з = 0, Д2 = Ьп ■ Ь21 - Ь2з ■ Ь13 = 0. (5)

Условия (4), (5) имеют следующий физический смысл. Неравенство нулю коэффициентов сЯ1 означает, что ненулевыми являются продольная и поперечная скорости в точках х = 0 и х = Ь для случая, когда уравнение (1) описывает распространение упругой волны в градиентном изотропном слое, и что продольная и поперечная скорости в плоскости изотропии не равны нулю в случае трансверсально-изотропных сред [14].

Относительно условий (5) отметим, что если краевая задача (1)-(3) описывает процесс дифракции на градиентных слоях [1, 3], то условия (5) означают невозбуждение поверхностных мод (волн Рэлея) в прилегающих полуплоскостях.

Краевые условия (2), (3) представим в следующем виде:

с*1(0) ^ихг - Ми1(0),и2(0)) =0, в = 1, 2, (6)

с^Ь) - ^ЫЬ),и2(Ь)) =0, в = 1, 2, (7)

где ^ц , 1,] = 1, 2, заданы формулами

¥11 = сп(0)/Д1

¥21 = С21(0)/Д1

¥12 = Сц(Ь)/Д2 ¥22 = С21(Ь)/Д2

¡1 - а12«1(0) - а14^2(0) а1з ¡2 - а24«1(0) - а22«2(0) а21

®11 ¡1 - а12«1(0) - а14^2(0) а23 ¡2 - а24«1(0) - а22«2(0)

91 - &12М1(Ь) - &14«2 (Ь) &13

92 - &24М1(Ь) - &22«2 (Ь) &21

&11 91 - Ь12«1(Ь) - 614М2(Ь) &23 92 - Ь24«1(£) - Ъ22П2(Ь)

(8) (9) (10) (11)

Теорема 1. Функции (и,42) - решение .задачи (1)—(3) в том и только том случае, когда П1,П2 являются решениями .задачи (1), (6), (7).

Доказательство. Перепишем условия (2) в виде

¿и 1(0) . ¿и2(0) , (0) (0) ац ——--+ а1з ——— = ¡1 - а12«1(0) - ами2(0),

а23

¿х

¿и 1(0) ¿х

+ а21

¿х

¿П2(0)

¿х

¡2 - а24и1(0) - а22и2(0).

(12) (13)

Равенства (12), (13) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ¿и,1(0)/вх и ¿и>2(0)/¿х. Очевидно, что если выполняются условия (4), (5), то по теореме Крамера система (12), (13) равносильна равенствам (6). Аналогичным образом легко можно показать, что если выполняются условия (4), (5), то краевое условие (3) равносильно (7). Лемма доказана. □

Определение 1. Функции (и1,и2) назовем обобщенным решением задачи (1)-(3), если

из е Ш1(0,Ь), в = 1, 2, и для любых функций е ^21(0,Ь) имеют место равенства

ь ь

¿из ¿юз

/йиз йуз ( ¿ик\_ ,

са1—--—ах + / ся2ия + с83 —--+ с34ик ах - ^зА и1(0),и2(0)) «я(0) +

ах ах \ ¿х /

о

о

ь

+ ¥з2(и1(Ь),и2(Ь))¥з(Ь) = J д,зУз ¿х, в,к = 1, 2, в = к, (14)

о

где уз - функции, сопряженные к уз, в = 1, 2.

Теорема 2. Пусть (и1,и2) - решение задачи (1)-(3) и выполняется условие

из (х) е Ш (0,Ь), в = 1, 2,

тогда функции и1,и2 являются обобщенными решениями .задачи (1)-(3).

Обратно, если (и1,и2) - обобщенное решение .задачи (1)-(3) и выполняется условие

из(х) е С2(0,Ь), сз1 (х) е СЛ(0,Ь), в = 1, 2, (15)

то функции и1,и2 удовлетворяют соотношениям (1)-(3).

Доказательство. Пусть (и,и2) - решение задачи (1)—(3). Покажем, что функции и1, и2 удовлетворяют равенствам (14).

Умножая уравнения (1) на произвольные функции ма(х) Е С 1[0, Ь] и интегрируя затем по х от 0 до Ь, получим

ь

Лх + Ыэ2и8 + СеЗ^-Х^ + Ся4иИ 1х =

/ 1Х V 1Х ' / V 1Х '

о

ь

J дама1х, в,к = 1, 2, в = к. (16)

-> а '

о

Преобразуя первые слагаемые в левой части равенств (16) с помощью формулы интегрирования по частям и равенств (6), (7), имеем

ь ь

/1 ( 1иа \_ [ 1иа 1м 1

~Г Ма 1х = - Са1^-г~ 1х+

1х \ 1х ) ] 1х 1х

оо

+ ^2 (и1(Ь),и2(Ь))Ма(Ь) - ^а1(и1(0),и2(0))Ма(0). (17)

Подставляя представления (17) в уравнения (16), получим (14). Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Докажем вторую часть утверждения теоремы. Пусть (и1, и2) — обобщенное решение задачи (1)—(3), удовлетворяющее условию (15). Воспользуемся формулой интегрирования по частям для преобразования равенства (14). Тогда

ь ь

1 ( 1иа \_ Г ( (их

а1 ) ма 1х + ( Са2иа + Са3 ; I Са4 иХ I ма '

/1 / Лиа\_ Г / 1их \_ ,

~т Са1—~ Ма 1х + Са2иа + СаЗ —--+ Са4их V а 1х+

1х 1х 1х

оо

+ (Са1(0) - (0)^(0))) Ма (0)

ь

- ^а1(Ь) - Фа2(и1(Ь),и2(Ь))^ V а (Ь) = J ЦаМ а 1х, в,к =1, 2, в = к. (18)

о

Положим в равенствах (18) ма = фа, где фа — произвольные функции из С0^(0, Ь); учитывая плотность С0°(0, Ь) в Ь2(0, Ь), нетрудно показать, что из (18) следует (1).

Докажем выполнение граничных условий (6). Поскольку (1) выполнено, из (18) вытекает справедливость следующего равенства при в, к =1, 2, в = к:

(Са1(0) - Ра1(и1(0),и2(0))) V а (0)

1иа(Ь)

- ^а1(Ь) иЬ - Уа2(и1(Ь),и2(Ь)))Ма(Ь)=0. (19)

Положим в (19) ма = фа, где фа — произвольные гладкие функции, равные нулю при х = Ь, тогда при в, к = 1, 2, в = к

(Са1(0) - ^1^1(0)^(0))) фа(0) = 0. (20)

Отсюда в силу произвольности фз следует, что граничные условия (6) выполнены. Аналогично, выбирая уз = фз, где фз (0) = 0, из равенства (19) можно получить краевое условие (7). Из леммы 1 следует, что (и1,и2) является решением задачи (1)-(3). Теорема доказана. □

2. Построение разностной схемы

На отрезке [0, Ь] построим равномерную сетку ш с шагом Н = 1/N

ш = {х"1 = гН, г = 0,1, ..., N}.

Пусть Ун - пространство сеточных функций, определенных на ш. Обозначим, как обычно,

N N-1

(у, г] = У(х^х), [у, г) = Н ^ у(х^)г(х^),

i=1 i=0 [У,г] = ^У^ + ^У^^ Уi = У(xi), г = 0,1,...,N,

yi+1 - ^ ■ п 1 АГ 1 Ш - Уi—1 ■ 1 АГ

Ух^ = --, г = 0, 1,.. ., N - 1, Ущ = ---, г = 1,...^,

НН

(21)

Уi+1 - Уi-1 АГ 1 Уо =---, г = 1,...,ш— 1.

уха 2Н

Определение 2. Сеточные функции (У1,У2) е Ун назовем решением разностной схемы для задачи (1)-(3), если для любых сеточных функций П1, П2 е Ун и в, к = 1, 2, в = к, выполняются равенства

- 1 [сз1 (уз)х, (Пз)х\ - 2 (сз2 (уз)х, (Пз)х] + 2 [Сз3 (Ук)х,Пз\ + ^ (с.з3(Ук )х,Пз] +

+ [сз2Уз + сз4Ук, Пз] - ¥з1 (У1,0,У2,0)Пз,0 + ¥з2(Уl,N,У2N)ПзN = [?з, Пз] . (22)

Получим явный вид разностной схемы, определяемой уравнениями (22). Очевидно, что произвольные сеточные функции П1, П2 можно представить в виде

N N

П1(х) = щ(х^5г(х), П2(х) = щ(х^5г(х), (23)

i=0 i=0

где б^х) - дельта-функция г-го узла сетки ш, определяемая равенством

)40' ' = (24)

[1, 3 = г.

Из (23) следует, что (22) имеет место для произвольных сеточных функций щ, п2, если

- 2 [сз1(Уз)х, (бi)x) - 2 (сз2(Уз)х, (бi)x] +2 [Сзз(Уk)x,бi) + 2 ^(У^х^^

+ [сз2Уз + Сз4Ук,бi] - ¥з1(У1,0,У2,0)б0 + ¥з2(У1^, У2,N)б^ = [Чз,б^ , (25) где г = 0,1,... N, в, к = 1, 2, в = к.

Учитывая, что

(0, з = г,г — 1, Г0, з = г,г + 1,

4Х) = ( — 1/Н, з = г, 4(х) = <| 1/Н, з = г,

[1/Н, з = г - 1, [—1/Н, з = г +1,

систему (25) при г = 1, 2,..., N — 1 перепишем в виде 1

2 \сь1,г(Уь ) х,г — се1,_1(уе ) 1 — сь1^(уь )г,г + с81,г+1 (у8 )г,г+11 +

+ ~2 \св3,г(Ук ) х,г + с«3,г(Ук )г,г} + Нс«2,гУя,г + Нс«4,гУк,г = Нд«,г, (26)

где в, & = 1, 2, в = &.

Разделим уравнения (26) на Н и введем обозначения

= 1

— X 1 с51

1 + ^1,-1}, в = 1, 2. (27)

Тогда, используя (21), равенства (26) преобразуем к форме

(с81(у8)г) + с8з^(ук )◦ . + С32^гУз,г + с«4,гУк,г = Чз,г, (28)

где г = 1, — 1, в,& = 1, 2, в = &.

Выпишем разностную схему для краевого условия при г = 0 .В силу соотноше-

^н^ з=0:«х>= —,/, з=

50х) = \,, п' 5х(хй)

—1/Н, з

из равенств (25) при г = 0 получим

11НН

2 ся1,о(Уя)х,0 + 2 ся1,1(Уя)г,1 + 2 с«з,о(Ук)х,0 + 2 с82,0У8,0 +

НН + 2 с«4,0Ук,0 — ^81(У1,о,У2,о) — 2 о = о, в,& = 1, 2, в = &. (29)

Поскольку (уя)х,1 = (уя)х,о, в = 1, 2, то (29) можно записать как

~ Н Н Н

Св1,1(Ув) х,0 + 2 с«3,о(Ук ) х,0 + 2 са2,0Уз,0 + 2 с«4,0Ук,0 —

Н

— ^81(У1,о,У2,о) — 2 9я,о = 0, в,& = 1, 2, в = &. (30) Построим аппроксимацию краевого условия при г = N. Имеем

^х^ ^ з=N—1 ^з=::

Из равенств (25) при г = N вытекает, что — 1 се1,Ы _1(Уя) х,Ы _1 — 2 св1,Ы (Ув)х,Ы + 2 ся3,М (ук )х,М +

Н Н Н

+ 7Тс«2,МУз,М + 77св4,МУк,М + фв2(У1,Ы, У2,М) — 779я,М = 0, (31)

где в, к = 1 , 2 , в = к .

Поскольку (Уз)х^-1 = (Уз)х^ при в, к = 1, 2, в = к, то

НН

- Сз1N (Уз)х^ + 2 Сз3N (У к )x,N + 2 Сз2N УзN +

НН

+ 2Сз4^УкN + ¥з2(У1^, У2^) - 2^ = 0. (32)

Таким образом, построена разностная схема (28), (30), (32).

3. Погрешность аппроксимации разностной схемы

Запишем задачу (1), (6), (7) в операторной форме

Ази = Е8, х е [0,Ь], в = 1,2, (33)

где и = ^^ , оператор Аз : С2[0, Ь] х С2[0,Ь] ^ С[0, Ь] при в, к = 1, 2, в = к, задается соотношениями

Сз1и'з - <Рз1(и1(0),и2(0)), х = 0,

Ази = ^ (Сз1из)' + Сз2из + Сз3ик + Сз4ик, х е (0, Ь), ^Сз1и'з - <Рз2(и1(Ь),и2(Ь)), х = Ь.

Правая часть Е8 имеет вид

{0, х = 0, Чз, х е (0,Ь), 0, х = N.

Пусть V = ( У1 ) , где Уз, в = 1, 2, - сеточные функции из Ун . Введем сеточный

з У2

оператор АН: Ун х Ун ^ Ун по формулам

Сз1,1 (Уз)х,0 + Н Сз3,0(Ук)х,0 + 2 Сз2,0Уз,0 +

Н 2

+ 2 Сз4,0Ук,0 - ¥з1,0 - 2 Чз,0, г = 0,

АзнУ = (2з1(Уз)г) + Сз3^(Ук) х + Сз2^Уз^ + Сз4^Ук^, г = 1- 1, (34)

cз1,N (Уз)х^ - 22 Сз3N (Ук - 22 Сз2N УзN -

Н 2

_ - 2 Сз4N УкN - + 2 Чз^, г = N.

где к = 1 , 2 , к = в .

Тогда разностная схема (28), (30), (32) имеет вид

АзнУ = Е8, х е ш, в = 1,2. (35)

Определение 3. Сеточная функция Ф3 = А^И, - (Ази^ называется погрешностью аппроксимации оператора Аз разностным оператором Азн в точке сетки х, е ш , где (Ази^ - значение Ази в точке х,, в = 1, 2, г = 0,1,... N.

Теорема 3. Пусть (и1,и2) - решение задачи (1), (6), (7). Функции сз1 имеют три, а функции из - четыре ограниченные производные в окрестности узлов сетки ш. Тогда разностная схема (35) имеет погрешность аппроксимации

Фз = 0(Н2), в = 1, 2, г = 0,1,..., N.

Доказательство. 1) Пусть г = 1,...,N - 1, тогда хг - внутренняя точка сетки ш. Погрешность аппроксимации есть

фз = (с31(из)г)х^ - О- ¿х) + Сз3,,(ик)х- сз3,г ¿х , (36)

где к = 1 , 2 , к = в .

Используя (34), погрешность аппроксимации представим в виде

т з — из,г+1 изл — изл изл-1 / / // ,

Фг = сз1,,+1-22--сз1',-22--сз1,,из,, - сз1,,из,,+

+ Сз3-7Г1--Сз3^ик,, в, к = 1, 2, к = в. (37)

22

Предположим, из(х), в = 1,2, - достаточно гладкие функции в некоторой окрестности точки хг. Тогда эти функции можно разложить в ряд Тейлора в точке сетки хг:

22 23

из,,+1 = из,, + Ни'з, + — и'з1 + — и", + 0(Н4), в = 1, 2, (38)

2 6

22 23

из— = из,, - Ни'3, + — и!'з1 - — и'', + 0(Н4), в = 1, 2. (39)

2 6

Подставим полученные разложения (38), (39) в (37):

Сз 1 , ¡+1 + Сз1 , .

Ф

Сз1 ,¡+1 Сз1 л I -;--Сз

и'з , г +

2

1-з1, г

Сз1, г

изг +

+ 2 (Сз1,г+1 - Сз1,г)из'3г + 0(Н2), в = 1, 2. (40)

Разложим теперь в ряд Тейлора в точке хг функции сз1,г±1:

22

Сз1,г+1 = Сз1,г + Нс'зц + у с''ц + 0(Н3), в = 1, 2, (41)

22

Сз1— = сзц - Нс'з1,г + у с^ + 0(Н3), в = 1, 2. (42)

Учитывая (27) и (41), (42), для в = 1, 2 получим

Сз1,г+1 - сз1,г / гли,2\ Сз1,г+1 + сз1,г /~,ги2\ /ло\

—:—Н-- = сз1,г + 0(2 ), —:—2- Сз1,г + 0(2 ). (43)

Из первого соотношения (43) имеем

Сз1,г+1 - Сз1,г = Нс'3ц + 0(Н3), в = 1, 2, (44)

и, следовательно,

2 ( )

6 (Сз1,г+1 - ёз1,0<[, = 0(Н2), в = 1, 2. (45)

1

Таким образом, из (40) с учетом равенств (43), (45) окончательно получим

= 0(н2), г = !,..., N - 1, в = 1, 2,

а значит, для внутренних точек сетки ш утверждение теоремы справедливо. Докажем аналогичные утверждения на границах отрезка [0, Ь].

2) Пусть г = 0. Погрешность аппроксимации в этом случае имеет следующий вид:

т8 ~ , н н н

= С81д(м8) х,0 + 2 св3,о(ик ) х,0 + 2 ^2,0^3,0 + 2 св4,0ик,0-

н

- 2 Яв,0 - сз1,0^^1,0, в, к = 1, 2, к = в. (46)

Учитывая разложение достаточно гладких функций и3(х), св1(х), в = 1, 2, в окрестности Х0, получим

и8,1 = и8,0 + Ни3,0 + — и''0 + 0(Н3), в = 1, 2, Сз1,1 = е81,0 + Не'81,0 + 0(Н2), в = 1, 2,

а значит,

нн

(ив)х,0 = и3,0 + 2 ив',0 + 0(Н2), Сз1,1 = е81,0 + 2 с'в1,0 + °(Н2), в = 1, 2. Тогда

н

ф0 = 2 [(св1,0ив,0)' + Св2,0ив,0+

+ ввз,0и'к,0 + Св4,0и^,0 - Чв,0] + 0(Н2), в, к = 1, 2, к = в. (47)

Поскольку функции ив(х) удовлетворяют уравнению (1), выполняется равенство

(св1,0ив,0)' + Св2,0ив,0 + св3,0и'к,0 + Св4,0ик,0 = о, в, к = 1, 2, к = в,

поэтому из (47) следует, что Ф0 = 0(Н2), в = 1, 2. Таким образом, при Х0 = 0 теорема также доказана. Осталось доказать, что утверждения теоремы выполняются в точке хN = Ь.

3) Пусть г = N .В этом случае погрешность аппроксимации имеет следующий вид:

~ н н

= Св1,И (ив)х,Ы - 2 св3,и (ик)х,Ы - 2 св2,Иив,И-

нн

- 2 св4,ыик,ы + 2 (1в,ы - Св1,ыивN, в, к = 1, 2, к = в. (48)

Предположим, что функции ив(х), св1 (х), в = 1,2, достаточно гладкие в окрестности узла хN, применяя разложение данных функций в ряд Тейлора

н2 +

ивN +

св1^-1 = св1^ - нс'в1 м + 0(н2), в = 1, 2,

и.э,м-1 = и,э,м - нив+ — и'в,К + 0(н3), в = 1, 2,

для s = 1, 2 имеем

h ч I /о/г,2\ ~ _ „ h J |

(из)хN = и'зN - 2 и'в^ + 0(2), Сз1^ = Сзl,N - 2 с'з1^ + 0(2). (49)

Подставим полученные соотношения (49) в равенство (47), в результате получим

Н 2

+ Сз3Nи'кN + Сз4NикN - Чз^] + 0(Н2), в, к = 1, 2, к = в. (50)

Учитывая, что функции из(х) удовлетворяют уравнению (1), из равенства (50) получим, что ФN = 0(Н2), в =1, 2. Теорема доказана полностью. □

^N = -2 [("s1,Nu's,N)' + "s2,NUs,N +

Следствие 1. Для погрешности аппроксимации на сетке ш справедливы следующие оценки:

||*s||c < Cih2, s = 1,2, (51)

||Ф!2 < C2h2, S = 1, 2, (52)

где Ci, C2 - константы, не зависящие от шага сетки h, ||u||c, ||u12 - дискретные аналоги норм в пространствах C[0, L] и ^2(0, L) соответственно, которые определяются по формулам

||u||c = nmaxr ||u||2 = vVH

0<i<N

Заключение

В работе методом сумматорных тождеств построена разностная схема для решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений второго порядка

(1)-(3):

1 , f h a,130,22 - aua2i 1 \

X С13,0У2,1 + о c14,0--c11,0 - о "13,0 У2,0 +

2 \ 2 011021 - 023013 2 )

(h 011,1 + C110 013024 - 012021 \

+ 7T 012,0-----011,0 У1,0 +

2 2h 011021 - 023013

, 011,1 + on 0 /1021 - /2013 , h +--TyT-У1,1 =-c11,0 + 77 91,0, (53)

2h 011021 - 023013 2

011,i+1 + 2on,j + on,i-1 - 2h?012,i + 2Й2 y1,i+ . 011,i+1 + 011,i . 011,i + 011,i-1 . +-2h2-y1,i+1 +-2h2-Ум-1 +

+ y2,i+1 + 014,iy2,i - y2,i-1 = Q1,i, i =1,...,N - 1, (54) 2h 2h

b13b22 - &14&21 ,1 , h \

1—;-;—;—"11 N + 77 "13,n + тг"14,n y2,N

011021- 023013 2 2

1 . "11,N + "11,N-1 . - о "13,Ny2,N-1 +--7Г,-y1,N-1 +

2 2h

013024 - О12О21 "11,n + "11,N-1 h

+ T~k-Г Г "11,N--!-TTT^--+ О 012,N y1,N =

V 011021 - О23О13 2h 2 у

92° 13 - 91021 , h /KK,

011,N + 77 q1,N ■ (55)

011021 - 023013 11,N 2

С21,1 + С21,0 , 1

-TTi-У2,1 + 77 С23,0 У1,1 +

2h 2

, (h c21,1 + c21,0 014023 — a11a22 ,

+ 7^22,0--7Г,---C21,0 У2,0 +

\ 2 2h 011021 — 0,230,13 1

I h 1 °12°23 — °11°24 ,

+ о C24,0 — о C23,0--C21,0 У1,0 —

V 2 2 011021 — 023013 1

h°11 — f1023 , h /КРЛ

C21,0 + 77 42,0, (56)

21,0

011021 — 023013 2

C21,i+1 + C21,j C21,j + C21,j-1

-2h-y2'i+1 +-2h-y2'i-1—

C21,i+1 + 2C21,i + C21,i-1 — 2h2C22,i

2h2

y2,i +

+ y1,i+1 + C24,iy1,i — y1,i-1 — 42,i, i —1,...,N — 1, (57) 2h 2h

&14 b23 — ЬцЬ22 h C21,N + C21,N-1 ,

7—T-T—Г- C21,N + 77 C22,N--TTT- y2,W +

Ьц Ь21 b23bi3 2 ' 2h

C21,N + C21,N-1 1

+--!--!-y2,N-1 — 77 C23,N y1,N-1 +

2h 2

, {Ь12Ь23 — ЬцЬ24 , 1 , h \

+ 7Т~Г-n--+ о c23,N + 77 C24,N y1,N

\ЬцЬ21 — Ь23Ь13 2 ' 2 /

9^23 — Я2Ьц h

C21,N + 77 42,n . (58)

611621 - 623613 2

Установлено, что полученная схема (53)—(58) имеет погрешность аппроксимации

о(н2).

В дальнейшем планируется провести исследование устойчивости и сходимости разностной схемы (53)—(58), используя полученные в настоящей работе оценки погрешности аппроксимации.

Литература

1. Anufrieva A.V., Tumakov D.N., Kipot V.L. Peculiarities of propagation of a plane elastic wave through a gradient layer // Days on Diffraction (DD). - St. Petersburg, 2013. - P. 1116. - doi: 10.1109/DD.2013.6712795.

2. Ануфриева А.В., Тумаков Д.Н. Дифракция плоской упругой волны на градиентном слое // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4.-С. 116-125.

3. Anufrieva A.V., Tumakov D.N. Diffraction of a plane elastic wave by a gradient transversely isotropic layer // Advances in Acoustics and Vibration. - 2013. - V. 2013. -Art. 262067, P. 1-8. - doi: 10.1155/2013/262067.

4. Khoei A.R. Extended Finite Element Method: Theory and Applications. - Wiley, 2015. -584 p.

5. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конечных элементов. -Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2011. - 240 c.

6. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. -512 c.

7. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. - 351 c.

8. Liu G.R., Quek S.S. The Finite Element Method: A Practical Course. - ButterworthHeinemann, 2013. - 464 p.

9. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971. - 553 c.

10. Anufrieva A.V., Tumakov D.N., Kipot V.L. Elastic wave propagation through a layer with graded-index distribution of density // Days on Diffraction (DD). - St. Petersburg, 2012. - P. 21-26. - doi: 10.1109/DD.2012.6402745.

11. Павлова М.Ф., Рунг Е.В. Исследование неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4.- С. 38-48.

12. Павлова М.Ф., Рунг Е.В. О сходимости неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы Девятой Всерос. конф. - Казань: Отечество, 2012. - С. 290-295.

13. Anufrieva A.V., Igudesman K.B., Tumakov D.N. Peculiarities of elastic wave refraction from the layer with fractal distribution of density // Appl. Math. Sci. - 2014. - V. 8, No 118. - P. 5875-5886. - doi: 10.12988/ams.2014.46473.

14. Anufrieva A.V., Tumakov D.N. On some of the peculiarities of propagation of an elastic wave through a gradient transversely isotropic layer // Days on Diffraction (DD). - St. Petersburg, 2014. - P. 23-28. - doi: 10.1109/DD.2014.7036417.

Поступила в редакцию 03.12.15

Ануфриева Анастасия Вадимовна, аспирант кафедры прикладной математики Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: nastya-anufrieva@mail.ru

Рунг Елена Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

прикладной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: HelenRung@mail.ru

Тумаков Дмитрий Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: dtumakov@kpfu.ru

38

А.В. AHYOPHEBA h gp.

ISSN 1815-6088 (Print)

ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI

(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 1, pp. 26-39

Application of the Method of Summation Identities in Solving a Boundary-Value Problem for the Lame Equations

A.V. Anufrieva* , E.V. Rung**, D.N. Tumakov***

Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *nastya-anufrieva@mail.ru, **HelenRung@mail.ru, ***dtumakov@kpfu.ru

Received December 3, 2015 Abstract

A boundary-value problem on an interval for a one-dimensional system of the Lame equations corresponding to a physical problem of propagation of an elastic wave through the gradient layer is considered. In this case, the coefficients of the equations are complex-valued continuous functions. The boundary conditions of the most general type corresponding to an additional condition, which, from the physical point of view, means absence of any surface waves at the working frequency, are considered. The concept of the generalized solution in the Sobolev space is formulated. Equivalence of the generalized and classical solutions is proven. A finite-difference scheme is constructed by the method of summation identities. For the case in which the equation coefficients and the desired functions are sufficiently smooth, it is shown that the error of approximation is of the order O(h2).

Keywords: boundary-value problem, Lame equations, generalized solution, method of summation identities, difference scheme

References

1. Anufrieva A.V., Tumakov D.N., Kipot V.L. Peculiarities of propagation of a plane elastic wave through a gradient layer. Days on Diffraction (DD), St. Petersburg, 2013, pp. 11—16. doi: 10.1109/DD.2013.6712795.

2. Anufrieva A.V., Tumakov D.N., Diffraction of a plane elastic wave by a gradient layer. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2012, vol. 154, no. 4, pp. 116—125. (In Russian)

3. Anufrieva A.V., Tumakov D.N. Diffraction of a plane elastic wave by a gradient transversely isotropic layer. Adv. Acoust. Vib., 2013, vol. 2013, art. 262067, pp. 1-8. doi: 10.1155/2013/262067.

4. Khoei A.R. Extended Finite Element Method: Theory and Applications. Wiley, 2015. 584 p.

5. Dautov R.Z., Karchevskii M.M. An Introduction to the Theory of the Finite Element Method. Kazan, Izd. Kazan. Univ., 2011. 240 p. (In Russian)

6. S'jarle F. The Finite-Element Method for Elliptic Problems. Moscow, Mir, 1980. 512 p. (In Russian)

7. Streng G., Fiks G. Theory of the Finite Element Method. Moscow, Mir, 1977. 351 p. (In Russian)

8. Liu G.R., Quek S.S. The Finite Element Method: A Practical Course. Butterworth-Heinemann, 2013. 464 p.

9. Samarskii A.A. Introduction to the Theory of Difference Schemes. Moscow, Nauka, 1971, 553 p. (In Russian)

10. Anufrieva A.V., Tumakov D.N., Kipot V.L. Elastic wave propagation through a layer with graded-index distribution of density. Days on Diffraction (DD), St. Petersburg, 2012, pp. 21—26. doi: 10.1109/DD.2012.6402745.

11. Pavlova M.F., Rung E.V. A convergence of an implicit difference scheme for the saturated-unsa-turated filtration consolidation problem. Lobachevskii J. Math., 2013, vol. 34, no. 4, pp. 392—405.

12. Pavlova M.F., Rung E.V. On convergence of an implicit difference scheme for the saturated— unsaturated filtration consolidation problem. Setochnye metody dlya kraevykh zadach i prilo-zheniya: Materialy Devyatoi Vseros. konf. [Mesh Methods for Boundary Value Problems and Applications: Proc. 9th All-Russ. Conf.], Kazan, Otechestvo, 2012, pp. 290—295. (In Russian)

13. Anufrieva A.V., Igudesman K.B., Tumakov D.N. Peculiarities of elastic wave refraction from the layer with fractal distribution of density. Appl. Math. Sci., 2014, vol. 8, no. 118, pp. 5875—5886. doi: 10.12988/ams.2014.46473.

14. Anufrieva A.V., Tumakov D.N. On some of the peculiarities of propagation of an elastic wave through a gradient transversely isotropic layer. Days on Diffraction (DD), St. Petersburg, 2014, pp. 23-28. doi: 10.1109/DD.2014.7036417.

/ Для цитирования: Ануфриева А.В., Рунг Е.В., Тумаков Д.Н. Применение метода ( сумматорных тождеств в решении граничной задачи для системы уравнений Ламе // \ Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 1. - С. 26-39.

For citation: Anufrieva A.V., Rung E.V., Tumakov D.N. Application of the method / of summation identities in solving a boundary-value problem for the Lame equations. \ Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 26-39. (In Russian)