ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕДУЦИРОВАННОГО И СЕЛЕКТИВНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 531.6+539.2+539.3+519.6

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕДУЦИРОВАННОГО И СЕЛЕКТИВНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

A.B. Романов1

В рамках теории микрополярного континуума с использованном вариационного принципа Лагранжа, метода Ритца и кусочно-полиномиальных базисных функций трилинейного типа составлена схема редуцированного и селективного интегрирования в тонзорно-блочной форме для исключения эффекта запирания в почти несжимаемых изотропных средах с центром симметрии.

Ключевые слова: микрополярная среда, континуум Коссора. несимметричная теория упругости, вариационный принцип, тензор изгиба-кручения, тензор момонтных напряжений. метод конечных элементов, матрица жесткости, редуцированное и селективное интегрирование. эффект запирания, несжимаемая упругость, ложные моды нулевой энергии.

In this paper, a variational principle of Lagrange, the Ritz method and piocowiso polynomial shape functions of brick family 'linear" element are used to obtain reduced and selective integration techniques in a form of the tensor-block stiffness matrices to prevent the locking effect for nearly incompressible, isotropic and centrally symmetric material of the micropolar theory of elasticity.

Key words: micropolar continuum, Cossorat continuum, theory of asymmetric elasticity, variational principle, rotation gradient tensor, conplo stress tensor, finite element method, stiffness matrix, incompressible elasticity, reduced and selective integration, locking effect, spurious zero-energy modes.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-8

¿(u, p) < L(w, ф), L(w, 1p) = - a(w, 1р] w, ф) — l(w, ф), V w, ф : w, ф | = 0 (1)

1. Вариационный принцип Лагранжа. Обобщим задачу минимизации функционала Лагран-жа классической теории упругости [1, 2| на микрополярную среду:

1 2

и запишем условия стационарности

БЬ(и, р; ф) = 0. (2)

При формулировке вариационного принципа Лагранжа аналогично классической теории потребуем выполнения кинематических соотношений и кинематических граничных условий [1, 3 8]

7 = Уи - С ■ р, к = Ур, и |Е = 0, р |Е1=0,

а из условий стационарности (2) следуют уравнения равновесия и статические граничные условия:

2

УР + рЕ = 0, + С ® Р + рт = 0, п■ Р |Еа= Б, п■ ^ |Е = Я,

где 7 — тензор деформации микрополярной теории упругости; к — тензор изгиба-кручения; п — внешняя нормаль к поверхности тела. Кроме того, в силу симметрии функционала а из условий стационарности (2) также следуют интегральные тождества:

а(и, р; ф) = ф),

2 2 а(и, р; w,ф) = ) [Р(и, р)®(Уw - С ■ ф) + ^(р)®Уф}йУ,

V ~

1(w, ф) = $ р(¥ ■ w + т ■ ф)йУ + / (Б ■ w + Я ■ ф)^Е,

V Е2

1 Романов Александр Вячеславович пауч. сотр. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: at.omicraOya.ru.

Romanov Aleksandr Vyacheslavovich Research Scientist, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Composite Mechanics.

© Романов Л. В., '2024 © Romanov Л. V., 2024

(сс

где ^ дифференциал Гато; V — объем тела; £ — поверхность тела (£1 и £2 = £, £1 П £2 = 0); и р — действительная кинематическая система независимых векторов перемещений и микровращений (далее вращений) соответственно; ш, ф — кинематически допустимая система векторов, т.е. возможные перемещения и вращения из того же пространства, что и и Если приняты тождества ш = и, ф = р, то а(и, р, ш, ф) есть энергия упругих деформаций и изгиба-кручения; 1(ш, ф) — работа внешних сил на соответствующих перемещениях и вращениях; Р — тензор напряжений второ-

2

го ранга; ^ — тензор моментных напряжений второго ранга; ® — знак внутреннего 2-пропзведенпя; С — дискриминантный тензор третьего ранга (тензор Левп-Чпвпты); Е — вектор массовой силы; т — вектор массовых пар; р — плотность среды; Б — вектор поверхностной силы; К — вектор поверхностных пар.

2. Система линейных алгебраических уравнений. Применив метод Ритца и записав критерий стационарности (2) для лагранжиана (1) в дискретном виде, а также воспользовавшись ранее принятыми обозначениями в работах [9 11], придем к системе линейных алгебраических уравнений для материала произвольной анизотропии с центром симметрии:

+ K j wp — K j $ = F q,

DL(Wd, ф) = 0,

(1)

(2)

(1)

- к j wp + к j $p = Fq,

(3)pq i (4)pq i (2)q

K j — K j

(1) (2)

K

ij

K

ij

pq pq (3)pq (4)pq

w.

K j = / AjlNPySNq,i BiBp dVs, K j = / AijkmC'k!m .NpNq^BtJ dV^,

(1)

Ve

(2)

lj pq

Ve

Kpq = / AinklNp,sCjNqBS JdVs

Ve

(3)

Kj = f

(4) Ve

AinkmNp Nq C-m.CZ + DijklNv.sNq,tBl B]

p,sNq,tBk B

J dV\,

Fjq (1)q

Fjq

(2)q

где компоненты тензорно-блочных матриц жесткости и векторов сил имеют вид

Fq = / FjNqJpdVs + / SjNqJs d£, Fq = / mjNqJpdV^ + / RjNq Js d£

(1)

Ve

(2)

Ve

(3)

Стоит упомянуть, что в работе [111 были выписаны подынтегральные выражения KlJq — Kj с

(1) (4)

производными по декартовым координатам для изотропного материала:

lj

Kj = A Np,iNqj + (^ + a) Np,iNq,i Sji + (^ — а) NpjNqh Kj = —2aeiji Np Nq,i, Kj = 2a fj NpkNq,

(2) (3)

Kj = 5 Np,iNqj + (7 + в) Np,iNq,i Sji + (y — в) NpjNq,i + 4a NpNqSij. (4)

(4)

a=0

мых переменных id, ф. Данное свойство приводит не только к системе линейных алгебраических уравнений симметричной теории упругости относительно первого блока, но и к однородным уравнениям для аппроксимации поля перемещений и микровращений. Это нетрудно заметить, если в выражениях (4) принять а = 0, в = 0.

3. Обобщение метода редуцированного и селективного интегрирования (reduced and selective integration (RSI)). Как известно, использование элементов трилинейного тина приводит к эффекту запирания (locking effect) из-за ложных мод с нулевой энергией (spurious zero-energy modes), вследствие чего элемент имеет жесткость, большую, чем на самом деле. Один из способов преодоления данного эффекта, в том числе для почти несжимаемых сред, использование техники редуцированного и селективного интегрирования. Впервые для пластин данная техника была подробно описана Т. Хьюзом, М. Коэном и М. Харуном в работе [12]. Основная идея заключается в замене энергии объемных деформаций в точках интегрирования Гаусса средней по элементу. Чтобы обобщить данную идею на микрополярную среду, запишем аналогичный потенциал [9 11], учитывая шаровые тензоры деформаций и изгибов-кручений, в виде

w(y, к)

1

22 A

о 2 2 _

+ к ® D ® к

1

1

hh)G, X -¡\{x)G,

(5)

2

2

2

3

где 7, к — шаровые тензоры деформаций и изгибов-кручений соответственно; 1\ (^) — первый инвариант тензора второго ранга; О — единичный тензор второго ранга. Подставив в (5) выражения компонент изотропных материальных тензоров [11], получим

7у

3

хц!>иИ = ЪЬ I 27 Фы Ф1,к !Г'цИ

(6)

Воспользовавшись методом Ритца для выражений (6) и приняв производные функций форм по декартовым координатам [9], представим потенциал (5) в дискретном виде:

_ ЗА +

ф) = ^ (К^ + к^ ) щ, к^ = кч =

2 (4)

(1)

(4)

где К „о, К ¿,а — удельная жесткость шаровой части тензоров деформаций и изгибов-кручений соот-(1) (4)

ветственно. Далее, учитывая выражения (7), запишем жесткость шаровой части тензоров деформаций и изгибов-кручений в натуральных координатах:

й, = / Л,.,Л,, /^'Лг' Й, = ^^ / Мр<8Мд<г В°кВ\дыдЧ (8)

(1) 3 ve (4) 3

ve

и воспользуемся правилом численного интегрирования Гаусса по одно- и двухточечной схеме для решения системы (3), учитывая (8):

К

Ч

а=1Ь=1с=1

Шг = 1,

Ж- 8КЧ (0, 0, 0) 3 (0, 0, 0) + Е £ ЕШа ШЬ шА К% ,£с) - КЧ ,£с) ) 3 ЦаЛьЛс),

(•)

(•)

(9)

где Шг, — квадратуры Гаусса для двухточечной схемы интегрирования. При выводе компонент тензорно-блочных матриц жесткости (7), (8) из упругого потенциала (5) был учтен тот факт, что свертка симметричного тензора с коеоенмметричным есть нуль, так же как и первый инвариант от коеоенмметричного тензора. Это и обусловливает наличие только лишь первого и четвертого блоков в выражениях (7), (8).

4. Задача о кубе. Рассмотрим модель кубика со стороной 10 мм, на верхнюю грань которого действует равномерное давление Р = 120Н/мм2, при этом нижняя грань имеет жесткое защемление (см. рисунок). Примем изотропный материал с параметрами [Н/мм2] А = 2.096Е+003, у = 1.033Е+003 [13 15]. С целью сравнения схем интегрирования модель аппроксимирована по схеме 01x01x01 и 10x10x10 конечными элементами трилинейного и квадратичного(еерендипова) типа.

Расчетная схема (о), нумерация узлов 8- и 20-узлового конечного элемента (б), поле перемещений и

деформированного кубика (е)

Для проверки математического аппарата аппроксимации поля микровращений воспользуемся свойством расщепления системы уравнений (3), (4), приняв а = 0, в = 0. В этом случае к верхней

о

грани можно приложить фиктивную поверхностную пару К = 120 Н/мм, приняв фиктивные материальные параметры изотропного материала [Н] 5 = 2.096Е+003, 7 = 1.033Е+003. На свободной поверхности задан нулевой вектор напряжений поверхностных сил и пар.

Стоит отметить, что численный эксперимент был проведен с использованием собственной программы, а полученные результаты в рамках классической теории сравнивались с программой АВ АОГ Я. Решение системы (3) выполнялось методом сопряженных градиентов СС4М, реализованным на основе стека (ДГ)А С, С++ с параллельными вычислениями на графическом процессоре.

5. Выводы. Как видно из результатов эксперимента (см. таблицу), во-первых, решения собственной программы идентичны АВ АОГ Я. Во-вторых, 8-уз.ловой конечный элемент трилинейного типа С'!Г)8 с обычной двухточечной схемой интегрирования приводит к эффекту запирания. Применение же к трилинейным полиномам схемы редуцированного н селективного интегрирования СЗВ8(1131) (9) преодолевает этот недостаток. Представленная схема является базовой для конечных элементов А В А () I" 5. АКБУБ симметричной теории упругости.

Сравнение перемещений и 1 (микровращений р\) верхней грани кубика для разных моделей и схем интегрирования

Модель и схема интегрирования ui (lpi) Расхождение,%

01x01x01 C3D8 CUDA С -3.8086664E-001 9.8

01x01x01 C3D8(RSI) CUDA С, ABAQUS -4.1725940E-001 1.2

01x01x01 C3D20 CUDA С, ABAQUS -4.1588050E-001 1.5

10x10x10 C3D20 CUDA С, ABAQUS -4.2224000E-001 0.0

оо

С учетом выражений изотропных A, D и шаровых Y, К тензоров микрополярной теории упругости для 8-узловых конечных элементов трилинейного типа представлена схема редуцированного и селективного интегрирования в тензорно-блочной форме (9), которая впоследствии используется для исключения эффекта запирания при решении системы линейных алгебраических уравнений (3) и нахождения неизвестных векторов макроперемещений и микровращений. Данные результаты могут быть актуальными для исследования задач наномеханики микрополярного континуума с целью изучения механических свойств материала методом конечных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ. 1995.

2. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

3. Новицкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

4. Eringen А. С. Microcoritiriuurii Field Theories.1. Foundation and Solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

5. Никабадзе M. У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих топких тел. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014 (URL: https://istina.msn.ni/publications/book/6738800/).

6. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Some variational principles in the three-dimensional micropolar theories of solids and thin solids j j Theoretical Analysis, Computations, and Experiments of Multiscale Materials. Vol. 175. Advanced Structured Materials. Switzerland, 2022. 193 251 (URL: https://doi.org/10.1007/978-3-031-04548-6_11).

7. Nikabadze M., Ulukhanyan A. On some variational principles in micropolar theories of single-layer thin bodies // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany, 2022 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01089-5).

8. Nikabadze M., Ulukhanyan A. Generalized Reissner-type variational principle in the micropolar theories of multilayer thin bodies with one small size // Continuum Mechanics and Thermodynamics. Germany. 2022. 34, N 2 (URL: https://doi.org/10.1007/s00161-022-01091-x).

9. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае траисверса-льно-изотропиой среды j j Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2022. № 4. 35 39.

10. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случае ортотроп-ной среды // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 1. 68 72.

11. Романов А.В. О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости при неизотермических процессах j j Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2023. № 4. 64 68.

12. Hughes Т. J. R., Cohen M., Haroun M. Reduced arid selective integration techniques in the finite element analysis of plates, nuclear engineering and design. 1978. 46. 203 222.

13. Laken R.S. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized continua /'/' Continuum models for materials with micro-structure / Ed. by H. Muhlhaus. N.Y.: J. Wiley. 1995. 1 22.

14. Lakes R.S. Experimental microelasticity of two porous solids // Int. J. Solids and Struct. 1986. 22. N 1. 55 63.

15. Lakes R.S. Cosserat micromechanics of structured media: Experimental methods // Proc. Anier. Soc. Composites. 3rd Technical Conf. Sept. 25 29. Seatle. 1988. 505 516.

Поступила в редакцию 17.05.2023

УДК 531.396

УПРАВЛЯЕМЫЙ ПЕРЕХОД В МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ БИОМАСС КОРНЕВЫХ ГЕМИПАРАЗИТИЧЕСКИХ РАСТЕНИЙ

Л. Крусадо Лима1, В. В. Александров2, К. Нецауалвкойотлв Баутиста3,

О. В. Александрова4

В статье показана возможность решения проблемы перехода между периодическим и точечным аттракторами (устойчивый фокус) в бистабилыгой модели Розенцвейга Макар-тура. модифицированной для динамики гемииаразитических (полупаразитических) растений и их хозяев.

Ключевые слова: гемипаразитическое растение, множество достижимости, управляемый переход.

This paper shows the possibility of solving the problem of the transition between periodic and point attractors in the bistable Rosenzweig MacArthur model with modifications for the dynamics of root hemiparasitic plants and their hosts.

Key words: hemiparasitic plant, reachable set. controlled transition.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-9

1. Введение. В настоящей работе продолжаются исследования, проведенные в статье [1], где рассматривается математическая модель, предложенная в работе [2| и являющаяся модификацией модели Розенцвейга Макартура. Эта модель описывает взаимоотношения между двумя тинами растений 1'еминаразитичеекими растениями и их хозяевами. Мы представляем модель, правая часть которой не зависит от времени:

dyi (Л (М1±£М1\\ а'1У1У'2

2 (1)

dy2 . , aied2yiy2

^ = -{п + П1У2)У2+ {yl + (p){yi+sy

1 Крусадо Лима Лаура канд. мат. паук ф-та физических и математических паук Автономного уп-та штата Пуэбла (Мексика), е- mail: lcl.nlmaOgmail.com.

Cruzadu Lima Laura PliD in Mat.li., Faculty of Physical and Mathematical Sciences, Autonomous University of Pucbla, Mexico.

2 Александров Владимир Васильевич доктор фпз.-мат. паук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ: e-mail: vladimiralexaiidrov36601iot.mail.com.

Aleksandruv Vladimir Vasilievich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of Chair of Applied Mechanics and Control.

л Нецауалькойотль Баутиста Клаудия капд. мат. паук ф-та физических и математических паук Автономного уп-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: net.zaliualcoyot.l.860gmail.com.

Netzahualcuyutl Bautista Claudia PhD in Mat.li., Faculty of Physical and Mathematical Sciences, Autonomous University of Puebla, Mexico.

1 Александрова Ольга Владимировна канд. физ.-мат. паук, доцепт каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandrova.oOinbox.ru.

Aleksandruva Olga Vladimiruvna Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Cliair of Mathematical Analysis.

© Крусадо Лима -Л., Александров В. В., Нецауалькойотль Баутиста К., Александрова О. В., '2024

© Cruzado Lima L., Aleksandrov V. V., Netzahualcóyotl Bautista Cl., Aleksandrova О. V'., 2024

MI