Применение математических знаний учащихся при решении физических задач в процессе завершающего повторения учебного материала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 372.853

Цатурян Армен Мишаевич

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры физики Ванадзорского государственного педагогического института имени О. Туманяна, профессор Российской академии естествознания (РАЕ), директор спецшколы с угпубленным обучением математике и естественных дисциплинам, [email protected], Ванадзор

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ УЧАщИХСя ПРИ РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ПРОЦЕССЕ ЗАВЕРШАющЕГО повторения учебного материала

Аннотация. Обсуждается вопрос о возможности повышения эффективности повторения курса физики с помощью усиления практической направленности обучения, широко применяя при этом приобретенные учащимися знания по математике при решении конкретных задач.

Ключевые слова: повторение, методологические принципы физики, метод математической индукции, математическая интерпретация.

Tsaturyan Armen Mishayevich

Post - graduate student of Teacher ’ Training Institute of Vanadzor after Hovhannes Tumanyan, principle of special school of thorough teaching of mathematics and natural sciences, [email protected], Vanadzor

THE USAGE OF THE KNOWLEDGE OF MATHEMATICS IN SOLVING EXERCISES OF PHYSICS DURING THE FINAL REVISION OF THE EDUCATIONAL MATERIAL

Abstract In the article it is discussed the probable raising of the effectiveness of revision of physics course with the help of strengthening the practical direction of education with wide usage of the knowledge gained by the pupils in mathematics in solving concrete exercises.

Keywords: revision, methodological principles of physics, method of mathematical induction, mathematical interpretation.

Общеизвестно, что решение физических задач является одним из важных компонентов процесса обучения физике, так как при этом реализуются все существующие цели обучения физике.

Опыт преподавания показывает, что наибольшую трудность для учащихся при решении задач по физике наряду с другими представляет вопрос применения теоретических знаний при анализе конкретных явлений. Существуют многочисленные методические работы относительно методики решения физических задач на разных уровнях обучения: от гуманитарных вплоть до физико-математических школ в рамках среднего образования. В этих работах рассматриваются разные аспекты обучения и организации решения физических задач. В работе [1, с. 226], где выделяются три основных уровня, на которых проводятся решения физических задач. Первый уровень харак-

теризуется использованием конкретных (частных) физических законов, например законов динамики при решении механических задач. Второй уровень характеризуется использованием наиболее общих фундаментальных физических законов, например таких, как закон сохранения энергии. Наконец, третий уровень решения физической задачи характеризуется использованием общих методологических принципов физики, таких как принципы симметрии, относительности, причинности, толерантности, математизации, простоты, суперпозиции и т. д.

Особенно ценным является использование третьего уровня в случаях, когда наряду с традиционными решениями используются качественные методы, при этом избегая сложных математических выкладок. При этом реализуется методологический принцип толерантности [2, с. 134-139].

Вышеуказанные три уровня, на которых проводится решение физической задачи, более отчетливо проявляются при обобщающем повторении учебного материала, когда учащиеся обладают большим объемом знаний по физике и другим дисциплинам (в частности, по математике), а также их мыслительная деятельность уже способна к достаточно высоким уровням обобщения, абстрагирования и причинно-следственного объяснения явлений [3, с. 91].

Не рассматривая подробно вопросы о важности организации обобщающего повторения курса физики в выпускных классах, отметим, что оно, как показывает опыт, является необходимым компонентом обучения физике и решает важные дидактические задачи. При этом, придавая важное значение широкому применению ранее приобретенных знаний учащихся, на первый план выдвигаются решение физических задач и развитие умения применять знания в конкретных случаях. Как показывает опыт работы, одним из способов повышения эффективности повторения может служить рассмотрение таких физических задач, решение которых предполагает применение учащимися знаний из разных разделов физики. А более нтересным и привлекательным оказывается рассмотрение таких задач, решение которых можно завершить качественными методами исследования без применения законов физики и сложных математических формул. В них явно раскрывается “изящность” качественных методов исследования.

С другой стороны, они являются своеобразным средством для эстетического развития учащихся, так как при этом у них появляются определенные переживания (восторг, восхищение).

В процессе повторения важнейшее место отводится межпредметным и внутрипред-метным связям. К примеру, если в процессе обучения какому-либо физическому матери-

О - О г Сн

о' и, иг

Рис.

алу математический аппарат применяется настолько, насколько он известен ученикам из курса математики, то, возвращаясь к повторению этого же самого физического материала, учитель имеет возможность представить его посредством использования математического аппарата, изученного ко времени повторения, тем самым придавая познанию физического материала глубину и целостность. При этом математическая интерпретация физических явлений и процессов приобретает особое значение.

Показано, что при ориентации на развитие умений математического моделирования в физико-математических школах целесообразно включение в учебную программу вопросов, связанных с явлением механических соударений и динамики твердого тела, так как именно задачи этих разделов позволяют в наиболее явной и выразительной форме демонстрировать ряд фактов и обстоятельств, наиболее существенных в методологии и практике математического моделирования, а значит, и современной (вычислительной) физики [там же, с. 90].

Для примера приведем следующую задачу, при решении которой используется один из наиболее совершенствованных методов математических доказательств - метод мате-магической индукции. При этом возникает хорошая возможность быстро прийти к ответу, раскрывая суть физической сущности задачи.

ЗАДАЧА 1

Имеем N неподвижных шаров, массы которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q. Первый шар массой т0 и скоростью и,, абсолютно упруго ударяет о второй, последний - о третий, и так далее. Определить скорость N -го шара. Удары считать центральными, трением пренебречь.

Решение

Используя законы сохранения импульса и полной механической энергии для первых нескольких шаров, нетрудно написать формулу для скорости N -го шара (рис. 1).

N Ы-*1

Ч Ч

- о т О т-

1.

Для шаров массами т0 и qm0 имеем

Учитывая (4), окончательно получим

(8)

™„Ч)=1^;+^», -Ш

(1) т„и,; т„ии ! 4 7 Чї4.| 1 +

.2 2 2 Интересно отметить

где ц и ц - соответственно скорости шаров массами ш0 и qm0 после их столкновения.

Решая систему (1) для случая q < 1, получим:

"■"їїГ4*

(2)

Аналогичным способом для скорости второго шара получим:

(3)

Из формул (2) и (3) можно угадать, что скорость N -го шара определяется формулой

(4)

Приведем вывод выражения (4) для скорости N -го шара на основе элементарной математики, воспользовавшись методом математической индукции.

Справедливость формулы (4) мы уже проверяли в случае N = 1 и N = 2. Теперь предположим, что формула (4) справедлива и для N -ого шара, докажем, что она остается верной и в случае {ы +1) -го шара.

Оказывается, для этого достаточно рассмотреть только систему последних двух шаров: N -го и (ы +1) -го.

Для них снова напишем законы сохранения импульса и полной механической энергии.

<{'' тУ[ ■ иу = ((* - т,, - о* + цш* ■ - и.\--і

1 ' (5)

V О А V щ лч:

что формула (4) остается справедливой и в том случае, когда q > 1. При этом каждый шар после столкновения меняет направление и движется в противоположную сторону. А при q = 1 все шары имеют одинаковые массы и из формулы (4) получаем и Л , Действительно, при этом шары обменяются скоростями, и каждый шар, ударяя об следующий, остановится, а последний приобретет скорость и,,.

В следующих двух задачах при стандартном подходе к решению возникает необходимость дифференцировать уравнение для нахождения минимума той или иной физической величины. Но, используя простое соотношение, существующее между средней арифметической и средней геометрической

а + Ь 1—7

двух величин: - > ап. школьники мо-

гут сразу прийти к ответу, избегая дифференцирования и сложных математических выкладок. При этом в упомянутом выше неравенстве левая часть принимает минимальное значение при а = Ь .

ЗАДАЧА 2

Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением а .

При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? [4, с. 14]

Решение

Время движения частицы до остановки равно:

где о' - скорость N -го шара после удара об ( у +1) -ый шар.

После несложных преобразований получим

(6)

получим

откуда, исключая и 2

О.

и*

и.

(7)

При стандартном подходе для определения минимального значения времени мы или будем решать квадратное уравнение относительно 1>, получаемое из отношения (1), а потом с помощью разных рассуждений придем к ответу, или будем дифференцировать уравнение (1) относительно о, и, приравнивая полученное выражение нулю, найдем .

Задачу можно решить проще.

Согласно вышеупомянутому неравенству, имеем

1 ° о \Ь

I - 1 - 2-І —

о а V а

(2)

/ и

Время 1 будет минимальным при ~ ~~ * откуда о = V и ■ /■.

ЗАДАЧА 3

Стержень длиной Ь может вращаться вокруг своей неподвижной оси О. На расстоянии Ь от точки О подвешен груз массой т . Стержень находится в равновесии под действием направленной вверх силы F (рис. 2.). Масса одного метра стержня равна у. Определить, при каком значении Ь величина силы F будет минимальной. Найти минимальное значение силы F.

иногда и определять ряд неизвестных физических характеристик и математических отношений между физическими величинами. Покажем это на конкретных примерах повторения прямолинейного равноускоренного движения.

Изучение в X классе формулы перемеще-

ния ї = и,,1 ■+

а Г

ограничивается ее получе-

нием и использованием; график зависимости 5 = ), который представляет собой парабо-

лу, не строится. При повторении материала целесообразно этот график воспроизвести и проанализировать, воспользовавшись известным из курса алгебры уравнением касательной к кривой в заданной точке и основным свойством касательной, проведенной к параболе [5, с. 35-36].

Рис. 2

Решение

Учитывая, что масса стержня равна у ■ L, а его сила тяжести приложена в его центре, напишем условие равновесия стержня:

■ ■ ■ ■'(!)

2 I, 2

По аналогии решения предыдущих задач, сила F примет минимальное значение при условии.

' тф + М (2)

откуда

(3)

Для нахождения Fmin подставим выражение (3) в формулу (1). Получим

К..= §42тЬ7

Из школьного курса физики нам известно немало случаев, когда графический метод описания физических процессов и явлений позволяет не только более целостно и наглядно показать ход процессов и явлений, а

Рис. 3

Рассмотрим для простоты случай, когда тело движется без начальной скорости, и его начальное положение совпадает с началом системы отсчета (рис. 3). Составим уравнение касательной к параболе в точке М (в момент времени ( ):

S(/) = Л' (/,,) + 5"(г0 )(/ -)

Но ) = аГд /2,Х,(/) = а(, следовательно, .?'(/„ ) = и $(*) = ^ + аф - *„)

^2

или Л ----. что соответствует

уравнению вида: у = кх + Ь.

Согласно свойству касательной, проведенной к параболе, эта прямая пересекает ось ? в точке Т = /0 /2, и из треугольника МТК можно найти

tgce-

Ж

at‘

at‘

КТ 2 (t'-T)

При этом ускорение будет равно

(о $0

Итак, если имеется график перемещения тела без начальной скорости, то можно определить значения скорости и ускорения движения в любой момент времени. Для этого достаточно найти точку параболы, соответствующую выбранному моменту времени, провести к ней касательную или соединить ее с точкой, имеющей абсциссу T = t0/2. (Ускорение можно еще определить, исходя из

того, что касательная всегда пересекает ось ор, г - <я1

динат в точке N с координатой -а-: нужно

найти ординату точки М, построить точку Ы, симметричную L относительно начала координат, и умножить ординаты точки N

2

на - -у).

Т0

Рассмотрим общий случай, когда и0 ф 0. Оказывается, что с помощью простых построений можно найти и среднюю скорость тела за время t0, и начальную скорость и0

сательной, нетрудно доказать, что она, как и в первом случае, пересекается с осью S

at:

в точке Е с координатой - - . Построим точку F, симметричную точке Е относительно начала координат. Соединим точки M и F и продолжим полученную прямую до пересечения с осью t . Учитывая, что ZOLF = ZBMF и FB = u0t0, можем написать, что

<К<Р =

_

v!n

(2)

ВИ /„

Итак, У, -tgip (3)

Сейчас соединим точку М с точкой Е.

J>

Щ-

л MD **+ I

tfi в =--------------*- =

ОП і

аг. и. 4 v

■ ■ ■ (4)

Рис. 4

В любой момент времени t0 скорость, как и в предыдущий задаче, равна тангенсу угла, образованного касательной к параболе в точке М и осью времени t:

о = ща (1)

Используя в данном случае уравнение ка-

Итак, для средней скорости имеем:

4,=** (5)

Так как для равноускоренного движения справедливо следующее вьфажение:

то из выражений (1), (3), (5), (6) следует связь между углами а,(р,в : в„=«£±«£ (7)

Итак, имея график зависимости & = &() равноускоренного прямолинейного движения, можно с помощью простых построений определить значения параметров

' и1 ср1

Подводя итог, можно констатировать, что эффективность организации повторения курса физики можно повысить, если при этом делать акцент на широкое применение ранее приобретенных учащимися знаний по математике при решении физических задач. Это позволит повысить практическую направленность обучения физике, обобщить и систематизировать изученный в разное время материал не только по физике, но и по математике.

Библиографический список

1. Кондратьев А. С., Прияткин Н. А. Современные технологии обучения физике: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. - 324 с.

2. Цатурян А. М. Проявление методологического принципа толерантности при решении

физических задач //Физика в школе и вузе: Международный сборник научных статей. - Выпуск 12. - СПб.: Изд-во БРАН, 2010. - с. 134-139.

3. Кондратьев А. С., Филиппов М. Э. Физические задачи и математическое моделирование реальных процессов: учебно-методическое пособие для учителя. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001. - 111 с.

4. Задачи по физике: учеб. пособие/ И. И. Воробьев, П. И. Зубков, Г. А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко 3-е изд., испр. и доп. - Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 1999. - 370 с.

5. Цатурян А. М. Повторение курса физики с привлечением знаний учащихся по математике. Физика в школе. - М.: Педагогика, 1990. - № 4. -С. 35-36.