CC BY
50
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ К ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ОДНОРОДНОГО ПОЛЯ В КАТУШКЕ МР-ТОМОГРАФА
В.О. Евсеев
Научный руководитель - д.т.н., профессор В.С. Сизиков
Рассматривается задача формирования высокооднородного магнитного поля на оси катушки МР-томографа путем отыскания соответствующего закона распределения тока J вдоль обмотки катушки. Задача сводится к интегральному уравнению, которое решается методом регуляризации Тихонова с ограничениями на искомый закон изменения J (неотрицательность и монотонность). Решение численных примеров показывает, что J = const вдоль большей части катушки, кроме ее краев, где ток возрастает на 2-3 порядка. Это позволяет сформировать поле в рабочей области с относительной однородностью ~10 -4 -10 -5.
Введение
Среди различных задач магнитно-резонансной томографии (МР-томографии) одной из наиболее важных является задача формирования высокооднородного магнитного поля в некоторой рабочей области МР-томографа [1-10]. Высокая однородность поля (порядка 1-10 ppm) необходима для получения высококачественных томограмм [7, с. 51-52].
Задача формирования (синтеза) высокооднородного поля решается различными способами, в первую очередь, в зависимости от типа магнита, формирующего магнитное поле. Если используется постоянный магнит, то задача решается путем определения некоторой формы магнита (содержащего магнитные наконечники и углубления сложного профиля в наконечниках) [2, 5, 6, 10]. Если используется резистивный или сверхпроводящий электромагнит в виде набора соленоидальных корректирующих катушек, то задача сводится к определению параметров катушек [4, 9, 11, 12]. Если рассматривается набор изолированных осесимметричных тонких и толстых витков, то задача сводится к определению параметров витков [3]. Существует еще один вариант решения задачи синтеза магнитного поля, когда рассматривается одна тонкая или толстая катушка и требуется определить закон распределения тока вдоль обмотки такой (несо-леноидальной) катушки [1]. Данная работа посвящена дальнейшему развитию задачи синтеза магнитного поля применительно к последнему варианту [7, с. 55-61], [8, 13], [14, pp. 213-224].
Постановка задачи и ее математическое описание
Рассмотрим следующую обратную задачу МР-томографии: определить распределение плотности тока J (a) вдоль бесконечно тонкой обмотки цилиндрической катушки по заданной напряженности H(z) на ее оси (в частности, H(z) = const). Это - задача интегрального синтеза магнитного поля на оси катушки МР-томографа [2, 13, 15]. Здесь a - координата вдоль обмотки катушки, z - координата вдоль ее оси.
Катушка в случае J (a) Ф const называется соленоидом с переменной плотностью тока, или соленоидом с неоднородным распределением тока [12, с. 37]. Чтобы сформировать неоднородное распределение тока в катушке, можно использовать разбиение обмотки на ряд изолированных секций [12, с. 37] или сформировать изолированные витки с индивидуальной подводкой нужного тока J (a) [7, с. 57], [8].
Пусть R - радиус катушки, l - ее полудлина. Тогда напряженность поля в некоторой точке z е на оси катушки будет равна [1, 7, 8, 13, 14]
i 2 r J (a) R da
H (Z) = J /Г 13 ' _ГО<Z , (1)
[R2 + (z _ a)2
причем некоторый коэффициент пропорциональности перед интегралом мы для упрощения записей положили равным единице.
Вычисление поля H (z) по заданному току J (a), согласно (1), есть прямая задача. Исследование прямой задачи показало [8, 13, 14], что при J (a) = const поле H (z)
падает от центра катушки к ее краям, а вне катушки H(z) ~| z | при | z го .
Теперь рассмотрим гораздо более сложную задачу - обратную задачу (или задачу синтеза) - определение распределения тока J (a) по заданному полю H (z) . Запишем (1) в виде
R 2
г J(a)da = H (z) , _ l < z < l . (2)
J K ( ^
[r 2 + (z _ a)2
Соотношение (2) является интегральным уравнением Фредгольма I рода. В нем H( z) - заданная правая часть (напряженность магнитного поля на оси катушки), в частности, H (z) = H = const, а J (a) - искомая функция (распределение тока вдоль обмотки). Задача решения уравнения (2) является некорректной (неустойчивой) [7, 14, 16, 17].
Введем безразмерные переменные: s = a / R, х = z / R, s0 = l / R. Тогда уравнение
(2) запишется в виде:
s0
х, s) J(s)ds = H (х), _ s0 < х < s0, (3)
_s0
где ядро интегрального уравнения
K (х, s) = K (х _ s) = 1 (4)
V[1 + (х _ s)2]3
Решение уравнения (3) методом регуляризации с ограничениями
Некорректность задачи решения уравнения (2) и (3) проявляется в том, что его численное решение различными методами (квадратур, итераций и др.) [7, 14, 16, 17] является очень неустойчивым [1], [7, с. 58]. Поэтому необходимо применение устойчивых методов решения, например, метода регуляризации Тихонова [7, 14, 16, 17]. При этом эффективность этого метода можно повысить, если дополнительно использовать априорные данные о искомом решении J (s).
В работах [8, 13, 14] установлены следующие свойства функции J(s) :
1) если H (_ х) = H (х), то J (_ s) = J (s);
2) J(s) ^ го при s = _s0 + 0 и s = s0 _ 0;
3) J(s) > 0;
4) J(s) монотонно возрастает от центра катушки (s = 0) к ее краям (s = ±s0), т. е. функция J (s) является четной, сингулярной, неотрицательной и кусочно монотонной.
Кроме того, уравнение (3) может быть приведено к виду [8, 13, 14]:
0
J R(х, s) J(s)ds = H(х), _ s0 < х < 0, (5)
_ s0
где новое ядро равно
R(X s) = I 1 23 + / 1 23. (6)
V[1 + (x + s)2]3 V[1 + (x - s)2]3
Использование уравнения(5) позволяет искать решение J (s) лишь в левом полупространстве s е (-s0,0], после чего в правом полупространстве J(s) = J(-s), s е [0, s0) в силу четности J(s). При этом в левом полупространстве функция J(s), s е (-s0,0], является неотрицательной монотонно невозрастающей (от левого края к центру катушки). А для функций такого класса существует вариант метода регуляризации Тихонова с ограничениями на решение [17, с. 118]. В этом варианте метода выполняется минимизация сглаживающего функционала с использованием ограничений на решение в виде его неотрицательности и монотонности при каждом значении параметра регуляризации а > 0. Данный вариант метода реализован в программе PTIPR на фортране [17, с. 118, 174], в которой выполняется минимизация сглаживающего функционала методом проекции сопряженных градиентов на множество неотрицательных монотонно невозрастающих функций.
Численный пример
С помощью программы PTIPR был решен следующий пример (типа примеров в работах [1], [7, с. 57]). При этом в работах [8, 14] было использовано значение s0 = 1.
Однако, как было показано в [13], наиболее однородное поле формируется при s0 = 0.5. Поэтому в данной работе мы положим s0 = 0.5, кроме того, шаг дискретизации h = As = Ax = 0.00625, число шагов дискретизации в левом полупространстве n = s0 / h = 80, общее число витков в катушке N = 2n +1 = 161, напряженность поля H(x) = H = const = 1, x е [-s0,s0].
Задача решалась для ряда значений параметра регуляризации а. На рис. 1 отображены полученные регуляризованные (устойчивые) решения Ja (s) при а = 10-4
(кривая 1), а = 1.1 -10 -5 (кривая 2) и а = 10 6 (кривая 3).
-*о= -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 $
Рис. 1. Регуляризованные решения (распределения тока вдоль обмотки катушки) Jа (у) с ограничениями.
1 — а = 10-4 , 2 — а = 1.1-10-5, 3 — а = 10-6
На рис. 2 представлены соответствующие найденным решениям Jа (5) распределения напряженности магнитного поля (ср. (5))
0
На (X) = { Я(X, 5) Jа - ¿0 < X < 0, (7)
-50
при а = 10-4 (кривая 1), а = 1.1 • 10-5 (кривая 2) и а = 10-6 (кривая 3).
-Л", ,=-<). 5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 С) .г
Рис. 2. Регуляризованные распределения напряженности магнитного поля вдоль оси катушки Н а (х)
1 - а = 10-4 , 2 - а = 1.110-5, 3 - а = 10-6
При этом интегралы в (5) и (7) вычислялись по квадратурной формуле трапеций с постоянным шагом к.
Рис. 1 показывает, что с уменьшением а отношение Jа (-50)/ Jа (0) возрастает, и решение Jа (5) в пределе при а ^ 0 переходит в сингулярную функцию. При этом при любом а функция Jа (-5) сохраняет свою монотонность (в противоположность результатам моделирования в работе [1], в которой при решении интегрального уравнения методом регуляризации Тихонова не использовались ограничения на решения).
Рис. 2 показывает, что для некоторого умеренного (оптимального) значения а (в
данном примере а оР « 1.1 • 10-5 ) относительная неоднородность поля
ор1
На (X)
дН (х) =1На (X) - На (°)1
а отн\ х) ~
На (0)
На (0)
-1
(8)
равна « 10-4 -10-5 для | X | [0,0.15] = [0,0.3]50.
Заключение
1. Применение метода регуляризации Тихонова без ограничений на решение для решения задачи синтеза магнитного поля на оси катушки МР-томографа хотя и стабилизирует решение, но при малых значения параметра регуляризации а решение Jа (5) имеет флуктуации тем большие, чем меньше а, как это видно из работ [1], [7, с. 58].
2. При использовании метода регуляризации Тихонова с ограничениями на реше-
ние флуктуации в решении Jа (5) исчезают даже при очень малых значениях а (см. рис. 1).
3. Как видно из рис. 1, при а ^ 0 решение Jа (5) переходит в сингулярную функцию типа 5 - функции, что практически означает, что катушка должна состоять в основном из витков с однородным распределением тока, за исключением нескольких крайних витков, в которых ток нарастает к краям катушки.
4. Значение параметра регуляризации а, а, значит, и закон нарастания тока J а (5) к краям катушки следует выбирать на основе двух критериев: отношение
2 3
Jа (±5о ) / Jа (0) не должно быть больше, чем « 10 -10, иначе крайние витки могут перегореть от слишком сильного тока; относительная неоднородность поля (8) должна быть ~10-4 -10в некоторой рабочей области.
5. Наиболее однородное поле формируется при 50 = l/R = 0.5, т.е. в случае довольно короткой катушки. Это говорит о том, что практическая реализация изложенной методики будет связана с созданием весьма компактной катушки и, как следствие, малогабаритного МР-томографа.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-08-01304-а).
Литература
1. Adamiak K. Method of the magnetic field synthesis on the axis of cylinder solenoid // Appl. Phys. 1978. Vol. 16. P. 417-423.
2. Афанасьев Ю.В., Студенцов Н.В., Хорев В.Н. и др. Средства измерений параметров магнитного поля. Л.: Энергия, 1979. 320 с.
3. Lugansky L.B. Optimal coils for producing uniform magnetic fields // J. Phys. E: Sci. Instrum. 1987. Vol. 20. P. 277-285.
4. Тихонов А.Н., Рубашов И.Б., Арсенин В Я. и др. О математическом проектировании конструкции ЯМР-томографа. Препринт. М.: Изд-во ИПМ АН СССР, 1987. 24 с.
5. Miyamoto T., Sakurai H., Hayashi H., Ohnishi Y. Magnetic field generating device for NMR-CT // Patent US 4672346, 1978.
6. Miyamoto T., Sakurai H., Takabayashi H., Aoki M. A development of a permanent magnet assembly for MRI devices using Nd-Fe-B materials // IEEE Transactions on Magnetics. 1989. Vol. 25, No. 5. P. 3907-3909.
7. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001. 240 с.
8. Сизиков В.С., Ахмадулин Р.И., Николаев Д.Б. Синтез магнитного поля вдоль оси катушки ЯМР-томографа // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. т. 45, № 1. С. 52-57.
9. Галайдин П.А., Иванов В.А., Марусина М.Я. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2004. 87 с.
10. Неронов Ю.И., Сизиков В.С., Соколов Д.Ю. Формирование высокооднородного поля постоянного магнита МР-томографа // Научно-техн. вестник СПбГУ ИТМО. 2006. Вып. 32. С. 129-137.
11. Дружкин Л. А. Задачи теории поля. М.: Изд-во МИРГЭ, 1964. 462 с.
12. Монтгомери Д.Б. Получение сильных магнитных полей с помощью соленоидов. М.: Мир, 1971. 359 с.
13. Иванов С.В., Рущенко Н.Г., Сизиков В.С., Соколов Д.Ю., Хомутикова Е.В. О решении задачи синтеза магнитного поля в МР-томографе методом регуляризации с ограничениями и методом аппроксимации 5 - функцией. // Научно-техн. вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. Вып. 9. С. 105-112.
14. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-posed, ill-posed, and intermediate problems with applications. Leiden-Boston: VSP. 2005. 234 p.
15. Лухвич А.А., Чурило В.Р. Источники поляризации магнитного поля и его градиентов для я.м.р.-томографии (обзор) // ПТЭ. 1987. № 5. С. 172-173.
16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук. думка, 1986. 544 с.
17. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.
