CC BY
28
Балобанов Виталий Серафимович, кандидат философских наук, г. Санкт-Петербург
Применение логического аппарата ПЭС-функций в задаче распознавания образов на уровне чувственного восприятия предмета
Любая наша мысль и даже не мысль, а только чувственный образ, представляет собой некоторый процесс. Это верно и тогда, когда мы производим вычисления или рассуждения, и тогда, когда мы только удерживаем какой-то объект «перед мысленным взором», «представляем» его, или «имеем понятие» о нем. Следовательно, моделирование любого мысленного образа искусственными техническими средствами должно выполняться в виде процесса с определенной функциональной структурой, а не в виде кодового текста с определенным форматом. (Подобные соображения в свое время высказывались Г.С.Цейтиным [2]).
Выражение «функциональная структура» подразумевает, что процесс состоит из каких-то действий - «функций», связанных между собой отношениями композиции (иначе, «суперпозиции»), когда результат действия, представленного некоторой функцией Ех0...хп определяется теми значениями независимых переменных («аргументов») х0,...,хп (п>0), которые являются результатами действий, представленных другими функциями. Обычно предполагается, что все независимые переменные, а также сама функция как зависимая переменная принимают значения на некотором гипотетическом множестве констант и, называемом мною экстенсионалом функции или множества функций. При этом, алгоритм процесса, который для каждого набора значений переменных х0,...,хп определяет, каким должно быть значение функции F, называется интенсионалом этой функции.
В 1977 году мною был открыт и исследован класс функций, интенсионал которых «почти» не зависит от экстенсионала. Зависимость состоит лишь в том, что экстенсионал только присутствует, но существенно не влияет на определение функции как действия, является множеством произвольной природы (математической или физической). Позже эти функции получили название «почти экстенсионально свободных», сокращенно ПЭС-функций.
Пусть множество И - экстенсионал функции F, аргументы которой образуют множество V (возможно бесконечное). Если в текущий момент времени переменные а и Р приняли одно и то же значение из И, то будем говорить, что между ними осуществилось виртуальное равенство, и писать
а—р. Если же значения переменных в текущий момент различны, то будем говорить, что
осуществилось виртуальное различие, и писать а^р. Очевидно, что любое распределение значений независимых переменных из V в текущий момент времени, разбивает V на непустые непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности, т.е. задает некоторое отношение эквивалентности (для краткости будем использовать термин «8-отношение»).
Определение 1.
Пусть EV - множество всех различных 8-отношений на множестве независимых переменных V, задаваемых распределениями значений переменных. Тогда функция (зависимая переменная) F называется ПЭС-функцией, если каждому отношению 8eEV однозначно соответствует «избранный» класс эквивалентности V,,, такой, что всякий раз, когда текущее распределение значений независимых переменных удовлетворяет 8, функция F принимает общее значение каждой из переменных, входящих в V,.
Можно доказать, что множество всех трехместных ПЭС-функций (т.е. V состоит из трех переменных) распадается ровно на 5 классов конгруэнтности представленных следующим списком определений функций:
х (хФг) у (х~г)
х (хФг&уФг) у (х—гУу—г)
х (хФу&хФг) у (х—г) г (х—у)
Кроме того имеем:
| х (х*у) 1 Г х (х*у)
X [ х (х—у) }— [ у (х—у)
Таким образом, отдельно взятую переменную можно рассматривать как тривиальную одноместную ПЭС-функцию, а нетривиальных двуместных ПЭС-функций не существует (второй аргумент является «фиктивным»).
Имея дело с обычными функциями, мы под «вычислением» понимаем процесс определения значения функции как зависимой переменной по заданным значениям независимых переменных как аргументов. В общем случае, значения переменных не являются числами, но термин «вычисление» все равно используется как условное обозначение процесса, аналогичного последовательности арифметических действий, хотя и являющихся действиями иного рода. Если же множество возможных значений переменных, каким-то образом упорядочено и пронумеровано, то
использование термина «вычисление» тем более оправдано.
Предположим, что множество V линейно упорядочено. Тогда любая последовательность чисел а0,...,ат,... может рассматриваться как числовой код некоторого 8-отношения. Очевидно, что две последовательности а0,...,ат,... и р0,...,рт,... кодируют одно и то же 8-отношение, если для любых двух индексов i иj аi=аj ^ РрР^ Последовательность а0,.,аш,. мы будем называть стандартным
числовым кодом некоторого 8-отношения на V, если а0=0 и а1+1 <^)+1 (0<1), причем а^М
(N0- множество всех натуральных чисел с 0).
В табл. 1 представлены результаты вычисления пяти трехместных ПЭС-функций Лхух, Бхуг, Схуг, Бхуг и Бхуг, определения которых даны выше. Здесь V={x,y,z} ^0=х, v1=y, v2= £), в левом столбце перечислены стандартные числовые коды всех возможных 8-отношений на V, а в пяти следующих столбцах - значения функций для соответствующего 8-отношения.
x y z Axyz Bxyz Cxyz Dxyz Exyz
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 0
0 1 2 0 0 0 0 0
Табл. 1
Алгоритмы, определяющие значение ПЭС-функции при заданном распределении значений аргументов суть следующие 1.
Табл.2
Функция Вычисление по определению Вычисление через «If... then ... else ...»
Axyz Begin; If y—z then Axyz'.—y;2 If ytz then Axyz'-—x; End. Begin; If y—z then Axyz—y else Axyz'—x; End.
Bxyz Begin; If xtz then Bxyz'-—x; Ifx—z then Bxyz'-—y; End. Begin; Ifx—z then Axyz—y else Axyz'—x; End.
Cxyz Begin; If xty&xtz&ytz then Cxyz'—x; If х—zVy—z then Cxyz—y; If x—yVy—z then Cxyz—z; End. Begin; If y—z then Cxyz—y else ifx—z then Cxyz'—y else if x—y then Cxyz—z else Cxyz'—x; End.
Dxyz Begin; If xtz&ytz then Dxyz'-—:; If х—zVy—z then Dxyz'-—у; End. Begin; Ifx—z then Dxyz—y else if y—z then Dxyz—y else Dxyz'—x; End.
Exyz Begin; If xty&xtz then Exyz—x; Ifx—z then Exyz'-—y; If x—y then Exyz'—z; End. Begin; Ifx—z then Exyz'—y else if x—y then Exyz—z else Exyz'—к; End.
1 В описании алгоритмов здесь используются термины алгоритмических языков Ра$са1 и С, но без точного соблюдения правил морфологии и синтаксиса этих языков. В частности, опускается часть программы, относящаяся к определению типов данных.
2 Разумеется, в реальных языках программирования используются знаки = и =, но в контексте описания
алгоритмов вычисления ПЭС-функций мы их интерпретируем как — - «виртуальное равенство» и — -«установление виртуального равенства».
В таблице № 2 представлены два варианта алгоритмов вычисления: один из них (слева) полностью соответствует логическому определению ПЭ^функции, но второй (справа) исключает использование переменных и функций типа Boolean и сводит всё вычисление к композициям оператора «If ... then ... else ...». Это обстоятельство, во-первых, наводит на мысль ввести в рассмотрение четырехместную ПЭC-функцию Ixyvw, через которую определяются все трехместные:
I v ( x—y)
Ixyvw— I w ( x*y) (1)
Алгоритм вычисления этой функции таков:
Begin; If х—у then Ixyvw'—v else Ixyvw'—w; End.
Представление же других ПЭС-функций через эту полностью соответствует алгоритмам в правой части табл. 2:
Axyz=Iyzyx Bxyz=Ixzyx Cxyz =IxyzIyzzIxzyx Dxyz =IxzyIyzyx Exyz =IxyzIxzyx
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Во-вторых, возможность исключить использование пропозициональных функций из алгоритма вычисления ПЭС-функций означает также обратную возможность - использовать в роли пропозициональных функций некоторый особый вид ПЭС-функций, т.е. интерпретировать логику в теории ПЭС-функций. Для этого достаточно заменить в алгоритмах булевы константы «true» и «false» предметными переменными особого назначения, т.е. алгоритмически используемыми по особым правилам. Мы будем для этих целей использовать переменные т и в, которые также будем интерпретировать как философские понятия «бытие (being)» и «небытие (no-being)» (в конкретных контекстах им соответствуют термины «нечто» и «ничто» или «истина» и «ложь»). Вот примеры аналогов пропозициональных функций, определенных через ПЭС-функции:
—: r\x—У1 =DfIxye Ф: r\x^y\ =^^вт 1: ті xl =Df Bвvc=Iвxтв
&: тЬ&уі =DfIxввIyввт V: ті^уі =DfIxвIyввтт ^: ті^уі ^^втуввт
(Предикат виртуального равенства);
(Предикат виртуального различия);
(Отрицание, «отрицается, что x есть (x is denied to be)3»); (Конъюнкция, «есть x и есть y»);
(Дизъюнкция, «есть x или есть y»);
(Импликация, «если есть x, то есть y»).
Дополнительно приведем примеры аналогичных функций, некоторые из которых используются в различных версиях «неклассической» логики под теми же названиями: «отрицание», «конъюнкция», «дизъюнкция», «импликация» (но я даю им другие названия).
J: тЬ xl =Df Bтвx=Iтxвт П: тЬПу! =1,^^^
U: тіиуі =Df Ix тИу ттв Э: тІОуІ =DfIyттIxтвт
(Дополнение (к бытию), «х не есть бытие (вид бытия)»); (Пересечение, «х и у есть бытие (один вид бытия)»); (Объединение, «х или у есть бытие»);
(Присоединение (к бытию), «если х есть бытие, то у есть бытие»);
(Полуотрицание, «исключение только небытия х»);
(Полудополнение, «исключение только бытия х»).
Все эти функции, ассоциируемые с традиционно «пропозициональными», входят в инструментальный базис так называемой «Логики концептоидов» (ЛК), основанной на ПЭС-функциях, которую я предлагаю в качестве альтернативы современному исчислению предикатов.
Важным результатом исследований по ЛК, полученным совсем недавно и, по сути дела, определяющим перспективы ее использования, как в задаче распознавания образов, так и в других задачах Искусственного Интеллекта, является установление взаимно-однозначного соответствия между пятью классами конгруэнтности трехместных ПЭС-функций и известными типами бинарных
Н : -x =DfBxre=Ixezx \: \x =Df Bxвт=Ixтвx
3 Совсем как у Шекспира: «To be or not to be that’s question...». Этот гамлетовский вопрос действительно является основным вопросом логики как основы теории алгоритмов. Логическая «истина (true)» есть в сущности глагол, а не существительное или прилагательное.
отношений, характеристические свойства которых выражаются понятиями: «рефлесивность», «симметричность» и «транзитивность». Схематически это соответствие выглядит следующим образом:
Л — эквивалентность - рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение;
Б — строгий порядок - нерефлексивное, несимметричное и транзитивное отношение;
С — толерантность (сходство) - рефлексивное, симметричное и не транзитивное отношение;
Б — нестрогий порядок - рефлексивное, несимметричное и транзитивное отношение;
Е — альтернативность - нерефлексивное, симметричное и не транзитивное отношение.
Пропозициональные функции, выражающие бинарные отношения через указанные классы ПЭС-функций, имеют следующие определения.
'л\х 7 у! =0/ ЛГфЛГху] = 1Гхв1хутв
(Условная эквивалентность - «х эквивалентен у при отличии от Г»);
г\х~у! = т\хд у! = т[.1 ЛЛвху\ = 1вхв1хутв (Безусловная эквивалентность - «х эквивалентен у, если существует»);
.>. т\х >у! =ц? т\[фБГху\ = 1хув1Гутв (Условный строгий порядок- «х дальше от Г, чем у»);
>: т\с>у \ =0/ Тх > у! =т1П1Бвху\ = 1хувБвту (Безусловный строгий порядок- «х старше у»);
. : т\х { у! =0/ т[ГфСГху\ = ЮувТхутв
(Условная толерантность - «х имеет сходство с у при отличии от Г»);
в : хву=В/ Тх в у! = т\1 1 Свху\ = 1вхЛтву1хутв
(Безусловная толерантность - «х имеет сходство с у, если существует»);
Тх > у! =в^- т{ГфБГху\ = 1Гх в1хутв1Гутв
(Условный нестрогий порядок- «х не ближе к Г, чем у»);
>: т\х>у\ =0/ т\х>у! = т1"1 1Бвху\ =1вхв1хутвБвту
(Безусловный нестрогий порядок- «х не младше у»);
.У. :т\хуу! =о/ т{гфЕГху \ = 1хувТГхтТГутв
(Условная альтернативность - «х и у - альтернативные значения г»);
У:т\хУу! = 0/ т\х у у! =т1П ЛЕвху! = 1хув1вхтБвту (Безусловная альтернативность - «х и у не сосуществуют»).
Наличие в приведенных определениях пропозициональных функций параметра Г (его роль также может выполнять в) говорит о том, что отношения между х и у являются на самом деле не чисто бинарными, а тернарными. Помимо типа отношения, определяемого одним из функторов Л, Б, С, БЕ есть еще один идентификатор Г - «условие» или «основание» отношения.
Характеристические свойства бинарных отношений, данные в терминах «рефлесивность», «симметричность» и «транзитивность», передаются следующими, доказуемыми в ЛК группами формул:
ГІ 7 x] =т[tФx} (і), ті 7y] =т\у 7 x], ті 7 y&y 7 z^x 7 z] =т; (7)
, II x] л*- bx ті f у] ит[у f x], тіf y&y f z-^x f z] =т; (8)
тіf x] = т\tФx\ (і), x] ч^ by II y] bx т; z] ч^ ! z ч^ « bx (9)
x] її II x] V bx тіVу] ит\у V x], т; II z] V ! z V Vy&y V bx (lO)
, II x] V bx x V by II y] V bx ті V y&y V z-^X V z] u т. (ll)
Следует обратить внимание н а ф о р мул лы о п о меч ч е ны знаком «!»), выражающие свойство
рефлексивности отношения. Смысл этих формул таков: «Определенное отношение объекта x с самим собой выполняется, если x удовлетворяет условию участия в этом отношении (по меньшей мере, вообще существует)». Обычное исчисление предикатов эту смысловую тонкость игнорирует.
Следующие группы формул, доказуемых в ЛК, дают непосредственное представление бинарных отношений через переменные, связанные предикатами виртуального равенства и различия и
операторами 1 , &, V, исключая функторы A,..., E.
rlx~>’] =r[(x&x^y|, rlx7y] = rl(t^x&x=y] . (12)
rl>y] = rlx^y&-1y], rlx f'y] = rlx^y&t-y]; (13)
rix-J-y] = rl(x&1y)V(1 x&y)V(x&x^y)], rlx \ y] = rl(t^x&t=y)V(t^x&t^y)V(t^x&x^y)]; (14)
rlx>y! = rlx&(1yVx=y)], rlx7y] = rlt^x&(t=yVx^y)]; (15)
rlxVy] = rlx^y&(1xV 1y)], rlx У y] =rlx^y&(t^xVt=y)]; (16)
Определение 2.
Будем говорить, что произвольная функция F, имеющая в качестве аргументов (включая фиктивные) независимые переменные из множества V, задаёт на V сеть (возможно, фрагментированную) типичных бинарных отношений, если для любой переменной te{r, 0}UV найдется в V хотя бы одна такая пара переменных {x,y} (xty, x*t, y*t), что выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) rlt^Atxy ^ t^F] =r; 2) rit^Btxy ^ t&F] =r; 3) rit^Ctxy ^ t&F] =r;
4) rit^Dtxy ^ t&F] =r; 5) rit^Etxy ^ t^F] = r.
Теперь представим себе, что значениями аргументов неизвестной функции F являются сигналы, воспринимаемые в течение некоторого интервала времени рецепторами нашей нервной системы. Тогда закон изменения сигналов на рецепторах, отражаемый в виде сети типичных бинарных отношений на множестве рецепторов, представляет собой информацию о некоем внешнем объекте, являющемся источником сигналов. Синтез целостного предметного образа из элементарных бинарных отношений есть решение задачи распознавания образов на уровне чувственного восприятия (т.е. на уровне самого зарождения сознания). Алгоритмические средства такого синтеза предоставляет ЛК, которую, в таком случае, можно рассматривать как логику работы мозга4.
Чтобы понять, как именно посредством ЛК создается идеальный образ предмета, внутренняя структура которого представлена заданной сетью бинарных отношений, необходимо уточнить основные понятия и принципы ЛК.5
Концептоидом я называю ПЭС-функцию или систему ПЭС-функций, связанных единым процессом варьирования переменных (построения 8 - отношений) и вычисления функций, которая допускает такую интерпретацию как «чувственный образ», «мысль», «рассуждение». Примерами концептоидов служат все определенные выше пропозициональные функции, которые я отношу к категории Суждение. Среди суждений выделяются «предикаты», представляющие собой такие пропозициональные функции, для которых переменные специального назначения r и являются «нейтральными» аргументами, т.е. не участвуют в сравнениях переменных, описываемых между «if» и «then» в операторе «if...then...else...» (соответственно, в терме вида IafSyS)6 Элементарными предикатами являются rlx^y] и rlx^y] . Не сводимые к предикатам, «непредикативные», суждения я отношу к категории «темпоидов» (их истинность - to be or not to be - зависит от времени).
Концептоид, получаемый из суждения путем подстановки на места вхождений переменной r (в терме и в алгоритме) какой-либо другой предметной переменной ceV, я называю «понятием».
4 ...а при наличии определенной фантазии - как Логику Бога.
5 К сожалению, мне не удавалось регулярно публиковать материалы, относящиеся к данному вопросу, а положения, содержащиеся в основополагающей работе [1], уже морально устарели.
6 Точные определения нейтрального, а также, фиктивного аргументов содержатся в [1, разд. 3.1.1].
(Похожая трактовка категории Понятие как «специфицированной переменной» содержится в монографии Е.К.Войшвилло [3]). При этом, подставляемая на место т переменная с становится «номиналом» данного понятия. Формально понятие представляется термом вида с Л1, где Л -некоторое правильно построенное логическое выражение, характерное для суждения. Таким образом, суждение можно рассматривать как частный случай понятия, а именно, как понятие с номиналом т (бытие). Если суждение - темпоид, то и образованное от него понятие также относится к категории темпоидов. Приведем определения некоторых элементарных понятий, являющихся понятийными модификациями элементарных пропозициональных функций:
\: х\у =Ву х\ ^у\=Бхву (Разность);
П: хПу =ду х \ J \у\ =А вху (Предметное пересечение (Произведение));
>: х>у=^у 1х1 =Бхув (Замещение (Деноминация));
Следующие группы формул являются теоремами ЛК:
Важное значение имеет теорема (19). Используя рекурсию по вхождениям оператора 1а/3уд в описание алгоритма вычисления ПЭС-функции, можно доказать, что любой концептоид может быть синтезирован из понятий (и показать «механизм» этого процесса).
Однако, есть основания полагать, что на уровне чувственного восприятия алгоритмы нервной системы работают не с понятиями, а с более сложными логическими комплексами. И действительно, на место переменной т в суждении вида т[Л \ можно подставлять не независимую переменную, а сразу некоторую функцию, причем, даже не обязательно ПЭС-функцию.
Условия наличия сети типичных бинарных отношений на множестве V аргументов функции ^, даваемые определением 2, можно в языке обычного исчисления предикатов выразить следующей формулой:
В 2004 году для нахождения частных решений такого рода уравнений мною был предложен метод итераций [4]. Представляется очевидным, что указанные частные решения как раз и есть те самые «идеальные образы» комплексного объекта, построение которых составляет задачу «распознавания образов».
Представление о сети бинарных отношений имеет геометрическую природу, как впрочем, и все наши «чувственно-наглядные» образы. Отражая внешний мир, наше сознание с большей или меньшей точностью воспроизводит его пространственно-временную структуру, проявляя, однако, и собственную творческую активность. (Поэтому все концептоиды, не являющиеся темпоидами, я называю топоидами).
Идея представления функциональной структуры мозга в виде некоторого виртуального пространства с заданными в нем бинарными отношениями, стала активно обсуждаться в связи с фундаментальными работами Э.Зимана [5,6]. Основная роль в концепции Зимана отводится отношению толерантности (сходства), что, однако, согласуется с тем положением теории ПЭС-функций, что все трехместные ПЭС-функции могут быть построены посредством композиций функции класса С [1, разд. 3.2.1]. Большой вклад в исследование как отношения толерантности, так и других бинарных отношений внес Ю.А.Шрейдер со своей ученицей С.М.Якубович [7-9]. Общие представления о мозге как вычислительной сети заложены М.Арбибом [10].
Принципиальное отличие представления о виртуальном пространстве в ЛК от прежних версий такого представления состоит в том, что точками пространства являются не константы, пусть переместимые, а переменные. Моментальный снимок распределения кодовых значений на множестве переменных никакой информации не несет, только различное участие переменных в общем вариационном процессе определяет их взаимное различие и «место» каждой. Такой принцип создания определенности, я называю принципом интерварианта (не путать с инвариантом).
Сказанное о виртуальных пространствах относится и к так называемым «семантическим сетям», используемым в современных системах Искусственного Интеллекта [11]. На самом деле это синтаксические сети, т.к. смысл знаков и их расположения в форматизированном тексте привносится
тГх—у) = т\ 1 (х\у)& 1 (у\х)\, т\хфу\ = тГ(х\у)У(у\х)); х\у =х Г хФу), хПу=х Гх—у\ = у Гх—у);
1ху^ = V [х—у] >М> Іх^у! = ^ Іх^у! >V [х—у].
(17)
(18)
(19)
УґЗхЗу(ґ—Еху^ґ—ЛїхуЧ. Уґ—Еїху).
В ЛК этой формуле соответствует функциональное уравнение Е=Е[ї—Е & х [ґ—^] & у [ґ—^] ^ґ—ЛїхуЧ.'Чґ—Еґху].
(20)
(21)
извне человеком, который умеет читать текст и сам же задает его формат. Никакого «естественного смысла» связанного с актуальным мыслительным процессом здесь нет.
Понять, осознать, знать... С точки зрения теории ПЭС-функций все это означает -воспроизвести динамику процесса, скрытого за кажущейся неподвижностью «чисто пространственных» форм. Поэтому я предполагаю, что построение настоящих семантических сетей на принципах ЛК позволит, наконец, создать вычислительный автомат, который бы реально мыслил, а не просто имитировал мышление.
Литература
1. Балобанов В.С. Логика функций с неопределенными аргументами. Диссертация на соиск. уч. ст. канд. филос. Наук. - СПб.: СПб. гос. университет, 1991. (есть электронный вариант на сайте http ://balobanov. nm.ru).
2. Цейтин Г.С. От логицизма к процедурализму (на автобиографическом материале). // Алгоритмы в современной математике и ее приложениях. Материалы Международного симпозиума. Ургенч УзССР, 16 - 22 сентября 1979г. / Под ред. А.П.Ершова и Д.Кнута. - Новосибирск, 1982. Ч. 2. С. 181-193.
3. Войшвилло Е.К. Понятие. - М., 1967.
4. Балобанов В.С. Логика концептоидов как синтез аристотелевской силлогистики и исчисления предикатов // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VIII Общероссийской научной конференции 2426 июня 2004 г. СПб., 2004. С. 351-354.
5. Zeeman E.C. The topology of the brain and visual perception in: Topology of 3 manifolds. - K. Fort ed., Preutice Hall, 1962. РР. 240-256.
6. Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // На пути к теоретической биологии. - М.: Мир, 1970. С. 134-144.
7. ШрейдерЮ.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971.
8. ШрейдерЮ.А.Математическая модель теории классификации // Информационный анализ. НТИ, сер. 2, 1968. №10. С. 7-14.
9. Якубович С.М. Аксиоматическая теория сходства // Информационный анализ, НТИ, сер. 2, 1968. №10. С. 15-19.
10. АрбибМ. Мозг, машина и математика. - М.: Наука, 1968.
11. Тей А., Грибомон П., Луи Ж., Снийерс Д., Водон П., Гоше П., Грегуар Э., СанчесЭ., Дельсарт Ф.Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию. - М.: Мир, 1990.
