Применение метода определения параметров орбиты геостационарного спутника Земли с использованием спутниковых радионавигационных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

•w

Радиолокация и радионавигация

УДК 621.391.25

Н. В. Михайлов, В. Ф. Михайлов Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Применение метода определения параметров орбиты геостационарного спутника Земли

с использованием спутниковых радионавигационных систем

Представлены результаты применения метода определения координат и скорости геостационарного космического аппарата по результатам измерений спутниковых радионавигационных систем, предложенного авторами.

Геостационарный космический аппарат, спутниковая навигационная система, определение координат и скорости

Аппаратура пользователя, использующая американскую спутниковую радионавигационную систему (СРНС) GPS и российскую СРНС ГЛОНАСС, применяется в настоящее время для навигации наземных, воздушных и морских объектов. СРНС не предназначены для использования на борту космических аппаратов, поэтому создание бортовой аппаратуры спутниковой навигации является сложной научно-технической задачей.

На практике задачу разбивают на две: первичную обработку сигналов с целью получения псев-додальномерных и псевдоскоростных измерений и собственно определение параметров орбиты - вторичную обработку, которой и посвящена настоящая статья. Постановка задачи вторичной обработки предполагает, что в дискретные моменты времени доступны измерения псевдодальностей и псевдоскоростей, на основании которых необходимо определить трехмерные векторы координат и составляющих скорости космического аппарата [1].

Постановка задачи. Пусть трехмерные векторы координат /"CRS и составляющих скорости VCRS геостационарного космического аппарата (ГКА) в геоцентрической инерциальной системе Celestial reference system (CRS) определяются системой дифференциальных уравнений [2]:

&CRS = VCRS;

T&CRS = -GM® (tRs/|rCRS Г ) + (1)

+ F(VCRS, t),

где GM ® - произведение гравитационной постоянной на массу Земли; F (•) - возмущающая сила, которая связана с несферичностью гравитационного поля Земли, с притяжениями Луны и Солнца, с давлением солнечных лучей и с релятивистскими эффектами; t - время. Структура и параметры F( ) в рассматриваемой в настоящей статье постановке предполагаются известными, тогда как в действительности часть этой информации может носить приближенный характер. Считаем, что для начального момента tg имеются априорные значения координат и скорости ГКА % и vg, а также известны ковариационные матрицы их ошибок P и Po .

Отнесем координаты ГКА к антенне приемника сигналов GPS, установленного на его борту, и предположим, что в дискретные моменты времени с помощью этого приемника вырабатываются измерения псевдодальностей и псевдоскоростей. Количество навигационных космических аппаратов (НКА), используемых для получения измерений, со временем меняется и может быть вообще нулевым, что чаще всего и имеет место для ГКА. Моменты поступления измерений нерегулярны, они могут отставать от регулярных моментов tfc = tg + kAt, k = 1, 2, ... (At > 0 - постоянный параметр) лишь на малую положительную

© Михайлов Н. В., Михайлов В. Ф., 2013

71

величину , которая не превышает извест-

ного порога ^

Введем в рассмотрение вектор =

символ транспониро-

= {Бк Ъ к, „к }т ( т

вания) системных номеров НКА, для которых вблизи момента tk, т. е. в интервале ; ?к + ], получены измерения псевдо-

дальностей и псевдоскоростей1. В общем случае для НКА может быть получена только псевдодальность или только псевдоскорость, однако такая ситуация, усложняющая выкладки и не вносящая в задачу ничего принципиально нового, рассматриваться не будет.

Существующие измерения представим в форме

ZDk j = Dkj [r (tk + dtGPSk ), tk + dtGPSk ] +

+ % + dtk + z Dk j;

(2)

ZDkj = Dk [r (tk +dtGPSk ), v (tk +dtGPSk ),

tk +dtGPSk ] + dfk + ZD

k j

(3)

где ] = 1, Пк - порядковый номер измерения для данного момента; ¿щу, Ощ - известные функции,

передающие зависимости дальностей и радиальных скоростей для НКА с номером Бщу от времени измерений и от относящихся к этому времени векторов положения г и скорости V антенны бортового приемника в стандартной (всемирной) геодезической системе координат WGS-84; , 8/Щ - погрешности генератора приемника в выработке времени и частоты; £щ у, С¿^ j - элементы вектора

ошибок измерений, описываемые моделью "белого" шума; Фу - элементы вектора коррелированных во

времени ошибок.

Для всех указанных ошибок приемлема стохастическая аппроксимация в виде стационарных марковских процессов первого порядка. Полагаем, что ошибки £ о у, С О у, с одной стороны, и к^ к -

коррелированные ошибки Фу - с другой, независимы друг от друга и подчиняются центрированному гауссовскому распределению, причем стати-

1 При отсутствии измерений щ = 0 и Sk = 0. 72

стические характеристики этих составляющих -

дисперсии для Zd, j, Z jj j, дисперсии и интер-

k J k j

валы корреляции для J - одинаковы для всех

НКА. Время t в приведенных формулировках свяжем с системным временем GPS.

В данной постановке модель для погрешностей генератора dtk, f не привлекается. Это сделано намеренно с тем, чтобы обеспечить универсальность предложенного далее алгоритма, для применения которого не требуется детального анализа свойств конкретного приемника.

Формулировка задачи. Опираясь на модель (1), оценить значения r и v для регулярных моментов времени tk = to + kAt, k = 1, 2, ..., по из-

мерениям 2р у, Р е О, , I = 1, к, у = 1, пщ ,

вида (2), (3), а также среднеквадратические ошибки (СКО) оценивания компонентов векторов г и V.

Решение задачи. Как известно [3], оптимальной с точки зрения СКО оценкой является условное по отношению к измерениям математическое ожидание оцениваемой величины. Однако, имея в виду решение сформулированной задачи в реальном времени, авторами предложен субоптимальный алгоритм оценивания, в котором принят ряд допущений, направленных на снижение вычислительных затрат [4].

Рассмотрим кратко характеристики и особенности предложенного в [4] метода. Основу метода составляет итерационный фильтр Калмана (ФК) [5]. Вектор состояния, оцениваемый фильтром, включает векторы ошибок координат Дг, скорости Дv, а также вектор коррелированных ошибок ДФ разностных измерений псевдодальностей. Необходимость использования итерационного фильтра Калмана обусловлена существенно нелинейной зависимостью измеряемых параметров - дальностей и радиальных скоростей - от координат и от скоростей ГКА при значительной неопределенности последних. Данным методом с помощью стандартных соотношений калмановской фильтрации обрабатываются измерения, в которых дальности и радиальные скорости представляются в виде, линеаризованном относительно оценок векторов г и V, полученных на предыдущей итерации. В ковариационных соотношениях ФК на этапе прогноза используются уравнения динамики ГКА (1), линеаризованные в точке, соответствующей оценкам координат и скорости на предыдущем шаге.

Особенностью предложенного метода является то, что обработке подвергаются не исходные (2), (3), а разностные единовременные измерения от двух и более НКА, в которых 8?к, 8/к исключаются. Разностные измерения формируются вычитанием из измерений для одного (опорного) НКА того же типа измерений для остальных (вспомогательных) НКА. В результате при наличии в рабочем созвездии щ спутников образуется тк = пк — 1 разностных измерений псевдодальностей и столько же измерений псевдоскоростей.

Вторая особенность предложенного метода состоит в использовании схемы коррекции с обратной связью, которая применяется в интегрированных навигационных системах [5], где полученные с помощью фильтра оценки ошибок навигационной системы используются далее при интегрировании уравнений ее идеальной работы. В предложенном методе оценки прогноза координат и скорости на момент к вычисляются интегрированием нелинейных уравнений типа (1), где в качестве начальных условий берутся относящиеся к моменту (к — 1) значения г и V, скорректированные с учетом выработанных фильтром оценок для Аг, Д^ Таким образом, входящие в вектор состояния ошибки Аг, Дv являются прогнозами координат и скорости по измерениям, полученным на предшествующих шагах решения. Предложенный метод позволяет оперировать с существенно меньшими ошибками координат и скорости, нежели каноническое решение, в котором уравнения (1) интегрируются от априорных начальных значений /0, V%Q, а ФК оценивает ошибки, порожденные неточностью этих значений. Достигнутая таким образом малость ошибок позволяет более корректно выполнить линеаризацию, необходимую для применения ФК [6].

Еще одной особенностью предложенного метода является применение модификации ФК на основе иО-разложения [7]. В этой модификации вместо ковариационной матрицы ошибок оценок Р вычисляются верхняя треугольная матрица и с единицами на диагонали и диагональная матрица О, такие что Р = ивит. По сравнению с классическим вариантом ФК иО-модификация более устойчива к вычислительным ошибкам, что особенно актуально для рассмотренной задачи, где приходится сталкиваться с плохой обусловленностью ковариационной матрицы Р из-за редкого поступления измерений, а также малого количе-

ства и неблагоприятной геометрии расположения доступных для наблюдения НКА. Применение f/D-разложения несколько повышает вычислительные затраты, но в свете указанного преимущества эти затраты вполне окупаются.

Экспериментальная проверка решения. С целью апробации разработанного алгоритма проведены эксперименты с использованием реализаций кодовых и доплеровских одночастотных измерений, полученных для ГКА с помощью имитатора сигналов GPS компании "Spirent" и приемника MGGS2217 фирмы "Mstar Semiconductor". Решения выполнялись с дискретностью At = 1 c в камеральном режиме по измерениям, записанным на двухсуточном интервале с частотой 1 Гц. Расхождение StGPS^ между моментами получения

измерений и регулярными моментами tk, для которых определяются оценки навигационных параметров ГКА, не превышало 50 мс. При формировании траектории ГКА учитывались только три основных возмущающих фактора, а именно несферичность гравитационного поля Земли и притяжение Луны и Солнца, не учитывались ионосферные и эфемеридные ошибки.

"Рабочими" считались только те НКА, для которых выполнено три условия:

- отношение "сигнал/шум" составляло не менее 32 дБГц;

- сигналы, направленные на ГКА, не затрагивали слой ионосферы высотой до 1000 км;

- угол между лучом, направленным из НКА на ГКА, и центральным лучом диаграммы направленности излучающей антенны НКА составлял не более 34°.

Второе условие ограничивало близость НКА к Земле, тогда как третье - наоборот, удаленность НКА от Земли.

Для того чтобы наглядно представить навигационную обстановку, складывающуюся на геостационарной орбите для проводимых экспериментов, на рис. 1 представлен график, где в сферических координатах (азимут A по дуге окружности и угол восхождения НКА a в радиальном направлении) показаны траектории видимых с ГКА "рабочих" НКА, отобранных в течение суток согласно трем указанным ранее условиям. На графике видна Земля (затененный круг в центре графика) и зона видимости НКА (узкое кольцо, опоясывающее Землю, незатененная область). Из графика видно, что доступные для использования НКА находятся в узком кольце и что геометрия

300

270

240

180 Рис. 1

расположения НКА по отношению к ГКА является весьма неблагоприятной в силу скученности НКА. Отметим и другой аспект, связанный со спецификой навигационной задачи для ГКА, -малое число одновременно наблюдаемых НКА и кратковременность интервалов, на которых они доступны. На рис. 2 показана диаграмма суммарной продолжительности наблюдения за разным числом НКА на суточном интервале. Нетрудно видеть, что полное или избыточное созвездие (4 и более НКА) в общей сложности появляется лишь на 40 мин в течение суток.

При проведении эксперимента в алгоритм решения закладывались следующие характеристики ошибок измерений: среднеквадратические значения помех типа "белого" шума по псевдодальности Од = 2 м и по псевдоскорости од = 0.02 м/с, среднеквадратическое значение коррелированных помех псевдодальности Оф = 0.5 м и их интервал корреляции Тф. = 1 мин. Эти характеристики основаны на результатах статистического анализа ошибок измерений используемого приемника.

3

Рис. 2

Полученные оценки координат и составляющих скорости вычитались из эталонных значений, которые использовались при имитации сигналов GPS, и, таким образом, формировались ошибки всех шести навигационных параметров. Они выводились в сопровождении утроенных значений СКО, рассчитываемых по ковариационным соотношениям ФК, что позволяло понять адекватность вырабатываемых алгоритмом характеристик точности.

Проведены модельные исследования для различной начальной неопределенности в координатах и по скорости. При этом экспериментально определялось число итераций ФК, превышение которого уже не давало эффекта. Не претендуя на точное определение границ неопределенности, при которой обеспечивались сходимость и приемлемая точность решения, приведем положительные результаты использования рассмотренного алгоритма для случая PrQ = о^ E, PVq = о^ E,

где crQ = 10 км, ov = 10 м/с, E - единичная матрица. В этом примере достаточным явились две итерации ФК: три не приводили к повышению точности, с одной итерацией уровень ошибок оказывался существенно выше. Длительность решения составляла 48 ч. При этом ГКА располагался примерно на оси Y в WGS-84. Истинные значения координат и скорости были не "абсолютно" геостационарными, т. е. аппарат на интервале решения не был полностью неподвижен относительно Земли. Так, на суточном интервале его смещение относительно первоначального положения по осям X, Y и Z достигало уровня 30, 10 и 2 км соответственно.

На рис. 3 и 4 представлены результаты решения указанного примера при 20 вариантах ошибок начальных условий, сгенерированных случайным образом по гауссовскому закону для принятых значений ог и ov . Реализации ошибок r0 v0

показаны сплошными линиями, границы неопределенности, равные утроенным значениям СКО, -пунктирными. Эти границы практически одинаковы для всех 20 реализаций решения. Рис. 3, а-в и 4, а-в представляют ошибки определения координат, рис. 3, д-ж и 4, д-ж - ошибки определения координатных скоростей, диаграммы рис. 3, г, з и 4, г, з -количество используемых НКА.

Результаты приведены на двух рисунках. Рис. 3 демонстрирует начальный 12-часовой интервал, на котором особенно резко происходило уточнение, несмотря на то, что здесь эпизодически ис-

о

гн, ч

2

4

n

Ах10—5, м 0.5 0

- 0.5 - 1

Ау 10—5, м 0.5 0

- 0.5 - 1

ч

ч

Дvх, м с.

15 01

- 15

- 30;

д^ , мс

15 0

- 15

- 30

щ 3 6 9 г, ч

д

И...........1 1 1

ч

Д 10—5, м 0.2 0

- 0.2 - 1

п 1 0

Ах, м 10 0 -10 -20

6

г

г, ч

г, ч

ч

Рис. 3

Аvz, м/ с 15 0

- 15

- 30

п 1 0

Дvх 103, м с 1 0 -1 -2

И

12

"36"

г, ч

ч

г, ч

Ау, м 10 0 -10 -20

г, ч

А^ 103, м/ с 1 0 -1 -2

Й. ы-

Ит

36

'% ч

Дг, м 10 5 0 -5 -10 -15

1'Г

24

36

г, ч

Аvz 103, м с

0.25 0

-0.25 -0.50

-■ц.ч. чаи_ I

12

24

36

г, ч

12

24

36

г, ч Рис. 4

12

±1

24

36

г, ч

3

9

а

6

9

6

9

б

е

6

9

6

9

3

3

в

3

9

3

9

д

а

б

е

в

г

з

пользовались только два НКА в течение коротких интервалов, продолжительность которых составляла в среднем 15.. .20 мин при 1-2-часовых перерывах в поступлении измерений (см. рис. 3, г и з). К концу 12-часового интервала погрешность позиционирования составила десятки метров. Дальнейшее уточнение, как следует из рис. 4, происходило медленнее. При этом зависимость текущих ошибок от их начальных значений ослабевала - все реализации ошибок стягивались в плотный "пучок". По прошествии 30 ч можно говорить о стабилизации погрешности, которая по координатам приближенно оценивается единицами метров, а по скорости - десятыми долями миллиметров в секунду Следует отметить соответствие рас-

считанных в алгоритме значений СКО реальным ошибкам на протяжении всего решения.

В настоящей статье с позиций теории стохастического оценивания сформулирована постановка задачи навигации ГКА по измерениям навигационных спутников. С использованием имитатора сигналов и реального приемника GPS поставлен эксперимент, подтвердивший пригодность предложенного алгоритма для решения задачи навигации ГКА. Представленные результаты демонстрируют достаточно высокую эффективность разработанного алгоритма навигации ГКА, в частности, подтверждая обоснованность использованных упрощающих приемов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильев М. В, Михайлов Н. В, Михайлов В. Ф. Автономное определение параметров орбиты искусственных спутников Земли с использованием спутниковых радионавигационных систем // Гироскопия и навигация. 2010. № 4. С. 41-52.

2. Brumberg V. A. Essential relativistic celestial mechanics. Bristol: Adam Hilger, 1991. 263 p.

3. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. 440 с.

4. Михайлов В. Ф., Михайлов Н. В. Метод определения координат и скорости геостационарного космического аппарата по измерениям спутниковых

навигационных систем // Успехи современной радиоэлектроники. 2013. № 2. С. 113-121.

5. Bell B. M., Cathey F. W. The iterated Kalman filter update as a Gauss-Newton method // IEEE Trans. on aut. control. 1 993. Vol. AC-38, № 2. P. 294-297.

6. Ривкин С. С., Ивановский Р. Ю., Костров А. В. Статистическая оптимизация навигационных систем. Л.: Судостроение, 1976.

7. Brown R. G., Hwang P. Y. C. Introduction to random signals and applied Kalman filtering. 2nd ed. New York: Wiley, 1992. 245 p.

N. V. Mikhailov, V. F. Mikhailov Saint-Petersburg state university of aerospace instrumentation

Application of the method of orbit determination of geostationary satellite with global navigation satellite system

Results of application of coordinates and the speed determination method of the geostationary spacecraft by results of measurements of the satellite radio navigational systems, offered by authors earlier are presented.

Geostationary spacecraft, satellite navigation system, coordinates and speed determination

Статья поступила в редакцию 21 января 2013 г.