Применение метода максимального сечения в задачах оценивания случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Т. А. Аверина1,2, К, А. Рыбаков3

1 Институт, вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Новосибирск

2 Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск 3Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 125993, Москва

УДК 519.676

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10002

В работе рассматривается задача оценивания случайных процессов в динамических системах, математическая модель которых описывается стохастическими дифференциальными уравнениями с пуассоновской составляющей. Решение задачи оценивания (фильтрации, интерполяции, экстраполяции) предполагает моделирование траекторий решения стохастического дифференциального уравнения. Процедура моделирования траекторий включает моделирование пуассоновского потока, для которого применен метод максимального сечения. Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, пуассоновский поток, оценивание, фильтрация, интерполяция, экстраполяция, метод частиц, метод максимального сечения, статистическое моделирование.

Введение

Во многих практических задачах возникает необходимость оценивания параметров или состояния динамической системы по косвенным измерениям на фоне случайных помех. Такие задачи возникают при управлении подвижными объектами [6,7], при обработке навигационной информации [17,18], в радиотехнике [19,20], анализе финансовых рынков [23]. В этой работе задача оценивания решается для систем с непрерывным временем при описании процессов стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) с пуассоновской составляющей, т.е. рассматриваются системы диффузионно-скачкообразного типа [22,24].

Оценивание параметров или состояния динамической системы осуществляется по результатам измерений как для текущего момента времени (задача фильтрации), так и с запаздываем или опережением по времени (задачи интерполяции и экстраполяции соответственно). В качестве метода решения перечисленных задач используется метод частиц, предполагающий моделирование ансамбля траекторий динамической системы. Ранее в [15] задача фильтрации для систем диффузионно-скачкообразного типа решалась методом частиц (сформирован алгоритм фильтра частиц), однако для моделирования пуассоновского потока применялся наиболее простой метод. Здесь алгоритмы оценивания предлагается формировать на основе метода максимального сечения и его модификации [2,9,10]. Эти методы обеспечивают меньшую трудоемкость при моделировании пуассоновского потока.

1 Оценивание случайных процессов в стохастических системах диффузионно-скачкобразного типа

Будем рассматривать модель стохастической системы наблюдения с непрерывным временем, которая включает уравнение модели объекта наблюдения и уравнение измерительной системы:

¿х(г) = /(г,х(г))л + а(г,х(г))(Ж(г) + ^ у(г,х(& х <%), х(0) = х0, (1)

Работа выполнена в рамках госзадания ИВМнМГ СО РАН (проект 0315-2016-0002) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-08-00530-а).

ISBN 978-5-901548-42-4

dY (t) = c(t,X (t)) dt + С (t)dV (t), Y (0) = Y0 = 0. (2)

Уравнение (1) является СДУ в смысле Ито с пуассоновской составляющей. В нем используются следующие обозначения: X € М" — n-мерный вектор состояния, t € T = [0, Т], T — заданный отрезок времени функционирования системы; f (t,x): T х М" ^ М", a(t,x): T х М" ^ М"хя, v(t,x,£): T х М" х Е ^ М", е = М9; W(t) — s-мерный стандартный винеровский случайный процесс, v — пуассоновская случайная мера на T х е с характеристической мерой П^, заданной функцией n(t, х, £): T х М" х е ^ М+. Закон распределения начального вектора состояния Хо задан. Начадьный вектор состояния Хо, винеровский процесс W(t) и мера v независимы. В частном случае Хо — детерминированный n-мерный вектор.

В СДУ (2) используются следующие обозначения: Y € Мт — то-мерный вектор измерений; c(t, х): T х М" ^ Мт, С(t): T ^ Мтх^; V(t) — d-мерный стандартный винеровский случайный процесс, не зависящий от винеровского процесса W(t) и меры v. При этом предполагается, что матрица -q(t) = Q(t)QT(t) невырождена, т.е. det -q(t) = 0 и существует обратная матрица ri-1(t) при любом t € T.

В наиболее общем случае для математической модели объекта наблюдения и измерительной системы процессы X(t) и Y(t) входят в правые части уравнений (1), (2), а также (2) является СДУ в смысле Ито с пуассоновской составляющей [12].

Траектории случайного процесса X(t) имеют разрывы, образующие пуассоповский поток [tj}, то = 0. Введем обозначения для интенсивности этого потока: X(t,x): T х М" ^ М+, и плотности вероятности скачков (случайных приращений вектора состояния в моменты разрывов): ф(t, S): T х М" ^ М+. Эти две характеристики определяют характеристическую меру П^, пуассоновскую случайную меру v и функцию v(t,x,£) [4]. Таким образом, при малых At

Pr(P(t + At) - P(t) = 11X(t) = x) = X(t, x)At + o(At),

где P(t) — пуассоповский процесс, считающий число разрывов для процесса X(t) та отрезке времени [0,t], Pr — вероятность, а плотность вероятности , S) определяет величину скачка Aj в момент т,-:

X (Tj )= X (r-) + Aj, j = 1,2,... (3)

Перечисленные функции f (t,x), a(t,x), X(t,x), ф(t,5), c(t,x) и £(t) заданы, они удовлетворяют условиям существования и единственности решений СДУ с пуассоновской составляющей [8, 24], кроме того, E|Xo|2 < то, где E означает математическое ожидание.

Задача оптимального оценивания для стохастической системы наблюдения (1), (2) заключается в нахождении оценки X(в) вектора состояния то доступным к текущему моменту времени t измерениям Yq = [Y (т), т € [0,i]} в виде Х(0) = Ф(в, Yq), т.е. требуется определить функцию Ф(в, ■), преобразующую измерения Yq в оценку вектора состояния объекта наблюдения, в € T.

Функцию Ф(в, ■) можно найти из условия оптимальности оценки, т.е. исходя из заданного критерия качества, обеспечивающего минимум среднего риска [11,16]. Зададим квадратичную функцию потерь П(е) = eTLe, для которой L — положительно определенная матрица весовых коэффициентов размера n х n, тогда решение задачи минимизации ЕП(£(в)) ^ min, где минимум ^ретет по всем допустимым функциям Ф(0, ■) и £ (в) = X (в) — Х(в) — вектор ошибки оценивания, записывается в форме

Х(в) = Ф(в^*)=Е[Х(в) | У04],

т.е. оптимальная оценка представляет собой условное математическое ожидание вектора состояния, она обеспечивает минимум среднеквадратического отклонения ошибки £ (в).

При в = t задача оценивания н^ывается задачей фильтрации, при в < t — задачей интерполяции (задачей сглаживания) и при в >t — задачей экстраполяции (задачей прогнозирования).

Задачу интерполяции разделяют на интерполяцию в фиксированной точке (в = const), интерполяцию па фиксированном промежутке (в € [в*, 9*] С [0, t]) и интерполяцию с постоянным запаздыванием (t—6 = const). Используются термины «прямая интерполяция» и «обратная интерполяция». Аналогичная классификация применяется и для задач экстраполяции (с опережением по времени вместо запаздывания). Более подробно эти задачи описаны в [16,19,20].

2 Метод частиц для оценивания случайных процессов

Для решения задачи оптимальной фильтрации в работе [13] был предложен алгоритм, построенный на моделировании специального случайного процесса с обрывами и ветвлениями траекторий. Траектории такого

Применение метода «максимального сечения» в задачах оценивания случайных процессов

И

процесса между моментами времени ветвлений или между ветвлением и обрывом определяются уравнением объекта наблюдения (1), а измерения, описываемые уравнением (2), управляют интенсивностью появления обрывов и ветвлений (вероятность обрыва растет, если траектория далека от оптимальной оценки; вероятность ветвления растет, если траектория близка к оптимальной оценке). Затем этот алгоритм был дополнен таким образом, чтобы можно было решать не только задачу фильтрации, но и задачу экстраполяции [5]: на этапе экстраполяции траектории определяются только уравнением (1), а обрывы и ветвления для них невозможны. Решить задачу интерполяции таким образом сложнее, поэтому воспользуемся методом частиц [21].

В методе частиц предлагается наряду с траекториями объекта наблюдения (1) моделировать траектории весовой функции по определенному правилу. Тогда вклад каждой траектории объекта наблюдения в искомую оценку вектора состояния зависит от соответствующей траектории весовой функции, которая формируется на основе измерений (2) (вес уменьшается, если траектория далека от оптимальной оценки; вес растет, если траектория близка к оптимальной оценке). При решении задачи оптимальной фильтрации метод частиц составляет основу для фильтра частиц [21]. Связь специального случайного процесса с обрывами и ветвлениями траекторий и весовой функцией показана в работе [14]. В этой работе предлагается применить метод частиц не только в задаче фильтрации, но и для решения задач интерполяции и экстраполяции.

В небольшой по объему статье не удастся привести подробные алгоритмы фильтрации, интерполяции и экстраполяции, особенно с учетом того, что последние две задачи могут иметь различные формулировки, упомянутые в предыдущем разделе. Поэтому остановимся только на основных моментах: моделировании траекторий стохастических систем диффузионно-скачкобразного типа с применением метода максимального сечения, моделировании траекторий весовой функции и нахождении оптимальной оценки.

Определим весовую функцию согласно [21]:

;(*)=ехр{ 0 (т))г,-1(т)с!У(т) - 2 £ ст(т,Х (т))г]-1(т)с(т,Х (т))Лт}. (4)

Далее, введем равномерную сетку {Ък} с заданным постоянным шагом К, определяющую разбиение отрезка времени Т:

tk+í = и + К, к = 1,2,...,Ы; *0 = 0, = Т, N =

К

Обозначим через Хк численное решение СДУ [2,23], которое отличается от уравнения (1) отсутствием пуассоновской составляющей (\^,х) = 0), в момент времени ¿к. Например, для стохастического метода Эйлера имеем

Хк+1 = Хк + К](1к, Хк) + л/~Ка(Ьк, Хк)Ск, (5)

Ск — в-мерный случайный вектор, координаты которого независимы и имеют стандартное нормальное распределение для всех к.

Приближенный аналог соотношения (4) имеет вид

Шк+1 = ик ехр|ст(гк,Хк)~п-1^к)(У^к+1) - у^к)) - 1 ст(гк,Хк)фк,Хк)к|, ^0 = 1. (6)

Для моделирования моментов времени разрывов траекторий используется метод максимального сечения [1-3,9]. Если существует А*, для которого Х(1) < Л* = сош^ то моделирование времени т, через которое произойдет разрыв траектории, осуществляется по правилу

г = в„, N = ш1пЬ: а, < , = £(7)

^ ' г=1

где ■■■ ,... — последовательность независимых случайных величин, имеющих показательное рас-

пределение с параметром А*: = - 1па1,а2,..., ав,..., 02, ■ ■ ■, Рв, ■ ■ ■ — последовательности независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение па интервале (0,1); \(Ь) — значение функции А(Ь, х) на траекториях решения уравнения (1), т.е. Х(1) = \(Ь,Х(£)); Ь* € {^} — начальный момент времени Ь = 0 или момент времени последнего разрыва траектории. В момент разрыва траектории моделируется величина скачка Д согласно плотности вероятности ф^* + т,5).

Применяя более экономичный модифицированный метод максимального сечения [1-3,9], в соотношении (7) полагаем

в

N = шЫ 0: 1- а>Г\ (1- К** + ^

1т| : 1 - а> ]= ^

А*

¿=1

где а — равномерно распределенная на интервале (0,1) случайная величина.

Для приближенного решения задачи оптимального оценивания выберем число М моделируемых траекторий пары (Xи обозначим через (Хгк,шгк) дискретную аппроксимацию выборочной траектории (X (€), ш(Ь)) с номер ом г = 1, 2,..., М. Для нахождения реализаций (Хгк ) используются соотношения (5) и (6) с учетом дополнительных узлов сетки, соответствующих моментам разрывов траекторий случайного процесса Xв которых реализация вектора состояния изменяется согласно (3). Это означает, что сетка по времени должна быть суперпозицией равномерной сетки с шагом К, а также моментов разрывов траекторий случайного процесса Xудовлетворяющего уравнению (1).

Тогда приближенное решение задачи оптимального оценивания имеет вид нормированного взвешенного среднего:

где индекс к соответствует текущему моменту времени Ь = а индекс к — моменту времени в = для которого вычисляется оценка вектора состояния. Аналогично могут быть найдены моментные характеристики более высокого порядка, а также оценка плотности вероятности или функции распределения вектора состояния (с учетом весовых коэффициентов шгк).

Таким образом, при к = к получается приближенное решение задачи фильтрации, при ^ < к задачи интерполяции и при к > к — задачи экстраполяции.

Отметим, что в задаче интерполяции в отличие от задачи фильтрации необходимо хранить траектории случайного процесса X (£) в памяти компьютера. В задаче фильтрации достаточно хранить только реализации вектора состояния для текущего времени, они определяют начальные данные в задаче экстраполяции [5].

[1] Аверина Т. А. Модифицированный алгоритм статистического моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами // Сибирский журнал вычислительной математики. 2013. Т. 16. № 2. С. 97-105.

[2] Аверина Т. А. Построение алгоритмов статистического моделирования систем со случайной структурой. Новосибирск: РИЦ НГУ, 2015.

[3] Аверина Т. А. Использование модификаций метода максимального сечения для моделирования систем со случайной структурой с распределенными переходами // Сибирский журнал вычислительной математики. 2016. Т. 19. № 3. С. 235-247.

[4] Аверина Т. А., Рыбаков К. А. Два метода анализа стохастических систем с пуассоновской составляющей // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. № 3. С. 85-116.

[5] Аверина Т. А., Рыбаков К. А. Приближенное решение задачи прогнозирования для стохастических систем диффузионно-скачкообразного типа // Сибирский журнал вычислительной математики. 2017. Т. 20. № 1. С. 1-11.

[6] Бухалев В. А. Оптимальное сглаживание в системах со случайной скачкообразной структурой. М.: Физматлит, 2013.

[7] Бухалев В. А., Скрынников А. А., Болдинов В. А. Алгоритмическая помехозащита беспилотных летательных аппаратов. М.: Физматлит, 2018.

[8] Королюк В. С., Портенко П. П., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.

[9] Михайлов Г. А., Аверина Т. А. Алгоритм «максимального сечения» в методе Монте-Карло // Доклады АН. 2009. Т. 428. № 2. С. 163-165.

[10] Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Издательский центр «Академия», 2006.

Список литературы

Применение метода «максимального сечения» в задачах оценивания случайных процессов

13

[11] Пантелеев А. В., Руденко Е. А., Бортаковский А. С. Нелинейные системы управления: описание, анализ и синтез. М.: Вузовская книга, 2008.

[12] Руденко Е. А. Непрерывная конечномерная локально-оптимальная фильтрация диффузионно-скачкообразных сигналов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2018. № 4. С. 14-43.

[13] Рыбаков К. А. Статистические алгоритмы оптимальной фильтрации сигналов в нелинейных диффузионно-скачкообразных стохастических системах // Вестник УГАТУ. 2016. Т. 20. № 4 (74). С. 107-113.

[14] Рыбаков К. А. О вычислении весовых коэффициентов в непрерывном фильтре частиц // Научный вестник Л ПТУ ГА. 2018. Т. 21. № 2. С. 32-39.

[15] Рыбаков К. А. Непрерывные фильтры частиц для стохастических систем диффузионно-скачкообразного типа // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Международная научно-техническая конференция, Воронеж, 17-19 декабря 2018 г.: Сб. тр. конф. Воронеж: Изд-во «Научно-исследовательские публикации», 2018. С. 1613-1619.

[16] Сосулин Ю. Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992.

[17] Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Т. 1. Введение в теорию оценивания. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017.

[18] Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Т. 2. Введение в теорию фильтрации. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2017.

[19] Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Со ветское радио, 1975.

[20] Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.

[21] Bain A., Crisan D. Fundamentals of Stochastic Filtering. Springer, 2009.

[22] Hanson F. B. Applied Stochastic Processes and Control for Jump-Diffusions: Modeling, Analysis, and Computation. SIAM, 2007.

[23] Platen E., Bruti-Liberati N. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance. Springer, 2010.

[24] Situ R. Theory of Stochastic Differential Equations with Jumps and Applications. Springer, 2005.

Аверина Татьяна Александровна — к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. Института вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН; доцент Новосибирского государственного университета;

e-mail: ata@osmf.sscc.ru;

Рыбаков Константин Александрович — к.ф.-м.н., доцент Московского авиационного института

(национального исследовательского университета)

e-mail: rkoffice@mail.ru.

Дата поступления — 22 апреля 2019 г.