Применение метода автомодельных движений с численным моделированием при решении фильтрационных задач в городском, дорожном и мелиоративном строительстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Семенова Татьяна Викторовна - канд. технических наук, доцент Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основные направления научной деятельности: Проектирование, строительство и эксплуатация автомобильных дорог. Общее количество опубликованных работ: 13. e-mail: [email protected].

Герцог Виталий Николаевич - Аспирант Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основные направления научной деятельности: Проектирование, строительство и эксплуатация автомобильных дорог. Общее количество опубликованных работ: 1. e-mail:

[email protected]

УДК 69.034.96

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ С ЧИСЛЕННЫМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ ПРИ РЕШЕНИИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В ГОРОДСКОМ, ДОРОЖНОМ И МЕЛИОРАТИВНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ

В. И. Сологаев

Аннотация. Предложен метод фильтрационного расчёта подтопления территорий при нестационарной радиальной фильтрации воды с постоянным уровнем.

Ключевые слова: фильтрационный расчёт, подтопление, радиальная фильтрация воды.

Введение

Метод автомодельных движений с численным моделированием (АДЧМ) впервые был предложен для решения фильтрационных задач при защите от подтопления в городском строительстве [1]. Он был проверен с помощью классического решения П. Я. Полу-бариновой-Кочиной [2] на примере плоскопараллельной фильтрации при подтоплении территории грунтовыми водами малой мощности [1]. В данной работе представлено решение методом АДЧМ задачи радиальной фильтрации грунтовых вод малой мощности, полезное при прогнозировании подтопления в городском, дорожном и мелиоративном строительстве.

Основные положения

При составлении прогноза подтопления грунтовыми водами территории застройки в первую очередь необходимо провести гидрогеологическую схематизацию в разрезе и плане изучаемого участка. Если изменение положения уровня грунтовых вод (УГВ) имеет значение близкое их мощности (толщине), то фильтрационная задача становится нелинейной. Тогда решать её надо особыми аналитическими методами теории фильтрации, например, АДЧМ. При этом в плане (на виде сверху) движение грунтовых вод надо сводить к одному из двух вариантов: плоскопараллельному или радиальному. Критерием выбора вариантов является соотношение сторон источника подтопления 1:5 [3]. Если соотно-

шение больше 5, то рассматривают плоскопараллельную в плане фильтрацию. Если меньше 5 — радиальную.

Рассмотрим радиальное в плане подтопление территории грунтовыми водами малой мощности. Имеем компактный в плане источник подтопления радиусом г0 с постоянным напором воды Н0. Водоупор горизонтальный и совпадает с отметкой дна источника подтопления. Окружающий проницаемый грунт однородный, изотропный, с коэффициентом фильтрации к и недостатком насыщения и Расчётная схема показана на рис. 1.

Найдем с помощью данного комбинированного метода радиус языка подтопления ЯЯз, то есть получим точное решение задачи при нелинейной радиальной одномерной фильтрации воды со свободной поверхностью. Такие задачи актуальны для прогноза подтопления от септиков, метантенков, выгребных ям, при аварийном затоплении подвалов домов и т.д., в условиях первоначально не обводненных грунтов.

Будем искать радиус языка подтопления в виде

Кяз = Го + сдл/2Шо*/и , (1)

где СК — коэффициент, который определим с помощью метода АДЧМ; t — время от начала подтопления; остальные обозначения см. на рис. 1.

Н

н,

о

' Ур .в. Ур.з. \/

\/ / /// /// ///

н \ к, (л г

/ / / -, ^ / / / / г / У ////// у ■ К / / / / -

Рис. 1. Схема языка подтопления

Исходное нелинейное гидравлическое (по Буссинеску) дифференциальное уравнение нестационарной фильтрации языка подтопления при радиальном в плане движении воды в частных производных имеет вид

k д ( ттдН Л дН

I гН----------1 =-----, (2)

/иг дг ^ дг ) д

где г — горизонтальная радиальная координата, причём вертикальная ось напоров Н находится в центре источника подтопления при г

= 0.

Граничное условие при г = 0 выражает постоянство напора в источнике подтопления:

Н(0, 0 = Но.

Другое граничное условие с постоянным нулевым напором ставим на внешнем движущемся фронте языка подтопления при г = ЯЯз в виде

Н(Яяз, О = 0.

Первоначально грунт не обводнен. Начальное условие при любом г > 0 имеет вид

Н(г, 0) = 0.

Автомодельное решение — это частное решение задачи, когда с помощью специальных подстановок и теории размерностей удаётся преобразовать исходное дифференциальное уравнение в частных производных в обыкновенное дифференциальное уравнение. Тогда решить уравнение можно проще.

Введем две подстановки (безразмерные переменные):

и = н/н0

V =

(3)

(4)

Величину V можно назвать автомодельной переменной.

Тогда уравнение (2) с помощью подстановок (3) и (4) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение вида

d2и2 1 dU2 dU _

----Г +--------+ 2V-----= 0,

dv V dv dv которое можно переписать, используя метод конечных разностей (МКР) так (рис. 2.):

г

U,-1

Ut

<•>

Рис. 2. Безразмерная МКР-сетка в радиальных координатах

U:

г+1

Ап / * / А т]

/ Пі / /

2

i +l

Ц- - 2Ц2+ и2

(а^)2 2чМ

, у(им-и-1) = 0. а^

Из последнего уравнения получим формулу автомодельного безразмерного моделирования методом электронных таблиц [1] в виде

т2 , тт2

и2 + и2

и, = [ l+2 1-1 +vAv(UM -U,-1)+

(б)

+

/]1/2

Ач(ц,г„ + Цг-,)11

4ц

В процессе моделирования в электронных таблицах по формуле (5) обнаружено, что в радиальной задаче коэффициент Ск не является величиной постоянной, а зависит от продолжительности процесса подтопления. Замечено, что с течением времени Ск несколько уменьшается (примерно на 10 % от первоначального значения), то есть процесс радиаль-

Таблица 1 - Промежуточные результаты

ного расползания языка подтопления не совсем автомодельный.

Введем дополнительные безразмерные величины. Критерий Фурье (безразмерное время)

т = а^г0 ; а = Ш0/ц .

Безразмерные пространственные координаты

о З

К = К/го

Тогда из (1) можно выразить

CR '& = (RM3 - 1)/лТ . (6)

Применив метод электронных таблиц (МЭТ), на основе формул (б) и (6) получим таблицу 1 с промежуточными результатами.

Данные таблицы 1 обработаем с помощью средства «Мастер диаграмм» Microsoft Excel. В результате получим вспомогательную эмпирическую формулу

CR~,[l = 1,5114-0,04611пт , (7)

имеющую высокий коэффициент корреляции 0,9997.

т R» Cr-ч'2 т R» Cr-!"2

1 2,5098 1,5098 11 5,6468 1,4011

2 3,0903 1,4781 12 5,8402 1,3973

3 3,5310 1,4613 13 6,0221 1,3929

4 3,8980 1,4490 14 6,1984 1,3893

б 4,2136 1,4372 15 6,3672 1,3858

6 4,б02б 1,4299 16 6,5309 1,3827

7 4,7631 1,4223 17 6,6911 1,3803

8 б,00бб 1,4162 18 6,8429 1,3772

9 б,2344 1,4115 19 6,9917 1,3746

10 5,4457 1,4059 20 7,1378 1,3725

На основе (1) и (7) получим точное гидравлическое решение для радиуса круглого в плане языка подтопления

К = го1 + (1,51 - 0,0461птУт]; (8)

т = Ш о1 (и г2) •

Кривые депрессии УГВ при растекании радиального языка подтопления в первоначально не обводненных грунтах удобнее и проще моделировать с помощью МЭТ, так как данный процесс подтопления нелинейный.

Дополнительные полевые и лабораторные исследования [4] показали, что формула (8) надёжная и достоверная. Погрешность расхождения теоретических и экспериментальных значений радиусов круглых в плане языков подтопления не превышала 5 %.

Практическое значение полученной формулы (8) следующее. В городском строительстве её можно применять для определения нестационарных зон подтопления, например, при аварийном затоплении при прорыве во-донесущих коммуникаций смотровых колодцев, подвалов, погребов и т.д. В дорожном строительстве — для прогнозных оценок участков подтопления оснований дорог с возможным образованием бугров морозного пучения вследствие инфильтрации атмосферных вод через ямы в разрушенных дорожных покрытиях. В мелиоративном строительстве — для определения, например, зоны растекания воды от лунок растений при поливе, орошении и т.д. Кроме того, формулу (8) рекомендуется применять во всех аналогичных случаях в других сферах производственной деятельности.

Заключение

Предложена формула (8) для фильтрационного расчёта нестационарного процесса подтопления территории грунтовыми водами малой мощности из компактного в плане источника подтопления в первоначально сухих грунтах. Расчётная зависимость (8) надёжная — проверена полевыми и лабораторными ис-

следованиями. Она рекомендуется к производственному применению в городском, дорожном и мелиоративном строительстве.

Библиографический список

1. Сологаев В. И. Фильтрационные расчеты и компьютерное моделирование при защите от подтопления в городском строительстве: Монография. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. - 416 с.

2. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. - М.: Наука, 1977. - 664 с.

3. Прогнозы подтопления и расчёт дренажных систем на застраиваемых и застроенных территориях: Справочное пособие к СНиП / А. Ж. Муф-тахов, И. В. Коринченко, Н. М. Григорьева, В. И. Сологаев, А. П. Шевчик; ВНИИ ВОДГЕО. - М.: Стройиздат, 1991. - 272 с.

4. Сологаев В. И., Золотарев Н. В. О моделировании методом электронных таблиц подтопления и дренирования территорий антропогенных ландшафтов при радиальной фильтрации воды с постоянным уровнем // Вестник СибАДИ. - Омск: СибАДИ, 2009. - Вып. 3 (13). - С. 77-81.

APPLICATION OF METHOD AUTOMODELING MOVIES WITH COMPUTING MODELS WITH SOLVING FILTRATION PROBLEMS IN CIVIL ENGINEERING, ROAD CONSTRUCTIONS AND MELIORATION

V. I. Sologaev

The technique of solving filtration problems rizing groundwater level of territories for non-stationary radial filtration of water with constants by a level is offered.

Сологаев Валерий Иванович - доктор технических наук, профессор кафедры городского строительства и хозяйства Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). Основное направление научных исследований - защита от подтопления в городском строительстве. Общее количество опубликованных работ: 89 . e-mail: [email protected], Интернет-сайт: http://sologaev. ucoz.ru.