CC BY
12APPLICATION OF CALCULATION OF LOCAL LYAPUNOV EXPONENTS TO ANALYZE CHARACTERISTICS OF INTERMITTENT GENERALIZED SYNCHRONIZATION
E.V. Evstifeev, O.I. Moskalenko
Saratov State University, 410012, Saratov, Russia Regional Science and Education Mathematics Centre Mathematics of the Future,
410012, Saratov, Russia
DOI: 10.24412/2073-0667-2022-2-5-16 EDX: AMQZYA
In the work we investigated the main characteristics of intermittent generalized synchronization, such as the distributions of the durations of laminar phases at a fixed value of the coupling parameter and the dependence of the mean duration of laminar phases on the supercriticality parameter, by calculating the local Lvapunov exponents. This method should make it possible to carry out research not only in the case of unidirectional coupling of interacting systems, but also in the case of mutual one. The analyzed systems were Rossler oscillators with a relatively simple topology of the attractor (hyperbolic type) and Lorenz oscillators with a relatively complex (two-sheeted) topology of the attractor. It was found that in the first case there is an on-off intermittency described by functions of a power-law type, and in the second case there is a hop-intermittency subject to exponential laws.
Initially, generalized synchronization in the context of continuous dynamic systems means establishing a connection between the state vectors of systems in the form of a functional relationship. Later it was proved that, in the general case, there is a connection in the form of a functional, i.e. there is a dependence on the history of the systems. The method for calculating local Lvapunov exponents is the most universal and allows one to correctly analyze the behavior of systems in both cases.
The behavior of systems is controlled not only by their own control parameters, but also by a coupling parameter that characterizes a kind of degree of synchronization. With an increase in the coupling parameter, at a certain critical value, a continuous (strong) generalized synchronization is established, characterized by a smooth functional relationship. Intermittent generalized synchronization occurs at values of the coupling parameter slightly less than the critical one and is characterized by a fractal functional relationship. The regime is called weak generalized synchronization and it is this regime that is considered in the work.
Assessment of the characteristics of intermittency would be impossible without the use of the method of identifying characteristic phases of the interacting systems' behavior. Intermittent behavior is characterized by the fact that time intervals of synchronous, in the sense of generalized synchronization, oscillations (laminar phases) alternate with time intervals corresponding to asynchronous bursts (turbulent phases). At the same time, with an increase in the coupling parameter between systems, an increase in the mean duration of the laminar phases of behavior and a simultaneous decrease in the average duration of turbulent phases is observed. The nature of the dependence of the average duration on the coupling parameter depends on the type of intermittency.
The reported study was funded by a grant from the President of the Russian Federation according to the research project N MD-18.2022.1.2.
© E.V. Evstifeev, O.I. Moskalenko, 2022
To distinguish the characteristic phases of behavior, a certain threshold value of the investigated quantity is introduced, which depends on time. Laminar phases correspond to those periods of time at which the investigated value is below the threshold value, and turbulent phases occur otherwise. It should be noted that for the most accurate statistics, the ultrashort laminar phases of behavior should be ignored.
Generally, the auxiliary system approach is used to detect characteristic phases of behavior of coupled oscillators but since the method is applicable only in case of unidirectional coupling a development of more general-purpose method is required. In this work, a method for calculating the local Lvapunov exponents was proposed. These exponents are calculated in almost the same way as the usual ones, except that in this case the accumulation interval is finite, which makes it possible to analyze the time dynamics of systems.
The definition of the main characteristics of intermittencv was carried out as follows. First, the critical value of the coupling parameter was estimated, which made it possible to estimate the operating range of the coupling parameter corresponding to the intermittencv of interest to us. Then, time series were obtained for the local Lvapunov exponents. The study was conducted according to the time dependencies. After establishing the optimal parameters of the methods, such as the value of the accumulation interval, the minimum considered duration of the laminar phases, the threshold value, the main characteristics of intermittencv were assessed.
It was found that the numerically obtained characteristics are in good agreement with the theoretical ones. This allows us to conclude that the method for calculating the local Lvapunov exponents makes it possible to analyze with a sufficiently high accuracy the intermittent behavior on the boundary of generalized synchronization with unidirectional and mutual coupling of systems, in the case of a simple and complex topology of attractors.
It should be noted that the question of the influence of the magnitude of the additive stationary noise, when added to the equations of one of the systems, remains open and will be considered in subsequent works.
The proposed method can also be used in the field of computational mathematics and problems based on data mining. For example, it can be used in neural networks to classify unknown signals.
Key words: intermittent generalized synchronization, local Lvapunov exponents, intermittencv characteristics, Lorenz systems, Rossler oscillators.
References
1. Boccaletti S, Kurths J., Osipov G. et al. The synchronization of chaotic systems // Physics Report. 2002. V. 366, I. 1-2. R 1-101.
2. Nikolai F. Rulkov, Mikhail M. Sushchik, Lev S. Tsimring, and Henry D. I. Abarbanel Generalized synchronization of chaos in directionallv coupled chaotic systems// Rhys. Rev. E. 1995. V. 51, N 2. P. 980.
3. Koronovskii A. A., Moskalenko O.I., Hramov A.E. Nearest neighbors, phase tubes, and generalized synchronization // Phvs Rev E. 2011. V. 84, N 3. P. 037201.
4. Koronovskii A. A., Moskalenko O.I., Hramov A.E. O mekhanizmah, privodvashchih k ustanovlenivu rezhima obobshchennoj sinhronizacii // Jurnal tekhnicheskoj fiziki. 2006. V. 76, N 2. P. 1.
5. Rosenblum M.G., Pikovskv A.S., Kurts J. et al. Synchronization approach to analysis of biological systems // Fluct. Noise Lett. 2004. V. 4. N 1. P. L53.
6. Moskalenko O.I., Koronovskii A. A., Hramov A.E. Generalized synchronization of chaos for secure coupling: Remarkable stability to noise // Physics Letters A. 2010. V. 374. N 29. P. 2925-2931.
7. B.K. Meadows, T.H. Heath, J.D. Neff, E. A. Brown, D.W. Fogliatti, M. Gabbav, V. In, P. Hasler, S.P. Deweerth, W.L. Ditto. Nonlinear antenna technology // Proc. IEEE. 2002. V. 90. P. 882.
8. Hramov A. E., Koronovskii A. A., Ponomarenko V. I., Prokhorov M. D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency // Phvs. Rev. E. 2006. V. 73. P. 026208.
9. Pvragas K. Weak and strong synchronization of chaos. // Phvs. Rev. E. 1996. V. 54. P. 4508.
10. Moskalenko O.I., Koronovskij A. A., Hanadeev V. A. Peremezhayushcheesva povedenie na granice obobshchennoj sinhronizacii vo vzaimno svvazannvh sistemah so slozhnoj topologiej attraktora // ZHTF. 2019. V. 89, N 3. P. 338-341.
11. Koronovskii A. A., Moskalenko O.I., Pivovarov A. A., Khanadeev Vladislav A. Jump intermittencv as a second type of transition to and from generalized synchronization // Phvs. Rev. E. 2020. V. 102. P. 012205.
12. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach // Phvs Rev E. 1996. V. 53. Iss. 5. P. 4528.
13. Kuznecov S.P. „Dinamicheskij haos". M: FIZMATLIT, 2006.
14. Abarbanel H.D.I., Brown R., Kennel M.B. Variation of Lvapunov Exponents on a Strange Attractor // Journal of Nonlinear Science. 1991. V. 1. P. 175-199.
15. Alexander E. Hramov, Alexev A. Koronovskii, Maria K. Kurovskava. Zero Lvapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise // Phvs. Rev. E. 2008. V. 78. P. 036212.
16. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. 2. P. 130-141.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАСЧЕТА ЛОКАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ АНАЛИЗА ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРЕМЕЖАЮЩЕЙСЯ ОБОБЩЕННОЙ
СИНХРОНИЗАЦИИ
Е. В. Евстифеев, О. И. Москаленко
ФГБОУ ВО „Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н, Г, Чернышевского", 410012, Саратов, Россия
Региональный научно-образовательный математический центр
"
410012, Саратов, Россия
УДК 517.9
Б01: 10.24412/2073-0667-2022-2-5-16 ЕБХ: АМС^УА
При помощи метода выделения характерных фаз поведения, основанного на расчете .локальных ляиуновеких показателей, получены основные характеристики перемежаемости на границе обобщенной синхронизации. Установлено, что данный метод позволяет проводить исследование не только в случае однонаправленной, но и взаимной связи. В качестве анализируемых систем выбраны однонаправленно и взаимно связанные системы Рееслера со сравнительно простой топологией аттрактора (ленточный тип) и осцилляторы Лоренца со сравнительно сложной топологией (двулистный тин). При этом, в первом случае реализуется перемежаемость „оп-оА" типа, а во втором — перемежаемость типа перескоков. В работе были оценены основные характеристики перемежаемости, такие как распределения длительностей ламинарных (синхронных) фаз при фиксированном значении параметра связи и зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичноети. Показано, что наблюдается хорошее соответствие между характеристиками, рассчитанными при помощи численного метода, и теоретическими закономерностями. Результаты работы хорошо согласуются с данными других работ и демонстрируют, что метод расчета локальных показателей Ляпунова может быть успешно применен для анализа систем, характеризующихся различной сложностью топологии аттрактора, как при однонаправленной, так и взаимной связи.
Ключевые слова: перемежающаяся обобщенная синхронизация, локальные показатели Ляпунова, характеристики перемежаемости, системы Лоренца, системы Рееслера.
Введение. Хаотическая синхронизация является фундаментальным явлением радиофизики |1|, Среди основных типов хаотической синхронизации обобщенная |2-3| синхронизация привлекает большое внимание исследователей за счет широкой распространенности и возможности возникновения между связанными системами с различной размерностью
Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых докторов наук (проект № МД-18.2022.1.2).
(с) Е.В. Евстифеев, О. И. Москаленко, 2022
фазового пространства [4]. Обобщенная синхронизация имеет широкий спектр применения: анализ взаимодействия между системами биологической, химической и физической природы [5], скрытая передача информации [6], создание нелинейных антенн гига- и те-рагерцового диапазонов [7], медицинское оборудование [8] и т, д.
Под обобщенной синхронизацией в контексте теории динамических систем подразумевается существование связи между состояниями систем
(где § — вектор параметров связи, х, у — векторы состояний системы, Е, С — векторные функциональные соотношения, х, у - производные по времени) в виде функционального соотношения [3, 9] (в общем виде функционала). Связь в виде функционала часто возникает в системах с памятью, состояние которых зависит также от предыстории.
При увеличении величины параметра связи, начиная с некоторого критического значения, устанавливается непрерывная обобщенная синхронизация. При значении параметра связи немного меньше критического значения долгие синхронизированные колебания систем (ламинарные фазы) чередуются с короткими асинхронными колебаниями (турбулентными всплесками), Такой тип поведения носит название перемежающейся обобщенной синхронизации [10-11]. Разработке методов анализа перемежающейся обобщенной синхронизации и посвящена настоящая работа,
1. Выделение характерных фаз поведения. При анализе перемежающегося поведения оцениваются статистические характеристики, К основным из них относятся распределения длительностей ламинарных фаз при фиксированном значении параметра связи и зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичноети.
Для выделения ламинарных и турбулентных фаз обычно используется модификация метода вспомогательной системы [12] в связи с простотой его реализации и высокой точностью оцениваемых характеристик. К сожалению, данный подход оказывается неприменимым в случае взаимной связи, вследствие чего возникает необходимость в разработке более универсальных подходов, одинаково хорошо работающих при любом типе связи.
В данной работе предложен метод выделения характерных фаз поведения систем, основанный на расчете локальных показателей Ляпунова [13-15]. Ляпуновекие показатели характеризуют динамику системы. Положительные показатели отвечают хаотической динамике, а отрицательные — периодической. При этом, в диссипативпых системах с аттрактором, отличающимся от неподвижной точки, обязательно присутствует хотя бы один нулевой показатель, характеризующий возмущение типа сдвига вдоль фазовой траектории.
Оценка данных показателей основана на алгоритме Бенеттина с ортогонализацией Грама-Шмидта [13]. Сперва вводится начальный ортонормированный базис единичных, для удобства, векторов возмущений. Затем, через равные временные промежутки фиксируются логарифмы для каждой длины векторов возмущения и производится ортогонали-зация и перенормировка. Тогда, любой ляпуновекий показатель выражается как средний логарифм при устремлении времени накопления Т= кт к бесконечности (формула 2)
X = Р(х)
у = в(у ^)
(1)
к
где — вектор возмущения на ¿-й итерации алгоритма, к — число итераций алгоритма, т — интервал безразмерного времени между перенормировками, || ... || — Евклидова норма, е = 1 — первоначальная норма векторов возмущений.
Число показателей Ляпунова равняется размерности фазового пространства системы и характеризует среднее по всему фазовому пространству растяжение/сжатие фазовых траекторий,
В локальном подходе используется конечный интервал накопления Т, а не бесконечный, При этом, таким же образом происходит усреднение, только учитываются лишь те векторы возмущений, которые попали в интервал [£ — Т, ¿], где £ — текущее безразмерное время. Благодаря этому дополнению, появляется возможность наблюдения временной динамики систем. Обычно исследуется величина второго старшего локального Ляпунове кого показателя, положительный знак которого указывает на наличие турбулентных фаз при величине параметра связи немного меньше критического значения.
Для выделения характерных фаз поведения вводится порог разделения — определенное значение исследуемой величины, при превышении которого наблюдается фаза асинхронных колебаний, И наоборот, при величине, меньшей указанного порога, наблюдаются синхронные колебания,
2. Исследование характеристик перемежаемости в системах с относительно простой топологией аттрактора. Для исследования были выбраны однонаправленно и взаимно связанные системы Ресслера [2, 6] со сравнительно простой топологией аттрактора (аттракторами ленточного типа). Данная модель описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений (3),
X 1,2 = —и>1,2Р1,2 — ¿1,2 + е(^2,1 — Х1,2)
У1,2 = ^1,2X1,2 + ар1,2
¿1,2 = Ь + ¿1,2^1,2 — с) (3)
где а = 0.15, Ь = 0.2, с = 10 = 0.99, ш2 = 0.95 — управляющие параметры, В случае однонаправленной связи е1 = 0,е2 = е, в случае взаимной связи е1 = е2 = е.
В ходе проведенных исследований установлено, что на границе обобщенной синхронизации в системе (3) наблюдается перемежаемость „оп-оАТ" типа, характеристики которой описываются степенными законами. Распределения длительностей ламинарных фаз при фиксированных значениях параметра связи подчиняются степеннму закону с показателем „-1,5", т. е. функцией вида N(т) = ат-1'5, где N — число ламинарных фаз, т —
длительность ламинарных фаз. Зависимость средней длительности ламинарных фаз от
"
вид (т) = Ь(е — ес)-1,
Сначала была произведена оценка порога возникновения режима обобщенной синхронизации, Для этого были численно рассчитаны спектры ляпуновеких показателей. Критическое значение параметра связи, соответствующее переходу к режиму обобщенной синхронизации, при расчете спектра показателей Ляпунова оказалось ес ~ 0.11 как в случае однонаправленной, так и взаимной связи. Стоит отметить, что при расчете спектра локальных показателей Ляпунова оценка критического значения параметра связи оказывается немного заниженной, что следует учитывать при определении характеристик перемежающейся обобщенной синхронизации.
Далее, были получены временные ряды для исследования — временные зависимости второго и третьего старших локальных ляпуновеких показателей (см, рис, 1), Интервал
-2,3
0.06 г 0.04 0.02 0
-0.02 -0.04
100000
_L
120000
.......Л , 1
_L
L40000
160000
_L
J
180000
200000
б
Рис. 1. Временная зависимость второго и третьего старших локальных показателей Ляпунова для однонаправленно и взаимно связанных систем Ресслера
накопления был зафиксирован на значении 3500. Приведенные графики были получены при значении параметра связи е = 0.106.
Как и в случае с соответствующими зависимостями от параметров связи, критерий возникновения обобщенной синхронизации остается прежним. Стоит только отметить, что дня удобства при рассмотрении временных рядов локальных ляпуновских показателей в случае однонаправленной связи значения показателей дня каждого момента безразмерного времени были отсортированы но убыванию, чтобы проводить анализ только но второму локальному показателю Ляпунова. Это было сделано с той цолыо, чтобы при переходе к рассмотрению случая взаимной связи использовались те же параметры, что были получены в случае однонаправленной связи.
Далее, при помощи локальных показателей Ляпунова были рассчитаны основные характеристики перемежаемости однонаправленно и взаимно связанных систем Ресслера. Сперва были оценены распределения длительностей ламинарных фаз при фиксированном значении параметра связи (см. рис. 2).
На рис. 2, а, представлено распределение длительностей ламинарных фаз в случае однонаправленной связи при значении параметра связи е = 0.106. Треугольники соответствуют распределению, полученному численным методом. На рис. 2, б, представлены
е
(треугольники), 0.105 (кружки) и 0.11 (квадраты). Сплошная линия соответствует теоретической степенной функции с показателем ,,-1.5", а пунктирные линии — степенным функциям, аппроксимирующим данные, полученные при анализе локальных показателей Ляпунова. Видно хорошее соответствие полученных результатов.
Наконец, была числешю определена зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичпости (см. рис. 3). Сплошные линии соответствуют аннрок-
-1"
Рис. 2. Распределения длительностей ламинарных фаз в двойном логарифмическом масштабе в случае
однонаправленно и взаимно связанных систем Ресслера
функции, аппроксимирующей экспериментальные точки. Видно, что эти линии практически совпадают друг с другом.
Полученные результаты показали, что все характеристики, рассчитанные дня обоих типов связи, полностью соответствуют теоретическим степенным закономерностям. Таким образом, метод расчета локальных ляпуповских показателей может быть успешно применен при анализе систем с относительно простой топологией аттрактора.
3. Исследование характеристик перемежаемости в системах с относительно сложной топологией аттрактора. В качестве примера для исследования систем со сложной топологией аттрактора были взяты одпопаправлешю и взаимно связанные системы Лоренца |10, 16| со сравнительно сложной (двулистной) структурой аттрактора, описываемые системой уравнений (4).
X 1,2 = 0-(у1,2 - ¿1,2) + - Х1,2)
У/1,2 = Г1,2^1,2 - /1,2 + ^1,2^1,2
¿1,2 = -&1,2 ¿1,2 + ^1,2/1,2 (4)
где а = 10.0, Ь1 = 2, Ь2 = 8/3, г1 = 40, г1 = 35. В случае однонаправленной связи е1 = 0,е2 = е, в случае взаимной связи е1 = е2 = е.
В данном случае наблюдается иной тип перемежаемости, а именно перемежаемость перескоков, описываемая экспоненциальными закономерностями |10|. Однако, вплоть до анализа самих характеристик, алгоритм остается прежним: сперва определялось критическое значение параметра связи, а затем временные ряды. Интервал накопления был зафиксирован равным 400.
Далее, был произведен расчет основных характеристик перемежаемости (см. рис. 4, 5). На рис. 4, а, представлены распределения длительностей ламинарных фаз в случае однонаправленной связи при значениях параметра связи е = 9.6, 9.9 и 10.2 (цифры 1, 2 и 3, соответственно). На рис. 4, б, представлены аналогичные распределения в случае взаимной
е
а б
Рис. 3. Зависимость средней длительности ламинарной фазы Т от параметра надкритичности (ес — е) в случае однонаправленно (а) и взаимно (Ь) связанных систем Ресслера
Рис. 4. Нормированные распределения длительностей ламинарных фаз связанных систем Лоренца
но). Линии соответствуют экспоненциальным законам вида 1п(/(ж)) = —ж/Т — 1п(Т), где Т — средняя длительность ламинарных фаз.
Характеристики, полученные дня систем Лоренца, соответствуют перемежаемости типа перескоков, описываемой экспоненциальными функциями, а не степепными. Причем, распределение длительностей ламинарных фаз зависит от величины средней длительности ламинарных фаз, полученной при том же фиксированном значении параметра связи. Таким образом, распределения, нормированные на общее количество длительностей и величину шага, описывались экспоненциальными законами вида 1п(/(ж)) = —х/Т — 1п(Т), Т
При исследовании зависимостей средней длительности ламинарных фаз от параметра связи были применены две аппроксимирующие функции: 1п(/(ж)) = а + Ьх и 1п(д(х)) = а + вЬх + (2/^(1/12 + ж/л/3 — 2/35/4ж3/2) + (ж2/12)). Первая функция представляет собой простейшую экспоненциальную закономерность, описывающую исследуемую величину при
& 9.5 10 10.5 5.25 5.5 5.75 6 6.25
е е
а б
Рис. 5. Зависимость средней длительности Т ламинарных фаз от параметра надкритичности (ес — е) в случае однонаправленно (а) и взаимно (Ь) связанных систем Лоренца. Линии соответствуют аппроксимирующим экспоненциальным функциям (пунктирные упрощенного вида, сплошные более
полного)
малых значениях параметра связи. Вторая функция была получена аналитически при помощи анализа исходной системы уравнений и учитывает больше нелинейных слагаемых, и, в результате, отлично описывает среднюю длительность ламинарных фаз в достаточно большом диапазоне параметра связи.
Заключение. В ходе данной работы были получены основные характеристики перемежающейся обобщенной синхронизации в случае однонаправленной и взаимной связи, такие как распределения длительностей ламинарных фаз при фиксированных значениях параметра связи и зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности. Исследование было проведено как в связанных системах Ресслера с относительно простой топологией аттрактора, так и в системах Лоренца с относительно сложной (двулистной) топологией. В первом случае наблюдается перемежаемость „оп-ой" типа, описываемая степенными закономерностями, во втором - перемежаемость перескоков, описываемая экспоненциальными функциями. Установлено, что полученные характеристики хорошо согласуются с известными теоретическими закономерностями. Результаты работы указывают па то, что метод расчета второго старшего локального лянуновского показателя позволяет с хорошей точностью выделить характерные фазы поведения, что может быть использовано при различных исследованиях с использованием обобщенной синхронизации при однонаправленной и взаимной связи систем с аттракторами, характеризующимися различной сложностью топологии. Предложенный метод может найти также практическое применение в области вычислительной математики и задачах, основанных на интеллектуальном анализе данных. Например, его можно использовать в нейронных сетях дня классификации нераспознанных сигналов.
Список литературы
1. Boeealetti S, Kurths .J., Osipov G. ct al. The synchronization of chaotic systems /7 Physics Report. 2002. V. 366, I. 1 2. P. 1 101.
2. Nikolai F. Rulkov, Mikhail M. Sushehik, Lev S. Tsimring, and Henry D. I. Abarbanel Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems// Phvs. Rev. E. 1995. V. 51, N 2. P. 980.
3. Koronovskii A. A., Moskalenko O.I., Hramov A.E. Nearest neighbors, phase tubes, and generalized synchronization /7 Phvs Rev E. 2011. V. 84, N 3. P. 037201.
4. Koronovskii A. A., Moskalenko O.I., Hramov A.E. О mekhanizmah, privodvashchih k ustanovlenivu rezhima obobshehennoj sinhronizacii /7 .Jurnal tekhnicheskoj fiziki. 2006. V. 76, N 2. P. 1.
5. Rosenblum M.G., Pikovskv A.S., Kurts .J. et al. Synchronization approach to analysis of biological systems /7 Fluet. Noise Lett. 2004. V. 4. N 1. P. L53.
6. Moskalenko O.I., Koronovskii A. A., Hramov A.E. Generalized synchronization of chaos for secure coupling: Remarkable stability to noise /7 Physics Letters A. 2010. V. 374. N 29. P. 2925 2931.
7. B.K. Meadows, Т.Н. Heath, .J.D. Neff, E. A. Brown, D.W. Fogliatti, M. Gabbav, V. In, P. Hasler, S.P. Deweerth, W.L. Ditto. Nonlinear antenna technology /7 Proc. IEEE. 2002. V. 90. P. 882.
8. Hramov A. E., Koronovskii A. A., Ponomarenko V. I., Prokhorov M. D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency /7 Phvs. Rev. E. 2006. V. 73. P. 026208.
9. Pvragas K. Weak and strong synchronization of chaos /7 Phvs. Rev. E. 1996. V. 54. P. 4508.
10. Moskalenko O.I., Koronovskij A. A., Hanadeev V. A. Peremezhayushcheesya povcdcnic na granice obobshehennoj sinhronizacii vo vzaimno svvazannvh sistemah so slozhnoj topologicj attraktora /7 ZHTF. 2019. V. 89, N 3. P. 338 341.
11. Koronovskii A. A., Moskalenko O.I., Pivovarov A. A., Khanadeev Vladislav A. .Jump intermittency as a second type of transition to and from generalized synchronization /7 Phvs. Rev. E. 2020. V. 102. P. 012205.
12. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushehik M.M. Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach /7 Phvs Rev E. 1996. V. 53. Iss. 5. P. 4528.
13. Kuznecov S.P. „Dinamicheskij haos". M: FIZMATLIT, 2006.
14. Abarbanel H.D.I., Brown R., Kennel M.B. Variation of Lvapunov Exponents on a Strange Attractor /7 .Journal of Nonlinear Science. 1991. V. 1. P. 175 199.
15. Alexander E. Hramov, Alexev A. Koronovskii, Maria K. Kurovskava. Zero Lvapunov exponent in the vicinity of the saddle-node bifurcation point in the presence of noise /7 Phvs. Rev. E. 2008. V. 78. P. 036212.
16. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow /7 J. Annus. Sei. 1963. V. 20. 2. P. 130 141.
Е. В. Евстифеев тел. +7 (909) 340-42-23, е-таП: evstifeevev0mail.ru.
Окончил Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского в 2021 году, степень магистра. На данный момент является аспирантом. Научные интересы: параллельные вычисления на графических ускорителях, численное решение задач нели-
нейной динамики и хаоса, хаотическая синхронизация, ляпуновекие показатели.
Е. V. Evstifeev Phone +7 (909) 340-42-23, e-mail: evstif eevev@mail .ru.
Graduated Saratov State University in 2021, master degree. He is currently a graduate student. Research interests: parallel computing on graphics accelerators, numerical solution of problems of nonlinear dynamics and chaos, chaotic synchronization, Lvapunov exponents.
О. И. Москаленко тел. +7 (937) 248-49-83, е-таП: 0.1. тозка1епко%таз.1. сот.
Окончила СГУ Саратовский государственный университет (ныне Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чер-нышевскох'о) в 2006 году, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры физики открытых систем СГУ, член Диссертационных советов Д 212.243.01 и Д 212.243.18 при Саратовском университете. Научные интересы: динамический хаос, хаотическая синхронизация, живые
системы, показатели Ляпунова, скрытая передача информации.
О Л. Moskalenko phone +7 (937) 248-4983, e-mail: о.i.moskalenkoSgmail.com.
Graduated Saratov State University in 2006, Full Doctor in Physical and Mathematical Sciences, professor at the Department of Physics of Open Systems, member of the Dissertation Councils D 212.243.01 and D 212.243.18 at the Saratov State university. Research interests: dynamical chaos, chaotic synchronization, living systems, Lvapunov exponents, secure information transmission.
Дата поступления Ц.01.2021
