CC BY
15
Расчет тонких упругих оболочек
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА И МЕТОДА ПРОГОНКИ К РАСЧЕТУ ДЛИННОГО ПОЛОГОГО ТОРСА-ГЕЛИКОИДА
М.И. РЫНКОВСКАЯ, канд. техн. наук, ассистент
ГОУ ВПО «Российский университет дружбы народов»
117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.3, email: [email protected]
В статье показана возможность применения полуаналитического подхода с применением метода Рунге-Кутта и метода прогонки к расчету длинного тонкого пологого торса-геликоида. Дается сравнение результатов, полученных полуаналитическим и аналитическим методами.
КЛЮЧЕВЫ1Е СЛОВА: торс-геликоид, метод Рунге-Кутта, метод прогонки, полуаналитический метод малого параметра.
Анализ применения метода малого параметра к аналитическому расчету тонкого упругого торса-геликоида подробно рассмотрен в [1], [2]. Однако полученные там уравнения можно решать также с применением численных методов, например, методом Рунге-Кутта [3]. В таком случае получится полуаналитический метод расчета, в котором используются те же исходные дифференциальные уравнения, но которые решаются численно, для чего три уравнения восьмого порядка представляются в виде восьми уравнений первого порядка.
За основу берутся три обыкновенных дифференциальных уравнения с одним независимым параметром а [1]
9 1 - vi d иЛ а + 1 1
2 ) da2
1 - у ^2 d и7 B
2
dun
1 - у 1 du 1 -У ( 1
+1 а--I —1 +-1--3а
da I 2а )da 2 \а ) da
dw
- щ - pya--+ pw +
аа
1 -у
B2
d2 щ da2
- B
da
d2 щ 1 du ( 1 -2---1 +1 — - За
C
X+B'=0 ■
da
a da
а
B4 d 4 w a3 da4
■ +
4 - 2+4
a a
d3 w da3
+
du2 da
15
5
/ ч dw aa + P(1 -y)a^ + ~^ da C
2
(BY + X ) = 0,
.3
6 1 d 2 w
+
12pm4
2 „2
h 2 a
/ \ du9 du1 щ
(1 - у)—2 + У—1 + —-da da a
a5 a" ) da2
1 о 2 4 4
12p m w am
22
h 2 a
a
aD
15 6 — + —
a a
Z = 0,
a
dw da
(1)
которые после некоторых алгебраических преобразований и разложения в ряды по степеням малого параметра ц записываются в удобном для составления вычислительной программы виде:
d 2U 1 dU U (1 -у 1 1 dW W
-=----1--г + P\ -:г- a--I--+ p —-
•2 a da ~2 P °2 2
da2
a
B
a ) da
a
CB2
-X;
d 2V 1
da aB d 4W
.dU U . 2
2---+ p\ 1 + a
da a
2 ( 3
1 + dW W t „ 2\dV --p — + (1 -3a )—
B ) da
da4 B2
■ - a
a
d 3W
da3 B4
a2 -
a
15
2
a
da
,, d 2W 1
- 6 I-— +—7
da2 B4
a0a2 [2BY + (1 + v)X ] CB4 (1 -у) ;
15 6 1 dW
a +--- +— \--+
a a ) da
2
1
2
a0 a
а
В 4
(л \ ¿V ¿и
-у)а--уа--и - рЖ
йа йа
+ «р 2 . СВ 4
(2)
Система уравнений (2) имеет восьмой порядок. С помощью векторных обозначений представляем систему (2) в виде системы восьми дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вводим обозначения:
У = / (а У) ,
где
У =
Уо и У1 и
У1 и' /2 и "
У 2 V Уз V
У 3 У 4 = V' ж , / (а, У г ) = /4 У5 = V " Ж'
У 5 Ж' У б Ж "
Уб Ж " У 7 Ж "'
У 7 Ж "' /7 Ж1у
(3)
Для численного решения системы восьми обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (3) можно применить метод прогонки, известный также как алгоритм Томаса [4], который можно назвать упрощенной формой метода исключения переменных или метода Гаусса.
В ходе прямой прогонки однородной системы находятся коэффициенты метода прогонки, а обратный ход прогонки дает решение неоднородной системы с нагрузкой. В качестве тестового примера был взят длинный пологий торс-геликоид со следующими геометрическими и физико-механическими характеристиками [5, 6]:
к = 0,1м, щ = 2 м, щ = 4 м, Е = 32500МПа , у = 0,17; у = 1кг /м2.
Расчет проводился для двух углов наклона прямолинейных образующих р = 30 и р = 100 . В тестовом примере метод прогонки был реализован в математической системе MathCad c использованием стандартной функции Odesolve. Результаты расчета по основным силовым факторам, перемещениям представлены на рис. 1 и 2.
Сравнение эпюр, полученных аналитическим методом с учетом первых трех членов ряда и полуаналитическим методом, показывает, что нормальные перемещения иг при угле наклона прямолинейных образующих ф = 30 почти полностью совпадают, с погрешностью меньше, чем на 0,1%, при угле ф = 100 с погрешностью на 0,5%.
Моменты Ми, Мз, Миз при угле образующих ф = 30 совпадают с погрешностью примерно на 0,2%, при угле ф = 10° с погрешностью на 1,2%, в то время как поперечные силы Qu, Qs при ф = 30 отличаются меньше, чем на 0,2%, а при ф = 100 отличие составляет около 5%.
Тангенциальные перемещения уже при угле ф = 30 отличаются на 5-13%.
Сравнительные эпюры расчета аналитическим и полуаналитическим методами представлены на рис. 1, 2.
Результат представляется удовлетворительным для первого этапа расчета, однако требует дальнейшего анализа для больших углов наклона образующих.
а)
Uzl-105 - UZ2-105
2
0.33 1.33
- 3 -4.67 -6.33
- 8
1 1.121.251.371.491.621.741.871.99
Mu 1 -1С3
3
2.17 1.33
-0.33 -1.17
1 1.12 1.25 1.37 1.5 1.62 1.75 1.87 2
а
б)
Uz1 -105 - Uz2 -105
2
0.33 -1.33
-3
1 1.12 1.251.371.49 1.621.741.871.99 а
Mu 1 - 103
-Mu2-103
3
2.17 1.33
-0.33-1.17-
1 1.12 1.25 1.37 1.5 1.62 1.75 1.87 2 а
м
м
8
а
3
- Mu2-10
Qu1-1ff - Qu2- 103
10 6.67 3 3.33
-10
1 1.12 1.251.37 1.5 1.621.75 1.87 2
а
QuMd3 - Qu2-103
10 6.67 3.33 0
-3.33 - 6.67 -10
1 1.121.251.37 1.5 1.621.75 1.87 2 а
Qs1-10
8 6
,3 4-
-Qs2 -103
0-
1 1.12 1.25 1.37 1.5 1.62 1.75 1.87 2
Qs1- 103
8 6
,3 4-
2
- Qs2 - 103
1 1.12 1.25 1.37 1.5 1.62 1.75 1.87 2
Рис. 1. Эпюры нормальных перемещений uz, моментов Mu, Mus и поперечных сил Qu Qs для углов (р = 30 (а) и (р = 10° (б).
4
4
Рис. 2. Эпюры тангенциальных перемещений uu, us для угла р = 30 Л и т е р а т у р а
1. Кривошапко С.Н. Геометрия линейчатых поверхностей с ребром возврата и линейная теория расчета торсовых оболочек [Текст] / Кривошапко С.Н.: Монография. -М.: РУДН, 2009. - 357с.
2. Рынковская М.И. Изгибание и задачи расчета тонких упругих оболочек в форме прямого и развертывающегося геликоидов на распределенную нагрузку и осадку одной из криволинейных опор: Дисс. канд. техн. наук - М.: РУДН, 2013. - 217с.
3. Butcher, J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Second Edition, J. Wiley, Chichester, 2008, 463p.
4. M. El-Mikkawy, A Generalized Symbolic Thomas Algorithm// Applied Mathematics, Vol. 3 No. 4, 2012, p. 342-345.
5. Krivoshapko S.N. Geometry and strength of general helicoidal shells// Applied Mechanics Reviews (USA). - Vol.52. - No 5. - May 1999. - P. 161-175.
6. Krivoshapko S.N. Stress-strain analysis of thin elastic open helicoidal shells// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled Civil- Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Forms: Proc. Int. Conf., June 4-8, 2001, Moscow, Russia, Moscow: RPFU. 2001; p. 193-200 (10 ref.).
References
1. Krivoshapko, SN. (2009). Geometry of Ruled Surfaces with Cuspidal Edge and Linear Theory of Analysis of Developable Shells: Monograph, Moscow: RUDN, 357 p.
2. Rynkovskaya, MI. Bending and Problem of Analysis of Thin Elastic Shells in the Form of Right and Evolvent Helicoids subjected to Uniform Load and on Settlement of One of Curvilinear Supports: Diss. kand. tehn. nauk. Moscow: RUDN, 2013, 217p.
3. Butcher, JC. (2008). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Second Edition, J. Wiley, Chichester, 2008.
4. M. El-Mikkawy (2014). A generalized symbolic Thomas algorithm. Applied Mathematics, Vol. 3, No 4, p. 342-345.
5. Krivoshapko, SN. (1999). Geometry and strength of general helicoidal shells. Applied Mechanics Reviews (USA), Vol. 52, No 5, p. 161-175.
6. Krivoshapko, SN. (2001). Stress-strain analysis of thin elastic open helicoidal shells// Shells in Architecture and Strength Analysis of Thin-Walled Civil- Engineering and Machine-Building Constructions of Complex Forms: Proc. Int. Conf., June 4-8, 2001, Moscow: RUDN, p. 193-200.
APPLICATION OF RUNGE-KUTT METHOD AND RUNNING TRI-DIAGONAL MATRIX FOR OPEN HELICOIDAL SHELL CALCULATION
M.I. Rynkovskaya
Peoples Friendship University of Russia, Moscow
The example of the application of the method of Runge-Kutt and running tri-diagonal matrix for thin elastic open helicoidal shells calculations is presented. Comparison of results obtained by half-analytical and analytical methods is given.
KEY WORDS: open helicoidal shell, Runge-Kutt method, running tridiagonal matrix, half-analytical method of small parameter.
