Применение малопараметрического уравнения состояния в динамических задачах Текст научной статьи по специальности «Физика»

2272

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2272-2274

УДК 532.593+536.71

ПРИМЕНЕНИЕ МАЛОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

© 2011 г. Е.И. Краус, И.И. Шабалин

Институт теоретической и прикладной механики им.С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск

[email protected]

Поступила в редакцию 24.08.2011

Предложена простая калорическая модель уравнения состояния для описания термодинамических свойств твердых материалов без учета фазовых переходов с минимальным числом параметров в качестве начальных данных. Тепловые колебания кристаллической решетки описываются приближением Дебая. Значения параметров на нулевой изотерме вычисляются аналитически из обобщенной формы функции Грюнайзена. В широком диапазоне плотностей и давлений выполнены расчеты термодинамических характеристик. С учетом полученного уравнения состояния решены задачи разрушения конструкции реактора ядерной космической энергетической установки: 1) при аварийной посадке на Землю (скорость соударения до 400 м/с); 2) при столкновении на орбите с фрагментами космического мусора (скорость соударения до 16 км/с).

Ключевые слова: уравнение состояния, ударные волны, высокоскоростное взаимодействие.

Уравнение состояния

Свободная энергия твердой фазы определяется уравнением в форме Ми-Грюнайзена

Е (V, Т) = Ех (V) + сУг1Т 1п

ґв(У )л

1

с

2

у,е0-

у_

V

V

\2/3

Т

2

3 1 - аУ0 / V ’

а = 1 + -

2

+

2Л

і ,0

У(У) = -

2 - і

3

—V

(рхУ2і/3)/— (рхУ2і/3)

где V— удельный объем, Е (V) — «холодная» энергия, Т — температура, су 1 = 3Я/А — теплоемкость решетки при постоянном объеме, А — средний атомный вес, Я — газовая постоянная, 0( V) — температура Дебая, — экспериментальное значе-

ние электронной теплоемкости при нормальных условиях.

Термодинамическая модель малопараметрического уравнения состояния основана на зависимости коэффициента Грюнайзена у от объема [1]:

При значении t = 0 уравнение отвечает теории Ландау—Слэтера [2, 3], t = 1 — теории Дуглейла— Макдональда [4], t = 2 соответствует теории свободного объема [5].

Для определения нулевой изотермы термодинамическое выражение для коэффициента Грюнайзена при нулевой температуре (Т = 0 К) приравнивали к обобщенному коэффициенту Грюнайзена

2

2

2 - і

3 1 - ахУо/У

3

—— (Р У2/3) /— (Р V2/3) —V 2(^ 7 —V (РхК )

У* —

где у* = рК^/с К* - адиабатический модуль объемного сжатия, с - теплоемкость при постоянном объеме, Р(о — значение теплового давления в начальном состоянии.

Обобщенное выражение объемной зависимости коэффициента Грюнайзена имеет вид

где ах — значение параметра при нулевой температуре, в качестве первого приближения которого можно использовать а х = а(0) = 1 + 2/(7^ — 2/3).

Полученное дифференциальное уравнение имеет аналитические решение для «холодных» давления и энергии

рх (V) = су /3 + С2Н2^),

(

Ех (V) = -

С,

V

1-2і/3

1 - 2і/3

+ С2 )

+ С3.

Определение и вычисление констант для уравнения описано в [6]. Там же показано, что

этот набор полуэмпирических соотношений позволяет описать поведение термодинамических свойств твердого тела с точностью до 5-10% в широком диапазоне давлений и температур, причем для применения уравнения состояния необходимо и достаточно знания только шести констант V в, К с 00, с^ е0, соответствующих значениям величин при нормальных условиях, кото -рые могут быть найдены в справочниках по физико-механическим свойствам веществ.

Применение малопараметрического уравнения состояния

Рассмотрим задачу удара реактора космической ядерной энергетической установки (ЯЭУ) с поверхностью Земли. В аварийных ситуациях космические аппараты «отстреливают» ЯЭУ. Существует вероятность того, что часть реактора, несмотря на значительные тепловые и механические нагрузки при прохождении плотных слоев атмосферы, может достичь поверхности земли. Скорость соударения оставшейся части реакторного блока может достигать 400 м/с. При этом из-за разнообразия земной поверхности блок может встретить на своем пути водную поверхность, горные породы или мягкие грунты.

Задача решалась в упрощенной постановке. Полагали, что при входе в плотные слои атмосферы внешние элементы конструкции сгорают и от реактора остается объект со сложным внутренним строением, показанным на рис. 1. Реактор состоит из бериллиевой оболочки, твэлов из двуокиси урана и заливки из гидрида циркония. Рассматриваются торцевой (продольный) и боковой удары. В первом случае - это задача об ударе цилиндрического блока боковой поверхностью о

■ -Ве

■ -гги

х, cm

деформированную преграду Во втором случае модель блока реактора сформирована в виде коль -цевой структуры, при которой счетная область также обладает многосвязностью и обилием кон -тактных поверхностей.

Результаты расчета представлены в работах [7, 8]. Расчеты показали, что высокоскоростной удар частиц космического мусора при скоростях взаимодействия 16 км/с приводит к катастрофическому разрушению реактора, а удар ректора о поверхность из твердых скальных пород при скоростях 400 м/с - к разгерметизации реактора и радиоактивному заражению места падения.

Список литературы

1. Молодец А.М. Обобщенная функция Грюнайзена для конденсированных сред // ФГВ. 1995. Т. 31, №5. С. 132-133.

2. Slater I.C. Introduction in the chemical physics. NY-London: McGraw Book company, Inc. 1935. 239 p.

3. Ландау Л.Д., Станюкович К.П. Об изучении детонации конденсированных взрывчатых веществ // ДАН СССР. 1945. Т. 46. С. 399-406.

4. Dugdale J.S., McDonald D. The thermal expansion of solids // Phys. Rev. 1953. Vol. 89. P 832-851.

5. Зубарев В.Н., Ващенко В.Я. О коэффициенте Грюнайзена // ФТТ. 1963. Т. 5. С. 886-891.

6. Краус Е.И. Малопараметрическое уравнение состояния твердого вещества при высоких плотностях энергии // Вестник НГУ Серия: Физика. 2007. Т. 2, вып. 2. С. 65 -73.

7. Краус Е.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Моделирование процесса соударения сложных двумерных тел о деформируемую преграду // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. C. 104-107.

8. Краус Е.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Динамический метод построения треугольных сеток в многосвязных областях // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14, №5. C. 40-48.

■ -Ве

■ -ZrH

0 20 40

х, cm

Рис. 1

A FEW-PARAMETER EQUATION OF STATE AND ITS APPLICATION TO THE IMPACT PROBLEMS

E.I. Kraus, I.I. Shabalin

A simple caloric model of the equation of state is proposed to describe thermodynamic properties of solid materials with the phase transitions being ignored and with the minimum possible number of parameters as the initial data. Thermal oscillations of the crystal lattice are described by Debye approximation. The values of the parameters on the zero isotherm are calculated analytically from the generalized form of Gruneisen function. Thermodynamic characteristics are calculated in wide ranges of densities and pressures. Extensive comparisons of theoretical results with experimental data available for high energy densities are performed for the materials considered. Two-dimensional problems of a high-velocity impact of a reactor of a nuclear powerplant with the Earth's surface propulsion system are solved on the basis of Willkins method with allowance for the equation of state being derived.

Keywords: equation of state, shock waves, high-velocity impact.