CC BY
22
УДК 303.732.4:519.237
Е.А. Касьян, М.М. Немирович-Данченко
Применение метода анализа иерархий для выбора модели прогнозирования индекса потребительских цен России
Обсуждаются проблемы принятия решений при выборе модели прогнозирования на примере прогноза индекса потребительских цен (ИПЦ) России. Прогнозные значения ИПЦ получены на 2021-2023 гг. по пяти моделям. Для выбора наиболее приемлемой модели были сформулированы качественные критерии сравнимости моделей. Применение метода анализа иерархий позволило выбрать оптимальную модель для прогнозирования ИПЦ на основании синтеза количественных векторов предпочтений.
Ключевые слова: метод анализа иерархий Саати, моделирование, прогнозирование, индекс потребительских цен России.
ао1: 10.21293/1818-0442-2021-24-3-74-79
Индекс потребительских цен (ИПЦ) является одним из инструментов измерения инфляции. Прогнозирование ИПЦ лежит в основе разработки перспективных программ развития экономики [1-3].
В современных условиях существует огромное множество методов прогнозирования, которыми необходимо не только уметь оперировать на практике, но и качественно выбирать наиболее подходящие из них применительно к конкретным задачам [4].
В данной работе рассмотрен ИПЦ России к декабрю предыдущего года с 1999 по 2020 г., а также рассчитаны прогнозные значения на 2021-2023 гг. Из использованных методов прогноза наиболее оптимальный выбран при помощи метода анализа иерархий Томаса Саати (МАИ) [5].
Индекс потребительских цен
Индекс потребительских цен выражается в процентах и отражает изменение во времени общего уровня цен на товары и услуги, приобретаемые населением для непроизводственного потребления. Наблюдение за потребительскими ценами в России осуществляется с 1991 г.
Для моделирования выбраны значения ИПЦ к декабрю предыдущего года в целом по России, данные взяты из официального интернет-источника Рос-стата [3]. Выбрана категория «Всего на товары и услуги» как самая общая и включающая в себя продовольственные товары, непродовольственные товары и платные услуги населению. В связи с тем, что в январе 1998 г. была проведена деноминация, в результате которой произошло уменьшение масштаба цен в 1000 раз, для качественных и показательных результатов выбраны года с 1999 по 2020 включительно. Период прогнозирования выбран равным трем годам, т.е. экономический прогноз будет краткосрочным [1].
Требования к данным
Для построения моделей использовались два параметра: значения ИПЦ к декабрю предыдущего года и время (год). Данные предварительно проанализированы на соответствие всем требованиям - сопоставимости данных, их полноты и однородности, а также устойчивости тренда [4, 6, 7].
1. Сопоставимость данных.
ИПЦ выражается только в процентах, следовательно, все элементы временного ряда имеют одинаковые единицы измерения. На протяжении всего исследуемого периода шаг наблюдений задан равным одному году. Данные ИПЦ взяты с официального источника Росстата [3], соответственно, методика расчета у всех элементов также одинаковая. Первое требование, сопоставимость данных, выполнено.
2. Полнота данных.
Взяты все имеющиеся значения ИПЦ (как было сказано ранее, с учетом проведенной деноминации), длина ряда получилась равной 22 годам. В данном случае с учетом природы ряда и постановки задачи прогнозирования будем считать полученную длину ряда достаточной для выбранного краткосрочного прогнозирования, равного трем годам.
3. Однородность данных.
С помощью критерия Ирвина было обнаружено только одно аномальное значение в 2000 г., поэтому для большей достоверности было принято решение не использовать сглаживание (истинные значения всегда лучше рассчитанных, при возможности стоит работать именно с ними).
4. Устойчивость тенденции.
В табл. 1 приведены коэффициенты автокорреляции, рассчитанные для проверки наличия тренда. Коэффициент автокорреляции (Я^ может колебаться от -1 до +1 и определяет степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда. Значимость коэффициентов Я(к) проверялась при помощи критерия Стьюдента (для каждого коэффициента (г^ рассчитывалась критериальная статистика, которая затем сравнивалась с критическим значением).
Таблица 1
Коэффициенты автокорреляции с временным лагом _к = 1-5 для проверки наличия тренда_
Д(1) Ж2) Ж3) Ж4) Ж5)
/стат 2,653 1,601 0,879 0,368 0,303
/крит 2,086 2,086 2,086 2,086 2,086
Коэффициент автокорреляции первого порядка значим (так как tстат > ¿крит), последующие коэффици-
енты не значимы - исследуемый ряд содержит слабый линейный тренд. Это означает, что в изменении уровней ряда закономерность преобладает над случайностью, дальнейшее прогнозирование имеет смысл.
Выбор методологии построения модели
Прогнозировать можно при помощи интуитивных методов, однако выбранный показатель ИПЦ России вполне поддается математическому описанию, поэтому в данном случае следует применять именно формализованные методы, которые дадут более точные результаты [6, 7].
В работе для прогнозирования ИПЦ России рассмотрены математические методы на основе построения статистических моделей [8].
Модели кривых роста
В моделях кривых роста в роли зависимой переменной выступает переменная yt, а в роли единственной объясняющей переменной - время (t).
Параметры данных моделей оценивались по МНК. Согласно МНК, все наблюдения имеют равные веса, соответственно, тенденция развития на всем интервале неизменна [9].
В работе рассмотрены линейная модель кривой роста (ЛМКР) и квадратичная модель кривой роста (КМКР) как самые простые и допускающие содержательную интерпретацию. Для обеих моделей уровень надежности был задан равным 95%.
Полученные уравнения ЛМКР (1) и КМКР (2): Y(t) = 121,024 - 0,879-t, (1)
Y(t) = 127,248 - 2,435-t + 0,068-t2. (2)
Адекватность моделей и значимость коэффициентов a, b и c проверялись при помощи встроенного средства Microsoft Excel «Регрессия», полученные значения приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значение и значимость коэффициента детерминации, _значимость коэффициентов а, Ь, с_
Коэффициент детерминации Значимость коэффициента детерминации Значимость коэффициентов уравнения
ЛМКР 0,595 2,6-Ю-05 < 0,05 a 2,6-Ю-05 < 0,05
b 1,410-23 < 0,05
КМКР 0,708 8,3-Ю-06 < 0,05 a 1,4-10-02 < 0,05
b 5,8-Ю-04 < 0,05
c 2,0-10-20 < 0,05
Коэффициент детерминации служит для проверки адекватности модели - чем ближе R2 к единице, тем выше качество модели.
Обе модели кривых роста получились адекватны и пригодны для дальнейших исследований, коэффициенты а, Ь для ЛМКР и а, Ь, с для КМКР также значимы. Стоит отметить, что, согласно полученному значению коэффициента детерминации, квадратичная модель кривой роста = 0,708) получилась более значимой, чем линейная = 0,595).
Модель простого скользящего среднего Рассмотрена модель простого скользящего среднего (МПСС). Первоначально было вычислено среднее значение наблюдений, образующих
интервал сглаживания. Величина т - количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания, было задано т = 3.
Модели экспоненциального сглаживания В адаптивных моделях прогнозирования наблюдениям в выбранном окне присваиваются разные веса - в зависимости от их влияния на текущий уровень, что позволяет учитывать изменения в тенденции. Нами рассмотрены линейная и квадратичная модели экспоненциального сглаживания (ЛМЭС и КМЭС).
При построении моделей экспоненциального сглаживания [10] уровень надежности был задан равным 95%. Коэффициенты а0, а1, (а2) взяты из ранее полученных уравнений (1) и (2). Далее подбирались параметры а и р посредством изменения параметра сглаживания а в поисках наилучшего (наименьшего) значения ошибки МАРЕ. Затем были рассчитаны начальные условия 5*0(1), ^0(2), №(3)) и оценки коэффициентов прогнозирующего полинома. Полученные параметры и начальные условия для ЛМЭС и КМЭС представлены в табл. 3.
Таблица 3 Полученные параметры и начальные условия
для моделей экспоненциального сглаживания
Модель а ß MAPE S<>(1) S0(2) S0(3)
ЛМЭС 0,69 0,31 3,31% 121,4 121,8 -
КМЭС 0,27 0,73 2,67% 134,5 141,5 148,4
Точность моделей
Для проверки точности моделей рассчитывались МАРЕ, WAPE, RMSE, приведенные в табл. 4. Были выбраны именно эти ошибки, потому что они выражаются в процентах, что упрощает интерпретацию результатов. Кроме того, такой выбор обусловлен подробным сравнительным анализом некоторых ошибок, выполненным в [11-13].
Таблица 4
Значения ошибок
№ Модель MAPE, % WAPE, % RMSE, %
1 ЛМКР 2,71 2,82 4,14
2 КМКР 2,49 2,58 3,52
3 МПСС 1,09 1,14 1,48
4 ЛМЭС 3,31 3,46 5,97
5 КМЭС 2,67 2,65 3,51
Будем считать, что ошибки, превышающие 5%, говорят о не очень высоком качестве используемой модели прогнозирования. По результатам трех рассмотренных ошибок самое высокое качество имеет МПСС, у которой значения ошибок прогноза не превышают 1,5%. Допустимое значение ошибки превышается только у ЛМЭС, согласно RMSE (5,97%), при этом значения МАРЕ и WAPE менее 5%, но больше, чем для других моделей, поэтому эта модель имеет самое низкое качество из рассмотренных моделей.
Прогнозирование
Прогнозирование базируется на поиске определенной закономерности развития внутри ряда, на основе которой строится дальнейший прогноз.
Некоторые модели позволяют на основе точечных прогнозов строить интервальные прогнозы.
При построении ЛМКР, КМКР, ЛМЭС и КМКР задается точность прогноза, в данной работе использовалась точность 95% как самая общепринятая, точность менее 90%, как правило, вообще не используется. При этом для МПСС точность прогноза априори задать нельзя.
В табл. 5 приведены точечные прогнозы на ближайшие три года по всем пяти рассмотренным моделям и для наглядности приведены истинные значения за последние пять лет.
Исходя из сводного графика, приведенного на рис. 1, МПСС, ЛМЭС и КМЭС имеют очень близкие значения и визуально ведут себя лучше всего среди пяти использованных моделей. Таким образом, можно предположить, что именно эти модели дают наиболее вероятные значения. При этом в данном случае прогноз ЛМКР показал наихудшие резуль-
таты - на графике смотрится наименее правдоподобно и выглядит как аномалия.
Таблица 5 Сводная таблица истинных значений за последние
Год ЛМКР I КМКР I МПСС I ЛМЭС I КМЭС
2016 105,39
2017 102,51
2018 104,26
2019 103,04
2020 104,91
2021 100,81 107,22 104,69 105,12 103,56
2022 99,93 107,98 104,14 105,59 103,26
2023 99,05 108,87 104,40 106,07 103,00
Для моделей кривых роста и экспоненциального сглаживания были также построены интервальные прогнозы, значения которых представлены в табл. 6. Среди интервальных прогнозов наилучшие результаты показала КМЭС, имея как минимум в пять раз меньший интервал, чем остальные.
140 135 130 125 120 115 110 105 100 95
КМКР; 108,87
И ЛМЭС; 106,07
МПСС; 104,40
КМЭС; 103,00 ЛМКР; 99,05
к
1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 2017 2019 2021 2023
Год
—•—ЛМКР —•—КМКР —•—МПСС —•—ЛМЭС —•—КМЭС
Рис. 1. График истинных значений ИПЦ России с 1999 по 2020 г. и точечных прогнозов по 5 рассмотренным моделям на ближайшие 3 года
Таблица 6 Сводная таблица интервальных прогнозов на ближайшие 3 года
Модель Год Левая граница Правая граница Интервал
ЛМКР 2021 90,11 111,50 21,39
2022 89,11 110,74 21,63
2023 88,10 109,99 21,89
КМКР 2021 98,13 116,30 18,16
2022 98,79 117,16 18,37
2023 99,58 118,17 18,59
ЛМЭС 2021 101,520 108,727 7,207
2022 101,928 109,262 7,334
2023 102,334 109,797 7,463
КМЭС 2021 101,442 105,681 4,240
2022 101,099 105,413 4,314
2023 100,803 105,193 4,390
Учитывая, что в данной работе мы исследовали ИПЦ России, который исчисляется в процентах, то
интервал КМЭС около 4% в принципе допустим, интервалы ЛМКР (-18%) и КМКР (-21%) не несут никакого смысла и в данном случае бесполезны.
Если сравнить полученные точечные прогнозы по пяти моделям со значениями интервального прогноза по КМЭС как самого наилучшего, то данным интервалам соответствуют значения точечных прогнозов по МПСС, ЛМЭС и КМЭС для каждого года соответственно, значения обеих моделей кривых роста в данные интервалы не вошли.
Метод анализа иерархий (МАИ) Саати и выбор оптимального метода прогноза
При выборе наилучшего метода прогнозирования ИПЦ России использовался метод анализа иерархий (МАИ) Саати. Экспертные оценки составлялись одним из авторов.
Метод анализа иерархий состоит из этапа декомпозиции проблемы на более простые составные части
и этапа синтеза вектора предпочтений путем нахождения количественных отношений через качественные суждения. МАИ позволяет эксперту выбрать наилучший вариант решения из множества существующих альтернатив согласно его пониманию сути проблемы и требованиям к ее решению [5, 14]. Основным достоинством метода анализа иерархий является его высокая универсальность, что подтверждается появившимися в последние годы работами - по принятию решений в медицине [15], при оценке оползневой опасности [16] и при выборе новых материалов и конструкций в промышленном производстве [17].
На этапе декомпозиции проблема была структурирована в виде иерархии, которая в простейшем виде включает в себя цель, критерии, альтернативы.
Цель - выбрать оптимальный метод для прогнозирования ИПЦ России к декабрю предыдущего года.
Критерии:
1. Близость результатов к остальным методам (БМ).
2. Интуитивно-визуальное превосходство прогноза по графику (Г).
3. Точность прогноза (ТП).
4. Простота расчетов (ПР).
5. Интервальный прогноз (ИП).
Альтернативы:
1. ЛМКР.
2. КМКР.
3. МПСС.
4. ЛМЭС.
5. КМЭС.
Далее была построена обратно-симметричная матрица парных сравнений для критериев для дальнейшего определения их приоритетности (исходя из степени важности каждого критерия относительно каждого другого критерия), приведенная в табл. 7. Для сравнения Саати предложил использовать качественные признаки, переводимые потом в количественные по 9-балльной шкале, где 1 означает одинаковую значимость сравниваемых элементов матрицы, 9 - абсолютную значимость, т.е. элемент в высшей степени предпочтительнее другого [14].
Таблица 7
Вектор локальных приоритетов по каждому критерию
Критерий БМ Г ТП ПР ИП Оценка компонент собственного вектора Нормализованная оценка компонент собственного вектора (те,)
БМ 1,00 2,00 0,50 7,00 6,00 2,112 0,281
Г 0,50 1,00 0,33 6,00 5,00 1,380 0,184
ТП 2,00 3,00 1,00 9,00 8,00 3,366 0,448
ПР 0,14 0,17 0,11 1,00 0,33 0,245 0,033
ИП 0,17 0,20 0,13 3,00 1,00 0,416 0,055
7,519 1,000
Для оценки компонент собственного вектора вычисляется произведение элементов строки, возведенное в степень 1/п (3), затем проводится нормализация (4).
WI = (ад • а,2 • ... • аи)1/и, (3)
где ап - элементы каждой строки, п - число критериев.
Ж
^ . (4)
На данном этапе наиболее значимым критерием при выборе метода прогнозирования получился критерий «точность прогноза», а наименее значимым -«простота расчетов» (см. табл. 7).
Затем для каждого критерия была построена аналогичная матрица парных сравнений по альтернативам (5 матриц размерностью 5x5) и по (3)-(4) вычислены компоненты векторов предпочтений.
По каждой из полученных 6 матриц вычислено отношение согласованности (ОС) и сделана проверка экспертных оценок на непротиворечивость, результаты приведены в табл. 8.
Для проверки согласованности суждений каждая матрица парных сравнений умножается справа на нормализованную оценку вектора приоритетов, полученный столбец покомпонентно делится на элементы собственного вектора. Среднее значение полученных чисел называется максимальным собственным значением матрицы Хтах. В идеальном случае это
собственное значение совпадает с размерностью матрицы п. Для оценки степени неидеальности с использованием Хтах вычисляется индекс согласованности ИС (5), а затем отношение согласованности (6)
(^"шах — п)
ИС = -
ОС =
(п-1) ИС
СИ
(5)
(6)
Здесь СИ - случайный индекс согласованности, который определяется в зависимости от порядка матрицы. Для матрицы 5x5 СИ = 1,12.
Таблица 8 Отношение согласованности для всех матриц
№ Матрица парных сравнений Отношение согласованности,%
1 Для критериев 4,1
2 Для альтернатив по БМ 4,4
3 Для альтернатив по Г 4,7
4 Для альтернатив по ТП 2,9
5 Для альтернатив по ПР 4,8
6 Для альтернатив по ИП 9,7
Оценки для всех матриц получились согласованными в том смысле, который предложен Т. Саати [5], т.е. все оценки имеют отношение согласованности не более 10%. Самой согласованной получилась матрица парных сравнений для альтернатив по критерию
«точность прогноза» - ее согласованность составила 2,9%.
На заключительном этапе был сделан синтез локальных приоритетов. В табл. 9 представлены упорядоченные глобальные приоритеты альтернатив, на основе которых выбрано наилучшее решение (оптимальная альтернатива).
Таблица 9
Упорядоченный синтез локальных приоритетов
№ Альтернативы Глобальные приоритеты
1 МПСС 0,420
2 КМЭС 0,199
3 ЛМЭС 0,150
4 КМКР 0,148
5 ЛМКР 0,083
Согласно проведенному оцениванию по МАИ, предпочтение следует отдать МПСС.
Заключение
В работе предложено применение метода анализа иерархий Саати для выбора оптимальной модели прогнозирования. В качестве исследуемого показателя выбран индекс потребительских цен России к декабрю предыдущего года. Было построено пять моделей: линейная модель кривой роста (ЛМКР), квадратичная модель кривой роста (КМКР), модель простого скользящего среднего (МПСС), линейная модель экспоненциального сглаживания (ЛМЭС), квадратичная модель экспоненциального сглаживания (КМЭС).
По результатам применения МАИ выбрана оптимальная модель для прогнозирования ИПЦ - модель простого скользящего среднего.
Результаты данной работы могут быть применены для анализа ИПЦ России, для самостоятельного выбора оптимального метода прогнозирования ИПЦ России к декабрю предыдущего года (так как результаты МАИ Саати несут субъективный характер), а также для аналогичного выбора метода прогнозирования для иных экономических показателей.
Литература
1. Чупина С.В. Прогнозирование национальной экономики: учеб. пособие. - Томск: ТГПУ, 2010. - 143 с.
2. International Labour Office (ILO) and others, Consumer Price Index Manual: Theory and Practice (Geneva, ILO, 2004) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.ilo.org/global/statistics-and-databases/WCMS_ 331153/lang--en/index.htm, свободный (дата обращения: 12.10.2021).
3. Федеральная служба государственной статистики [Электронный реcурс]. - Режим доступа: https://rosstat.gov.ru/, свободный (дата обращения: 01.03.2021).
4. Хайруллина О.И. Эконометрика: базовый курс / О.И. Хайруллина, О.В. Баянова. - Пермь, 2019. - 176 с.
5. Saaty T.L. How to Make a Decision: The Analytic Hierarchy Process // European Journal of Operational Research. -1990. - Vol. 48, No. 1. - P. 9-26.
6. Айвазян С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 656 с.
7. Галочкин В.Т. Эконометрика: учеб. и практикум для бакалавриата и специалитета. - М.: Юрайт, 2019. -
288 с. - ЭБС Юрайт [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://www.urait.ru/bcode/431440, свободный (дата обращения: 17.06.2021).
8. Бабешко Л.О. Эконометрика и эконометрическое моделирование в Excel и R / Л.О. Бабешко, И.В. Орлова. -М.: Науч.-изд. центр ИНФРА-М, 2021. - 296 с.
9. Выбор метода прогнозирования основных статистических показателей работы ГБУЗ «НИИ СП им. Н.В. Скли-фосовского» / Б.Л. Курилин, В.Я. Киселевская-Бабинина, Н.А. Карасёв, И.В. Киселевская-Бабинина, Е.В. Кислухина,
B.А. Васильев // Журнал им. Н.В. Склифосовского «Неотложная медицинская помощь». - 2019. - Т. 8, № 3. -
C. 246-256.
10. Brown R.G., Meyer R.F. The fundamental theorem of exponential smoothing // Oper. Res. - 1961. - Vol. 9, No 5. -P. 673-685.
11. Box G.E.P. Time Series Analysis, Forecasting, and Control / G.E.P. Box, G.M. Jenkins, G.C. Reinsel. - Hoboken, New Jersey, 2015. - 712 p.
12. Vandeput N. Data Science for Supply Chain Forecasting. - Berlin, Boston: De Gruyter, 2021. - 395 p.
13. Chai T. Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE)? / T. Chai, R.R. Draxler // Geosci. Model Dev. - 2014. - No. 7. - P. 1247-1250. doi:10.5194/gmd-7-1247-2014
14. Saaty T.L. Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process // Management Science. - 1986. - Vol. 32, No. 7. - P. 841-855.
15. Improta G. Use of the AHP methodology in system dynamics: Modelling and simulation for health technology assessments to determine the correct prosthesis choice for hernia diseases / G. Improta, M. Russo, M. Triassi, G. Converso, T. Murino, L. Santillo // Mathematical Biosciences. - 2018. -Vol. 299. - P. 19-27. doi: 10.1016/j.mbs.2018.03.004
16. Kumar R. Landslide Susceptibility Mapping Using Analytical Hierarchy Process (AHP) in Tehri Reservoir Rim Region, Uttarakhand / R. Kumar, A. Rathinam // Journal of the Geological Society of India. - 2016. - Vol. 87, No. 3. -P. 271-286. doi:10.1007/s12594-016-0395-8
17. Abbas M. Make a Decision to use AHP for the Selection of Materials and Designs for Minimizing Environmental Impacts by the POPE Lawn Mower Manufacturing / M. Abbas, M. Almukhtar, Z. Tameemi, H. Sharaf, M, Ashham // International Journal of Engineering & Technology Sciences. - 2018. -Vol. 7. - P. 672-676.
Касьян Елизавета Александровна
Студент какаф. безопасности информационных систем (БИС) Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Ленина пр-т, 40, г. Томск, Россия, 634050 Тел.: +7-983-346-55-30 Эл. почта: meelisie@yandex.ru
Немирович-Данченко Михаил Михайлович
Д-р физ.-мат. наук, проф. каф. комплексной информационной безопасности
электронно-вычислительных систем (КИБЭВС) ТУСУРа Ленина пр-т, 40, г. Томск, Россия, 634050 Тел.: +7-906-199-99-95 Эл. почта: michnd@mail.ru
Kasyan E.A., Nemirovich-Danchenko M.M.
Application of the Analytic Hierarchy Process for choosing
a forecasting model for the consumer price index in Russia
The work is devoted to solving the problem of decision-making when choosing a forecasting model on the example of the forecast of the consumer price index (CPI) of Russia. Projections of the CPI were obtained for 2021-2023 on five models. To select the most acceptable model, the qualitative criteria for comparability of models were formulated. The application of the hierarchy analysis method allowed to choose the optimal model to predict the CPI based on the synthesis of quantitative preference vectors.
Keywords: Saaty's AHP method, modeling, forecasting, consumer price index of Russia. doi: 10.21293/1818-0442-2021 -24-3-74-79
References
1. Chupina S.V. Prognozirovanie natsional'noi ekonomi-ki: uchebnoe posobie [Forecasting the national economy: a tutorial]. Tomsk State Pedagogical University, 2010, 143 p. (in Russ.).
2. International Labour Office (ILO) and others, Consumer Price Index Manual: Theory and Practice (Geneva, ILO, 2004). https://www.ilo.org/global/statistics-and-databases/ WCMS_331153/lang--en/index.htm (Accessed: March 01, 2021) (in Russ.).
3. [Federal State Statistics Service]. Available at: https://rosstat.gov.ru/, free. (Accessed: March 10, 2021) (in Russ.).
4. Khairullina O.I., Bayanova O. V. Ekonometrika: ba-zovyikurs [Econometrics: basic course]. Perm', 2019, 176 p. (in Russ.).
5. Saaty T.L. How to Make a Decision: The Analytic Hierarchy Process. European Journal of Operational Research, 1990, no. 48, pp. 9-26.
6. Aivazian S.A., Mkhitarian V.S. Teoriya veroyatnostej i prikladnaya statistika [Probability theory and applied statistics]. Moscow, 2001, 656 p. (in Russ.).
7. Galochkin V.T. Ekonometrika: uchebnik i praktikum dlya bakalavriata i spetsialiteta [Econometrics: Textbook and Workshop for Undergraduate and Specialist Degrees]. Moskva: Izdatel'stvo Yurait, 2019, 288 p. Available at: https://www.urait.ru/bcode/431440 (Accessed: June 17, 2021) (in Russ.).
8. Babeshko L.O. Ekonometrika i ekonometricheskoe modelirovanie v Excel i R [Econometrics and Econometric Modeling in Excel and R]. Moskva, Limited liability company «Nauchno-izdatel'skii tsentr INFRA-M», 2021, 296 p. (in Russ.).
9. Kurilin B.L., Kiselevskaya-Babinina VYA., Karasyov N.A., Kiselevskaya-Babinina I.V., Kisluhina E.V., Vasil'ev V.A . Selection of Prediction Method of Basic Statistical Work Parameters of N.V. Sklifosovsky Research Institute for Emergency Medicine of the Moscow Healthcare Department. Russian
79
Sklifosovsky Journal «Emergency Medical Care», 2019, vol. 8, no. 3, pp. 246-256 (in Russ.).
10. Brown R.G., Meyer R.F. The fundamental theorem of exponential smoothing. Operations Research, 1961, vol. 9, no. 5, pp. 673-685.
11. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C. Time Series Analysis, Forecasting, and Control. Hoboken, New Jersey, 2015, 712 p.
12. Vandeput N. Data Science for Supply Chain Forecasting. Berlin, Boston, De Gruyter, 2021, 395 p.
13. Chai T., Draxler R. Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE)? Geoscientific Model Development, 2014, no.7, pp.1247-1250. doi:10.5194/gmd-7-1247-2014.
14. Saaty T.L. Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process. Management Science, 1986, vol. 32, no. 7, pp. 841-855.
15. Improta G., Russo M.A., Triassi M., Converso G., Murino T., Santillo L.C. Use of the AHP methodology in system dynamics: Modelling and simulation for health tech-nology assessments to determine the correct prosthesis choice for hernia diseases. Mathematical Biosciences, 2018, no. 299, pp. 19-27. doi: 10.1016/j.mbs.2018.03.004
16. Kumar R., Anbalagan R. Landslide Susceptibility Mapping Using Analytical Hierarchy Process (AHP) in Tehri Reservoir Rim Region, Uttarakhand. Journal of the Geological Society of India, 2016, vol. 87, no. 3, pp. 271-286. doi:10.1007/s12594-016-0395-8
17. Abbas M., Almukhtar M., Tameemi Z., Sharaf H., Ashham M., Salman K. Make a Decision to use AHP for the Selection of Materials and De-signs for Minimizing Environmental Impacts by the POPE Lawn Mower Manufacturing. International Journal of Engineering & Technology Sciences, 2018, vol. 7, no. 3.20, pp. 672-676.
Elizaveta A. Kasyan
Student, Department of Information System Security,
Tomsk State University of Control Systems
and Radioelectronics (TUSUR)
40, Lenin pr., Tomsk, Russia, 634050
Phone: +7-983-346-55-30
Email: meelisie@yandex.ru
Mikhail M. Nemirovich-Danchenko,
Doctor of Science in Physics and Mathematics,
Professor, Department of Complex Information Security
of Computer Systems, TUSUR
40, Lenin pr., Tomsk, Russia, 634050
ORCID: 0000-0002-4510-8045
Phone: +7-906-199-99-95
Email: michnd@mail.ru
