Применение метода анализа иерархий в принятии управленческих решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 65.01

М.Г. ИЛЛАРИОНОВ, кандидат экономических наук, доцент

Институт экономики, управления и права (г. Казань)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ В ПРИНЯТИИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

В статье рассматриваются вопросы обоснования управленческих решений в организации. Показан метод анализа иерархий, предложенный Т. Саати. Использование данного метода позволяет устанавливать приоритетыг, выбирать альтернативыI, оценивать риски, принимать правильные решения, определять сценарии развития организации.

Современные тенденции менеджмента предопределяют необходимость качественного повышения уровня управления. Это предъявляет высокие требования к уровню квалификации менеджеров в области разработки управленческих решений. Современный менеджер должен иметь глубокую теоретическую подготовку в области теории принятия эффективных решений и обладать в этой сфере необходимыми практическими навыками.

Менеджер принимает различные решения, которые зависят от факторов и условий среды, что предопределяет необходимость использования различных методов.

В некоторых случаях для менеджера более предпочтителен сравнительный анализ соответствия альтернатив некоторому критерию на качественном уровне путем проведения парных сравнений альтернатив. В этом случае он отвечает на вопросы вида "С какой степенью предпочтения первое решение важнее, чем второе?", "С какой степенью предпочтения результат реализации решения с номером г более эффективен, чем результат реализации решения с номером у?". При этом формирование результатов данного сравнения осуществляется на качественной шкале, предложенной Т. Саати.

Суть метода анализа иерархий. Общая постановка задачи, решаемая методом анализа иерархий Саати, формулируется следующим образом.

Дано: множество альтернатив выбора А = {А .}=А1, ..., А. , ..., Ап(например угрозы, уяз-

вимости). В каждой альтернативе эксперта интересуют вполне определенные ее свойства, по которым сравниваются альтернативы (например вероятность реализации, стоимость потерь), в результате чего выбирается наиболее приемлемая из них, либо альтернативы ранжируются по их приемлемости к выбору. Эти свойства определяют критерии сравнения.

Пусть задано множество критериев сравнения альтернатив К = {КД= К1, ..., К , ..., Кп (вероятность реализации, стоимость потерь). Предположим, что эксперт имеет достаточно ясное представление о проблеме, чтобы попарно сравнивать предпочтительность выбора любой из двух альтернатив (А,А)е А, по любому из критериев К е К, формируя при этом матрицу парных сравнений А = (а.).

Необходимо, руководствуясь результатами парных сравнений альтернатив по всем критериям, ранжировать альтернативы в порядке их предпочтительности выбора по совокупности заданных критериев сравнения.

Сравнение альтернатив по степени их предпочтительности к выбору осуществляется на качественной шкале, предложенной Т. Саати.

По результатам парных сравнений всех альтернатив множества А = {А.}=А1, ..., А., ..., Ап по некоторому критерию формируется матрица парных сравнений А = (а), элементами которой

.и

являются значения табл. 1, причем а.. = 1 / а...

Для того чтобы определить веса предпочтительности выбора альтернатив (веса значи-

мости альтернатив по какому-либо критерию, например, вероятности реализации угрозы), необходимо найти собственное значение н = = (н, ..., нп) матрицы А, соответствующее ее максимальному собственному значению.

Определение. Собственным вектором матрицы А называют ненулевой вектор такой, при котором выполняется условие А • w = А • w, где X - скаляр, называемый собственным значением матрицы А.

Для вычисления весов важностей w = = ..., нп) находят максимальное собственное число матрицы А, после чего - собственный вектор, соответствующий данному собственному значению.

Нахождение весового вектора предпочтительности альтернатив = в пакете MathCad.

После задания матрицы парных сравнений А, необходимо с помощью функции eigenvals (А) найти максимальное собственное значение X ,

шах

после чего с помощью функции eigenvec (А, X ) найти собственный вектор = ,нп).

Определение согласованности мнений эксперта при формировании матрицы парных сравнений.

Таблица 1

Шкала оценок решений

Интенсивность важности а- Качественная оценка Объяснения

0 Несравнимость Нет смысла сравнивать решения

1 Одинаковая значимость Решения равны по значимости

3 Слабо значимее Существуют показания о предпочтении одного решения другому, но показания неубедительные

5 Существенно или сильно значимее Существуют хорошие доказательства и логические критерии, которые могут показать, что элемент более важен

7 Очевидно значимее Существует очевидное доказательство большей значимости одного элемента перед другим

9 Абсолютно значимее Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другому

2, 4, 6, 8 Промежуточные оценки между соседними

Таблица 2

Порядок матрицы п 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

СС 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59

Произвольно составленная матрица парных сравнений не может быть использована для вычисления вектора = (ж1, ..., нп). Перед этим необходимо убедиться в согласованности сравнительных оценок эксперта, для чего вычисляется индекс согласованности ИС и отношение согласованности ОС по следующим формулам.

ИС = хшах - п, ОС = —, п -1 СС

где СС - индекс случайной согласованности, который необходимо брать из табл. 2.

Если значение ОС < 0,15, то согласованность мнений экспертов считается приемлемой, и построенную матрицу парных сравнений можно использовать для расчета весов альтернатив.

Численный метод расчета вектора = ^^ ..., wи). Пусть сформирована матрица парных сравнений А = (а.) в следующем виде:

ап . ■ alj ■ a1n

aii ■ ■ aij ■ ain

an1 ■ \ ■ anj ■ ann /

Получение собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению матрицы А, выполняют следующим образом.

1. Для каждой строки матрицы А вычисляют произведение ее членов и берут из произведения корень степени п, получая при этом числа а1, ..., апи вектор а = (а1, ..., ап).

A =

4-JJ

lnl

*1j

anj

ln

\ a = «/

all • ■ ■ • a1j •■ ■ ■ • a1n

'Jai1 •■ ■ ■ • aj •■ • ■ ■ • ain

an = n an1 ■■ ■ - * anj ■■ ■ ■ • a

2. Элементы вектора а = (а1? ап) нормируют так, чтобы сумма его элементов была равна единице, то есть формируют нормированный вектор s = (^ ..., ..., 5п).

Si =

II

П

aij

Sai S<

3. Для каждого столбца j матрицы A состав-

ляем сумму его элементов b..

A =

aii

an

an1

a1j

a1n

Использование метода анализа иерархий для случая нескольких критериев. Пусть существует множество альтернатив А = {А1, ..., Ап} (например угроз), которые необходимо ранжировать по своей важности руководствуясь множеством критериев К = {К1, ..., К} (например вероятность реализации угрозы, ценность потерянной информации, время восстановления ресурса, степень страдания имиджа организации и т.д.).

При решении данной задачи отталкиваются от решения предыдущей - получения результатов ранжирования множества альтернатив А по одному из критериев множества К.

Для каждого критерия К е К по изложенному выше однокритериальному подходу проводят оценку весов важности альтернатив А1, ., Ап

в виде вектора S (К) = {5. (К)}, г = 1, п.

} г }

Для каждого из критериев К. е К методом парных сравнений Т. Саати определяют веса его важности для исследователя 5 = {,..., 5}. Важность критериев также рассчитывается по методу анализа иерархий. Данные веса учитываются при вычислении итогового веса альтернатив по всем критериям множества К.

Итоговый вес (приоритет) альтернативы А. вычисляется согласно следующей формуле:

b1 ••• b2 ••• bn

4. Покоординатно перемножаются векторы b и s и суммируются полученные произведения. Полученная сумма есть X .

J J max

biSi + ••• + + ••• + bn sn = ^max.

5. Рассчитывается индекс и отношение согласованности (ИС) и (ОС).

6. Если отношение согласованности ОС < 0,15, то составленная экспериментальная матрица парных сравнений приемлемо согласована, а вектор s = (sv...,s,,...,sn) есть вектор w = .. ,wn) (приоритеты сравниваемых альтернатив). Согласно данным приоритетам осуществляется ранжирование сравниваемых альтернатив по заданному критерию.

ain ' S1(K1) ■ ■ St (Ki) ■ Sn(Ki)

(wi, ■ ■ ■ ■ wn )=(,.., ,S j,.■ ■ ,Ss )• Si(Kj ) ■ ■ Si (Kj ) ■ ■ Sn (K j )

ann

/ S/Ks) ■ Si (Ks ) ■ ■ Sn (K s )

Рассмотрим пример использования метода анализа иерархий в обосновании управленческих решений. Пусть необходимо обеспечить бесперебойную работу организации - своевременное снабжение сырьем и материалами. Для выбора поставщика продукции руководством фирмы определены следующие критерии: ассортимент продукции, качество поставляемых продуктов, стоимость, наличие сервиса, надежность поставок. При этом в качестве альтернатив рассматриваются следующие поставщики: фирма ОАО "Меркурий", фирма ОАО "Прометей", фирма ОАО "Везувий", фирма ООО "Находка", фирма ОАО "Мегатрон+".

Требуется осуществить выбор из следующего множества альтернатив по утвержденным критериям (рис. 1).

Критерии !-N Альтернативы

Ассортимент Фирма ОАО «Меркурий»

Качество Фирма ОАО «Прометей»

Стоимость —► Фирма ОАО «Везувий»

Сервис Фирма ООО «Находка»

Надежность Фирма ОАО «Мегатрон+»

Рис. 1. Схема постановки задачи

В табл. 3 представлено исследование поставщиков продукции по всем пяти критериям.

По представленным данным табл. 3 сложно сделать соответствующий выбор альтернативы, поэтому воспользуемся методом анализа иерархий.

Таблица 3 Исследование поставщиков

Поставщик Критерий

Количество ассортиментных позиций Качество предоставляемый продуктов Средние цены (т.р.) Среднее время, проходящее от подачи запроса до получения продукции (час.) Надежность (в %)

Фирма ОАО «Меркурий» Средний Низкое 22,00 1,10 99,8

Фирма ОАО «Прометей» Средний Среднее 33,00 1,98 100

Фирма ОАО «Везувий» Средний Высокое 32,00 1,08 99,4

Фирма ООО «Находка» Средний Среднее 31,00 2,45 98,9

Фирма ОАО «Мегатрон+» Большой Очень высокое 27,00 0,87 100

т н е о ь т ь тс

Критерий 5 я н 6 в т с 0J с о S я с я в а ST со н е

о с с < а И о т О О да Н

Ассортимент 1 3 1/5 1/6 1/8

Качество 1/3 1 1/6 1/8 1/9

Стоимость 5 6 1 1/3 1/5

Сервис 6 8 3 1 1/3

Надежность 8 9 5 3 1

Отношение согласованности (ОС) = 7,72%. Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

Проведем оценку альтернатив по каждому критерию.

По критерию "ассортимент" получим результаты, приведенные в табл. 5.

Таблица 5

Парное сравнение альтернатив по критерию "ассортимент"

Поставщик Фирма ОАО «Меркурий» Фирма ОАО «Прометей» Фирма ОАО «Везувий» Фирма ООО «Находка» Фирма ОАО «Мегатрон+» Вектор оценки Нормализованные оценки вектора приоритета

Фирма ОАО «Меркурий» 1 1 1 1 1/9 0,644394 0,076923

Фирма ОАО «Прометей» 1 1 1 1 1/9 0,644394 0,076923

Фирма ОАО «Везувий» 1 1 1 1 1/9 0,644394 0,076923

Фирма ООО «Находка» 1 1 1 1 1/9 0,644394 0,076923

Фирма ОАО «Мегатрон+» 9 9 9 9 1 5,799546 0,692308

Сумма 13 13 13 13 1,44 8,377122 -

Кроме того, критерии имеют разную важность для руководства компании, поэтому определим важность каждого критерия методом анализа иерархий (табл. 4). При этом менеджер использует соответствующую шкалу оценок от 0 до 9 (табл. 1).

Таблица 4 Определение важности критериев

Отношение согласованности (ОС) = 0,00%. Должно быть < 10%, допускается < 20%.

По критерию "качество" получим результаты, приведенные в табл. 6.

Таблица 6

Парное сравнение альтернатив по критерию "качество"

Поставщик Фирма ОАО «Меркурий» Фирма ОАО «Прометей» Фирма ОАО «Везувий» Фирма ООО «Находка» Фирма ОАО «Мегатрон+» Вектор оценки Нормализованные оценки вектора приоритета

Фирма ОАО «Меркурий» 1 1/2 1/5 1/3 1/9 0,326 0,038950

Фирма ОАО «Прометей» 2 1 1/6 1/2 1/9 0,450 0,053741

Фирма ОАО «Везувий» 5 6 1 2 1/5 1,643 0,196163

Фирма ООО «Находка» 3 2 1/2 1 1/9 0,802 0,095798

Фирма ОАО «Мегатрон+» 9 9 5 9 1 5,156 0,615348

Сумма 20,0 18,50 6,87 12,83 1,53 8,379 -

Отношение согласованности (ОС) = 6,54%. Должно быть < 10%, допускается < 20%.

По критерию "стоимость" получим результаты, приведенные в табл. 7.

Таблица 7

Парное сравнение альтернатив по критерию "стоимость" продукции

По критерию "сервис" получим результаты, приведенные в табл. 8.

По критерию "надежность" получим результаты, приведенные в табл. 9.

Составим итоговую таблицу оценки альтернатив по установленным критериям (табл. 10).

Следует остановить свой выбор на альтернативе с максимальным значением глобального приоритета = 0,439640.

По результатам расчетов определяем, что альтернатива фирмы ОАО "Мегатрон+" является самой приемлемой, так как максимальное значение глобального приоритета здесь наибольшее - 0,439640. Поэтому решение менеджера должно быть направлено именно на эту фирму, а остальные альтернативные поставщики продукции не рассматриваются.

Поставщик Фирма ОАО «Меркурий» Фирма ОАО «Прометей» Фирма ОАО «Везувий» Фирма ООО «Находка» Фирма ОАО «Мегатрон+» Вектор оценки Нормализованные оценки вектора приоритета

Фирма ОАО «Меркурий» 1 1 3 2 1/7 0,96964 0,121237

Фирма ОАО «Прометей» 1 1 3 2 1/7 0,96964 0,121237

Фирма ОАО «Везувий» 1/3 1/3 1 1/2 1/9 0,36149 0,045198

Фирма ООО «Находка» 1/2 1/2 2 1 1/8 0,57434 0,071812

Фирма ОАО «Мегатрон+» 7 7 9 8 1 5,12278 0,640516

Сумма 9,83 9,83 18,0 13,50 1,52 7,99790 -

Отношение согласованности (ОС) = 3,17%. Должно быть < 10%, допускается < 20%.

Таблица 8

Парное сравнение альтернатив по критерию "сервис" продукции

Поставщик Фирма ОАО «Меркурий» Фирма ОАО «Прометей» Фирма ОАО «Везувий» Фирма ООО «Находка» Фирма ОАО «Мегатрон+» Вектор оценки Нормализова нные оценки вектора приоритета

Фирма ОАО «Меркурий» 1 4 1 7 1/2 1,6952 0,244138

Фирма ОАО «Прометей» 1/4 1 1/3 5 1/5 0,6083 0,087614

Фирма ОАО «Везувий» 1 3 1 7 1/2 1,6004 0,230487

Фирма ООО «Находка» 1/7 1/5 1/7 1 1/9 0,2144 0,030884

Фирма ОАО «Мегатрон+» 2 5 2 9 1 2,8252 0,406878

Сумма 4,39 13,20 4,47 29,00 2,31 6,9436 -

Отношение согласованности (ОС) = 2,16%. Должно быть < 10%, допускается < 20%.

Таблица 9

Парное сравнение альтернатив по критерию "надежность" поставок

Поставщик Фирма ОАО «Меркурий» Фирма ОАО «Прометей» Фирма ОАО «Везувий» Фирма ООО «Находка» Фирма ОАО «Мегатрон+» Вектор оценки Нормализованные оценки вектора приоритета

Фирма ОАО «Меркурий» 1 1/3 3 5 1/3 1,107566 0,158835

Фирма ОАО «Прометей» 3 1 5 7 1 2,536517 0,363760

Фирма ОАО «Везувий» 1/3 1/5 1 3 1/5 0,525306 0,075334

Фирма ООО «Находка» 1/5 1/7 1/3 1 1/7 0,267142 0,038311

Фирма ОАО «Мегатрон+» 3 1 5 7 1 2,536517 0,363760

Сумма 7,5333 2,6762 14,3333 23,0000 2,6762 6,973049 -

Отношение согласованности (ОС) = 2,33%. Должно быть < 10%, допускается < 20%.

Таблица 10

Оценка альтернатив с учетом важности критериев

Критерии

Альтернативы Ассортимент Качество Стоимость Сервис Надежность Глобальные приоритеты

Численное значение важности критериев

0,05193 0,02975 0,14331 0,27060 0,50439

Фирма ОАО «Меркурий» 0,07692 0,03895 0,12123 0,24413 0,15883 0,168709

Фирма ОАО «Прометей» 0,07692 0,05374 0,12123 0,08761 0,36376 0,230155

Фирма ОАО «Везувий» 0,07692 0,19616 0,04519 0,23048 0,07533 0,116678

Фирма ООО «Находка» 0,07692 0,09579 0,07181 0,03088 0,03831 0,044818

Фирма ОАО «Мегатрон+» 0,69230 0,61534 0,64051 0,40687 0,36376 0,439640

Следует остановить свой выбор на альтернативе с максимальным значением глобального приоритета = 0,439640.

Таким образом, внедрение метода анализа иерархий позволит менеджерам обосновывать управленческие решения, грамотно выбирать альтернативы, а также ранжировать решения по степени важности и срочности реализации.

Список литературы

1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1993. - 278 с.

2. Илларионов М.Г. Управленческие решения: методы обоснования альтернатив: учеб.-метод. пособие. -Казань: Изд-во ИЭУП "Познание", 2008. - 75 с.

В редакцию материал поступил 05.02.2009.

Ключевые слова: управленческие решения, метод анализа иерархий, приоритеты, альтернативы, риски, организация.