CC BY
46Применение математических моделей в количественном анализе финансовых рынков
со см о см
<0
о ш т
X
<
т О X X
Гасымлы Шахрам Шапур оглы
кандидат экономических наук, Санкт-Петербургский университет экономики и финансов, sgasymly@gmail.com
Данная статья исследует применение математических моделей в количественном анализе финансовых рынков. Рынки ценных бумаг представляют собой сложные и динамичные системы, где прогнозирование и управление рисками являются задачами для инвесторов и участников рынка. В статье рассматриваются различные типы финансовых инструментов, включая акции, облигации, фьючерсы и опционы, и объясняется их роль на рынке.
Основное внимание уделено математическим моделям, используемым для анализа и прогнозирования рыночных движений. В частности, обсуждаются стохастические процессы и модели случайного блуждания, которые используются для моделирования финансовых инструментов. Также рассматриваются модели временных рядов, включая модели ARIMA и гармонический анализ, которые позволяют изучать динамику и взаимосвязи между различными переменными на рынке.
В статье представлены модель Марковица и модели, использующие квадратичное программирование, которые служат инструментами для оптимизации портфеля и управления рисками. Рассматриваются модели оценки опционов, включая модель Блэка-Шоулза и модель Гарри-Хольта, которые позволяют оценить справедливую стоимость опциона на основе различных факторов.
В заключение, статья обсуждает применение математических моделей в практике финансового анализа и управления портфелем. Указывается на значимость эмпирического подхода, включающего технический анализ и фундаментальный анализ, для более точного прогнозирования рыночных тенденций.
Ключевые слова: финансовые рынки, математические модели, количественный анализ, акции, облигации, фьючерсы, опционы, стохастические процессы, модели случайного блуждания.
Введение
Финансовые рынки являются сложной и динамичной системой, где участники стремятся прогнозировать и анализировать движения цен активов с целью принятия обоснованных инвестиционных решений. В современной эпохе информационных технологий и глобализации, точность и скорость анализа финансовых рынков имеют критическое значение для достижения конкурентного преимущества.
Одним из подходов, позволяющих обеспечить более точный и эффективный анализ финансовых рынков, является применение математических моделей. Математические модели представляют собой инструменты, которые помогают систематизировать, измерять и прогнозировать движения цен и других финансовых переменных на основе статистических и вероятностных подходов.
Цель данной статьи заключается в рассмотрении применения математических моделей в количественном анализе финансовых рынков. Мы обсудим различные типы финансовых инструментов, такие как акции, облигации, фьючерсы и опционы, и рассмотрим, как математические модели могут быть применены для анализа и прогнозирования ценовых движений на этих рынках.
Обзор финансовых рынков
Финансовые рынки представляют собой сложную структуру, включающую в себя различные типы инструментов: акции, облигации, фьючерсы, опционы и другие [5].
Акции - это ценные бумаги, предоставляющие владельцу право на часть активов и дохода компании, облигации же — долговые инструменты, которые обязывают эмитента выплатить владельцу номинал и фиксированный процент.
Фьючерсы — стандартизованные контракты, обязывающие стороны купить или продать определенный актив по установленной цене в будущем.
Опционы предоставляют право, но не обязательство, купить или продать актив по заранее определенной цене в установленный период.
Сложность финансовых рынков проистекает из их неопределенности, связанной с множеством факторов влияния, таких как геополитические события, макроэкономические индикаторы, политика центральных банков и поведение отдельных участников, что делает предсказание движений рынка трудным заданием, где многие гипотезы могут одновременно применяться или конфликтовать друг с другом. Так создается высокий уровень рыночного риска и неопределенности для инвесторов.
С учетом сложности и неопределенности финансовых рынков, научное исследование фокусируется на разработке и применении математических моделей для анализа и прогнозирования рыночных движений. Модели, основанные на теории вероятности, статистике, машинном обучении и других математических дисциплинах, используются для систематизации, измерения и управления рисками. Использование этих моделей помогает участникам рынка понять взаимосвязь между различными переменными, позволяет прогнозировать потенциальные изменения и делает процесс принятия решений более информированным.
Основные математические модели
В основе многих математических моделей финансовых рынков лежат статистические и вероятностные подходы, включающие стохастические процессы и модели случайного блуждания.
Стохастические процессы представляют собой семейство математических моделей, где системы развиваются со временем с некоторым элементом случайности. Они широко используются для моделирования финансовых инструментов, включая акции, облигации и производные финансовые инструменты. Одной из наиболее известных стохастических моделей является модель Блэка-Шоулза, которая используется для оценки европейских опционов и фьючерсов. Эта модель предполагает, что движение цены базового актива следует геометрическому броуновскому движению с постоянной волатильно-стью [1].
Модели случайного блуждания - подкласс стохастических процессов, которые описывают путь, который меняется случайным образом от одной единицы времени к другой. Эти модели предполагают, что изменения цен акций являются независимыми и идентично распределенными, и что будущие изменения цен непредсказуемы на основе прошлых изменений. Такой подход основан на эффективной гипотезе рынка, согласно которой все известная информация уже отражена в текущих ценах.
Существуют модели временных рядов, которые предоставляют инструменты для систематического изучения динамики и взаимосвязей между различными экономическими переменными. Два широко применяемых подхода включают модели авторегрессионные интегрированные скользящие средние ^1МА) и гармонический анализ.
Модели ARlMA - это класс моделей временных рядов, которые объединяют авторегрессию интеграцию (I) и скользящие средние (МА) для моделирования временных рядов. Авторегрессионный компонент отражает взаимосвязи между текущим значением ряда и его предыдущими значениями, интегрированный компонент учитывает тренды в данных, а компонент скользящего среднего отражает влияние случайных шоков на ряд. Модели ARIMA могут быть эффективно использованы для моделирования и прогнозирования рядов, которые демонстрируют тенденцию или сезонность, и они позволяют анализировать, как шоки влияют на будущие значения ряда [2].
Гармонический анализ, также известный как анализ Фурье, другой ключевой инструментом для анализа временных рядов. Он использует синусы и косинусы для представления временного ряда в частотной области и может быть особенно полезен для изучения периодических явлений, таких как сезонные колебания. В контексте финансовых рынков, гармонический анализ может использоваться для выделения и прогнозирования регулярных паттернов в данных, таких как квартальные или годовые циклы.
Одним из ключевых моментов управления инвестициями является оптимизация портфеля, процесс выбора наилучшего сочетания активов для максимизации ожидаемой доходности и минимизации риска. Здесь стоит выделить два подхода: модель Марковица и модели, использующие квадратичное программирование.
Модель оптимизации портфеля Марковица, или теория портфеля, разработанная Гарри Марковицем в 1952 году, является одной из самых влиятельных моделей в области финансов. Марковиц предложил квантитативный подход к оптимизации портфеля, при котором инвестор стремится максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска или минимизировать риск при заданной ожидаемой доходности. Он достигается путем распределения инвестиций среди
активов таким образом, чтобы их корреляция была как можно ниже, позволяя достигнуть диверсификации риска.
Главным вопросом в модели Марковица является использование ковариации между активами как меры риска. Портфели, которые оптимизируются по Марковицу, называются "эффективными", так как они обеспечивают наибольшую возможную доходность для каждого уровня риска или наименьший риск для каждого уровня доходности.
Модели квадратичного программирования представляют другой подход к оптимизации портфеля. В общем виде задача квадратичного программирования может быть сформулирована как минимизация квадратичной функции (например, риска портфеля) при условии линейных ограничений (например, бюджетных ограничений или ограничений на долю актива в портфеле), что позволяет учесть ряд дополнительных факторов, таких как транзакционные издержки или ограничения на короткие продажи.
Модели оценки опционов предоставляют квантитативный метод для определения справедливой стоимости финансового контракта, который предоставляет право, но не обязательство, купить или продать определенный актив по заранее определенной цене в будущем. Две наиболее известные модели в этой области - модель Блэка-Шоулза и модель Гарри-Хольта.
Модель Блэка-Шоулза, предложенная в 1973 году, является первой и, возможно, наиболее известной моделью оценки опционов. Эта модель использует подход Броуновского движения для моделирования изменения цен активов и предполагает, что волатильность актива постоянна и известна заранее. В результате модель Блэка-Шоулза предлагает замкнутую формулу для оценки стоимости опциона, что делает ее простой в использовании и легко интерпретируемой.
Модель Гарри-Хольта представляет собой развитие модели Блэка-Шоулза и предполагает, что волатильность актива изменяется со временем. Это может быть более реалистичным предположением на многих рынках, где волатильность активов часто изменяется. Модель Гарри-Хольта использует стохастический процесс для моделирования волатильности, что позволяет учитывать изменчивость рынка и оценивать опционы более точно в некоторых случаях.
Обе модели предоставляют мощные инструменты для оценки опционов, но они основываются на ряде предположений, которые могут не всегда выполняться. Например, модель Блэка-Шоулза предполагает, что нет транзакционных издержек или налогов, что активы можно бесконечно дробить, и что нет ограничений на короткие продажи. Модель Гарри-Хольта, хотя и предполагает изменяющуюся волатильность, все же делает ряд предположений о форме этой волатильности.
Применение математических моделей в практике
В финансовом менеджменте преимущественно используются математические модели, которые описывают явления и процессы с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Финансовое моделирование включает в себя три основных этапа: изучение теоретических аспектов и эмпирических характеристик изучаемого финансового явления или процесса, определение математических методов для обработки построенной финансовой модели и исследование результатов математической обработки.
В исследовании А.Р. Мусин была разработана прогностическая экономико-математическая модель, предназначенная для прогнозирования динамики на финансовых рынках [3]. Разработанная модель интегрирует элементы как эконометри-ческого исчисления, так и технического анализа, позволяя учитывать не только статистические закономерности, но и поведенческие модели участников рынка.
X X
о
го А с.
X
го т
о
2 О
м
Сл>
fO CS
о
CS
to
о ш m
X
<
m О X X
Ключевым объектом для моделирования был выбран рынок обменного курса фунта стерлингов к доллару США (GBPUSD) за 2017 год. В рамках разработки и оценки модели использовался классический фильтр Калмана, дополненный нейронной сетью. Этот инструмент оценивания был выбран исходя из его эффективности при работе с нестационарными зашумленными временными рядами финансового рынка.
В результате применения разработанной модели было продемонстрировано ее превосходство над моделью случайного блуждания в плане прогностических способностей, особенно в отношении точности прогноза направления движения цен. Эти выводы подтверждают потенциальную ценность данной модели как для теоретического исследования процессов на финансовых рынках, так и для практического применения профессиональными участниками рынка.
В качестве конкретного примера применения моделирования временных рядов в финансовом контексте можно привести в пример исследование А.В. Пилюгиной и А.А. Бойко, в котором использовалась модель ARIMA [4]. Данный метод был применен для краткосрочного прогнозирования среднемесячного курса доллара США к российскому рублю. Для выполнения этого анализа, была проведена процедура тестирования на стационарность с использованием критерия Дики-Фуллера, а затем применена операция дифференцирования для преобразования исходного временного ряда в стационарный. После этого, была применена модель ARIMA для прогнозирования будущих значений временного ряда.
Одним из подходов к моделированию финансовых рынков является моделирование поведения участников рынка. Этот подход предполагает анализ и воспроизведение поведенческих стратегий участников торгов, которые определяют динамику цен на финансовых рынках. Но данный подход сталкивается с серьезными сложностями, связанными с высокой степенью разнообразия поведенческих стратегий участников, что порождает значительные сложности в достижении удовлетворительной точности прогнозирования [6].
В свете этих трудностей, в научной практике получило распространение применение эмпирического подхода. Этот подход основан на использовании исторических данных о ценах для построения моделей финансового рынка, позволяя учитывать реальные паттерны и тенденции, что улучшает точность прогнозов. В рамках данного подхода применяется технический анализ, который ориентирован на исторические данные о ценах, и фундаментальный анализ, принимающий во внимание макроэкономические данные и другие внешние факторы, такие как политические события или процентные ставки.
Сегодня существует большое множество моделей и теорий финансовых рынков, каждая из которых акцентирует внимание на определенных аспектах их функционирования. В частности, некоторые из этих моделей и теорий представляют значительный интерес для ученых и практиков, поскольку они основываются на эмпирических наблюдениях и включают инновационные элементы, обладающие ценностью для прогнозирования тенденций на рынках.
Литература
1. Господарчук С.А. Анализ современных подходов к моделированию финансовых рынков // Финансы и кредит. 2006. №14 (218). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-sovremennyh-podhodov-k-modelirovaniyu-finansovyh-rynkov (дата обращения: 27.06.2023).
2. Кузякин Д.А. Основные факторы, влияющие на формирование цен на финансовые активы рынка финансовых ресурсов, и их значение в современной экономике // Вестник ТГУ.
2009. №6. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osnovnye-faktory-vliyayuschie-na-formirovanie-tsen-na-finansovye-aktivy-rynka-finansovyh-resursov-i-ih-znachenie-v-sovremennoy-ekonomike (дата обращения: 27.06.2023).
3. Мусин А.Р. Экономико-математическая модель прогнозирования динамики финансового рынка // Статистика и экономика. 2018. №4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonomiko-matematicheskaya-model-prognozirovaniya-dinamiki-finansovogo-rynka (дата обращения: 27.06.2023).
4. Пилюгина А.В., Бойко А.А. Использование моделей arima для прогнозирования валютного курса // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2015. №4 (32). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-modeley-arima-dlya-prognozirovaniya-valyutnogo-kursa (дата обращения: 27.06.2023).
5. Суэтин А.А. Финансовые рынки в мировой экономике. М., 2008. С. 51.
6. Modeling and Forecasting Realized Volatility / T. Andersen, T. Bollerslev, F. Diebold, P. Labys. — Evanston: Northwestern University, 2002.
Application of Mathematical Models in Quantitative Analysis of Financial
Markets Gasymly Shahram Shapur
St. Petersburg University of Economics and Finance
JEL classification: C01, C02, C1, C4, C5, C6, C8_
This article explores the application of mathematical models in quantitative analysis of financial markets. Securities markets are complex and dynamic systems, where forecasting and risk management are crucial tasks for investors and market participants. The article examines various types of financial instruments, including stocks, bonds, futures, and options, and explains their role in the market.
The main focus is on mathematical models used for analyzing and predicting market movements. Specifically, stochastic processes and random walk models are discussed, which are employed for modeling financial instruments. The article also examines time series models, including ARIMA models and harmonic analysis, which allow studying the dynamics and interrelationships among different variables in the market. The article presents the Markowitz model and models utilizing quadratic programming, which serve as tools for portfolio optimization and risk management. Models for option valuation are discussed, including the Black-Scholes model and the Heston model, enabling the estimation of fair option prices based on various factors.
In conclusion, the article discusses the application of mathematical models in the practice of financial analysis and portfolio management. The importance of an empirical approach, incorporating technical analysis and fundamental analysis, is highlighted for more accurate market trend forecasting. Keywords: financial markets, mathematical models, quantitative analysis, stocks,
bonds, futures, options, stochastic processes, random walk models. References
1. Hospodarchuk, S.A. Analysis of Modern Approaches to Financial Market Modeling // Finance and Credit. 2006. No. 14 (218). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-sovremennyh-podhodov-k-modelirovaniyu-finansovyh-rynkov (accessed: June 27, 2023).
2. Kuzyakin, D.A. Key Factors Influencing the Formation of Prices for Financial Assets in the Financial Resources Market and Their Importance in the Modern Economy // Bulletin of TGU. 2009. No. 6. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/osnovnye-faktory-vliyayuschie-na-formirovanie-tsen-na-finansovye-aktivy-rynka-finansovyh-resursov-i-ih-znachenie-v-sovremennoy-ekonomike (accessed: June 27, 2023).
3. Musin, A.R. Econometric Mathematical Model for Forecasting Financial Market Dynamics // Statistics and Economics. 2018. No. 4. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ekonomiko-matematicheskaya-model-prognozirovaniya-dinamiki-finansovogo-rynka (accessed: June 27, 2023).
4. Pilyugina, A.V., Boyko, A.A. Using ARIMA Models for Currency Exchange Rate Forecasting // Caspian Journal: Management and High Technologies. 2015. No. 4 (32). URL: https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-modeley-arima-dlya-prognozirovaniya-valyutnogo-kursa (accessed: June 27, 2023).
5. Suetin, A.A. Financial Markets in the World Economy. Moscow, 2008. p. 51.
6. Andersen, T., Bollerslev, T., Diebold, F., Labys, P. Modeling and Forecasting Realized Volatility. Evanston: Northwestern University, 2002.
