Применение математического аппарата конформных отображений для непрерывного контроля и прогнозирования состояния тональных рельсовых цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

поезда по рассматриваемому участку для указанных вариантов отличаются менее чем на 0,015 %. Ошибка попадает в область точности вычислений выбранной математической модели.

Таким образом, предложенная методика построения оптимального по энергозатратам графика движения поезда по заданному участку при заданном времени прибытия на конечный пункт, построенная на применении целевой функции, дает практически тот же результат, что и классическое решение задачи с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина. Между тем предложенная методика отличается простотой применения, не требует существенных упрощений в описании тяговых и тормозных характеристик поезда. При реализации предложенной методики в специальном программном обеспечении для систем автоведения электроподвижного состава построение оптимального графика и оптимального управления движением поезда может осуществляться в реальном масштабе времени.

Библиографический список

1. Микропроцессорные системы автоведения электроподвижного состава / Л.А. Баранов, Я.М. Головичер, Н.В. Еро-

феев, В.М. Максимов. Под ред. Л.А. Баранова. М.: Транспорт, 1990.272 с.

2. Климович A.B. Модификация метода динамического программировании Беллмана при решении задачи оптимизации управления движением поезда // Вестник Томского гос. ун-та. Общенауч. периодич. журнал. Бюл. оперативной науч. информации. № 32. Июль 2004. С. 71-77.

3. Климович A.B. Аналитический метод решения дифференциального уравнения движении поезда // Изв. вузов. Электромеханика. 2006. № 2. С. 52-54.

КЛИМОВИЧ Андрей Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и механика».

КООБАР Александр Александрович, аспирант кафедры «Электрические машины и общая электротехника».

ХАРЛАМОВА Александра Викторовна, аспирант кафедры «Электрические машины и общая электротехника».

Дата поступления статьи в редакцию: 30.09.06 г. © Климович A.B., Кообар A.A., Харламова A.B.

УДК 656.259.12:681.518.52:517.54 С. С. СЕРОШТАНОВ

С. А. ЛУНЕВ

Омский государственный университет путей сообщения

ПРИМЕНЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО КОНТРОЛЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ТОНАЛЬНЫХ РЕЛЬСОВЫХ ЦЕПЕЙ_

В работе представлен новый подход к расчету параметров четырехполюсника тональной рельсовой цепи с использованием математического аппарата конформных отображений и дробно-линейных преобразований, что, в свою очередь, позволяет реализовать задачу непрерывного контроля и прогнозирования состояния рельсовой линии. Рассмотренные вопросы являются актуальными в соответствии со стратегической программой развития ОАО «РЖД» до 2015 года.

Одним из путей повышения надежности технических средств, обеспечивающих безопасность движения поездов, является внедрение устройств непрерывного контроля за их состоянием. Системы диагностики и телеконтроля позволяют уменьшить количество отказов в устройствах сигнализации, централизации и блокировки (СЦБ) за счет прогнозирования предотказных состояний, ускорить поиск отказавшего элемента, свести к минимуму время нахождения технического персонала в опасных зонах железнодорожного транспорта, а также создать базу для перехода от системы планового об-

служивания к предупредительно-восстановительной системе.

На современном этапе развития систем автоблокировки (АБ) широкое распространение получила система АБ с тональными рельсовыми цепями (ТРЦ). Использование сигнального тока тональной частоты позволило повысить защищенность от воздействия помех тягового тока, практически на порядок снизить потребляемую мощность, применить современную элементную базу, осуществить централизованное размещение аппаратуры, исключить взаимные влияния между соседними рельсовыми цепями [ 11.

1тО¥) ¡т(7)

Рис. 1. Пример конформного преобразования № = ^ ^ + ^ на комплексной плоскости при фиксированных значениях

сг + о

параметров ЧП

Однако, как показывает практика, рельсовые цепи (РЦ) являются самым ненадежным элементом систем железнодорожной автоматики и телемеханики (СЖАТ). Основная доля неисправностей РЦ приходится на рельсовую линию (РА).

Поиск отказов в РА не автоматизирован, что значительно увеличивает время определения неисправности. Поэтому решение задачи непрерывного контроля и прогнозирования состояния РА является актуальной.

Классический математический аппарат, используемый в теории четырехполюсников (ЧП), неудобен для решения задачи поиска отказов и прогнозирования состояния РА, поскольку имеет следующие недостатки: не позволяет целиком найти область изменений входных параметров на питающем конце для данного режима работы РЦ; не решает вопрос определения области допустимых значений вычисляемых параметров РЦ; отсутствует геометрическая наглядность полученных результатов.

Поэтому автором предлагается использовать более удобный математический аппарат — аппарат конформных отображений.

Матрицы четырехполюсников представляют элементы группы РБЩС) (проективной специальной линейной группы второго порядка с коэффиг циентами из поля комплексных чисел) [2]. Элементы этой группы получаются отождествлением следующих матриц:

-А -В -С -О

«короткое замыкание» (КЗ) до 1 — °о «холостой ход». Так как действительная часть комплексного сопротивления всегда неотрицательна (Яе(2) > 0), то область его значений представляет собой правую полуплоскость комплексной плоскости. Конформное отображение, соответствующее ЧП, преобразует правую полуплоскость, дополненную бесконечно удаленной точкой, на окружность, лежащую в правой полуплоскости. Положение области, получившейся при таком отображении, будет зависеть от параметров ЧП рельсовой линии, а положение точки внутри области — от сопротивления выходной нагрузки [4]. Пример такого преобразования представлен на рис. 1.

Все сложные преобразования областей в электротехнике основаны на суперпозиции трех простейших отображений — сдвига, инверсии и растяжения [2].

Для нахождения области отображения всей правой полуплоскости комплексных сопротивлений, нагруженных на выход четырехполюсника РЦ, в силу известного в теории конформных отображений принципа соответствия границ, необходимо найти, куда отобразится граница области (прямая Яе(2) = 0) йри неизменных параметрах четырехполюсника РЦ. Результатом конформного преобразования прямой вида Ке(Я2) = аг является окружность с центром в точке

ц) и радиусом

Эта группа широко известна в математике и применяется при решении множества собственно математических проблем. Группа РБЦ(С) имеет также представление дробно-линейными преобразованиями комплексной плоскости [3]. В задачах электротехники дробно-линейное преобразование задается формулой

„, А-г + В

№ =- 2

С-2 +О 1 '

и описывает отображение множества выходных

параметров четырехполюсника 2 во множество

входных IV.

Электротехнический смысл конформных преобразований заключается в следующем. В качестве нагрузки ЧП рассматривается область значений комплексных сопротивлений, от значения Z = 0 —

2 аАС+АРЯ+ВСЛ 2о|С|2 + 2Ке(СШ)

(АО-ВС)Л

2а\С\+ 2Яе(СШ)

(3)

(4)

где А, В, С, £>— коэффициенты четырехполюсника

РЦ;____

В, С, О, X - сопряженные комплексные величины;

Я, а - коэффициенты для прямой 11е(7) = 0 , Л = \,а = 0.

Чтобы определить параметры четырехполюсника РЦ, предлагается проводить три измерения входного сопротивления при трех различных известных сопротивлениях, нагруженных на выход РЦ.

Формулы для расчета коэффициентов четырехполюсника РЦ выводятся исходя из сохранения так называемого ангармонического отношения четырёх точек при дробно-линейном преобразова-

1С

Re(W), e

Рис. 2. Сфера Римана

нии на комплексной плоскости [5]. При условии выполнения соотношения Л£>- ВС = 1. т.е. матрица

(А В\

I ^ ^ Iпредставляет элемент группы РБЦ(С), а РЦ

является пассивным ЧП, коэффициенты А, В, С, О можно найти по следующим формулам:

1 ¡У, IV, (2,-2,)^-^ №-, (2,-2,) + ^ IV, (2,-2,)

№ - г, )(2, - 2, )(2, - г, - щ кщ - щ - тг,)'

„ _ IV,-IV,-г, ■(г, - + ^ ■иуг.сг.-г,)

с =

Z) =

•J(2, - Z, )(Z, - Z, )(Z, - Z, - - W, )(W2 - W,) Wi(21-2i) + W2(2,-Zt) + W,(2l-21) '

4(2, - Z, )(Z, - Z, )(Z, - Z, )(Щ-ЩНЩ-^ХЩ-Щ)' W, ■ Z, ■ (Z; - Z, ) + ■ Z, ■ (Z, - Z,) + W, ■ 2, ■ (Z, - Z,) V(Z, - Z, )(Z, - Z, )(Z, - Z, - W, KW, - W,)(И', - W,)'

(5)

где ИЛ„ V/, — измеренные значения входного сопротивления РЦ,

— известные сопротивления, подключаемые к выходу РЦ.

При выполнении измерений появляются систематические и случайные погрешности. Для уменьшения случайной ошибки принято проводить дополнительные измерения параметров четырехполюсника при одинаковых значениях выходной нагрузки. В этом случае из серии измеренных значений Н,, Н2 ... Нт находят среднее арифметическое, которое считается наиболее вероятным значением искомой величины.

I".

Я.

т

(6)

деляемая разницей между ЦТ • была как можно меньше не в Евклидовой, а в метрике сферы Римана (см. рис. 2) для серии из п измерений, в соответствии с методом наименьших квадратов.

I [р(щ

(7)

Расстояние между двумя стереографическими проекциями точек на комплексной плоскости в метрике сферы Римана выражается следующей формулой:

P(W„^2) =

Vm<-a/I

Формулу (2) можно представить в виде:

F

W, = Е+-

(8)

(9)

где — сопротивление на выходном конце, а комплексные коэффициенты Р, £иС связаны с параметрами А, В, С и С четырехполюсника соотношениями:

F = -

(Ю)

С2 с с

Аналогично формуле (7) можно записать целевую функцию:

„, = е+г/+—t±k—в ' + V + 8 + Si '

„, с, , A=. + g)+fil*s)*lfi=, + 8)-Al + g))j

<P(e;e;f;f;g;g) = £> /е; ё ;f;f; g.-g})1 ■■

(11)

"I

Получена экстремальная задача нахождения коэффициентов дробно-линейного преобразования, решение которой уточняет параметры ЧП РЦ. Данная задача имеет хотя бы одно решение, так как функция Ф(е;е;/; непрерывна и ограничена снизу (Ф > 0), а сфера Римана является компактным многообразием (теорема Вейерштрасса) [6].

Для анализа основных диагностических состояний бесстыковой РЛ рассмотрим схему замещения с распределенными параметрами (длина электромагнитной волны в тональном диапазоне частот соизмерима с геометрической длиной РА). Тогда коэффициенты ЧП РЛ выражаются следующим образом:

Для дальнейшего уменьшения ошибки автором предлагается применить другой метод, основанный на определении по специальным формулам уточненных параметров четырехполюсника за счет измерений при дополнительных (превышающих необходимое число два для симметричных и три для несимметричных четырехполюсников) известных значениях выходной нагрузки.

Разработанная методика позволяет уточнить параметры рельсового ЧП. Она основана на том, чтобы абсолютная погрешность метрики, опре-

ВЛ D

J-Sh?l>

¿"Л

chylp

(12)

Пусть несущая и модулирующая частота сигнального тока равны 580 и 12 Гц соответственно, длина РЛ 650 м, сопротивление изоляции равно 1 Ом-км. Правая полуплоскость ReZ>0 при конформном отображении перейдет в окружность с центром в точке, рассчитываемой по формуле (3) и радиусом, рассчитываемым по формуле (4) (см. рис. 3). В результате такого преобразования

Im(W)

Л, К

\ П>1 J

ch у I, Z^-shyl^ shy /, chy /,

ЯеПЮ

Рис. 3. Нормальная область РЛ

получаем область значений входных сопротивлений данного ЧП. Для любой нагрузки измеренное значение входного сопротивления будет находиться в полученной области. Размер и местонахождение области зависят от параметров ЧП РЛ. Нормальной областью РЛ будем называть область входных сопротивлений, измеренных при свободной и исправной рельсовой линии.

Для анализа и моделирования продольных неисправностей воспользуемся методом вносимого сопротивления. Коэффициенты ЧП РЛ при возникновении продольных неисправностей можно найти как:

chy /, Z„ ■ shy /,N -shy I, chylt

где /р/, — расстояния от релейного и питающего концов РЦ до места повреждения (внесения продольного сопротивления), км.

Согласно расчетам получаем области для разных вносимых сопротивлений (см. рис. 4).

Аналогично проводится анализ движения области при возникновении неисправности типа «короткое замыкание на РЛ». Коэффициенты ЧП РЛ в этом режиме находятся по формуле:

Л, К с„, К j

о

I

f chyl2 Za-shyU}

-shyl2 chy /2 v «

chy\ Zn ■ shy /,4

(14)

. — ■shy I, chyl{ \Kw A A,

где Rai — сопротивление шунта (поперечное сопротивление).

Im(W)

12

9,6 7,2 4,8 2,4

О

1

:

с ° V. /---S

2,4 4,8 7,2 9,6 12 Re(W) а)

lm(W)

0,6 1,2 1.8 2,4 3

Re(W)

б)

Рис. 4. Движение области входного сопротивления РЛ при внесении продольного сопротивления значением (а) 10 Ом, (б) 1 Ом (интервал 25 м)

Im(W)

0,4 0,8 1,2 1,6 2

Re/UO

Im(W)

Re(W)

б)

Рис. 5. Движение области входного сопротивления РЛ при внесении поперечного сопротивления значением (а) 0,06 Ом, (б) I Ом (интервал 25 м)

На рис.5 изображено перемещение области в зависимости от места внесения неисправности типа КЗ на РА.

Геометрическое представление комплексной величины, отражающее состояние четырехполюсника РА, позволяет не только определить по соответствующим областям режим работы РЦ, но и помочь в решении задачи определения места и характера возможного повреждения РА.

Анализ поведения нормальной области РА при возникновении продольных и поперечных неисправностей показал, что, во-первых, аппарат конформных отображений и дробно-линейных преобразований позволяет найти всю область изменения параметров ТРЦ; во-вторых, каждому состоянию РА соответствует определенная область на комплексной плоскости. Достоверность научных положений и выводов обоснована теоретически и подтверждена экспериментально на Красноярской и Западно-Сибирской железных дорогах — филиалах ОАО «РЖД». Расхождение результатов расчетов с экспериментальными данными не превышает 10%.

Библиографический список

1. Дмитриев B.C. Рельсовые цепи тональной частоты / B.C. Дмитриев, В.А. Воронин // Автоматика, телемеханика и связь. - 1996. - №5. - С. 27-30.

'2 Власенко C.B. Автоматизированные системы технической диагностики станционных рельсовых цепей: Диссертация на соиск. уч. степ. канд. тех. наук /C.B. Власенко. — Санкт-Петербург, 1997. — 126 с.

3. Каргаполов М.И. Основы теории групп / М.И. Каргапо-лоп, Ю.И. Мерзляков. - М.: Наука, 1982. - 271 с.

4. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат — М.: Наука, 1969. - 576 с.

5. Лаврентьев М.А. Методы теории функции комплексного переменного /М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — М.: Наука, 1987. - 688 с.

6. Борисович Ю.Г. Введение в топологию: Учеб. гюсоб. для вузов / Ю.Г. Борисович, Н.М. Блиэняков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. - М.: Высш. школа, 1980. - 295 с.

СЕРОШТАНОВ Сергей Сергеевич, программист управления информационных технологий. ЛУНЕВ Сергей Александрович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Автоматика и телемеханика», проректор по информатизации.

Дата поступления статьи в редакцию: 17.11.06 г. © Сероштанов С.С., Лунев С.А.

удк 621:436 Е< И. СКОВОРОДНИКОВ

С.М. ОВЧЛРЕНКО *А.М. МИНИТЛЕВД С. В. МОЧАЛОВА М. В. ТАРУТА

Омский государственный университет путей сообщения

* Омский государственный технический университет

РАЗРАБОТКА

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ_

В статье приведены аналитические методы, используемые для определения количества продуктов сгорания топлива в дизельных двигателях. Особое внимание уделено методу равновесного состава.

Образование продуктов сгорания в цилиндре двигателей внутреннего сгорания происходит двумя путями в результате химических реакций: окисления составляющих топлива кислородом воздуха, протекающих в процессах «сгорания — расширения», и в результате соединения азота и кислорода, содержащихся в воздухе с составляющими топлива и

продуктами сгорания. Токсичными продуктами сгорания дизельного топлива среднего элементарного состава являются сажа (углерод), оксид углерода, оксиды азота и серы, углеводороды и альдегиды.

В работе [ 1) представлен осредненный по данным различных исследований количественный состав