Применение метода динамического программирования для решения задачи управления процессом забора оросительной воды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 626.82.004:519.71

В. В. Васильев (ФГБОУ ВПО «КубГАУ»)

Ю. Е. Домашенко, С. М. Васильев (ФГБНУ «РосНИИПМ»)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ЗАБОРА ОРОСИТЕЛЬНОЙ ВОДЫ

В статье авторами предложен математический аппарат на основе метода динамического программирования, позволяющий использовать объем неизрасходованного лимита на забор оросительной воды для конкретных метеоклиматических условий. В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Белл-мана, который можно сформулировать следующим образом: управление на каждом шаге надо выбрать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех оставшихся до конца процесса шагах, включая выигрыш на данном шаге. Согласно изложенному принципу динамическое программирование представляет собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму. Применение метода динамического программирования позволяет создать мобильный механизм управления величинами лимитов забора оросительной воды для вариантного планирования и коррекции планов водопользования на оросительных системах.

Ключевые слова: метод динамического программирования, водопользование, величина лимита на забор оросительной воды, объем лимита оросительной воды, функциональное уравнение Беллмана.

V.V. Vasilyev (FSBEE HPE “KubanSAU”)

Yu. Ye. Domashenko, S. M. Vasilyev (FSBSE “RSRILIP”)

DYNAMIC PROGRAMMING FOR THE MANAGEMENT OF IRRIGATION WITHDRAWAL

The paper deals with mathematical apparatus based on the method of dynamic programming. This method allows using the volume of unspent limit for irrigation withdrawal at specific weather conditions. The method of dynamic programming is based on the Bellman's principle of optimality, which formulated as following: control at every step should be chosen so that the sum of advantages was the optimal at all remaining until the end of the process steps including the advantage at the given step. According to the stated principle the dynamic programming is a directed linear search of possibilities which obligatory leads to a global maximum. The method of dynamic programming enables to create a mobile mechanism controlling irrigation withdrawal limits for variant planning and correcting water use plans at irrigation systems.

Keywords: dynamic programming, water use, irrigation withdrawal limit, volume of irrigation withdrawal limit, Bellman's functional equation.

Особенность ситуации последних десятилетий заключается в том, что объем спроса на воду превышает (особенно в маловодные годы) объем

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54] технически и технологически доступных водных ресурсов в водных объектах. Осуществлять управление величиной лимита оросительной воды для конкретного агропредприятия возможно путем использования метода динамического программирования.

Как раздел математического программирования динамическое программирование начало развиваться в 50-х годах XX века благодаря работам Р. Беллмана и его сотрудников [1]. Как практический метод оптимизации метод динамического программирования стал возможен лишь при использовании современной вычислительной техники.

В настоящее время разработан ряд методик планирования водопользования с использованием современной компьютерной техники и программного обеспечения. Существующая методика САНИИРИ адаптирована для аридной зоны орошения, но, к сожалению, выбор критериев оптимальности для указанной зоны не позволяет перенести полученные результаты для зоны Северного Кавказа [2]. Особый интерес вызывает методика УкрНИИГиМ по созданию информационно-советующей системы планирования водопользования [3].

На сегодняшний день метод динамического программирования позволяет решать задачи планирования внутрихозяйственного водопользования без учета климатических факторов. Достаточно совершенную, но сложную в реализации методику планирования водораспределения предлагают А. И. Голованов и И. П. Айдаров [4]. Она предполагает введение функциональных связей фактора урожай-вода и прочих факторов, влияющих на урожайность сельскохозяйственных культур, что будет являться основой для решения многоуровневой оптимизационной задачи.

Рассмотрим функционирование оросительной системы в течение N календарных этапов водохозяйственного планирования. Каждый п -й этап

(п = 1/N) характеризуется следующими параметрами:

- Нп1 (величина лимита на забор оросительной воды, оставшаяся в

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54]

распоряжении учреждения после окончания п -го этапа);

- уп (объем производства сельскохозяйственной продукции агропредприятия на п -м этапе);

- Ьп (величина спроса на сельскохозяйственную продукцию агропредприятия на п -м этапе).

Известна функция затрат 2п на п -м этапе функционирования сельскохозяйственного предприятия. Эта функция зависит от объема уп производства и величины лимитов кп_х, которые должны остаться после завершения п -го этапа. Необходимо определить величину лимитов на забор оросительной воды для каждого этапа планирования, при котором суммарная величина лимитов на конец п -го этапа, связанная с производством сельскохозяйственной продукции, была бы минимальна.

Данный критерий запишем в виде уравнения:

N

Г = V 2 (у , к ,) —> шт .

п \У п ~ п-1 У

п \У п ? п-1 -

п-1 уп

Имеющиеся ограничения представим в следующем виде:

- установление объема лимитов на забор оросительной воды в конце п -го периода:

к = к . + у — Ь ,

п п—1 У п п “

п = 1/N.

к = 0/к

у =0/у ;

У п У тах ?

- удовлетворение спроса водопотребителей в п -м периоде:

ьп ^ К-\ + Уп, п = Ш.

Для решения этой задачи методом динамического программирования необходимо определить основные компоненты:

- этапы - календарные периоды деятельности сельхозпредприятия

п = \Ш;

- состояние - объем лимитов на забор оросительной воды кп в конце п -го периода;

- управление - планируемый объем производства сельскохозяйственной продукции уп в п -м периоде;

- локальный подход - затраты на п -м этапе, связанные с подачей оросительной воды и производством сельскохозяйственной продукции:

г (у ,к

п V./ п “ 77—1 / ~

- оператор подхода, который устанавливает связь между объемом лимитов на забор оросительной воды в конце п-1-го и п -го этапов:

к = к . + у —Ъ .

п /7—1 У п п

Для этих целей введем функцию:

п

1п (кп ) = шт£ (у., к_ 1).

]=1

/0(А) = с0(Х) - величина лимита оросительной воды, затрачиваемая на производство сельскохозяйственной продукции на начальном этапе в объеме к .

Тогда функциональное уравнение Беллмана примет следующий вид:

/»(кп) = тт(/и1 (кп1) + гп (у п, кп1)). (1)

хп

Решение функционального уравнения Беллмана производится, начиная с первого этапа, т. е. переменная п последовательно полагается 1, 2, 3, ..., N.

Решение уравнения Беллмана для данного случая будет осуществляться следующим образом:

£■ (у ,к ') = г (у ) + к-к ,,

п \У п “ п—1 у п \У п / п—1 7

где 2п (уп) - величина лимита на забор оросительной воды на п -ом этапе в объемах у ;

У п “

к ■ кп_х - величина лимита после окончания п-то этапа;

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54] к - коэффициент;

к - начальная величина лимитов оросительной воды;

к- Н0 - резервная величина лимитов на начальном этапе в объеме /?0.

На первом этапе функциональное уравнение (1) при п = 1 примет

вид:

Л (Л ) = тт(/0 (/г0) + ^ (у, Л)) = (А, ) + г,(у,) + к-к{])).

4 л

В полученном уравнении все величины являются известными. Для решения этого уравнения согласно Г. А. Черноморову и С. П. Воробьеву [5] формируется исходная информация.

Алгоритм заполнения таблицы результатов динамического программирования предполагает, что столбцы таблицы соответствуют начальной величине лимитов на забор оросительной воды, строки - объему производства овощной продукции на первом этапе у. Каждая ячейка таблицы делится на две части: в нижней записывается значение состояния, т. е. значение для переменной \ \ к1=к0 + у1-Ь1. В этом случае, если /?, принимает отрицательное значение, то такие состояния являются недопустимыми и исключаются от рассмотрения путем вычеркивания. В частности, для положительного спроса Ь > 0 клетка для у1 = 0 и к0 = 0 является отрицательной и недопустимой. Таким образом, первым допустимым состоянием является значение к = 0. В верхней части каждой из ячеек записывается значение функции:

^(Ю=2М+2Лу;0)+к'К •

Среди допустимых ячеек могут находиться ячейки с одинаковыми значениями. При этом в качестве оптимальной выбирается та, для которой

/1 (.1) принимает оптимальное значение. Такие оптимальные значения находятся для всех состояний, т. е. = ггпп {/'* (И.)). Для каждого состоя-

ния фиксируется оптимальный объем производства уг. Максимальное зна-

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54] чение состояния ограничивается /?тах, т. е. /?, = /гтах, а минимальное -

кх=к0.

На втором этапе принятия решений (п = 2) функциональное уравнение Беллмана имеет следующий вид:

/2(Л2) = тт (/1 (кх) + г2(у2 ) + к-кх),

х2

где /х (кх) - оптимальное значение функции величины лимитов на оросительную воду для предыдущего этапа; г2 (у2), к • кх - исходные данные.

Данные записей оформляются в виде таблицы 1.

Таблица 1 - Пример оформления результатов динамического

программирования

Объем производства на первом этапе У1 Величина неиспользованного лимита К0

К = 0 К0 = 1 Ко - К0 К0 Ктах

У = 0 /1Ч1) //(\2) /;(\.) f:\Kj

кх 1 =0+0— 2 —1+0— Ч,=/го+°-й1 Ь —к +0—Ь, \.,т шах 1

У = 1 //(^+0 /Г(\2и)

К«»1=0+1-ъ1 ^1,т+2 1 + 1 /7 —И +\-К 1,2 т шах 1

У1=У1

У1 = Утах А\КРт)

к , =0 + у -Ъ, \,т(р—1)+1 ✓ шах 1 к —к + у -Ъ, 1,тр тах ✓ тах 1

Аналогично предыдущему шагу каждая ячейка разбивается на две части, определяются соответствующие недопустимым состояниям, они удаляются путем вычеркивания. Для допустимых ячеек вычисляются значения последующих состояний к2 = /?0 + у2 - Ь2, которые записываются в

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54] нижней части каждой ячейки. В верхней части ячейки указывается значение функции величины лимитов забора оросительной воды

/ 0\) - /()(/г,,) + г,(у,) + к-/?0. Затем находятся одинаковые состояния и для них вычисляется условно оптимальное значение функции величины лимитов = шт{/’(^)}. Таким образом, после окончания второго этапа

для каждого из допустимых состояний К должна быть определена функция величины лимитов (К1), а также значение объема производства у и

лимитов К . Аналогичные действия выполняются для всех этапов, пока п = N.

В качестве примера реализации метода динамического планирования определим оптимальный план величины лимитов оросительной воды для производства картофеля в ООО «Ольгинское». Установим, что количество интервалов планирования N = 5 [6], величина спроса на продукцию постоянна для всех этапов планирования: гп(уп,кп _1) = Ю + 2уп +0,5кп _г,

(Уп — 0) — 0 и гп(уп= 0,кп_1) = 0,5Ип_1, лимиты на начальном этапе ( \ 2500 * г0( у0 ) = 1п(), ограничения на производственные мощности утяк =—-—= 5

-5

(2500 м /га - максимальная оросительная норма для картофеля в засушливые годы, 5 - число поливов в засушливые годы), ограничение на предельный уровень величины лимитов на конец рассматриваемого периода 7 2500-1100 ~ 3,

птах =------------= 3 (1100 м /га - минимальная оросительная норма для

-5

картофеля в засушливые годы, 500 м /га - поливная норма картофеля).

Решение уравнения Беллмана будет основываться на алгоритме прямой прогонки:

и = Ь /х (Ю = тНМЮ + 2о(К) + к-К, =ух +И0-Ь1, <5,

у = 0 ,п.

Для выполнения первого этапа формируется промежуточная табли-

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54] ца 2. Для примера произведем вычисление функции /х * (кх):

/Г (0) = (0) + (3) +1 • 3 = 0 + 2 • 3 + 3 = 9, (0) = 0,

(0) = 2 ■ (1) + 20 (2) +1 • 2 = 10 + 2 • 1 + 2 • 2 + 2 = 18,

/1*(1) = 2.(1) + 20(3) + 1-3 = 10 + 2-1 + 2-3 + 3 = 21,

/^(0) = 2-(2) + 20(1) + 1-2 = 10 + 2-1 + 2-1 + 2 = 16,

(0) = 2- (2) + 20 (2) +1 • 2 = 10 + 2 • 2 + 2 • 2 + 2 = 20,

/*(}) = г г (2)+20 (3)+1-3=10+2-2+2-3+3 = 23.

Таблица 2 - Результаты расчетов неизрасходованных лимитов

Объем производства на первом этапе X Величина неиспользованного лимита

0 II ко = 1 к0 = 2 0^ II 3

X = 0 * * * 9

о II

X = 1 * * 18 21

о II к, = 1

X = 2 * 16 20 23

II о ]\ = 1 =2

X = 3 15 20 25

к, = 1 II СП II

X = 4 9 18 24 27

о II \ = 1 II СП II

X = 5 11 23 26 29

II о = 1 =2 \=Ъ

Примечание - Символом * отмечены ячейки с недопустимыми состояниями.

На основе промежуточной таблицы 2 формируется окончательная таблица 3.

Таблица 3 - Окончательный вариант расчета лимитов оросительной

воды в течение поливного сезона

Величина неиспользованного лимита оросительной воды Ь Оптимальный объем лимита у Оптимальная функция лимитов /х (кх)

\ = 0 У = 4 Л (0) = 11

\ = 1 У = 5 3 2 =

\ = 2 У = 5 4 2 =

\ = 3 У = 5 Г'' 2 =

Так как на каждом последующем этапе объем забора воды будет со-

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54] храняться, то достаточно будет рассмотреть задачу динамического программирования с условием, что п = 1.

Для нахождения оптимальных объемов производства у и оптимальных уровней лимитов на забор оросительной воды И„ производится решение задачи в обратном порядке. На последнем этапе (п = N) выбираются у и Ип , соответствующие оптимальной (минимальной) функции затрат/п(Ип). На этапах п < N выбираются строки, для которых у и И„ такие, чтобы |Ьп -

у„+і\ = К. Обратное решение задачи производится до этапа п = 1.

Данный принцип гарантирует, что управление лимитами, выбранное на любом шаге, является не локально лучшим, а лучшим с точки зрения технологического процесса в целом, так как это управление выбирается с учетом изменчивости метеоклиматических факторов на предстоящих шагах.

Экономическую эффективность внедрения данного механизма планирования забора воды на орошение рассмотрим на примере.

Определим, что согласно планам водопользования, планируемый

-5

объем водоподачи составляет 45835 тыс. м за вегетационный период. Требуемое количество элекроэнергии на заявленный объем водоподачи Э составит - 6206507 кВт/ч. Стоимость тарифа без учета налога на добавленную стоимость Тэ составляет - 3,75 руб./кВт/ч.

Таким образом, стоимость электроэнергии на подачу заявленного объема оросительной воды составит

^рэл. =Э'Тэ= 6206507• 3,75 = 23274 тыс. руб. [7].

Затраты на текущий ремонт автотранспорта определяются из дефектной ведомости, составляемой на планируемый год. Расчет потребности бензина, дизельного топлива проводится, исходя из опыта предыдущих лет:

2456,3 тыс. руб.

Итого затраты составят:

Х^План + Х^эл-23274+2456,3=49004,3 тыс. руб.

3

Стоимость подачи 1 м воды составит:

У Р +У Р 49004300 ,

5 план ^ эл.=^^^=107 . /м3

1 Ж0 45835000 ^

Производится начисление налога на добавленную стоимость (18 %): 5'ндс=5'1 •0,18=1,07-0,18 = 0,19 руб.

-5

Стоимость подачи 1 м3 оросительной воды с учетом налога на добавленную стоимость (НДС) составит:

5 = ^+5НДС =1,07 + 0,19=1,26 руб.

В итоге по одноставочному тарифу стоимость услуг по подаче воды составит:

5'бщ=Ж0-5 = 45835000-1,26=57752,1 тыс. руб.

Представленный пример позволяет сделать вывод, что значительное влияние на ценообразование за услуги подачи воды оказывает объем водо-подачи из плана водопользования. При детальном планировании уровней лимитов на забор оросительной вод можно добиться значительной экономии денежных средств агропредприятиями по данной статье расходов.

Таким образом, реализация метода динамического программирования в рамках управления величиной лимитов оросительной воды позволяет оценить их остаток на конец п -го этапа, что в свою очередь позволяет рационально использовать водные ресурсы на нужды растениеводства в течение всего поливного сезона и сократить затраты на подачу оросительной воды.

Список использованных источников

1 Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. - М.: Иностранная литература, 1960. - 400 с.

2 Мирзаев, Н. Н. Расчетный способ построения связей «урожай -оросительная норма» для оптимизации планов водопользования /

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 4 (12) 2013 г., [43-54]

Н. Н. Мирзаев // Труды САНИИРИ. - Ташкент, 1979. - Вып. 158. - С. 44-54.

3 Остапчик, В. П. Второе поколение информационно-советующей системы оперативного планирования орошения / В. П. Остапчик // Мелиорация и урожай. - М., 1985. - № 2. - С. 27-30.

4 Мелиорация земель: учеб. для вузов / А. И. Голованов [и др.]; под ред. А. И. Голованова. - М.: КолосС, 2011. - 824 с.

5 Черноморов, Г. А. Модели оптимизации элементарных топологических структур локальных вычислительных сетей распределенной обработки информации на предприятиях / Г. А. Черноморов, С. П. Воробьёв // Изв. вузов. Электромеханика. - 1993. - № 1. - С. 91-96.

6 Картофель на орошение: рекомендации ФГНУ «РосНИИПМ» / Г. Т. Балакай [и др.]; под ред. Г. Т. Балакая. - Новочеркасск: Геликон, 2007. - 16 с.

7 Краснощеков, В. Н. Методика обоснования нормативов платы за использование водных ресурсов в сельском хозяйстве / В. Н. Краснощеков, С. В. Марьин // Международный научный журнал. - М., 2008. - № 3. -

С. 48-55.

Васильев Валерий Владимирович - Кубанский Государственный Аграрный Университет. (ФГБОУ ВПО «Кубанский ГАУ»), ассистент кафедры частной зоотехнии и свиноводства.

Контактный телефон: 8-918-49-00-765 E-mail: vasiliev.v3@mail.ru

Vasylyev Valeriy Vladimirovich - Federal State Budget Educational Establishment of Higher Professional Education Kuban State Agrarian University (FSBEE HPE “KubanSAU”), Assistant of the Chair of Private Zootechny and Swine Breeding Contact telephone number: 8-918-49-00-765 E-mail: vasiliev.v3@mail.ru

Васильев Сергей Михайлович - доктор технических наук, доцент, Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Российский научноисследовательский институт проблем мелиорации» (ФГБНУ «РосНИИПМ»), заместитель директора по науке.

Контактный телефон: 8(8635) 26-51-03 E-mail: rosniipm@yandex.ru

Vasilyev Sergey Mikhaylovich - Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Federal State Budget Scientific-Research Establishment “Russian Scientific-Research Institute of

Land Improvement Problems” (FSBSE “RSRILIP”), Deputy Director for Science.

Contact telephone number: 8 (8635) 26-51-03.

E-mail: rosniipm@yandex.ru

Домашенко Юлия Евгеньевна - кандидат технических наук, Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Российский научноисследовательский институт проблем мелиорации» (ФГБНУ «РосНИИПМ»), начальник отдела научного обоснования создания мелиоративных систем.

Контактный телефон: 8(8635) 26-51-03 E-mail: domachenko_u@list.ru

Domashenko Yuliya Yevgenyevna - Candidate of Technical Sciences, Federal State Budget Scientific-Research Establishment “Russian Scientific-Research Institute of Land Improvement Problems” (FSBSE “RSRILIP”), Head of the Department of Scientific Justification for Creation of Meliorative Systems.

Contact telephone number: 8 (8635) 26-51-03 E-mail: domachenko_u@list.ru