Применение линейной алгебры для схемотехнического проектирования цифровых структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. П. Назаров, Н. И. Чернов

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ СТРУКТУР

Анализ развития техники проектирования и технологии изготовления современной элементной базы цифровых и цифроаналоговых устройств показывает, что этот процесс подходит к достижению физических пределов повышения функциональной сложности цифровых и цифроаналоговых БИС и СБИС. Можно указать граничные значения схемотехнических и (или) технологических параметров БИС и СБИС, увеличение (уменьшение) которых не приведет к дальнейшему росту функциональной, схемотехнической или технологической эффективности элементной базы.

В последние годы темпы развития отечественной технологии резко снизились, так что уровень ее развития в сравнении с передовыми в этой области странами оставляет желать лучшего. Поэтому возможность интенсивного развития отечественной элементной базы традиционным путем вызывает большие сомнения, по крайней мере, в ближайшие годы. Необходимы другие средства интенсификации этого развития. В настоящей работе для этой цели предлагается использовать возможности схемотехники для создания схемно более простых в сравнении с существующими цифровых структур при сохранении функциональной сложности.

Указанная возможность может быть реализована путем использования для логического синтеза альтернативных булевой алгебре абстрактных алгебраических структур, например линейной алгебры. Это позволяет заменить одну или две из логических операций операциями линейной алгебры, т.е. операциями сложения и вычитания. При соответствующем выборе сигнала-носителя информации эти операции могут быть реализованы монтажно, т.е. без дополнительных аппаратных затрат, что снижает общие аппаратные затраты на реализацию цифровой структуры. За счет этого снижается также число связей, энергетические характеристики схем и т.д.

В рамках данной статьи исследована модель полного одноразрядного сумматора на предмет возможности применения математического аппарата линейной алгебры для реализации комбинационных логических схем и сравнительного анализа аппаратных затрат на его реализацию в сравнении с существующими схемными решениями.

Как известно [1], функционирование полного одноразрядного сумматора в булевой алгебре описывается выражениями:

£ = Х1Х2Р V Х1Х2Р V ХгХ2Р- V Х\Х2Р-

Р = ХХ2Р_ V ХгХ2Р- V ХуХ2Р_ V ХХ2Р_ V

Эти выражения в линейной алгебре преобразуются к виду [2]:

- в логической форме

£=( х1+х2+р-)-2р+ ;

Р+ = х1Р- + х2Р- + х1 • х2 - 2х1х2Р ;

- в пороговой форме

$ — X ^ X + Р ~ 2Р+; (1)

Р — П ((х + X + Р ) > 1) _ П ((X + X + Р ) > 2), (2) где 2 - символы предикатов.

Для структурной реализации сумматора выберем пороговую форму представления логических функций, описывающих работу сумматора.

Структурная схема порогового варианта одноразрядного полного сумматора, реализованная на основе выражений (1) и (2), приведена на рис. 1.

Рис.1. Структурная схема одноразрядного сумматора:

Пр н/т - преобразователь напряжение-ток;

ТЗВУ- токовое зеркало верхнего уровня;

ПТВУ -повторитель тока верхнего уровня;

ТЗНУ - токовое зеркало нижнего уровня;

ПТНУ -повторитель тока нижнего уровня;

Пр т/н - преобразователь ток-напряжение

Слагаемые А и В, подлежащие суммированию, и перенос от предыдущего каскада Р_ преобразуются из потенциальной формы в токовую с помощью преобразователей «напряжение-ток», затем монтажно складываются в общую сумму.

Затем с использованием токовых зеркал верхнего уровня и трех повторителей реализуются три независимых токовых сигнала, соответствующих исходной сумме. Задающий генератор, токовое зеркало нижнего уровня и токовые повторители нижнего уровня, используются для вычитания сигналов единичной и удвоенной величины из повторителей верхнего уровня. В итоге реализуются

сигналы, представленные в линейной форме предикатами П1 и П2. Сигнал

переноса Р+= П1 - П2 реализуется путем вычитания в соответствии с выражением (2).

Сигнал суммы 8 получается вычитанием из общей суммы квантов тока, соответствующих входным слагаемым, удвоенного переноса в соответствии с выражением (1).

Выходные каскады схемы преобразуют сигналы переноса и суммы в потенциальную форму.

Основным функциональным звеном схемы является ИТУТ (источник тока управляемый током). Операции суммирования и вычитания производятся с помощью монтажных соединений.

Схемотехнически ИТУТ может быть построен различными способами. В настоящей работе использована схема Уилсона [3]. Она отличается тем, что позволяет размножать и инвертировать исходящие токи с большей кратностью, чем другие схемы управляемых источников тока.

Благодаря построению ИТУТ по схеме Уилсона (с высоким коэффициентом повторения) можно производить операции линейного сложения и вычитания достаточно большого количества квантов тока.

Из-за того, что коэффициент повторения всё же не равен 1 , на каждом следующем узле, выполняющем арифметическую операцию или буферизирующем сигнал, накапливается ошибка, которая представляется в виде добавочного либо отнятого тока. Накопление ошибки может быть устранено размещением детекторов уровней сигнала после определённого количества линейных операций. ИТУТ способен работать в широком диапазоне рабочих токов и питающего напряжения. При этом отклонение от 1 коэффициента повторения составляет приблизительно 1 _ 3 %. Это позволяет создавать схемы, работающие при логических уровнях, составляющих 10 _ 100 мкА.

Сравним аппаратные затраты на реализацию предлагаемого схемотехнического решения одноразрядного полного сумматора с существующими, реализуемыми в булевом представлении.

Известно [3], что для построения минимальной схемы такого сумматора необходимо 8 двухвходовых инверторов И-НЕ. Минимальные аппаратные затраты на реализацию двухвходового ТТЛ-инвертора составляют 4 транзистора, 4 резистора и 11 связей, так что суммарные затраты составляют 32 транзистора, 32 резистора и 88 связей. Аппаратные затраты на реализацию данной схемы составляют 54 транзистора и 30 связей.

Учитывая, что в настоящее время схемотехнические ограничения на количество элементов практически отсутствуют и основным препятствием дальнейшего повышения степени интеграции являются межсоединения, можно заключить, что предлагаемая схема обладает лучшими технологическими характеристиками, чем известные (отсутствие резисторов, значительно меньшее количество связей).

Следует отметить также, что предлагаемая схема обладает лучшими энергетическими характеристиками, поскольку работает в диапазоне микротоков, что является допустимым, поскольку токовые схемы имеют низкий уровень внутренних помех.

Кроме того, предлагаемая схема обладает значительно лучшими эксплуатационными характеристиками. Во-первых, использование разностного представления сигналов обеспечивает определенную независимость выходного

значения от изменения абсолютных значений сигналов, участвующих в некотором преобразовании. Во-вторых, использование в качестве основного схемотехнического узла источника тока обеспечивает независимость величины кванта тока от питающего напряжения. Результаты моделирования показывают, что рассмотренная схема одноразрядного полного сумматора устойчиво работает в диапазоне изменения питающего напряжения 3 _ 25В. Это позволяет при построении сложных цифровых устройств на основе предлагаемого подхода обойтись без стабилизированного питания и тем самым улучшить весогабаритные и энергетические показатели цифровой аппаратуры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Справочник по цифровой вычислительной технике / Под ред. Малиновского Б. Н. _ Киев: Техника, 1974.-511 с.

2. Чернов Н.И. Линейный синтез цифровых структур АСОиУ. _ Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004.-118 с.

3. Искусство схемотехники. Т1. П. Хорвиц, У Хилл. / Под ред. Гальперина М.В. _ М:. Мир, 1983.- 598 с.

В.В.Ершов

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕРФЕЙСА ПРИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В РЕАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Задача о движении и форме интерфейса чаще всего возникает при исследовании движения грунтовых вод в приморских районах, при контакте пресных и морских вод. Однако похожая задача решается, например, при расчете движения загрязненных (примесями) грунтовых вод, текущих к озерам и водохранилищам. В этом случае жидкости несколько отличаются по своим характеристикам, что позволяет рассматривать их как аналоги пресной и морской воды. В данной статье упор сделан на исследование береговых приморских горизонтов.

В береговых водоносных горизонтах гидравлический градиент обычно направлен к морю, поэтому между текущей к морю более легкой пресной водой и лежащей ниже более тяжелой соленой водой формируется зона контакта. Независимо от рельефа во всех случаях морская вода, часто в форме клина, находится ниже пресной [1].

Поэтому для задач управления важно знать характеристики этой зоны (такие как ширину, форму, расположение) и факторы, которые влияют на эти характеристики (наличие скважин и их режим, наличие осадков и источников в грунте и на поверхности и т.д.).

Эта проблема достаточно сложна и нетривиальна, поскольку реальные области имеют сложную форму и значительный объем. Для получения достоверных результатов необходимо построение достаточно густой сетки, что приводит к значительному росту объема вычислений, особенно если производить вычисления в трех измерениях. Поэтому численный эксперимент требует создания быстрых алгоритмов расчета и обработки значительных массивов данных.

Рассмотрим задачу о совместном движении двух различных несжимаемых смешивающихся жидкостей в пористой среде вблизи обширного резервуара (море, озеро, водохранилище). Такая ситуация возникает при взаимодействии соленой

морской воды с пресными грунтовыми водами, текущими к морю; при загрязнении прибрежных вод или водохранилищ вредными или ядовитыми растворимыми веществами; при загрязнении почвы и последующем проникновении примесей в водоносные слои. Ввиду смешивания оба флюида можно рассматривать не как отдельные фазы, но как неоднородную однофазную жидкость с переменными свойствами (плотностью, вязкостью и др.) [1].

Основными уравнениями движения жидкости являются уравнение неразрывности, уравнение конвекции-диффузии, позволяющее учесть

гидродинамическую дисперсию, и уравнение Дарси, справедливое для небольших градиентов давления и небольших скоростей жидкости. Для трехмерной задачи в скалярной форме уравнения движения жидкости имеют вид

др 3 д ( ч

п^~ + Ъ^~(иаР) = 1 ,

д а=1 дха

3 ЯГ 3 я ( дС ^

ді а=і дха а=і дха

Б

V дха у

рдыа др и

— Т и а — ЕР^Х3

п дt дха к

Здесь р(х^) и и(х^) _ давление и скорость жидкости, р(С) и /,(С) _ ее плотность и вязкость, п(х) и к (х) _ пористость и проницаемость среды, С (х^ ) _ концентрация одного флюида в другом, Б(х) _ коэффициент диффузии, а функции 1(х^) и 8(х^) моделируют внешние источники (осадки, испарение, транспирацию влаги растениями, откачку воды в скважинах, засоление, примеси).

Интерфейс в данной модели представляет собой зону, на протяжении которой концентрация меняется от 0 до 1. Мощность этой зоны зависит от многих факторов, но, как правило, она невелика, что и позволяет говорить об интерфейсе между флюидами.

Полная модель явления должна учитывать положение свободной поверхности. Считая, что уравнение свободной поверхности имеет вид Е(х^) = х^ — h(Xl,X2,t) = 0, запишем условие на ней в виде

дЕ дЕ дЕ дЕ дh дh дh

------= и 1------Ъ и2-----------------------------------------------------Ъ из- или П = из — и 1-и2-.

дt дх1 дх2 дх3 дt дх1 дх2

Полученную систему четырех уравнений необходимо дополнить начальными и граничными условиями. В начальный момент времени зададим скорости, давления и концентрации во всех точках жидкости, а также высоту свободной поверхности:

иа( х^0 ) = иа0(х), Р(х^0) = P0(x), С(х,0) = С0(х1 Мх1,х2^0) = Ых1,х2)-

На границах области необходимо задать давление и компоненты скорости как функции времени (в частности, на свободной поверхности давление равно нулю, а