ПРИМЕНЕНИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 004.72

DOI 10.26732/^.2020.4.04

ПРИМЕНЕНИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

И. Л. Крикунов®, К. Э. Гаипов

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск, Российская Федерация

На сегодняшний момент времени от спутниковых технологий в той или иной степени зависят многие современные отрасли. Для построения таких спутниковых систем связи необходима оценка параметров качества обслуживания, одним из которых является время задержки информации. Для реализации математической модели спутниковой сети используются такие аналитические выражения для временных задержек, которые имеют неустранимый разрыв второго рода в момент времени, когда интенсивность поступления трафика становится равной интенсивности обслуживания. Устранение данной особенности позволило бы сократить время расчета оптимальных маршрутов. В представленной работе для достижения поставленной цели используется кусочно-линейная аппроксимация. В качестве способа задания прямых рассматриваются два подхода, которые сравниваются с помощью интегрального метода наименьших квадратов, а также рассмотрен вопрос о количестве используемых прямых в условиях поставленной задачи. В качестве результатов были получены аппроксимационные зависимости, позволяющие построить кусочно-линейную функцию среднего времени ожидания в буфере для системы М/М/1. Описана процедура нахождения оптимальных параметров для данной функции, а также аналитическим методом были получены приближенные формулы нахождения точек касания прямых, зависящие от поступающей интенсивности трафика.

Ключевые слова: спутниковый канал, оптимальная маршрутизация, целевая функция,

кусочно-линейная аппроксимация.

Введение

Актуальность задачи оптимальной маршрутизации заключается в том, что на текущий момент отсутствуют механизмы и протоколы управления трафиком в зависимости от загрузки спутниковых каналов связи.

Под оптимальной маршрутизацией будем понимать такой алгоритм выбора маршрутов между источником и получателем, при котором выполняется условие, что на всех интерфейсах маршрутизаторов и/или коммутаторов будет находиться минимальное число пакетов или суммарное время нахождения пакетов во всех интерфейсах будет минимально, что можно записать в виде целевой функции вида:

^ N (X) или ^ Т (X),

где N¡(1) - число пакетов на 7-ом маршрутизаторе и/или коммутаторе; Т(1) - время нахождения

Н zaybernev@mail.ru © Ассоциация «ТП «НИСС», 2020

пакетов на -ом маршрутизаторе и/или коммутаторе.

Данные задачи были решены в работах Галлагера, Крона, Парфенова, Гаипова, Пономарева и Вишневского [1-8]. Особенностью решения таких задач является то, что каждое слагаемое целевой функции и ¥2 является функцией, имеющей разрыв в точке 1 = ц, что позволяет решить эту задачу, предварительно решив систему линейных ограничений для определения начальной точки итерации, нужной для численных методов решения задач нелинейного программирования, к которым и относится задача поиска минимума целевой функции.

Решение задачи поиска начальной итерации увеличивает время решения задачи оптимальной маршрутизации, поэтому целью исследования является уменьшение времени нахождения минимума целевой функции. Для этого необходимо решить две задачи:

• устранение разрыва в функциях N(1) и Т(1) путем выбора оптимального метода аппроксимации;

220

• анализ выигрыша времени и точности наиденного решения с первоначальным алгоритмом.

1. Выбор типа аппроксимации

Как было сказано ранее, функциональная зависимость вероятностно-временных характеристик различных систем массового обслуживания, таких как средняя длина очереди N или среднее время нахождения данных на ожидании t в точке, когда интенсивность поступления данных равна интенсивности их обслуживания, имеет разрыв второго рода.

В качестве примера приведем функциональную зависимость среднего времени ожидания, из которого явно видно, что при А,=ц имеет место разрыв. Далее в качестве модели, описывающей интерфеис коммутационного устроиства, подключенного к спутниковому каналу, будем использовать систему массового обслуживания М/М/1. Данная зависимость имеет вид:

1

/ (V =

Ц

Том 4

была монотонно возрастающей и выпуклой функцией. Для существующих зависимостей это условие выполняется в интервале [0; ц). Для преодоления этой проблемы в данной работе рассматривается аппроксимация вероятностно-временных характеристик для систем массового обслуживания.

Рассмотрим полиномиальную аппроксимацию. Разложим исходную функцию Дх) в ряд Тейлора. Получаем сумму слагаемых, имеющих вид:

м

У (х) пол = X

г+1

1 -Ц

где ц - скорость работы интерфейса маршрутизатора.

Для решения задачи оптимального распределения трафика в качестве критерия, как правило, выбирается сумма средних времен ожидания ^ t или сумма средних очередей У N. Для нахождения минимума таких целевых функций необходимо вначале найти область определения данной функции и в этой области выбрать точку начальной итерации для применения методов динамического программирования.

Для устранения этапа нахождения точки начальной итерации необходимо устранить разрыв второго рода и сделать так, чтобы функциональная зависимость средней длины очереди или среднего времени ожидания на всей области определения

о Ц

где ц - скорость работы интерфейса маршрутизатора, М - количество слагаемых в ряду.

Если использовать этот вид аппроксимации, то он устранит разрыв второго рода, но функция не будет выпукла на всей области допустимых значений, что отображено на рис. 1.

Для кусочно-линейной аппроксимации рассмотрим два подхода, с помощью которых задаются прямые [9]:

• прямая, касающаяся исходной функции;

• прямой, являющаяся хордой исходной функции.

Для выбора наилучшего метода составим уравнения этих прямых для двух подходов, используя две, три и четыре прямые. В качестве критерия оценивания будем использовать ошибку аппроксимации, которая находится по формуле:

у(1+\)

S =

Е {[/(х) -/ (х)]

'dх,

где 5 - ошибка аппроксимации, Дх) - исходная нелинейная функция, Д(х) - кусочно-линейная функция, / - количество прямых в кусочно-линейной функции.

В данном методе ошибка аппроксимации представляет собой сумму интегралов, где под знаком интеграла находится разность исходной и линейной функций [10].

Рис. 1. Графики исходной функции и полиномиального ряда

X

Расчет ошибки аппроксимации необходимо начать с нахождения оптимальных параметров (х0, х1, ..., х,) для метода касательных и (а, Ь, ..., ,) для метода хорд. Под оптимальными параметрами понимаются такие значения, при которых ошибка аппроксимации минимальна для каждого рассмотренного варианта.

В данной задаче ошибка аппроксимации является функцией с множеством локальных экстремумов, т. е. она многоэкстремальная. Аналитическое нахождение минимальных значений приводит к решению систем нелинейных уравнений, что не позволяет аналитически определить все точки экстремума. В связи с этим для нахождения оптимальных параметров данной функции был осуществлен перебор точек начальной итерации для использования метода сопряженного градиента, встроенного в пакет инженерного математического ПО MathCad. Для перебора точек начальной итерации в среде MathCad был исполь-

зован алгоритм перебора параметров (х0, хь ..., х,) для метода касательных и (а, Ь, ..., ,) для метода хорд с учетом следующих особенностей:

• каждый следующий параметр должен быть строго больше предыдущего (хг-1 < xi или а < Ь);

• все параметры для двух методов должны удовлетворять области допустимых значений;

• случаи с отрицательным значением ошибки аппроксимации не должны рассматриваться.

Получив оптимальные значения точек касания и пересечения прямых, необходимо рассчитать значения ошибки при различных интенсив-ностях поступления трафика. Минимальные значения ошибки аппроксимации и параметров при различных ц представлены в табл. 1.

Из табл. 1 видно, что метод с использованием касательных имеет значительно меньшую ошибку по сравнению с методом хорд при равных условиях. В дальнейших расчетах целесообразно использовать именно этот подход.

221

Таблица 1

Значение ошибки аппроксимации для двух методов задания прямых при разных

значениях параметра ц

Количество прямых Касательная Хорда

ц = 10 ц = 30 ц = 50 ц = 10 ц = 30 ц = 50

2 s = 18,555 s = 20,894 s = 21,611 s = 9360 s = 9580 s = 9720

3 s = 5,845 s = 6,938 s = 7,311 s = 31,25 s = 68,863 s = 74,105

4 s = 2,612 s = 3,111 s = 3,276 s = 31,2 s = 50,91 s = 62,61

2. Выбор количества прямых

Выбор количества прямых, участвующих в аппроксимации исходной функции, напрямую зависит от поставленной задачи. С одной стороны, при увеличении количества прямых точность расчетов будет увеличиваться, так как будет уменьшаться ошибка аппроксимации, что наглядно видно, исходя из данных в табл. 1. С другой стороны, при увеличении их количества также будет усложняться и сама целевая

функция (критерий оптимальности), что влечет за собой рост затраченных ресурсов на работу с такой функцией.

На основании выводов предыдущего пункта метод касательных дает меньшую ошибку аппроксимации, в отличии от метода хорд. Учитывая эту информацию, произведен расчет ошибки при различном количестве прямых. В табл. 2 представлены результаты расчета интегрального метода наименьших квадратов, а на рис. 2 - графики зависимостей ошибки аппроксимации от числа прямых.

Таблица 2

Зависимость ошибки аппроксимации от числа прямых

Количество прямых Интенсивность поступления тра< )ика

ц = 10 ц = 30 ц = 50 ц = 100 ц = 150 ц = 300

2 s = 18,555 s = 20,894 s = 21,611 s = 22,302 s = 22,59 s = 22,933

3 s = 5,845 s = 6,938 s = 7,311 s = 7,695 s = 7,875 s = 8,071

4 s = 2,612 s = 3,111 s = 3,276 s = 3,47 s = 3,568 s = 3,699

5 s = 1,085 s = 1,375 s = 1,489 s = 1,633 s = 1,682 s = 1,797

6 s = 0,566 s = 0,731 s = 0,799 s = 0,879 s = 0,949 s = 1,054

7 s = 0,322 s = 0,422 s = 0,463 s = 0,514 s = 0,56 s = 0,682

8 s = 0,196 s = 0,258 s = 0,286 s = 0,319 s = 0,346 s = 0,42

Том 4

222

Количество прямых

Интенсивность поступления

ЙЫЗОАОв.

■ 10 изо »50 ■ 1(Ю н!50 »300

Рис. 2. Графики зависимостей ошибки аппроксимации от числа прямых

Из табл. 2 и рис. 2 можно заметить несколько закономерностей:

• при увеличении количества прямых ошибка аппроксимации уменьшается по некоторому закону;

• закон уменьшения ошибки аппроксимации не зависит от интенсивности поступления вызова, а лишь меняет масштаб.

Для дальнейших расчетов целесообразно использовать аппроксимацию тремя или четырьмя прямыми. Такой выбор обусловлен балансировкой значений ошибки и ресурсов, затраченных на расчет кусочно-линейной функции.

3. Зависимость параметров прямых от интенсивности

Для использования кусочно-линейной функции как критерия оптимальности при дальнейших расчетах на специализированном программном

обеспечении необходимо свести нахождение оптимальных параметров к их арифметическому расчету. Из табл. 2 отчетливо видно, что оптимальное значение коэффициентов (х0, х1, ..., х) имеет связь со значением интенсивности поступления трафика. Для анализа и дальнейшей корреляции этих значений будет рассмотрен метод касательных с использованием трех прямых. Для этого с помощью описанной ранее программы перебора точек найдем значения оптимальных точек касания при достаточно большом интервале поступающих ин-тенсивностей (от 50 до 1000) и запишем их значения в табл. 3.

Проанализировав эти данные, можно построить зависимость каждого из коэффициентов от интенсивности вызовов. С помощью полученных прямых было получено уравнение корреляции, которое достаточно точно описывает зависимости точек касания, а также построены их графики (рис. 3).

Таблица 3

Зависимость оптимальных точек касания от интенсивности поступления вызовов

Интенсивно сть поступления вызовов ц х1 х1/ц Х2 х2/ц х3 х3/ц

1 0,4979 0,4979 0,9374 0,9374 0,9819 0,9819

50 35,5196 0,71 49,8869 0,9977 49,9787 0,99957

60 42,976 0,7163 59,8859 0,9981 59,9786 0,99967

70 50,4583 0,72 69,8852 0,9984 69,9786 0,99969

80 57,9804 0,725 79,8845 0,9986 79,9786 0,99973

90 65,5336 0,7282 89,8841 0,9987 89,9785 0,99976

100 73,0281 0,73 99,8839 0,999 99,9785 0,99979

110 80,6379 0,733 109,8834 0,999 109,9785 0,9998

120 88,261 0,7355 119,8831 0,9991 119,9785 0,99982

130 96,1238 0,7394 129,8822 0,9991 129,9785 0,99983

140 104,9985 0,75 139,8867 0,9992 139,9786 0,99985

Продолжение таблицы 3

150 112,997 0,7533 149,8825 0,9992 149,9785 0,99986

160 118,584 0,741 159,8823 0,9993 159,9784 0,99987

170 126,9897 0,747 169,8815 0,9993 169,9784 0,99987

180 134,0347 0,7446 179,8814 0,9993 179,9784 0,99988

190 141,3977 0,744 189,8807 0,9994 189,9784 0,99989

200 149,4555 0,7473 199,8838 0,9994 199,9786 0,99989

250 186,6238 0,7465 249,8811 0,9995 249,9784 0,99991

300 225,12 0,75 299,8793 0,9996 299,9783 0,99993

350 267,2272 0,7635 349,8853 0,9997 349,9787 0,99994

400 296,2645 0,74 399,8788 0,9997 399,9784 0,99995

450 357,1871 0,7937 449,8807 0,9997 449,9785 0,99995

500 380,2357 0,76 499,8759 0,9997 499,9781 0,99996

550 423,258 0,7696 549,8836 0,9998 549,979 0,99996

600 462,816 0,7714 599,8848 0,9998 599,9794 0,99997

650 502,281 0,7727 649,8846 0,9998 649,9792 0,99997

700 541,842 0,774 699,8849 0,9998 699,9794 0,99997

750 581,13 0,775 749,8824 0,9998 749,979 0,99997

800 621,024 0,7763 799,8846 0,9999 799,9795 0,99997

850 660,654 0,777 849,8845 0,9999 849,9745 0,99997

900 700,434 0,7783 899,885 0,9999 899,9799 0,99998

950 740,088 0,779 949,8845 0,9999 949,9794 0,99998

1000 779,88 0,7799 999,885 0,9999 999,9795 0,99998

223

1200

1000

800

600

400

200

х2 = ц - 0,117 _R2 = 1

Х3 = Ц - 0,0215

R2 = 1

.Я"

х1 = 0,7836ц - 6,1836 R2 = 0,9998

0 200 400 600 800 1000 1200

Рис. 3. Графики зависимостей точек касания от интенсивности трафика

0

Заключение

Линейный характер зависимости точек касания от интенсивности обслуживания говорит о том, что значение точек аппроксимации зависит не столько от скорости канала связи, как от его загрузки, при этом для точки х1, наблюдаются небольшие отклонения от линейной зависимости, но с ростом пропускной способности эта зависимость становится линейной. Это обусловлено тем,

что характер зависимости времени ожидания имеет более протяженный пологий участок с ростом интенсивности обслуживания.

Использование всего лишь трех точек для аппроксимации функции среднего времени ожидания достаточно точно описывает оригинальный график. На основании проведенных исследований также можно выдвинуть предположение, что в реальных условиях, когда статистические характеристики трафика отличаются от экспоненциаль-

ных распределений длительности обслуживания и интервалов между вызовами, для удовлетворительной аппроксимации вероятностно-временных характеристик достаточно провести всего лишь три измерения при загрузках 0,77, 0,999 и 0,9999. Для более точной же аппроксимации можно воспользоваться данной методикой для определения большего числа точек, в которых необходимо проводить измерения.

Также необходимо отметить, что переход на кусочно-линейную аппроксимацию хоть и ре-

Том 4

шает проблему устранения разрыва функции, но также приводит и к ряду других проблем, а именно к выбору метода поиска экстремальных значений функций, которые получаются как линейная комбинация и суперпозиция таких функций, т. к. такая задача становится задачей дискретного программирования. Пока же отметим, что в среде MathCAD, даже при использовании стандартной функции ттШге, которая использует квазиньютоновский метод поиска минимума функции, получается небольшой выигрыш при вычислении.

224

Список литературы

[1] Галлагер Р., Бертсекас Д. Сети передачи данных. М. : Мир, 1989. 544 с.

[2] Крон Г. Тензорный анализ сетей : учеб. пособие. М. : Сов. радио, 1978. 720 с.

[3] Парфенов В. И., Золотарев С. В. Об одном алгоритме решения задачи оптимальной маршрутизации по критерию средней задержки // Вестник ВГУ: сер. Физика. Математика. 2007. № 2. С. 28-32.

[4] Пономарев Д. Ю., Гаипов К. Э., Подойницына О. И., Шиянов Е. А. Определение целевой функции для решения задачи оптимального распределения трафика тензорным методом // Труды Международной научно-технической конференции «Современные информационные технологии». Пенза. Пензенская государственная технологическая академия. 2009.

[5] Пономарев Д. Ю. О подходе к анализу сетей массового обслуживания с использованием тензорной методологии // Труды V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '06. М. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. 2006.

[6] Пономарев Д. Ю. Тензорный метод для телекоммуникационных сетей // Труды КГТУ 2006. № 2-3.

[7] Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М. : Техносфера, 2003. 512 с.

[8] Березко М. П., Вишневский В. М., Левнер Е. В., Федотов Е. В. Математические модели исследования маршрутизации в сетях передачи данных // Информационные процессы. 2001. Т. 1. № 2. С. 103-125.

[9] Вержбицкий В. М. Основы численных методов : учеб. М. : Директ-Медиа, 2013. 847 с.

[10] Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М. : Гос. издание физико-математической литературы, 1962. 352 с.

APPLICATION OF PIECEWISE-LINEAR APPROXIMATION OF PROBABILISTIC-TIME CHARACTERISTICS OF QUEUING

SYSTEMS

I. L. Krikunov, K. E. Gaipov

Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation

Nowadays many modern industries depend on satellite technologies to a greater or lesser extent. To build such satellite communication systems it is necessary to have estimated parameters of high service quality, one including the information delay time. To implement a mathematical model of traffic distribution in a satellite network, such analytical expressions for time delays are used, which have a discontinuity of the second kind at the moment when the arrival rate becomes equal to the service rate. Removal of this discontinuity can reduce the time required for calculating optimal routes. To achieve this goal, a piecewise linear approximation is used. As a way of specifying line segments, two approaches are considered, which are compared using

the integral least squares method and the issue of the number of lines used in the conditions of the problem is also considered. As a result, approximation dependences were obtained, which allows plotting a piecewise-linear function of the mean waiting time in the buffer for the M/M/1 system. The procedure for finding the optimal parameters for this function is described and the analytical method was used to obtain approximate formulas for finding the tangency points of

depending on the incoming traffic intensity.

Keywords: satellite channel, optimal routing, objective function, piecewise-linear approximation.

References

[1] Gallagher R., Bertsekas D. Seti peredachi dannyh [Data transmission networks]. Moscow, Mir, 1989, 544 p. (In 225 Russian)

[2] Kron G. Tenzornyj analiz setej [Tensor analysis of networks]. Moscow, Sov. radio, 1978, 720 p. (In Russian)

[3] Parfenov V I., Zolotarev S. V Ob odnom algoritme resheniya zadachi optimal'noj marshrutizaciipo kriteriyu srednej zaderzhki [On one algorithm for solving the problem of optimal routing by the criterion of the average delay] // Vestnik VSU: Physics. Mathematics, 2007, no. 2, pp. 28-32. (In Russian)

[4] Ponomarev D. Yu., Gaipov K. E., Podoinitsyna O. I., Shiyanov E. A. Opredelenie celevoj funkcii dlya resheniya zadachi optimal'nogo raspredeleniya trafika tenzornym metodom [Determination of the objective function for solving the problem of optimal traffic distribution by the tensor method] // Proceedings of the International Scientific and Technical Conference «Modern information technologies», Penza, Penza State Technological Academy, 2009. (In Russian)

[5] Ponomarev D. Yu. Opodhode k analizu setej massovogo obsluzhivaniya s ispol'zovaniem tenzornoj metodologii [On the approach to the analysis of queuing networks using tensor methodology] // Proceedings of the V International Conference «Identification of systems and control problems» SICPRO '06, Moscow, V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS, 2006.

[6] Ponomarev D. Yu. Tenzornyj metod dlya telekommunikacionnyh setej [Tensor method for telecommunication networks] // Proceedings of KSTU, 2006, no. 2-3. (In Russian)

[7] Vishnevsky V M. Teoreticheskie osnovyproektirovaniya komp'yuternyh setej [Theoretical foundations for the design of computer networks]. Moscow, Technosphere, 2003, 512 p. (In Russian)

[8] Berezko M. P., Vishnevsky V. M., Levner E. V., Fedotov E. V Matematicheskie modeli issledovaniya marshrutizacii v setyah peredachi dannyh [Mathematical models for the study of routing in data transmission networks] // Information Processes, 2001, vol. 1, no. 2, pp. 103-125. (In Russian)

[9] Verzhbitskiy V. M. Osnovy chislennyh metodov [Foundations of numerical methods]. Moscow, Direct-Media, 2013, 847 p. (In Russian)

[10] Linnik Yu. V. Metodnaimen'shih kvadratov i osnovy teorii obrabotki nablyudenij [The method of least squares and the foundations of the theory of observational processing]. Moscow, State publication of physical and mathematical literature, 1962, 352 p. (In Russian)

Сведения об авторах

Гаипов Константин Эдуардович - кандидат технических наук, доцент базовой кафедры инфокоммуника-ций Сибирского федерального университета. Область научных интересов: методы управления трафиком, технологии QoS.

Крикунов Илья Леонидович - аспирант базовой кафедры инфокоммуникаций Сибирского федерального университета. Окончил магистратуру Сибирского федерального университета в 2020 году. Область научных интересов: методы управления трафиком, технологии QoS.

ORCГО: 0000-0001-6749-6942