CC BY
1597
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ДИССЕРТАЦИОННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
СТАРИКОВА Л.Д.
В статье рассматриваются возможности применения математических методов в педагогических исследованиях, позволяющих количественно оценить полученные экспериментальные данные в ходе диссертационного исследования. Рассматриваются поэлементный и пооперационный методы анализа экспериментальных величин, шкалы измерений, методика расчета среднего арифметического и стандартного отклонения полученной в ходе исследования величины.
The article discusses the possibility of applying mathematical methods in educational research, which allows to quantify the experimental data obtained in the course of a dissertation research. We consider step-by-step and paced methods of analysis of experimental values, scales of measurement, design procedure of calculating the arithmetic mean and standard deviation obtained in the course of the study of variables.
Применение в педагогических исследованиях математических методов - это возможность находить для некоторых педагогических явлений не только качественные, но и количественные характеристики. Для педагогической науки это имеет большое значение, так как очень многие процессы обучения и воспитания характеризуются высокой вариативностью в зависимости и от субъективных, и объективных факторов.
В настоящее время для анализа результатов педагогического эксперимента широко используются методы математической статистики. Кибернетические и математические методы позволяют подойти к решению одной из сложнейших задач педагогики - количественной оценке педагогических явлений. Часто лишь обработка количественных данных и полученные при этом выводы могут объективно доказать или опровергнуть выдвинутую гипотезу.
СПЕЦИФИКА ПРИМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ МЕТОДОВ
В педагогической литературе предлагается ряд методик статистической обработки данных педагогического эксперимента (Е.Г. Булатова, В.П. Давыдов, Л.Б. Ительсон, Ю.З. Кушнер, А.А. Кыверялг, Б.Е. Стариченко и др.). При использовании методов математической статистики следует иметь в виду, что сама статистика не раскрывает сущности явления и не может объяснить причины возникающих различий между отдельными сторонами явления [1, 2]. Например, анализ результатов проведенного исследования показал, что используемый метод обучения дал более высокие результаты по сравнению с ранее зафиксированными. Однако данные вычисления не могут дать ответ на вопрос, почему новый метод лучше прежнего.
Статистические методы в педагогике используются лишь для количественной характеристики явлений [3, 4]. Для того чтобы сделать выводы и заключения, необходим качественный анализ. Таким образом, проникновение в психолого-педагогическую науку и практику количественных методов затрудняется следующими обстоятельствами:
- неразработанностью и часто отсутствием адекватных методов и средств количественной оценки психолого-педагогических параметров;
- большой сложностью педагогических процессов.
Основную методическую проблему при сборе информации в педагогическом исследовании представляет количественная оценка качеств изучаемых объектов и процессов или их измерение.
Если в точных науках измерение сводится к сравнению данной величины с однородной ей величиной, принятой за единицу (эталоном), то для психолого-педагогических параметров таких эталонов не имеется. Более того, большинство психолого-педагогических параметров
(признаки, качества, свойства, факторы) являются скрытыми (латентными), о которых можно судить лишь косвенно, по их проявлениям, т.е. весьма приближенно.
Существуют две разновидности статистических методов или тестов, позволяющих делать обобщение или вычислять степень корреляции: параметрические и непараметрические методы [3, 5]. Наиболее широко применяются параметрические методы, в которых используются такие параметры, как среднее значение или дисперсия данных. Непараметрические методы используются в том случае, когда исследователь имеет дело с очень малыми выборками или с качественными данными; эти методы очень просты с точки зрения как расчетов, так и применения [6].
Перечислим некоторые основные понятия, необходимые для дальнейшего рассмотрения математико-статистических м етодов.
Популяция и выборка. Одна из задач статистики состоит в том, чтобы анализировать данные, полученные на части популяции с целью сделать выводы относительно популяции в целом.
Популяция в статистике не обязательно означает какую-либо группу людей или естественное сообщество; этот термин относится ко всем существам или предметам, образующим общую изучаемую совокупность, будь то атомы или студенты, посещающие тот или иной кинотеатр.
Выборка - это небольшое количество элементов, отобранных с помощью научных методов так, чтобы она была репрезентативной, то есть отражала популяцию в целом.
Данные и их разновидности. Данные в статистике - это основные элементы, подлежащие анализу. Данными могут быть какие-то количественные результаты, свойства, присущие определенным членам популяции, место в той или иной последовательности, т. е. любая информация, которая может быть классифицирована или разбита на категории с целью обработки.
Построение распределения - это разделение первичных данных, полученных при выборке, на классы или категории с целью получить обобщенную упорядоченную картину, позволяющую их анализировать.
Существуют три типа данных:
1) количественные данные, получаемые при измерениях (например, данные о температуре, времени, результатах тестирования и т.п.). Их можно распределить по шкале с равными интервалами;
2) порядковые данные, соответствующие местам этих элементов в последовательности, полученной при их расположении в возрастающем порядке (1-й.....10-й....104-й; А, Б, В,...);
3) качественные данные, представляющие собой какие-то свойства элементов выборки или популяции. Их нельзя измерить, и единственной их количественной оценкой служит частота встречаемости.
Из всех этих типов данных только количественные данные можно анализировать с помощью методов, в основе которых лежат параметры. Такие, например, как средняя арифметическая. Но даже к количественным данным такие методы можно применять лишь в том случае, если число этих данных достаточно, чтобы проявилось нормальное распределение.
Итак, для использования параметрических методов необходимы три основных условия: данные должны быть количественными; число данных должно быть достаточным; распределение данных - нормальным.
Во всех остальных случаях рекомендуется использовать непараметрические методы.
Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.
В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы, выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых и необходимо определить из опыта.
Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие зависимости называют эмпирическими.
Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента не имели ошибок.
Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки результатов эксперимента является не нахождение истинного характера зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо константы, а представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы с оценкой возможной погрешности ее использования.
ПОЭЛЕМЕНТНЫЙ И ПООПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
Суть поэлементного метода анализа состоит в том, что исследователь перед проведением анкетного опроса, проверочной работы определяет требования, которым должно удовлетворять усвоение знаний студентами к моменту окончания исследования.
После выполнения работы оформляется протокол, в котором указываются элементы знаний, подлежащие усвоению отдельным студентом.
На основе протокола вычисляются коэффициенты полноты усвоения студентами содержания и объема тех или иных знаний (понятий, качеств, свойств и т.д.).
В качестве количественных показателей усвоения выбранных элементов знаний можно взять коэффициенты, предлагаемые А.В. Усовой [7].
Коэффициент полноты усвоения содержания выбранного элемента определяется соотношением:
N
I Li
L =
LN
где Ь - количество существенных признаков, усвоенных нм студентом; L - количество признаков, подлежащих усвоению; N - количество студентов в группе.
Коэффициент полноты усвоения объема выбранного элемента определяется соотношением:
N
_ IР
Р = ^=1
PN
где - полнота усвоения объема 1-м студентом; - объем, подлежащий усвоению на данном этапе; N - количество студентов в группе.
Пооперационный анализ дает возможность выявить, насколько полно студентами усвоены операции, из которых складывается та или иная деятельность, например, решение экономических задач, проведение воспитательного мероприятия и т.д. Для этого в протоколе анализа указываются все действия и операции, подлежащие выполнению, а затем указываются те, которые выполнил конкретный студент в отдельности.
Основными операциями в решении задач являются следующие: ориентирование, планирование, исполнение, контроль. Содержание операций зависит от типов и видов решаемых задач.
Протокол по овладению умением решать задачи оформляется аналогично. Затем подсчитывается коэффициент сформированности умения выделять содержательные элементы в операциях по решению задач по следующей формуле:
N
I К*
Р = *=1
т
где К - число верно выполненных операций нм студентом; К - число элементов, которые должны быть выполнены; N - количество студентов, выполняющих работу.
На всех стадиях педагогического исследования обработка фактического материала составляет сердцевину научного поиска. Следует, однако, заметить, что каким бы искусным аппаратом для этого ни обладал автор научной работы, решающим остается достаточный набор фактического материала, его полнота, репрезентативность. И напротив, если исследователь не способен обработать накопленную информацию, то никакое её обилие и разнообразие не дают возможности надлежащим образом подготовить полученные экспериментальные материалы для следующего шага - интерпретации.
ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ
При выборе метода математической обработки результатов эксперимента учитывается вид измерения. В педагогическом эксперименте применяются четыре основных способа измерения, связанные с различными правилами, называемые измерительными шкалами. Согласно существующей в настоящее время терминологии их называют шкалами наименований, порядка, интервалов и отношений. Измерения, выполненные по первым двум шкалам, являются качественными, а измерения, получаемые с помощью двух последних шкал, - количественными.
Шкала наименований (номинальная, номинативная) классифицирует объекты по названию (лат. потеп - имя, название), например фамилии студентов, названия групп и т.п. Этим признакам присваиваются определенные числа (код), что создает удобства при дальнейшей обработке экспериментальных данных. Никакого количественного соотношения между объектами в номинальной шкале нет. Эта шкала позволяет подсчитывать частоты встречаемости разных наименований. Единица измерения - количество наблюдений (испытуемых, реакций, выборов и т.п.).
Измерение по этой шкале позволяет использовать один из методов проверки статистических гипотез - критерий Пирсона X2 (хи-квадрат). Такие данные могут быть обработаны с помощью биноминального критерия т и углового преобразования Фишера.
В порядковой или ранговой шкале объекты располагаются в последовательный ряд по проявлению соответствующего свойства, например, холодный, менее холодный, прохладный, теплый, не очень горячий, горячий, то есть по принципу «больше - меньше». Значения выстраиваются в вариационный ряд, то есть в порядке возрастания величин и группируются уже в классы, включающие однотипные величины, и этим классам можно присвоить ранг (место). В этой шкале истинное расстояние между классами неизвестно, мы имеем только их последовательность. Причем чем больше классов в шкале, тем больше возможностей для математической обработки данных. Использование так называемых ранговых критериев позволяет проверить статистическую гипотезу на базе балловых (ранговых) оценок.
Примером порядковой шкалы является пятибалльная система оценки ЗУН учащихся. Она позволяет лишь расставить обучающихся по рангу с учетом их успехов. Утверждать, что учащийся, получивший оценку «4», знает (или обучен) в два раза лучше, чем получивший оценку «2», оснований нет (разные требования, субъективизм педагога, случайные факторы и т.п.). Данные, полученные по порядковой шкале, могут быть обработаны практически всеми методиками математической статистики.
Значительно труднее применять порядковую шкалу для количественных оценок других качеств личности (в воспитательном процессе). Здесь имеется несколько разновидностей порядкового шкалирования (измерения):
- ранжирование (в ряд),
- группировка (ранжирование по группам),
- парное сравнение,
- метод рейтинга,
- метод полярных профилей.
Ранжирование. Изучаемые объекты располагаются в ряд (упорядочиваются) по степени выраженности какого-либо качества. Первое место в этом ряду занимает объект с наиболее высоким уровнем данного качества, и ему присваивается наивысший балл (числовое значение выбирается произвольно). Затем каждому объекту ранжированного ряда присваиваются более низкие оценки, соответствующие занимаемым местам.
Группировка всей совокупности объектов наблюдения в несколько рангов, достаточно явно отличающихся друг от друга по степени измеряемого признака.
Парное сравнение. Учащиеся сопоставляются друг с другом (каждый с каждым) по какому-либо качеству. Если они одинаковы, то каждый получает по баллу. Если у одного этого качества больше, чем у другого, первый получает два балла, второй - 0. Суммируя полученные каждым баллы, получаем количественное выражение уровня развития данного качества у каждого учащегося (его ранг).
Несмотря на длительность процедуры сравнения и сложность обсчета большего количества учащихся, метод парного сравнения имеет ряд достоинств: объективность оценки, порожденную довольно большим числом сравнений (п (п-1)/2, где п - количество учащихся); простота метода; экономия времени при сборе материала; несложная математическая обработка результатов.
Рейтинг. В этом приеме оценка объекта производится путем усреднения оценочных суждений группы компетентных экспертов. Имея общие критерии оценки (в порядковой шкале, в баллах), эксперты независимо друг от друга (в устной или письменной форме) выносят свои суждения. Усредненный результат экспертной оценки является достаточно объективным и называется рейтингом.
Метод полярных профилей. Этот прием предполагает применение для оценки условной шкалы, крайними точками которой являются противоположные значения признака (например, добрый - злой, теплый - холодный и т.п.). Промежуток между полюсами делится на произвольное количество частей (баллов).
Присвоение градациям соответствующих им рангов производится согласно следующим правилам:
- наименьшее значение ранга равно 1, наибольшее равно количеству ранжируемых значений (^;
- если количество ранжируемых значений совпадает с числом градаций, то низшему уровню приписывается ранг 1, следующему - 2 и т.д., самый высокий уровень получит ранг N
- если среди ранжируемых значений несколько попадают в одну градацию, то всем приписывается одинаковый ранг, который вычисляется по формуле:
*=1 п = 1
Я =+! Щ + пV
к=0 2
где I - номер градации; Ri - ранг каждого значения признака, попавшего в градацию I; п
- количество значений, попавших в градацию I (по принимается равным 0).
В интервальной шкале значения чисел не только упорядочивают объекты по степени проявления свойства, но смысл имеет и разность между числами, то есть интервальная шкала классифицирует по принципу «больше или меньше на определенное количество единиц». Этот тип шкалы используется в педагогике редко.
В качестве примера приведем температурные шкалы. Температурная шкала Цельсия -это шкала температур, в которой при нормальном давлении
(р = 101325 Па = 760 мм рт. ст.) точка плавления льда соответствует нулю градусов (00 С), а точка кипения воды - 1000 С.
В температурной шкале Фаренгейта точка плавления льда при нормальном давлении -320 , точка кипения воды 2120.
В температурной шкале Реомюра точка плавления льда соответствует 00 при нормальном давлении, а точка кипения воды 800.
Следовательно, различные температурные шкалы отличаются друг от друга значением нулевой точки и единицей измерения. Такое противоречие преодолевается введением шкал отношений.
В шкале отношений нуль имеет абсолютное значение. Примером такой шкалы является температурная шкала Кельвина или термодинамическая шкала, единицей температуры в которой служит кельвин (1 К).
В педагогических исследованиях наиболее употребительными являются шкалы наименований, порядка и интервалов. Качественная и количественная оценка знаний и умений учащихся (студентов) может быть получена с помощью поэлементного и пооперационного методов анализа [8]. Они служат основой для осуществления статистических расчетов по шкалам наименований и порядка.
Так, большинство числовых характеристик в математической статистике применяются в том случае, когда изучаемое свойство или явление имеет нормальное распределение, которое характеризуется симметричным расположением значений элементов совокупности относительно средней величины. К сожалению, в виду недостаточной изученности педагогических явлений, законы распределения по отношению к ним, как правило, неизвестны. Далее, для оценки результатов исследования часто берут ранговые величины, которые не являются результатами количественных измерений. Поэтому с ними нельзя производить арифметические действия, а значит и вычислять для них числовые характеристики.
Каждый статистический ряд и его графическое изображение представляют собой сгруппированный и наглядно представленный материал, который следует подвергнуть статистической обработке.
Статистические методы обработки позволяют получить ряд числовых характеристик, позволяющих сделать прогноз развития интересующего нас процесса. Эти характеристики, в частности, позволяют сравнивать разные ряды чисел, полученные при педагогических исследованиях, и делать соответствующие педагогические выводы и рекомендации.
Все вариационные ряды могут различаться друг от друга следующими признаками:
1) размахом, т.е. верхней и нижней его границами, которые обычно называют лимитами. Под размахом оценок ^) понимается разность между максимальным и минимальным значением оценок в выбранной шкале. Например, в пятибалльной шкале qmax = 5, qmin=1 и d = 5 -1;
2) значением признака, вокруг которого концентрируется большинство вариант. Это значение признака отражает центральную тенденцию ряда, т.е. типичное значение для ряда;
3) вариации вокруг центральной тенденции ряда.
В соответствии с этим, все статистические показатели вариационного ряда подразделяются на две группы: показатели, которые характеризуют центральную тенденцию или уровень ряда (различные характеристики средней величины: мода, медиана, средняя арифметическая, средняя геометрическая); показатели, характеризующие уровень вариации вокруг центральной тенденции (вариационный размах (лимиты), среднее абсолютное отклонение, среднее квадратичное отклонение, дисперсия, коэффициенты асимметрии и вариации). Существуют и другие показатели, но они, как правило, не применяются в педагогической статистике.
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
Наиболее простой и часто применяемый вид эксперимента - это исследование экспериментальной и контрольной групп [7, 8]. Из числа членов генеральной совокупности в случайном порядке формируются две группы обучающихся. Случайный отбор лучше производить по таблице случайных чисел или каким-либо другим методом, обеспечивающим равный шанс
каждому попасть в выборочную совокупность. Также, в случайном порядке, отобранные обучающиеся разбиваются на экспериментальную и контрольную группы. Если требование случайности отбора строго выдержано, то, как правило, обе группы оказываются примерно одинаковыми по уровню начальной подготовленности и по другим признакам, влияющим на усвоение предмета. Тем не менее, до начала эксперимента целесообразно проверить, насколько правомерно это предположение.
Проверка проводится посредством выполнения ряда статистических операций. При использовании качественных показателей педагогического процесса в большинстве случаев существует так называемое нормальное распределение результатов, математическим аналогом которого является кривая нормального распределения.
Отклонения эмпирических данных от идеальной модели бывают, как правило, всегда. Вопрос в том: насколько они существенны и можно ли применять для обработки стандартные методы, которые основаны на предположении о нормальности распределения?
Расчет средних арифметических производится по формуле:
У X,
М = ^-------
N
где Х| - результат; I - испытуемый по тесту; N - количество испытуемых.
В результате вычисления получаем:
М1= 13,636; М2= 9,444.
Обычно в педагогике понятие среднего не связывают с определенным числом, хотя используют его довольно часто. Например, средняя успеваемость, средний ученик и т.д. Вместе с тем, вычисление средних математических величин - математического ожидания, моды и медианы - может дать определенную числовую характеристику наблюдаемого свойства, явления и позволяет сравнить числовые характеристики исследуемых различий.
Помимо средних арифметических, важен расчет и других статистик, в частности показателей вариации. В начале рассчитывается сумма квадратов отклонений от средней арифметической:
Х(Х1 - М)2, где Xj - результат каждого испытуемого в группе.
Х(Х1 - М)2 можно представить в виде символа SSx и считать по другой, более удобной формуле, позволяющей избегать дробных вычислений:
XX, = У(х, -м)2 =УX --
(У X )2
N
Для рассмотренного примера сумма квадратов отклонений от средней арифметической группы составляет:
SSl=60,545; SS2 =38,222.
Затем находится мера вариации тестовых баллов, или, иначе, варианса (в отечественной литературе вариансу называют дисперсией ^)) по формуле:
2 XX
X2 =
N -1
Получаем: X/ = 6,054, X22 = 4,778.
Далее находим стандартное отклонение S по формуле:
= 'XX
N -1
Соответственно в группах стандартные отклонения равны: Sl = 2,460;
S2=2,186
2
Чем больше испытуемые в группе отличаются по уровню развития изучаемого признака, тем больше у них проявляются различия в тестовых баллах. Группы с большой вариацией называются гетерогенными (разнородными) по составу: соответственно, по мере уменьшения вариации, группа все более становится гомогенной. Педагогу удобнее работать в гомогенной группе, так как легче подобрать формы и методы, эффективные для большинства обучающихся. В гетерогенных группах метод, хороший для одних, нередко оказывается плохим для других.
Среднее арифметическое и стандартное отклонение является лучшей характеристикой группы. Первое является обобщенным показателем достигнутого группой уровня в среднем, в виде одного числа, как меры центральной тенденции. Второе наряду с дисперсией является общепринятым показателем вариации.
Стандартное отклонение S используется, кроме того, для расчета так называем статистической ошибки средней арифметической Sм, которая является показателем точности определения выборочной средней по отношению к средней арифметически генеральной совокупности ^1. Эта ошибка не имеет ничего общего с ошибочными расчетами или решениями, а является, наоборот, мерой точности. Она определяется по выражению:
X» =
XX
N N -1)
Соответственно,
Sml = 0,742 и Sm2 = 0,729.
Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния существенно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер. Статистические доказательства не являются столь строгими и окончательными - в них всегда допускается риск ошибиться в выводах. Поэтому статистическими методами не доказывается окончательно правомерность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.
Важнейшим вопросом, возникающем при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних.
Если вид распределения или функция распределения выборки нам заданы, то в этом случае задача оценки различий двух групп независимых наблюдений может решаться с использованием параметрических критериев статистики: либо критерия Стьюдента (^, если сравнение выборок ведется по средним значениям (X и У), либо с использованием критерия Фишера (Р), если сравнение выборок ведется по их дисперсиям [8].
Использование параметрических критериев статистики без предварительной проверки вида распределения может привести к определенным ошибкам в ходе проверки рабочей гипотезы.
Для преодоления указанных трудностей в практике педагогических исследований следует использовать непараметрические критерии статистики, такие, как критерий знаков, двухвыборочный критерий Вилкоксона, критерий Ван дер Вардена, критерий Спирмена, выбор которых, хотя и не требует большого числа членов выборки и знаний вида распределения, но все же зависит от целого ряда условий.
Непараметрические критерии статистики свободны от допущения о законе распределения выборок и базируются на предположении о независимости наблюдений.
В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о принадлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основываются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения (критерий Стьюдента, Фишера).
Если имеются только две сопоставляемые независимые выборки, то в отношении них
возможно лишь решение задачи о существовании достоверных различий признака. Если же имеется большее число независимых выборок (3, 4 и т.д.), различающихся, например, продолжительностью исследуемого воздействия, то критерии из рассматриваемой группы позволят выявить существование достоверной тенденции изменения показателя (или отсутствие таковой).
Безусловно, приведенная статья не исчерпывает всех вопросов, возникающих при анализе и обработке экспериментальных данных, полученных в ходе диссертационного исследования. Нами сделана попытка рассмотрения ряда вопросов по использованию математического аппарата в педагогических исследованиях.
Библиографический список:
1. Давыдов В.П. Основы методологии, методики и технологии педагогических исследований: научно-методическое пособие. - М.: Издат. центр «Академия», 2001.
2. Загвязинский В.И.. Атаханов Р. Методология и методы психолого-педагогического исследования: учеб. пособие для студентов высших пед. учеб. заведений. - М.: Издат. центр «Академия», 2007.
3. Климова Т.Е. Методы корреляционного анализа в педагогике. - Магнитогорск: Магнито-гор. гос. ун-т, 2000.
4. Новиков А.М. Научно-экспериментальная работа в образовательном учреждении. - М., 1998.
5. Аванесов В.С. Тесты в социологическом исследовании. - М.: Наука, 1982.
6. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. - М.: Педагогика, 1977.
7. Усова А.В. Методология научных исследований: курс лекций. - Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2004.
8. Стариченко Б.Е. Обработка и представление данных педагогических исследований с помощью компьютера. - Екатеринбург: Урал. гос. пед. ун-т, 2004.
9. Булатова Е.Г. Методы исследований в социальных и гуманитарных науках: учеб. пособие.
- Ижевск: Изд-во Ижевск. гос. техн. ун-та, 2008.
10. Кушнер Ю.З. Методология и методы педагогических исследований: учеб.-метод. пособие.
- Могилёв: Могил. гос. ун-т им. А.А. Кулешова, 2001.
11. Кыверялг А.А. Методы исследования в профессиональной педагогике. - Таллин: Валгус, 1980.
12. Найн А.Я. Технология работы над кандидатской диссертацией по педагогике. - Челябинск : УралГАФК, 1996. - 144 С.
13. Старикова Л.Д., Стариков С.А. Методы педагогического исследования. - Екатеринбург, 2010.
Ключевые слова: Средняя величина, стандартное отклонение, популяция, выборка, распределение, ранжирование, группировка, сравнение, вариации.
Keywords: Average (mean), standard deviation, population, sampling, distribution, ranking, grouping, comparison, variation.
ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
