Применение метода многочленных преобразований при исследовании виброзащитных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МНОГОЧЛЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ

С.Е. Иванов

Рассматривается нелинейная виброзащитная система с тремя степенями свободы, с нелинейными правыми частями в виде многочленов до четвертой степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Методом многочленных преобразований [1, 2] уравнения движения системы приводится к автономному виду в рамках принятой точности. Выделяются существенные константы, характеризующие переходные процессы и установившиеся режимы колебаний. Определяется алгоритм метода многочленных преобразований для нелинейных систем с тремя степенями свободы, выводятся алгоритмические формулы, удобные для программирования. Приводится описание основных блоков программы, разработанной в системе Mathematica 4.1, реализующей метод многочленных преобразований.

Введение

При исследовании динамики виброзащитных систем необходимо использовать нелинейные математические модели. Рассмотрим актуальную нелинейную задачу и метод исследования виброзащитных систем. Применим метод многочленных преобразований фазового вектора для исследования нелинейной виброзащитной системы с тремя степенями свободы в условиях периодического кинематического воздействия. Нелинейные правые части системы представлены в виде многочленов до четвертой степени от фазовых переменных с постоянными и периодическими параметрами. Дифференциальные уравнения движения виброзащитной системы в общем виде записываются как

4

Aq + Bq + Cq = ^ g^ cos(atsin(ot)/2 +

M=1

4 (1)

^hv cos(at)V1 sin(raOV2 q/3q2V4q3V5qv^

I v 1=2

|v|>V1 + V2

Здесь q = q2, q3 ] - вектор обобщенных координат системы, A, B, C -постоянные матрицы третьего порядка, / = (//),v = (vjv2v3v4v5v6v7v8) - векторные

индексы, / = / +/2, H = Vx +V2 + .. + V, gM=[g'M,g2/,g3J K = [v,h\J -векторы-столбцы.

Предполагается, что характеристическое уравнение Det[AÀ2 + BÀ + C ] = 0 имеет сопряженные корни Xs ,ÂS с малыми отрицательными вещественными частями. Положим также, что компоненты вектора нелинейных частей |gS/ < 1, |hSv| < 1 малы.

1. Многочленное преобразование системы

Приведем алгоритм метода многочленных преобразований, реализованный на языке программирования в среде Mathematica 4.1. Введем комплексно-сопряженные переменные q0 = exp(iat) и q0 = exp(-iat), \ = ia , тогда можно записать

cos(®t) = 1(qo + qo) и sin(at) = -1 (Зо -qo). (2)

Запишем систему (1), учитывая введенные комплексно-сопряженные переменные (2), в виде системы восьми дифференциальных уравнений первого порядка:

X = PX + R (3)

Вектор-столбец новых переменных X = [q0q0q1q2 q3qq q3 ]Г, а квадратная блочная матрица 8x8 имеет вид

" W 0 0 " " 0 "

р = 0 0 I , Я = 0

Л-'И - Л-'С - Л-1 в л-а

W =

/Ш 0 0 - /ш

Здесь I - единичная диагональная матрица 3x3, 0 - нулевая матрица, И = [0.5(^ш -/^ох) 05(£ю + /^К

а = ^ (-/Г0.5^2 ^ Ч + - Ч,Г +

И=2

¿(-/)^ 0.5У1+У2к,(д0 + д0)^ (Ч0 - 90)^Ч/3Ъ^Чз^Ч?Ч2^Ъ*.

г=2

V >Vl + V2

Выполняется линейное преобразование вида У = ВХ.

Линейная часть системы (3) приводится к диагональному виду:

У = ЛУ + Я

(4)

Х, где Л = dag\4Д,...,4,4\. (5)

Выполняется многочленное преобразование с точностью до членов четвертого порядка включительно:

у5 = ¿5 + ^а,5ZV,(* = 3,...,8), Ху = 2?

• 1 VI V8

¿1 22 ... 28 -

(6)

14=2

где ау - неизвестные коэффициенты преобразования. Введенные комплексно-сопряженные переменные не преобразовываются: у5 = ¿5 (* = 1,2). Результатом многочленного преобразования является автономная система

¿5 = + Хч5Z ", (* = 3,...,8)

(7)

I V 1=2

где Ч 5 - искомые коэффициенты преобразованной системы.

Особые значения индекса при фиксированном * находятся как целочисленные неотрицательные решения двух уравнений \3\:

XV*-4 - 0, ^ ^ = 2,3,4.

к=1 к=1 я

(8)

Постоянные ч* приравнивают нулю при неособых значениях индексов; при таких значениях вычисляют постоянные а *. Наоборот, при особых значениях индексов полагают коэффициенты а * равными нулю и вычисляют ч* .

В нерезонансном случае, когда собственные частоты колебаний системы и частота вибрации не совпадают и не кратны, находим следующие особые индексы:

при ч3 : V = (00100011), V = (00101100), V = (00210000), V = (11100000),

при ч5 : V = (00001011), V = (00002100), V = (00111000), V = (11001000),

при ч7 : V = (00000021), V = (00001110), V = (00110010), V = (11000010).

В преобразованной системе (7) сделаем замену переменных:

¿5,5+1 = Р5 ехР( 1т 4, ±0, ^ = * = 3,5,7

¿12 = ехр( ±/^ш)

В результате систему (7) можно представить в виде

р , = , )р , + Яе(^), 0 , = р 1ш(*), ^ = 3,5,7,

4 (10)

* = X ^ р Г4 р?р;7ехр(/(0з( ^3 - V 4) + 05(У5 - У6) + 07(У 7 - V,) - 0, ))Л

М=2

В нерезонансном случае экспонента не входит в систему (10), так как ее степень равна нулю. Стационарные решения можно найти, приравняв правые части системы (10) к нулю. Получив решение преобразованной системы (10) и подставив его в формулы замены переменных (9), найдем вектор 2 . Вектор У выражается через вектор 2 по формулам многочленной замены (6). При решении системы (1) вектор X выражается через вектор У по формулам замены, обратной линейной: X = Б-1У .

Получим алгоритмические формулы для расчета коэффициентов преобразования и преобразованной системы.

Запишем систему (5) в переменных Ъ многочленного преобразования (6)

у8 = + Л8 ^aSvZV + Я, (2). (11)

М=2

Продифференцировав формулу многочленных преобразований (6) и учитывая равенство (7), получим:

У8 = + X € ^ + гх V*) + ¿(< vkzkX ч" г"). (12)

|^=2 |^=2 *=1 М=2 *=3 |"=2

Из формул (11) и (12) получим равенство:

4 4 8 4 8 4

X чХ + X№(XV*V* - )) + X 1X ч") = Я(2), (13)

^|=2 ^|=2 *=1 ^|=2 *=3 |"|=2

(* = 3,...,8).

Приравнивая в (13) коэффициенты при одинаковых степенях Ъ, получаем систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов преобразования и преобразованной системы.

Для записи суммы по векторному индексу в программе использовано представление следующего вида:

4 4 г8 ¿7 ¿6 ¿5 14 ¿3 12

= XXXXXXXX Р. 1 ,¿2 ¿1 ,¿3 ¿2 ,¿4 ¿3 ,¿5 ¿4 ,¿6 ¿5 ,¿7 ¿6 ,¿8 ¿7

1^=2 ¿8=2 ¿7=0 ¿6=0 ¿5 =0 ¿4=0 ¿3 =0 ¿2 =0 ¿1=0

2. Программная реализация метода

В системе МаШешайеа 4.1 на базе символьных преобразований многочленов была разработана программа для исследования методом многочленных преобразований нелинейных виброзащитных систем с тремя степенями свободы вида (1). Для контроля правильности получаемых результатов исходная система при заданных параметрах решалась численным методом.

Перечислим основные блоки разработанной программы.

Блок задания исходных параметров системы. На данном этапе задаются матрицы А,В,С, частота вынужденных колебаний со и векторы gм, Ьу системы (1).

Система записывается в виде (3). Определяются матрицы Р, Я .

Блок линейного преобразования системы. Определяется диагональная матрица Л, составленная из собственных чисел Р. Находится матрица Б линейного преобразования (4), учитывая БР = ЛБ, и матрица преобразования, обратного линейному, Б. Соответствующая нелинейной правой части в (5) матрица Я преобразуется к новым переменным У .

Блок представления суммы по векторному индексу. Реализуется (14).

Блок произведения многочленов, а также возведения в степень.

Блок определения особых индексов преобразования из равенств (8). Блок преобразования равенства (13) к новым переменным Z . Блок определения системы алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов преобразования и преобразованной системы. Строится система алгебраических уравнений путем приравнивания в (13) коэффициентов при одинаковых степенях Z.

Блок решения системы алгебраических уравнений. Определяются неизвестные коэффициентов преобразования и преобразованной системы.

Заключение

Рассмотрена задача исследования нелинейных виброзащитных систем. Приведена схема метода многочленных преобразований для исследования нелинейных виброзащитных систем с тремя степенями свободы. Описывается алгоритм программной реализации метода. Методом многочленных преобразований нелинейная периодическая система с заданной точностью приводится к автономному виду. Найдены существенные константы, определяющие качество движения. Метод позволяет получить достаточно подробные качественные и количественные характеристики изучаемых движений, исследовать установившиеся режимы колебаний для систем, находящихся в условиях периодического внешнего воздействия, а также изучать переходные процессы.

Литература

1. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л: Машиностроение, 1975. 198 с.

2. Мельников Г.И. К теории нелинейных колебаний // Вестник ЛГУ. 1964. № 1. Вып.1. С. 88-98.

3. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. М: Машиностроение, 1992. 376 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М: Наука, 1981. 568 с.

5. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти тт. Т. 6. / Под ред. К.В. Фролова. М.: Машиностроение, 1995. 456 с.

6. Фурман Ф.А., Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем. М: Машиностроение, 1980. 317 с.