Применение метода открытого слоя к расчету рассеяния электромагнитных волн на импедансных цилиндрах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.876.23

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОТКРЫТОГО СЛОЯ К РАСЧЕТУ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ИМПЕДАНСНЫХ ЦИЛИНДРАХ

Метод открытого слоя применен к расчету рассеяния электромагнитных волн на выпуклых импедансных цилиндрах. Приповерхностный слой состоит из отдельных ячеек. В каждой ячейке рассеянное поле представляется в терминах волн, распространяющихся от ее сторон ячейки, исключая внешнюю. Пригодность предложенной модели для расчета реальных структур проверена анализом рассеяния на круглом, квадратном, прямоугольном и треугольном импедансных цилиндрах. Метод прост в применении и обеспечивает достаточную точность в широком диапазоне частот.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] был предложен приближенный подход к решению задач дифракции на идеально проводящих цилиндрах со сложным выпуклым контуром поперечного сечения. Он был назван методом открытого слоя и является логическим продолжением метода произведения областей [2].

Как известно, в методе произведения областей поле в рассматриваемой области часто имеет вид суперпозиции волн, направленных внутрь этой области от ее боковых стенок. Для использования этой модели у поверхности рассматриваемого цилиндра выделяется приграничный слой толщиной существенно меньше длины падающей волны. Выделенный слой разделяется на некоторое число перекрывающихся частей. В каждой такой части рассеянное поле представляется согласно методу произведения областей. Далее, значения поля в соседних частях согласовываются в перекрывающихся областях. В результате решение задачи рассеяния сводится к решению системы линейных уравнений с разреженной матрицей.

Целью данной работы является применение метода открытого слоя к решению задачи рассеяния электромагнитных волн на импедансных цилиндрах. В качестве примеров рассмотрены круговой, прямоугольный и треугольный цилиндры с ненулевым импедансом. Расчетные данные сравниваются с результатами вычислений, полученных методом моментов и методом поверхностного граничного условия излучения.

1 ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Часть поперечного сечения цилиндра изображена на рис. 1. Его кусочно-гладкая выпуклая граница состоит из N элементов: прямолинейных отрезков и дуг окружностей. В число таких элементов могут быть также включены дуги эллипсов. Цилиндр возбуждается плоской электромагнитной волной с г-компонентой вида:

2П

и0(х, у) = ехр [ 1к(хсо8а + у 8Ша)]; к = —. (1)

к

В равенстве (1) а - угол между направлением на источник первичного поля положительным направлением оси Ох основной системы (х, у, г) координат; к - длина падающей волны. Зависимость от времени выбираем в виде ехр (гю£).

Рисунок 1 - Геометрическая модель задачи

Прямо на поверхности выпуклого цилиндра расположим слой толщиной 2А и разделим его на перекрывающиеся ячейки. На рис. 1 изображена /-я ячейка, которая прилегает к дуге окружности М/М/ +1 радиусом К/. Она представляет собой пересечение

(произведение) четырех областей, которые определяются неравенствами:

ру > Яу; р!1^ ); р(у2)> ¿!2); и ру < Яу + 2 А, (2)

/ Л / (1) (1 к , (2) (2). где (ру, фу), (ру , фу ) и (ру , фу ) - вспомогательные

полярные системы координат с центрами в точках О у,

Л1) ^(2) 1

О у и Оу соответственно.

Согласно методу открытого слоя [1], г-компоненту рассеянного поля внутри у-й ячейки мы записываем в виде суммы четырех слагаемых, каждое из которых представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся от соответствующей стороны ячейки. Однако, для обеспечения условия излучения, мы требуем, чтобы волны, распространяющиеся в направлении рассеивающей поверхности, имели нулевую амплитуду. Таким образом, рассеянное поле внутри у-й ячейки принимает вид:

иу = А^у) Н02)( кр^) + Б^Е^ кр|2)) +

N •

+1 ^¿у ^,

(3)

п = О

(2)

где Е0 (t) - функция Ханкеля второго рода; Ь у - длина у-го элемента контура поперечного сечения цилиндра;

Я(Л=

п

(у)

ехр(-уп ху) для прямолинейного элемента (Яу =<»),

Е

(2) Куп

(кру)

Е

(2)

(кЯу)

для криволинейного элемента;

С =

П для Е-поляризации, 1

П

для ^-поляризации;

(5)

П - нормированный поверхностный импеданс цилиндра.

Применяя указанное условие (4) в каждой отдельной ячейке и используя ортогональность системы тригонометрических функций, получим совокупность

уравнений, связывающих между собой неизвестные

(у) (у) (у) коэффициенты А , Б , О :

оПу) = аПу)А(у) + ьЩ)Б(у) + е!, у = 1, N, п = О, Nу, (6)

где

(у) п

а = —

п

Ь

дЯ у

¿кС - -Я

дп

"1 /(^ду--к!Е02'( кру >)|

кпУ у Ь

(7)

(Л_ ь«

Ь

дЯ

¿кС--Я

дп

' 1/(Едпу - "«е02,< кр->)

кпУу л

х со8—-—'-ау;, Ь

Ь

(у) 8п а = —

п

Ь

дЯ у

к - -Я

дп

^-1Ьу

(8)

кпу у С08 ^ ¿Уу, (9)

К = П; Ру - угол МуОуМу + 1; уу = 7<пп/Ь у)2 - к2;

^ - число усечения суммы; <ху, у у) - декартовая систе-

(у) (у) (у)

ма координат, связанная с точкой Му; А , Б , -искомые коэффициенты разложения поля.

Первые два слагаемых соответствуют боковым дугам -й ячейки, а последняя сумма - дуге М М + 1. Ввиду того, что размеры боковых дуг во много раз меньше дуги МуМу +1, их вклад в рассеянное поле мы учитываем только первыми слагаемыми соответствующих разложений.

Предположим, что на каждом элементе контура поперечного сечения цилиндра полное поле и = ио + иу удовлетворяет импедансному условию (условию Леон-товича):

ди

— = гкС,и, дп

где д--производная по внешней нормали;

(4)

1, п = О,

2, п > О.

Здесь означает, что значение / вычисляется на поверхности цилиндра.

Для согласования представлений поля в соседних ячейках наложим дополнительное условие, которое состоит в том, что поля и и и + 1, а также их производные в направлении вдоль поверхности цилиндра, должны быть непрерывны в одной точке области перекрытия ячеек Р у + 1, имеющей координаты х у = А и У у = О<] = 1, N) (см. рис. 1):

гу+ 1

+ 1

+1

ди у ду

ди

у + 1

ду

+1

у+ 1

(1О)

+1

(у)

Подставив в (1О) значения П^ из равенств (6), мы придем к системе 2N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных А и БШ<у = ^):

=

и

( ^

(/) + £ ( 1 лп„(/)&(/) п = 0

а^> + £ (-1 )па/КП

А( /) -

а^ + 1) + £ (-1 )паЩ + 1)яЩ + 1)

п=0

А

(/ +1).

( ^

(/) + £ ( 1 -Пи(/)„(/)

п=0

ь^" + £ (-1 )пьП"яП

в(/) -

(11)

г

N.

ьч(" + 1) + £ (-1)пь" + 1 Я/ + 1>

п=0

пп

в

(/ +1) _

N.

±оЩ + 1 К +1>

п=0

N.

■ 2: с/я/'

п=0

а^" А( - а^1(" + 1)А(/ + 1 + Ы{/) В" - Ы1(" +1 В(" +1 = 0.

где

аЧ" = Н02)(кр/1 >)I ; ЬЧ" = Н02)(кр/2>)| +1 1

; а£1

дУ/

/ = 9Н02 )(кр/2))

/ +1 " 'р/+1 +1) = эн02)(к р/у 1 )

/ +1

=

дУ/

; Ь£1

/ + 1) = Н )(кр/2+) 1)

/ +1

дУ/ +1 дУ/ +1

/ +1

р+1 (12)

СЛАУ (11) обладает разреженной матрицей и, следовательно, может быть легко решена.

Зная значение поля на поверхности цилиндра, рассеянное поле может быть получено из выражения:

и. = -М ^ - иК (13)

где О (г, г ^ = -|н02)(к|г - г'[) - функция Грина, Ь -контур, совпадающий с границей поперечного сечения цилиндра, г - радиус-вектор, описывающий контур

з*

интегрирования, а —; - внешняя нормальная производная к Ь.

2 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Изложенный метод был использован для анализа рассеяния плоской волны на цилиндрах различного сечения: круглом, квадратном, прямоугольном и треугольном. На рис. 2 обозначены линейные параметры структур, расположение основной системы координат и направление падающей волны.

На рис. 3 сплошные кривые представляют диаграммы направленности (ст-поперечник рассеяния) для кругового цилиндра в случае Е (а) и Н (б) поляризации при значении импеданса п = 4. Результаты сравниваются с расчетами, полученными методом разделения переменных. Приграничный слой, толщина А которого выбиралась равной 0, 1 к, состоит из четырех одинаковых ячеек. Центры дополнительных боковых

дуг определяются величинами: ¿О/М/О/!) = п; ё/г) =

= к, г = 1, 2. Результаты хорошо совпадают в весьма в широком диапазоне частот.

На следующих двух рисунках представлены зависимости (сплошные кривые) для импедансного цилиндра квадратного сечения (рис. 2б) при облучении его Е-по-ляризованной плоской волной. Параметры цилиндра: I = к, п = 4. Штриховой линией показаны результаты расчета по методу, изложенному в [3], а точками - по методу моментов, которые можно считать эталонными.

Ь

+

А

А

а)

Рисунок 3 - Рассеяние на круглом цилиндре

На рис. 4 приведены результаты для обратного рассеяния, а на рис. 5 диаграмма направленности. Для ликвидации особенностей на острых углах мы вводим закругления радиусом г = О,О5X и приграничный слой, таким образом, разделяется на 8 ячеек: четыре

п

дуги окружности с центральным углом 2 и четыре

прямолинейные ячейки. Для расчета были выбраны следующие значения дополнительных параметров:

ЮМ^) = 22п, у) = х< г = 1,2).

На рис. 6 представлены характеристики рассеяния, полученные данными методами, для прямоугольного цилиндра (рис. 2в) с параметрами: ¡1 = 2X, ¡2 = X, П = О, 5( 1 - г) в случае Е-поляризации падающей волны. Штриховой линией показаны результаты расчета по методу моментов [4]. Параметры закругления выбирались теми же, что в предыдущем случае. Следует констатировать хорошее согласование результатов в случае прямого и обратного (18О° и О°, соответственно) рассеяния.

И, наконец, на рис. 7 показана диаграмма обратного рассеяния от цилиндра с поперечным сечением в виде правильного треугольника (рис. 2г) со стороной

I = О, 5Х и импедансом п = 2< 1 + г). На цилиндр падает плоская волна Е-поляризации. Параметры закругле-

ЛЖ Л.г) 22п

ния в вершинах треугольника: АОуМуОу = -45-,

ауг) = Х<г = 1, 2), г = О, О1X. Наши результаты сравниваются с результатами [3], полученными методом моментов.

В целом, можно констатировать достаточно хорошее согласование наших результатов (особенно в прямом и обратном направлении рассеяния) с точными данными. Наблюдаемые расхождения связаны, по нашему мнению, с эффектами скругления острых кромок (для круглого цилиндра практически идеально совпадают с точными), а также влиянием боковых стенок каждой ячейки. Для улучшения учета боковых стенок необходимы дополнительные исследования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе метод открытого слоя применен к исследованию рассеяния электромагнитных волн на выпуклых импедансных цилиндрах. Развиваемый подход под-

Рисунок 4 - Обратное рассеяние на квадратном цилиндре

Рисунок 5 - Диаграмма направленности для квадратного цилиндра

Ш

-2

-6

1-8 -10 -12 -14

V\ /f\J

\ f\/i

\

4 t

\ Л i j\ i i ■

О 20 40 60 80 100120140160180 угол (в градусах)

Рисунок 6 - Диаграмма направленности для прямоугольного цилиндра

-1

-2

СО _л -О ^

w-5

СМ

V6

-8 -9 -10

m •

fr\

f\ i \ !j V

1 \ i \ II \

J 1

i A ? A i I Л II

Й H / VI

• •

0 40 80 120160200240280320360 угол (в градусах)

Рисунок 7 - Обратное рассеяние на треугольном цилиндре

твердил возможность его использования в весьма широком диапазоне частот. Необходимы однако дополнительные исследования, связанные с оптимизацией представлений поля в ячейках открытого поля.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. V. P. Chumachenko, "An open-sell layer approach for scattering and radiation" // Microwave and Optical Technology Letters, vol. 37, pp. 444-447, June 2003.

2. V. P. Chumachenko, "Domain-Product Technique Solution for the Problem of Electromagnetic Scattering from Multiangular Composite Cylinders" // IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-51, pp. 2845-2851, Oct. 2003.

3. M. I. Herman, J. L. Volakis, "High Frequency Scattering from Polygonal Impedance Cylinders and Strips" // IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-36, pp. 679-689, May 1988.

4. J. M. Jin, J. L. Volakis, and V. V. Liepa, "A Comparative Study of the OSRC Approach in Electromagnetic Scattering" // IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. AP-37, pp. 118-124, Jan. 1989.

HaAinm^a 13.10.04

Метод в1дкритого шару застосований до розрахунку розс1ювання електромагттних хвиль на випуклих 1мпе-да нсних цилтдрах. При поверхневий шар складаеться з окремих ком1рок. В кожнш ком1рщ розс1яне поле зображуеться сумою хвиль, що розповсюджуються в1д 'i'i стток, за виключенням зовтшньоЧ. Придаттсть запропонованоЧ модел1 для розрахунку реальних структур перев1рена анал1зом розс1ювання на круглому, квадратному, прямокутному та трикутному цилтдрах. Метод простий у застосувант i забезпечуе достатню точтсть у широкому дiапазонi частот.

The open-cell layer approach is applied to electromagnetic wave scattering from convex impedance cylinders. The layer consists of cells. Inside each cell, the field scattered is expended in terms of waves propagating from the cell sides except the outer one. The realizability and appropriateness of the construction are checked by solving the scattering from circular, square, rectangular and triangular impedance cylinders. The approach takes advantage of the simplicity and provides sufficiently accurate results in wide range of frequencies.