Научная статья на тему 'Применение кратковременного преобразования Фурье к анализу сложных сигналов при помощи пакета matlab'

Применение кратковременного преобразования Фурье к анализу сложных сигналов при помощи пакета matlab Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
294
35
Поделиться
Ключевые слова
ДЕЛЬТА ФУНКЦИЯ / ОКОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ / ФУРЬЕ-АНАЛИЗ / СЛОЖНЫЙ СИГНАЛ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Перепелкин И.Н., Дунаев Р.А.

В статье рассматриваются результаты моделирования анализа сложных сигналов при помощи кратковременного преобразования Фурье и оконного преобразования Фурье. Вычисления осуществлялись при каждом смещении окна на один отсчет и изменении ширины окна. Результаты моделируются при помощи пакета программ MatLab.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Перепелкин И.Н., Дунаев Р.А.,

APPLICATION OF SHORT-TERM FOURIER TRANSFORMATION TO THE ANALYSIS OF COMPOUND SIGNALS USING MATLAB PACKAGE

The article examines the results of modeling of compound signals analysis using short-term Fourier transformation and window Fourier transformation. The calculations were made at every displacement of a window on one reading and at change of a window width. The results are modelled using MatLab software package.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Применение кратковременного преобразования Фурье к анализу сложных сигналов при помощи пакета matlab»

УДК 51

ПРИМЕНЕНИЕ КРАТКОВРЕМЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К АНАЛИЗУ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ ПАКЕТА MATLAB

И.Н. Перепелкин1), Р.А. Дунаев2)

1,2)Белгородский государственный институт искусств и культуры 1)e-mail: igorperepelkin@yandex.ru 2)e-mail: r_dunaev@bk.ru

В статье рассматриваются результаты моделирования анализа сложных сигналов при помощи кратковременного преобразования Фурье и оконного преобразования Фурье. Вычисления осуществлялись при каждом смещении окна на один отсчет и изменении ширины окна. Результаты моделируются при помощи пакета программ MatLab.

Ключевые слова: дельта функция, оконное преобразование, Фурье-анализ, сложный сигнал.

Анализ Фурье, при котором функция преобразуется из одной области в другую, где проявляются ее основные характеристики, играет важную роль во всех научных, инженерных и некоторых общественных научных областях. Область преобразования обычно называют спектральной, частотной или числоволновой областью, а исходную — временной или пространственной. Известно, что возможно получить приближенное частотное представление сигнала /(£} в некоторой временной окрестности, скажем £ = Ь, воспользовавшись оконной функцией Ф(£), порождающей функцию =/{£)ф(£ — Ь), с последующим преобразованием Фурье так

называемое кратковременное преобразование Фурье. В соответствующей точке частотно-временной плоскости (Ь,^) мы можем определить кратковременное преобразование Фурье функции /(£) относительно оконной функции Ф(£) как

сфто = г./ юф^ю* (1)

гд еф^(£) = ф(£-Ь>-*с. (2)

при этом оконная функция ф(£) в уравнении (1) может быть комплексной и должна удовлетворять условию

т.е., ф(со) представляет собой низкочастотный фильтр, поскольку спектр в со — О отличен от нуля. Из-за оконной природы кратковременного преобразования Фурье это преобразование называется еще и оконным преобразованием Фурье. В отличие от преобразования Фурье, где функция должна быть известна на всем интервале временной оси до того, как могут быть определены все ее спектральные компоненты, для оконного преобразования Фурье требуются значения /(£} только в пределах интервала, где ф(£ — ¿0 не равна нулю.2 Другими словами, дает

приближенное значение спектра /(£} в районе t = Ъ.

1 Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория применения цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

2 W.W.Hartman and D.W.Lytle, Electrical and Mechanical Networks, An Introduction to Their Analysis.

Если оконную функцию ф(£ — Ь) в (1) рассматривать как модулирующую функцию синусоиды е , кратковременное преобразование Фурье может быть записано как

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

= с(з)

В этом случае функция фь^(£) = ф(£ — ведет себя волновой пакет,

осциллирующий внутри огибающей функции ф(£). Добавим, что (2) свидетельствует о том, что каждый из этих волновых пакетов ведет себя базисная функция, поэтому кратковременное преобразование Фурье может рассматриваться как составляющие функции /(£) относительно этого базиса в частотно-временной плоскости. Мы можем восстановить временную функцию взяв обратное преобразование

Фурье от С Имеем

Исходный сигнал f{t) получается умножением (4) на ф(£ — £>} и интегрированием по Ъ. Окончательная формула восстановления записывается следующим образом:

яо=^ п С сФКь' ОШ^Ь)^. (5) Мы можем эффективно представить интеграл в (1) суммой ряда, образуемого выборками функции /(£) и оконной функции Ф(£). Тогда кратковременное преобразование Фурье в дискретной форме выражается соотношением

где

и

г _ 2im

П = — ■

Я '2

В частности, если h — 1, получаем

(9)

Применим кратковременное преобразование Фурье для анализа сложных сигналов и воспользуемся возможностями программы MATLAB для построения полученных результатов.4 Сигнал

/{£) = + 5т2тги2 £ + - + <?(£ - £2)] (10)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

состоит из двух синусоид с частотами и^ = 500 Гц, ~и2 = 1000 Гц и двух дельта-функций амплитудой К=3, расположенных в точках временной оси, соответствующих £1 = 192 мс и £г = 196 мс. Воспользуемся в качестве оконной функции окном Хемминга и вычислим кратковременное преобразование Фурье для четырех различных размеров окна. Выборки сигнала и оконной функции производятся с частотой 8 кГц. Ширина окна изменяется от 2 мс до 16 мс путем удвоения его размера, что соответствует числу отсчетов 16, 32, 64 и 128, соответственно. Так как дельта-функции разделяют 32 выборки, размеры окна, равные или большие 32 отсчетов не являются достаточно узкими, чтобы обеспечить разрешение дельта-функций.

Для вычисления кратковременного преобразования Фурье мы использовали быстрое преобразование Фурье к произведению функции и оконной функции. Вычислялось 128-точечное быстрое преобразование Фурье при каждом смещении

3 A.N.Akansu and R.A.Haddad, Multiresolution Signal Decomposition. San Diego, Calif.: Academic

Press, 1992.

4

Официальный сайт продуктов и сервисов MATLAB .Режим доступа http: //matlab. ru/products/matlab

окна на один отсчет. Форма сигнала /(£} приведена на рис. 1, а результаты вычисления кратковременного преобразования Фурье - на рис. 2.

0.194 Время, с

Рис. 1. Форма сигнала для примера

Изначально, когда временное окно широкое, дельта-функции не разрешимы вообще, но две основные частоты различаются хорошо. По мере сужения окна мы начинаем все лучше различать дельта функции, в то время как разрешение основных частот прогрессивно ухудшается. При размере окна в 16 отсчетов мы можем легко выделить обе дельта-функции, в то время как основные частоты не могут быть уже точно определены. Чтобы выделять события в частотных и временных координатах, мы должны вычислять кратковременное преобразование Фурье каждый раз, изменяя ширину окна. Вычислительная сложность - серьезная проблема при использовании кратковременного преобразования Фурье при обработке сигнала.

Время,

Рис. 2. Кратковременное преобразование Фурье сигнала, изображенного на рис. 1, для различной ширины окна 2 Д ф

485348239148532348484823485348232300534853530001020023485348235348532348

Список литературы

1. Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория применения цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2. W.W.Hartman and D.W.Lytle, Electrical and Mechanical Networks, An Introduction to Their Analysis. Ney York: McGraw-Hill Book Company, 1962.

3. A.N.Akansu and R.A.Haddad, Multiresolution Signal Decomposition. San Diego, Calif.: Academic Press, 1992.

4. Официальный сайт продуктов и сервисов MATLAB.Режим доступа http://matlab.ru/products/matlab

APPLICATION OF SHORT-TERM FOURIER TRANSFORMATION TO THE ANALYSIS OF COMPOUND SIGNALS USING MATLAB

PACKAGE

I.N. Perepelkin1), R.A. Dunaev2)

1,2) Belgorod state Institute of arts and culture 1)e-mail: igorperepelkin@yandex.ru 2)e-mail: r_dunaev@bk.ru

The article examines the results of modeling of compound signals analysis using short-term Fourier transformation and window Fourier transformation. The calculations were made at every displacement of a window on one reading and at change of a window width. The results are modelled using MatLab software package.

Keywords: delta function, window transformation, Fourier analysis, compound signal.