CC BY
44
Применение математических моделей при разработке строительно-дорожных, горных машин и оборудования
М.А. Перепелкин, канд. техн. наук, доцент, ФГБОУ ВО «Норильский государственный индустриальный институт»_
В настоящее время автоматизация научно-исследовательских и проектных работ стала основным направлением в развитии научно-технического прогресса. Широкое внедрение системы автоматизированного проектирования и применение ее в практической деятельности способствуют созданию более совершенных и универсальных машин [1].
Математическое моделирование и система автоматизированного проектирования (САПР) - это довольно мощные средства выработки научно обоснованных решений, которые обеспечивают точность практических решений и освобождают специалистов от долгой рутинной работы (к примеру, в 1960-е годы на решение подобных задач уходило до нескольких месяцев).
Математическое моделирование на ПК и САПР позволяют исследовать возможности проектируе-мой машины, изучить влияние различных факторов и параметров, не прибегая к созданию и испытанию реальных образцов машины, оценить эффективность многочисленных вариантов и выбрать из них оптимальный [2].
Следует дать понятие «параметр»: это величина, являющаяся существенной характеристикой системы, технического устройства, явления или процесса. Вопрос определения параметров конструкции строительно-дорожных, горных машин и оборудования представляется принципиальным для процесса проектирования современных образцов машин, правильное решение которого обусловливает в будущем эффективность всей экономики.
Параметры, знание которых необходимо для оценки производственного потенциала технического средства, называются основными. Как правило, к основным параметрам технического средства относятся: один из размеров рабочего органа, масса и мощность силовой установки.
Основным параметром, характеризующим размер рабочего органа, для экскаватора, скрепера, погрузчика является емкость ковша; для бульдозера, автогрейдера - длина отвала. Соответствие размеров рабочего органа массе, мощности и тяговым характеристикам машины однозначно определяет ее эффективность [3].
Практика проектирования и создания нового технического средства определила необходимость проведения специального исследования, направленного на обоснование параметров конструкции технического средства при разработке технического задания на проектирование, когда определяют концепцию и назначение будущей машины.
Применение математических методов и моделей к расчету строительно-дорожных, горных машин и оборудования по-
зволяет найти закономерности в случайных связях между параметрами машин, интерпретировать эти связи с математическими выражениями, объективно установить связи между факторами, влияющими на изменение параметров конструкции строительно-дорожных машин, усреднить и нейтрализовать влияние малозначительных факторов, учесть опыт проектирования и выпуска строительно-дорожной техники за кратчайший промежуток времени, кодировать промежуток времени, кодировать большие объемы информации небольшим числом уравнений регрессии.
Наиболее интересным и популярным в практике проектирования строительно-дорожных, горных машин и оборудования является метод определения параметров конструкций машин на основе их оптимизации по одному критерию, наилучшим образом соответствующему поставленной задаче проектирования. Вопрос обоснования параметров конструкции машин в этом методе сводится прежде всего к выбору критерия, количественное значение которого позволяет оценить степень рациональности искомых значений параметров.
Несмотря на существенные различия в конечных целях исследований указанных работ, можно отметить общность следующих методических положений:
- первым этапом определения параметров конструкции машин является установление необходимой номенклатуры параметров;
- стремление создания математической модели взаимосвязи параметров конструкции машины с показателем, приводящим удельные затраты, на основе которой проводится процесс оптимизации параметров;
- использование уравнений регрессии для определения составляющих затрат в зависимости от параметров конструкции машины;
- использование принципов системного анализа в процессе формирования технико-экономической модели определения показателей удельных приведенных затрат [3].
Оптимальное проектирование строительно-дорожных, горных машин и оборудования на основе математического моделирования на ПК и с использованием САПР позволяет значительно повысить производительность труда проектировщиков при оптимизации параметров создаваемых машин, а также позволяет резко поднять степень обоснованности вырабатываемых решений [1].
Внедрение САПР в процесс проектирования оказывает заметное влияние на его содержание и организацию. С внедрением САПР развивается тенденция использования имитационных моделей на ЭВМ вместо практикуемого в настоящее время физического эксперимента [1, 2].
Исследование и разработка строительно-дорожных, горных машин и оборудования включают рассмотрение следующих вопросов:
- синтеза системы объектов, который состоит в выборе параметров, структуры и условия их применения;
- анализа системы, заключающейся в изучении свойств, в зависимости от значений основных параметров и структуры [1].
Одним из эффективных способов реализации указанных положений является математическое моделирование технических объектов на ПК. Математическое моделирование есть процесс получения полезной информации об объекте на ос-
нове использования математической модели и оперирование ее математическими методами. Математическая модель, как и любая другая модель (например, физическая), является идеализацией реального объекта на основе его формализации, т.е. выделения его наиболее существенных черт и средств, отражающих его параметры и структуру. Особенностью математической модели является то, что она представляет собой совокупность элементов математического вида, называемых переменными, с указанием связей в отношениях между ними, выражаемых математическими зависимостями, адекватно отражающими свойства объекта.
Разработка математической модели - важный этап математического моделирования строительно-дорожных, горных машин и оборудования [2].
Строительно-дорожные и горные машины, как объект проектирования, имеют сходную структуру и состоят из многих компонентов: деталей, сборочных единиц, агрегатов и т.п. Такое расчленение машин на составные элементы позволяет вести раздельное проектирование с последующим объединением в систему [1, 2].
Величины, характеризующие свойства системы, элементов системы и внешней среды, называют соответственно выходными, внутренними и внешними параметрами. Например, для землеройной машины выходными параметрами являются скорость движения и рабочее усилие, развиваемое рабочим органом, параметрами рабочего органа - емкость ковша или длина отвала и прочее. Внутренние параметры - это масса рабочих органов, КПД трансмиссии, тип привода рабочих органов, усилие на гидроцилиндре управления рабочим органом; внешние параметры - характеристики грунта, условия его забора и отгрузки [1].
Триада теории познания (от созерцания к абстрактному мышлению и в дальнейшем к практике) в методологии науки превращается в три раздела научной деятельности: индукцию, дедукцию и проверку (верификацию).
Использование математической модели для расчета состояния объекта при изменении переменных является полной аналогией физического эксперимента.
Натуральный эксперимент проводится большей частью для решения определенно поставленной задачи, предлагающей оптимизацию какого-либо свойства, признака состояния объекта путем количественной их характеристики (достижения наилучшего состояния).
Все величины, которые определяют состояние исследуемого объекта, в теории эксперимента носят название факторов. Изменение факторов меняет результат их воздействия, а значит, влияет на оптимизируемую величину. Каждый из факторов характеризуется областью применения, т.е. совокупностью значений, которые он может принимать в эксперименте либо по своей физической природе, либо из-за ограничений, наложенных задачей исследования. В зависимости от природы объекта область применения может быть непрерывной или дискретной. Факторы разделяются на количественные и качественные, последние могут быть переведены в разряд дискретных количественных.
Таким образом, оптимизационная задача (параметр оптимизации) соответствует какой-то одной из выходных переменных управляемой системы или их комплексу, а факторы - входным переменным [4].
Разделение факторов на значащие и малозначащие производится перед экспериментами по результатам ранее проведенных исследований (при изучении зависимости параметра оптимизации от одного фактора). Одни факторы в процессе опыта выступают в роли управляемых (их уровни от
опыта к опыту могут быть изменены), величину других экспериментатор по тем или иным причинам изменять не в силах, хотя они от этого не перестают быть значащими.
Возможность варьировать уровнями факторов характеризует активный эксперимент. Все значимые неуправляемые факторы должны поддерживаться на определенном уровне специальными способами. Если этого не удается сделать, то принимаются меры, направленные на снижение влияния некоторых их колебаний на результаты опыта.
В современных физических экспериментах со сложными объектами и процессами, протекающими в различных условиях в небольшие промежутки времени, каждое измерение любой величины (температуры, плотности, деформации, скорости, ускорения, силы) и создание одинаковых условий опыта связаны с большими затратами труда. Зачастую эту информацию удается получить косвенными измерениями. Точность такой оценки невелика.
Вычислительный эксперимент не имеет такого недостатка. ЭВМ в процессе расчета позволяет получить любую информацию, интересующую исследователя, при четко заданных уровнях входных переменных (факторов). Точность такой информации определяется достоверностью самой модели. Поэтому в прикладных исследованиях никогда не начинают исследование модели по написанному алгоритму. Этому всегда предшествует период отладки программы путем проведения тестовых расчетов, позволяющих сравнением известных результатов опытов (например, однофакторных) и соответствующих им расчетов исправить ошибки, опечатки при создании алгоритма и написании машиной программы.
В предварительных расчетах оценивается также и сама математическая модель: выясняется, насколько она адекватна классу описываемых явлений. Подчеркнем, что они могут производиться по достаточно надежным измерениям в области существования, где не встают еще в полной мере трудности натурного опыта, о котором шла речь выше. Сопоставление таких данных помогает составителям уточнить математическую модель, создать уверенность в правильности предсказаний поведения объекта, которые будут получены для более сложных условий.
Только после длительной доводочной работы по модели и машинному алгоритму проводится сам эксперимент - с помощью математического моделирования предсказывается поведение исследуемого объекта в условиях, где эксперименты пока не проводились или где они вовсе невозможны [4].
Однако не во всем преимущество оказывается на стороне вычислительного эксперимента. В тех случаях, когда изучаются явления, объекты, для которых отсутствуют зафиксированные закономерности параметров оптимизации (выходных переменных) от действующих факторов может быть установлена натурным экспериментом. Взаимоотношения натурного и вычислительного экспериментов обусловли-ва-ются теми сложными отношениями, которые определяются теорией познания. Источник всякого знания - практика (натурный опыт), опираясь на которую с помощью абстрактного мышления (математического моделирования и вычислительного эксперимента), можно получить новые знания-следствия, не являющиеся очевидными. Верификация этих знаний обогащает нашу практическую жизнь. Выход за пределы действия уже открытых законов не позволяет только за счет абстрактного мышления раздвинуть границы непознанного и требует накопления опытных данных для создания фундамента, на котором начнется новый виток роста научных знаний. Правда, на каждом новом этапе начало его является непростым наблюдением, а слож-
ным соединением опыта (эксперимента) и абстрактного мышления, дающим возможность сформулировать задачу оригинального натурного эксперимента.
Вычислительный эксперимент не только может заменить, расширить возможность натурного эксперимента и улучшить условия его проведения, но и дает в руки исследователя инструмент для проведения теоретических исследований в прикладных задачах, в которых решение аналитическим методом невозможно из-за нелинейности.
Вычислительный эксперимент - не рутинная работа: создал программу, сдал на расчет и получил результаты. Это исследовательская работа, поиск, который должен выполняться по стратегической программе. Фактически в процессе расчетов осуществляется диалог «человек - машина».
Решение исходной задачи, постановка которой заканчивается составлением математической модели в алгоритмической форме, отыскивается в пространстве, размерность которого определяется количеством входных переменных (значащих факторов). В том случае, если это физическая задача - в пространственно-временной области в каждой точке.
Какова бы ни была область существования переменных (факторов), вычислительный эксперимент, как и натурный, не позволяют определить выходные переменные (параметр оптимизации) во всех ее точках, так как их число не ограничено (в теории множеств их число носит название контини-ума). Приходится ограничиваться расчетом математической модели в конечном числе точек области.
Множество точек области существования в пространстве, в котором происходит определение выходных переменных модели, называется сеткой (опытов), а сами точки - узлами. При каждом исследовании математических моделей решается еще одна практическая задача: каким образом непрерывная область определения переменных должна заменяться дискретным набором точек (сеткой)? На первый взгляд кажется, что повышенная густота сетки даст более представительное решение. Однако вместе с этим растут затраты машинного времени, сокращение которого (а значит и стоимость этой части вычислительного эксперимента) возможно только путем уменьшения количества узлов в сетке [4].
Такая ситуация не является особенностью вычислительного эксперимента. Она присуща и натуральному эксперименту. Экспериментаторы давно заметили, что слишком редкая сетка может пропустить все «особенные» точки, а слишком густая окажется неподъемной из-за всякого «мусора». Результатом их рассуждений о выборе стратегии эксперимента (теперь можно сказать любого - натурного и вычислительного) стал новый раздел науки - «Математическая теория эксперимента», появлением которого мы обязаны Р. Фишеру, впервые поставившему задачу оптимизации опытного дела в 1918 г. В наиболее доступной форме положения этой науки изложены в книге Ю.П. Адлера, Е.В. Марковой и Ю.В. Грановского «Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий» (М: Наука, 1976).
В зависимости от задачи исследования свойств объекта и наличия доопытной информации различаются экспериментальные планы:
1) дисперсионного анализа;
2) отсеивающего эксперимента;
3) многофакторного анализа;
4) изучения поверхности отклика;
5) динамических задач планирования;
6) изучения механизма явлений;
7) построения диаграмм состав-свойство, состав-состояние.
Планы первой, второй, шестой и седьмой групп - это планы натурного эксперимента. Планы пятой группы относятся как к натурному, так и к эволюционному моделированию (синтезу натурного и вычислительного экспериментов), но, как уже отмечалось, каждая задача, входящая в этот класс, требует специфического подхода и отыскания своих методов решения. Общих положений для них еще не выработано.
Для планов эксперимента по пунктам 3 и 4 в принципе безразлично, о каком виде эксперимента идет речь - вычислительном или натурном.
Исходная позиция при проведении экспериментов при этом равная: для второго может отсутствовать всякая априорная (доопытная) информация о закономерностях изучаемых явлений, состояний объекта; для первого, как правило, физическая (или какая-либо другая природная сущность) картина изучена и даже описана математически (может быть в пространстве непрерывных состояний), т.е. для него отсутствует информативная неопределенность [4].
Конечный результат того и другого эксперимента оказывается одинаковым: мы получаем множество дискретных точек. И если говорить о возможностях представления описания рассматриваемого объекта в зависимости от значащих переменных факторов в аналитической форме, то создается информативная неопределенность с отсутствием сведений о структуре искомой функции. Возникает задача составления аппроксимационной математической модели. Планы многофакторного анализа и изучения поверхности отклика позволяют такую аппроксимацию в виде регрессионных математических моделей получить.
При исследовании математических моделей на равных его этапах возникает необходимость принятия решения - выбора управляющих параметров, определяющих приемлемость для исследователя синтезируемого на базе этой модели объекта. Для обоснования решения принимаются в расчет экономические, технические, научные, социальные, экологические, эргономические факторы, часто противоречащие друг другу. Выбрать приемлемое (правильное) решение означает установить способ предпочтения одного варианта другому с учетом всех значащих факторов. Задача такого выбора называется оптимизацией объекта. Величины, по которым производится оценка достигаемой ценности объекта, считаются критериями оптимальности.
Понятие оптимальности в технике, например, означает: лучшая по конструкции из возможных при названных (оговоренных) обстоятельствах. При этом выбранный вариант может превосходить остальные по одним показателям и уступать им по другим, поэтому о таком оптимальном варианте говорят как о компромиссном для достижения поставленной цели [4].
Если удается выделить один параметр, который надежно оценивает свойства объекта, то он, являющийся в этом случае частным критерием оптимальности, может быть принят в качестве целевой функции.
При оптимизации по частному критерию на одни выходные переменные накладываются ограничения, определяемые возможностью их реализации, а другие берутся на уровне полученных при осуществлении целевой функции.
Однокритериальные задачи составляют наиболее простой класс оптимизационных задач, способ решений которых хорошо разработан.
Большинство оптимизационных задач являются многокритериальными, в которых нельзя добиться желаемых (минимальных или максимальных) значений целевых функций по каждому критерию. Компромиссное решение связано с
выбором для каждой выходной величины не максимально (минимально) возможного, определенного его целевой функцией, а такого, при котором другие значащие характеристики тоже будут иметь приемлемое решение.
Составной критерий, определяющий уровни входящих в него частных критериев и служащий для оценки оптимальности решения, называется обобщенным (интегральным или комплексным) критерием.
Если обобщенный критерий выбирается на основе функционирования объекта (системы), то он объективен. Отыскание объективного обобщенного критерия не только сложно, но и иногда совсем невозможно. В таком случае пользуются формальным объединением частных критериев в обобщенный критерий, который теперь становится субъективным.
Критерий оптимизации, не учитывающий возможного разброса характеристик, называется детерминированным, а учитывающий его - статистическим. Статистический критерий оптимальности в большей мере отражает качество объекта.
Обобщенные критерии разделяются по способу составления на аддитивные, мультипликативные и минимаксные.
В аддитивных критериях целевая функция является результатом сложения нормированных частных критериев, отношений реальных значений критериев к их нормирующим величинам. Нормирующая величина (какая-то фиксированная, в долях которой ведется оценка переменной) должна быть логично обоснованной. Выбор нормирующих значений - довольно сложная операция, поэтому он определяется конкретными условиями решаемой задачи и всегда несет в себе отпечаток субъективности.
Значащие факторы по степени влияния на ценностные показатели объекта - неодинаковы, поэтому аддитивные
критерии должны учитывать весовой коэффициент каждого из них.
Определение весовых коэффициентов осуществляется часто по формальным признакам или путем экспертных оценок (в частности, тоже представляющих собой математическую модель обработки мнений многих специалистов).
Аддитивный критерий не отражает функциональной роли частных критериев объекта и является формальным математическим приемом. Большое отступление одного из критериев от нормирующего уровня может быть в нем компенсировано приближением другого к своему нормирующему значению, хотя это в крайних случаях может привести к полному абсурду по физическому смыслу рассматриваемого объекта. Для устранения возможного появления нелепости при пользовании аддитивным критерием вводятся ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов [4].
Достоверность экспертизы в первую очередь определяется численным составом экспертной группы, уровнем компетентности экспертов, компетентностью в формулировке вопросов. На индивидуальные оценки влияют и случайные факторы (загруженность, самочувствие, обстановка и др.).
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ:_
1. Евтюкова СЛ. Построение математическихмоделей и систем автоматизированного проектирования подъёмно-транспортных и строителъно-дорожных машин [Текст]: учеб. пособие / САЕвтюкова, АА. Овчаров, И£. Замаров. - СПб: СПбГАСУ, 2011'.-44с.
2. Перепелкин М.А. Сквозное автоматизированное проектирование и изготовление деталей для -горной техники и оборудования [Текст]: М.А. Перепелкин, С.В. Перепелкина // Горная промышленность. - 2017.-МЗ.-С. 94-97
3. Доценко АМ. Машины для земляных работ [Текст]: учеб. для вузов / АМ.Доценко, Г.П Карасев, Г.В. Кустарев, КК. Шестопалов. - М.: Издательский дом «БАСТЕТ», 2012. - 688с.
4. Кузнецов П.Г. Введение в курс .математических .моделей [Текст]: учеб. пособие / Н.Г. Кузнецов.- Волгоград: Типография Волгоградского сельскохозяйственного института, 1992. - 74 с.
