CC BY
135
УДК 51
ПРИМЕНЕНИЕ КРАТКОВРЕМЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К АНАЛИЗУ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ ПАКЕТА MATLAB
И.Н. Перепелкин1), Р.А. Дунаев2)
1,2)Белгородский государственный институт искусств и культуры 1)e-mail: igorperepelkin@yandex.ru 2)e-mail: r_dunaev@bk.ru
В статье рассматриваются результаты моделирования анализа сложных сигналов при помощи кратковременного преобразования Фурье и оконного преобразования Фурье. Вычисления осуществлялись при каждом смещении окна на один отсчет и изменении ширины окна. Результаты моделируются при помощи пакета программ MatLab.
Ключевые слова: дельта функция, оконное преобразование, Фурье-анализ, сложный сигнал.
Анализ Фурье, при котором функция преобразуется из одной области в другую, где проявляются ее основные характеристики, играет важную роль во всех научных, инженерных и некоторых общественных научных областях. Область преобразования обычно называют спектральной, частотной или числоволновой областью, а исходную — временной или пространственной. Известно, что возможно получить приближенное частотное представление сигнала /(£} в некоторой временной окрестности, скажем £ = Ь, воспользовавшись оконной функцией Ф(£), порождающей функцию =/{£)ф(£ — Ь), с последующим преобразованием Фурье так
называемое кратковременное преобразование Фурье. В соответствующей точке частотно-временной плоскости (Ь,^) мы можем определить кратковременное преобразование Фурье функции /(£) относительно оконной функции Ф(£) как
сфто = г./ юф^ю* (1)
гд еф^(£) = ф(£-Ь>-*с. (2)
при этом оконная функция ф(£) в уравнении (1) может быть комплексной и должна удовлетворять условию
т.е., ф(со) представляет собой низкочастотный фильтр, поскольку спектр в со — О отличен от нуля. Из-за оконной природы кратковременного преобразования Фурье это преобразование называется еще и оконным преобразованием Фурье. В отличие от преобразования Фурье, где функция должна быть известна на всем интервале временной оси до того, как могут быть определены все ее спектральные компоненты, для оконного преобразования Фурье требуются значения /(£} только в пределах интервала, где ф(£ — ¿0 не равна нулю.2 Другими словами, дает
приближенное значение спектра /(£} в районе t = Ъ.
1 Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория применения цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.
2 W.W.Hartman and D.W.Lytle, Electrical and Mechanical Networks, An Introduction to Their Analysis.
Если оконную функцию ф(£ — Ь) в (1) рассматривать как модулирующую функцию синусоиды е , кратковременное преобразование Фурье может быть записано как
= с(з)
В этом случае функция фь^(£) = ф(£ — ведет себя волновой пакет,
осциллирующий внутри огибающей функции ф(£). Добавим, что (2) свидетельствует о том, что каждый из этих волновых пакетов ведет себя базисная функция, поэтому кратковременное преобразование Фурье может рассматриваться как составляющие функции /(£) относительно этого базиса в частотно-временной плоскости. Мы можем восстановить временную функцию взяв обратное преобразование
Фурье от С Имеем
Исходный сигнал f{t) получается умножением (4) на ф(£ — £>} и интегрированием по Ъ. Окончательная формула восстановления записывается следующим образом:
яо=^ п С сФКь' ОШ^Ь)^. (5) Мы можем эффективно представить интеграл в (1) суммой ряда, образуемого выборками функции /(£) и оконной функции Ф(£). Тогда кратковременное преобразование Фурье в дискретной форме выражается соотношением
где
и
г _ 2im
П = — ■
Я '2
В частности, если h — 1, получаем
(9)
Применим кратковременное преобразование Фурье для анализа сложных сигналов и воспользуемся возможностями программы MATLAB для построения полученных результатов.4 Сигнал
/{£) = + 5т2тги2 £ + - + <?(£ - £2)] (10)
состоит из двух синусоид с частотами и^ = 500 Гц, ~и2 = 1000 Гц и двух дельта-функций амплитудой К=3, расположенных в точках временной оси, соответствующих £1 = 192 мс и £г = 196 мс. Воспользуемся в качестве оконной функции окном Хемминга и вычислим кратковременное преобразование Фурье для четырех различных размеров окна. Выборки сигнала и оконной функции производятся с частотой 8 кГц. Ширина окна изменяется от 2 мс до 16 мс путем удвоения его размера, что соответствует числу отсчетов 16, 32, 64 и 128, соответственно. Так как дельта-функции разделяют 32 выборки, размеры окна, равные или большие 32 отсчетов не являются достаточно узкими, чтобы обеспечить разрешение дельта-функций.
Для вычисления кратковременного преобразования Фурье мы использовали быстрое преобразование Фурье к произведению функции и оконной функции. Вычислялось 128-точечное быстрое преобразование Фурье при каждом смещении
3 A.N.Akansu and R.A.Haddad, Multiresolution Signal Decomposition. San Diego, Calif.: Academic
Press, 1992.
4
Официальный сайт продуктов и сервисов MATLAB .Режим доступа http: //matlab. ru/products/matlab
окна на один отсчет. Форма сигнала /(£} приведена на рис. 1, а результаты вычисления кратковременного преобразования Фурье - на рис. 2.
0.194 Время, с
Рис. 1. Форма сигнала для примера
Изначально, когда временное окно широкое, дельта-функции не разрешимы вообще, но две основные частоты различаются хорошо. По мере сужения окна мы начинаем все лучше различать дельта функции, в то время как разрешение основных частот прогрессивно ухудшается. При размере окна в 16 отсчетов мы можем легко выделить обе дельта-функции, в то время как основные частоты не могут быть уже точно определены. Чтобы выделять события в частотных и временных координатах, мы должны вычислять кратковременное преобразование Фурье каждый раз, изменяя ширину окна. Вычислительная сложность - серьезная проблема при использовании кратковременного преобразования Фурье при обработке сигнала.
Время,
Рис. 2. Кратковременное преобразование Фурье сигнала, изображенного на рис. 1, для различной ширины окна 2 Д ф
485348239148532348484823485348232300534853530001020023485348235348532348
Список литературы
1. Л.Рабинер, Б.Гоулд. Теория применения цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978.
2. W.W.Hartman and D.W.Lytle, Electrical and Mechanical Networks, An Introduction to Their Analysis. Ney York: McGraw-Hill Book Company, 1962.
3. A.N.Akansu and R.A.Haddad, Multiresolution Signal Decomposition. San Diego, Calif.: Academic Press, 1992.
4. Официальный сайт продуктов и сервисов MATLAB.Режим доступа http://matlab.ru/products/matlab
APPLICATION OF SHORT-TERM FOURIER TRANSFORMATION TO THE ANALYSIS OF COMPOUND SIGNALS USING MATLAB
PACKAGE
I.N. Perepelkin1), R.A. Dunaev2)
1,2) Belgorod state Institute of arts and culture 1)e-mail: igorperepelkin@yandex.ru 2)e-mail: r_dunaev@bk.ru
The article examines the results of modeling of compound signals analysis using short-term Fourier transformation and window Fourier transformation. The calculations were made at every displacement of a window on one reading and at change of a window width. The results are modelled using MatLab software package.
Keywords: delta function, window transformation, Fourier analysis, compound signal.
