CC BY
24
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ АЭРОУПРУГОСТИ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
А.С. ДОРОГАН, канд. техн. наук
Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск
Работа является продолжением моделирования обтекания мостовых конструкций ветровым потоком для несвязанных систем с применением метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) и посвящена аэродинамическому расчету связанных систем взаимодействия твердых тел и газа, т.е. аэроупругости пролетных строений и пилонов. В теоретической части показано решение связанных систем аэроупругости мостовых конструкций в виде многозонального и энергетического подходов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: МГИУ, гибридные модели, аэродинамика, аэроупругость, связанные системы.
1. Аэродинамика газа для связанных систем
При воздействии ветра на конструкции большепролетных мостов (La > 1500 м) необходимо моделировать две системы:
- гибкие тонкостенные конструкции ПС; - ветровой поток газообразной среды.
В результате деформаций пролетных строений (ПС) меняется скорость обтекания газом; это приводит к изменению подъемной силы и лобового сопротивления конструкции [1]. Такие системы называются связанными, т.к. поведение одной системы оказывает влияние на поведение другой. Связанные системы обычно моделируются с помощью специальных КЭ программ - чаще всего ANSYS. Есть другие эффективные подходы для их решения [2, 3].
Удобно моделировать внешнюю часть системы с помощью граничных элементов (ГЭ), а внутреннюю с помощью конечных элементов (КЭ). Внешняя зона может быть ограниченной или бесконечной. Метод граничных элементов (МГЭ) эффективен для неограниченных или полуограниченных областей. МКЭ привлекателен в случае ограниченных и физически-нелинейных областей. Поэтому для ряда задач удачным оказывается использовать комбинирование МГЭ и МКЭ - получаются так называемые гибридные решения [4, 5].
Связанные системы проявляются при воздействии ветрового потока на тонкостенные конструкции: большепролетные горизонтальные и высотные вертикальные.
Исследование задач аэродинамики сводится к анализу нестационарных переходных процессов конструкции ПС при кратковременном воздействии ветровых нагрузок. Угол атаки ветрового потока а = 0 - 30 град.
Уравнения динамики МКЭ при малых смещениях точек конструкций [6]:
d2U (t) ш (t) M--^ + B--— + K • U(t) = F(t), (1)
dt dt
где M - матрица масс конструкции; B - матрица коэфф. сил вязкого демпфирования; K - матрица жесткости; F - вектор узловых сил; U - вектор узловых смещений. Для решения уравнений (1) для нестационарных процессов используют непосредственное численное (прямое) интегрирование по времени.
Известны программы для аэродинамических расчетов ПС мостов. Для их решения требуется интегрирование уравнения Навье - Стокса по времени, накладываемое по области газа на сеть узлов. Это значительно усложняет задачу. Например, программа "System IBDAS" компании COWI CAE выполняет 3-х мерный (3М) динамический анализ конструкций моста [7]. Расчетный комплекс "Spectrum", разработанный Centric Engineering System Inc., представляет собой полностью связанный CFD (Computational Fluid Dynamic) - FEM [8].
В работе предлагается альтернативный и численно более эффективный подход, основанный на квази - статической формулировке расчета.
Квази - статический подход допускается применять для мгновенных (t = 30 -90 c) и кратковременных (t = 2 - 5 мин) воздействий ветра на мостовые конструкции. В этом случае среднее ускорение ветра является условно постоянной функцией a(t) = ft) « const из-за неопределенности поведения порывов на временном отрезке.
Характерные примеры связанных высотных тонкостенных конструкций:
- пилоны, испытывающие сложное НДС; - небоскребы, башни и мачты.
2. Комбинирование МГЭ и МКЭ (гибридные модели - Hybrid Model). Гибридные модели часто имеют только две граничные зоны (рис. 1):
- внутреннюю зону Sk конструкции, например ПС моста;
- внешнюю зону Sw ветра, обтекающего внутреннюю часть.
Граничное условие для 2М и 3М задачи требует отсутствие нормальных и тангенциальных компонент скорости (un = 0 и ut = 0). Для нестационарных течений необходимо задать начальные условия: u(x, t) = uo (x, to), x e Sw .
Введем понятие двух "условных" материалов: ветрового и структурного макетов. Оба макета будем решать в одной системе скоростей перемещений.
Ветровой макет на основе дифференциального уравнения (ДУ) Навье -Стокса описывает движение газа в зоне Sw и характеризуется параметрами:
- коэфф. Пуассона v = 0; модуль упругости E = 2 • G для вязкой среды. Структурный макет на основе ДУ Ламе описывает НДС конструкции в зоне Sk и характеризуется:
- коэфф. Пуассона v = 0.25 - 0.3 для стали; модуль упругости E.
В этом случае ДУ скоростей движения газа Навье-Стокса (см. (3) [1]) совпадает с ДУ деформаций твердого тела Ламе в теории упругости (ТУ) (см. (8) [1]). Тогда для ветрового и структурного макетов можно применять одинаковый аппарат МГИУ ТУ. Здесь не требуется производить интегрирование по времени. Для получения усилий и перемещений достаточно умножить их найденные скорости на время воздействия ветра: U(x) = U(x) • At (м), P(x) = p(x) • At (Н).
Приведем граничное интегральное уравнение (ГИУ) как для ветрового, так и структурного макетов (см. (9) [1]):
Cj (£) u} (£) + J х) u (x) dr (x) = J U* (£, х) p. (x) dr (x)
+ J U*(£, z) f} (z) dS (z) -J U*(£, z) N. (z) dS (z) £e Г, z e S (2)
S S
где нелинейный член N для газа учитывается в объемном интеграле. В обоих макетах находятся p (x) и uu (x) в области S и на границе Г. ГИУ МГЭ в матричной форме
H • U = G • P + B , (3)
где U = 8U(t)/ 8t и P = 8P(t)/ 8t - вектора скоростей перемещений и усилий; H и G - несимметричные матрицы влияния перемещений и усилий, B - вектор объемных сил, где b = 0 для модели конструкции; b = f = pf, f f)T; ускорение ветра fx = fy = acosa, fz = asina.
В результате получаются несимметричные матрицы влияния. Если для области S заданы конечные элементы, то система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в матричной форме будет [9]:
K • U = F + D = N • P + D , (4)
где K - глобальная матрица жесткости; U - скорости перемещения; P - вектор скоростей узловых усилий; D - вектор объемных сил; F - вектор эквивалентных узловых сил; N - интерполирующая матрица.
3. Существующие подходы решения гибридных задач [9]. Рассмотрим характерную схему, состоящую из двух зон: ограниченная внешняя и внутренняя $2, которая не имеет наружной границы. Зоны соединены по интерфейсу 112. На интерфейсе выполняются условия совместности и равновесия скоростей:
перемещений С/^ = С/21 и усилий р2 = -Р^.
Внутренняя область (зона) $2 разбивается на конечные элементы; для внешней зоны на её контуре применяются граничные элементы.
Подход 1: преобразование области $1 в эквивалентный конечный элемент. Уравнение МКЭ в матричной форме: К' • и = F' + D', (5а)
.-1
.-1
несим-
где К' = N • G • Н, Б' = N • G • В, Е' = N • Р; матрица жесткости К'
метричная.
Подход 2: преобразование области в эквивалентный граничный элемент. Задача решается как многозональное тело. Тогда для зоны применяются соотношения МГЭ, а для зоны $2 - соотношения МКЭ. Стыковка двух зон на интерфейсе: и12 = С/21, Р12 = -Р21. После объединения по зонам система имеет вид:
" Я1 Я12 1
_0 K 21 _ ы
G
G12 - N
Р
Р
12 J
Ш.
(5б).
.0 21.
Итоговая матрица влияния имеет несимметричный профиль. Недостатки. Оба указанных подхода можно реализовать только при использовании МКЭ в форме смешенного метода. Наиболее распространенный МКЭ в перемещениях здесь применять нельзя. Поэтому предлагаются два альтернативных подхода.
4. Многозональный МГЭ решения связанных систем. Для моделирования обтекания газом конструкций ПС мостов могут потребоваться:
a) 2-х и 3-х мерные ГЭ теории упругости для ж.б. тонкостенных конструкций;
b) плитные и оболочечные для ГЭ стальных конструкций для 3М моделей. Будем анализировать только первую группу. Здесь формируются зонально-
однородные 2М и 3М области, которые включают в себя зоны с различными физико-механическими свойствами (рис. 2).
Рассмотрим характерную схему, состоящую из 4 зон для 2М тела (рис. 3). Зоны 1, 2, 3 моделируют воздействие ветрового потока и имеют различные поярусные интенсивности объемных сил. Зона 4 моделирует поведение средней секции ПС, находящегося в состоянии покоя при действии собственного веса. Конечная СЛАУ для всей области объединяет блоки для каждой зоны при выполнении условий совместности и равновесия на интерфейсах (границах) между зонами:
Я,
я„
Я Я от Я
Я
Я
Я
Я
Ui
Un
U 2
U 23 U 24
U3
U
G G.n
G
G
G
G
Здесь СЛАУ имеет блочно-ленточную структуру, где блоки, отвечают за границу отдельных зон и интерфейсов; решается с помощью удобной процедуры BLKSOL. Программа Aero Zon (Azon) формирует решение многозонального подхода гибридной задачи; она еще полностью не написана. Такой метод моделирует появление для тонкостенных ПС изгибно - крутильного колебания
2
+
4
(флаттер) или вихревого возбуждения. Это позволяет полностью или частично исключить физические модели испытаний в аэродинамической трубе для большепролетных мостов.
Предлагаемый многозональный подход по сравнению с подходами (5а) и (56) не требует составлять гибридные СЛАУ объединением различных по форме матриц жесткости МКЭ и матриц влияния МГЭ.
5. Энергетический подход решения связанных систем. Такой альтернативный подход получил распространение из-за своей простоты; не является строгим и основан на вариационном исчислении.
Рассмотрим характерную схему, когда конструкция (область SK) со всех сторон обтекается газом (область SW). Они имеют общую границу стыковки -интерфейс rWK. Ограничимся 2М задачей. Область SW имеет смешанные ГУ:
r1W - часть границы, на которой заданы скорости перемещений: й = Wj, г?2 = й2; r2W - часть границы, на которой заданы скорости усилий: pj = pj, p2 = p2.
Полная потенциальной энергии системы включает: П = nw + Пк ,
- nw газообразного тела для ветрового макета;
- Пк твердого тела для структурного макета.
Такая функция имеет минимум при оптимизации узловых значений перемещений щ и усилий pi на интерфейсе (границе). Уравнение Бернулли для идеального несжимаемого газа [10]:
2
р • й
P +--= const; En + EK = const, (6)
где первый член - это статическое давление в потоке (потенциальная энергия), а второй - динамический напор (кинетическая энергия); это известный закон сохранения энергии. Тогда для плоского потока газа потенциальная энергия:
nw = En = J P • ds . (7)
Sw
После применения теоремы Гаусса-Остроградского к функционалу потенциальной энергии упругого тела получается [11]:
Пк =1 | pt • й • dr - J pt • й • dr - J b • й • dS, (8)
2 Г=Г1+Г2 Г2 Sk
где pi - заданные по условию задачи граничные значения усилий. Здесь все компоненты приведены не в скоростях, а в перемещениях.
Предлагается альтернативный критерий оптимизации в узлах интерфейса для определения искомых величин щ иpi:
П = nw + ПК = J P • dS +1 J pt • ut • dr -J b • ut • dS . (9)
sw rwk sk
При этом предполагается, что й, p, P подставляются в (9) из численного решения, описываемого интегральными уравнениями (2).
Примем, что интерфейс содержит n граничных узлов. Для их нахождения требуется критерий: m = 2n, m = 40 для 2М, где m - порядок оптимизации. Поэтому есть ограничение на размерность многомерной оптимизации: число граничных узлов n < 20. Подобранные в (9) значения ui, pi подставляются в ГИУ для решения внутренней задачи (см. (12) [1]), т.е. определяются величины напряжений и динамических давлений в зоне Sw.
Потребуется численное дифференцирование: й(x) = й(x)/1, p(x) = p(x)/1.
ГИУ в скоростях для газа при заданных перемещениях й( х) и усилиях р : й] (4) = - | р*(4, х)й] (х)^(х) - I р*(4, х)й] (хУ1Г(х) - I Р*(4, х)Ш](х)^Г(х)
г ж+г жк гЖ гЖК
+ I и*(4,х)Р](х^Г(х) +| и*(4,х)Р](х^Г(х) + I и*(4, х)р](х^Г(х)
г ж+г жк гж гжк
+ I и* (4,2) • Ь1 (2) • ¿ЭД, 4е , г е ^ (10)
При необходимости аналогично составляется ГИУ для конструкции: új (О) = - J РЖ, х) • ú. (x) • df(x) - J £*(£, х) • ú.(x) • dr(x) +
fWK fWK
+ J U*(О,х)• Pj(x)• dr(x) + J U*(О,X)• p.(x)• dr(x) +
(11)
+ J U*(£, z) • bt (z) • d^z),
ГWK
SK, z e Sx
Схема численного решения основана на процедуре Minimize поиска минимума функционала потенциальной энергии из MathCAD , имеющего порядок m. Обычно применяется условие минимума функционала потенциальной энергии для конструкции [9]:
SHk - 2
- J (pi ■ Súi + Spi ■ úi) • df - J pt ■ Súi ■ df - J b ■ Súi ■ dS - 0
(12)
Г Г2
где 3 - возможные вариации перемещений и усилий.
Решение (12) требует объединения матриц влияния ГЭ на Г и матриц жесткости КЭ на $к. Вариационный метод позволяет получить симметричный профиль матрицы влияния; этим он и ценен.
Предлагаемый энергетический подход (9) по сравнению с вариационным подходом (12) менее громоздок и численно более рационален.
Заключение. Предложены два альтернативных подхода решения связанных систем: многозональный и энергетический, которые позволяют определять НДС конструкции и скорости обтекания газом при расчете тел произвольной формы.
Г, Г, г,
S: III
h, Si
hi Sí 1з2
St aj-О.Зч/е' in
S2 i„ In
a2= 0.25 м/с* 7Г~|: s.
In
& a3=0.2u/c* ы
Рис. 1. Две зоны
Рис. 3. Четыре зоны
г, п
Рис. 2. Три зоны
Л и т е р а т у р а
1. Дороган А.С. Применение МГИУ теории упругости для моделирования обтекания мостовых конструкций ветровым потоком // Строительная механика инженерных конструкций. 2013. №2, С. 26-35.
2. Potapov V.D. Stability of elastic and viscoelastic рМе in gas flow taking into account shear strains // Acta Mechanica - Vol. 166, No. 1 - 4, 2012, pp. 1-12.
3. Rodríguez-Castellanos A., Ortiz-Alemán C, Indirect boundary element method applied to fluid-solid interfaces // Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 31, No 3, 2011, pp. 470-477.
4. Brady B.H., Wassyng A. A coupled finite element - boundary element method of stress analysis // Int. J. of Rock Mechanics, Vol. 18, No. 6, 1985, pp. 475 - 485.
S
5. Nguyen N.C., Peraire J., Cockburn B. A hybridizable discontinuous Galerkin method for Stokes Flow // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 199, No 912, 2011, pp. 582-597.
6. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC.Nastran.-M.: ДМК Пресс, 2004.-704 с.
7. Larsen A., Walther J.H. Computer-aided wind engineering of long-span bridges // J. of Wind Eng. and Industr. Aerodynamics. 1997. - Vol. 67-68. - pp. 183-194.
8. Frandesen J., McRoble A. Comparison of numerical and physical models for bridge deck aero elasticity, IABSE Symp. Kobe, 1998, Vol. 79, pp. 453 - 458.
9. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.
10. Чугаев Р.Р. Гидравлика. Л.: Энергоиздат, 1982. - 672 с.
11. Хан Х. Теория упругости: Основы линейной теории и её применение. - М.: «Мир», 1988. - 344 с.
References
1. Dorogan, AS (2013). The application of BEM elasticity for modeling of the wind flow over the bridge structures. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 2, pp. 26-35.
2. Potapov, VD (2012). Stability of elastic and viscoelastic platе in gas flow taking into account shear strains. Acta Mechanica, Vol. 166, No. 1 - 4, pp. 1-12.
3. Rodríguez-Castellanos A, Ortiz-Alemán C (2011). Indirect boundary element method applied to fluid-solid interfaces. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 31, No 3, pp. 470-477.
4. Brady, BH, Wassyng, A (1985). A coupled finite element - boundary element method of stress analysis. Int. J. of Rock Mechanics, Vol. 18, No. 6, pp. 475 - 485.
5. Nguyen, NC, Peraire, J, Cockburn, B (2011). A hybridizable discontinuous Galerkin method for Stokes Flow. Computer Methods in Applied Mechanics, Vol. 199, No 9-12, pp. 582-597.
6. Shimkovich, DG (2004). Design of Constructions in MSC.Nastran. М.: DMK Press, 704 p.
7. Larsen, A, Walther, JH (1997). Computer-aided wind engineering of long-span bridges. J. of Wind Eng. and Industr. Aerodynamics, Vol. 67-68, pp. 183-194.
8. Frandesen, J, McRoble, A (1998). Comparison of numerical and physical models for bridge deck aero elasticity, IABSE Symp. Kobe, Vol. 79, pp. 453 - 458.
9. Brebbia, K, Telles, J, Vroubel, L (1987). Methods of Boundary Elements, M.: "Mir", 524 p.
10.Chugaev, RR (1982). Gidravlika. L.: Energoizdat, 624 p.
11.Han H (1988). Theory of Elasticity: Basics of Linear Theory And Applications. M.: "Mir", 344 p.
THE APPLICATION OF A METHOD OF BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS OF A THEORY OF ELASTICITY FOR MODELING OF AEROELASTICITY OF BRIDGE STRUCTURES
A.S. Dorogan, Khabarovsk
This work describes modeling of winding of bridge structures by the wind flow for non-bound systems with an application of a method of the boundary integral equations and is devoted to aerodynamical analysis of bound systems of interaction of solid bodies and gas, i.e. to aeroelasticity of span structures and pylons. The solutions of the 'wind flow - bridge structures' interaction problems in the form of multi zonal and variation approaches are shown in the theoretical part.
KEY WORDS: a method of the boundary integral equations, hybrid models, aerodynamics, aeroelasticity, bound systems.
' Hh Hh -0-
