Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Подобные задачи, с одной стороны, могут предлагаться на занятиях по линейной алгебре для выработки умений оперировать с матрицами, а с другой, иллюстрируют приложение матричной алгебры в экономике. Задачи такого типа относят к профессионально ориентированным. Они повышают интерес к предмету, создают условия для внутренней мотивации, значительно повышают эффективность процесса обучения.

Одним из условий реализации прикладной направленности матричной алгебры, в частности, и обучения, в общем смысле, является использование межпредметных связей. Установление межпредметных связей общеобразовательных и специальных дисциплин способствует повышению качества профессиональной подготовки будущего специалиста, актуализации знаний и умений [1, с. 65]. «Перенос пропедевтического знания из той дисциплины, где оно было сформировано, на предмет изучения другой дисциплины является условием синтеза субъективно нового знания» [2, с. 290].

Решая такие сюжетные задачи, у обучающихся не будет складываться впечатление, что они изучают некие абстрактные теории, которые им не понадобятся, у них возникает ощущение приобретения реальных трудовых навыков.

Список литературы:

1. Белых О.Н. Межпредметная интеграция как один из принципов проектирования содержания политехнической подготовки будущего учителя сельской малокомплектной школы [Текст] / О.Н. Белых // Вестник Поморского университета. Серия «Физиологические и психолого-педагогические науки». - 2007. - № 3. - С. 63-66.

2. Белых О.Н. Межпредметная интеграция как условие повышения качества политехнической подготовки будущего учителя физики и математики сельской малокомплектной школы [Текст] / О.Н. Белых // Сибирский педагогический журнал. - 2007. - № 6. - С. 286-290.

3. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Улымжиев М.Д. Применение линейной алгебры в экономике: методическое пособие. - Улан-Удэ, 2004. - 22 с.

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

© Бугаев И.В.*

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел при расчете цепей переменного тока, рассмотрена теоретическая часть, разобран пример.

* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Алгебры, геометрии и анализа к.п.н.

Ключевые слова: прямоугольная система координат, полярная система координат, ток, напряжение, сопротивление, закон Ома, законы Кирхгофа.

Для расчета цепей переменного тока используется представление мгновенных значений токов, напряжений, ЭДС в виде векторов.

Между мгновенным значением и векторным представлением синусоидальной величины существует взаимооднозначное соответствие - вектор несет информацию о действующем значении величины (длина вектора) и начальной фазе (угол поворота вектора относительного положительного направления горизонтальной оси). Т.е. вектор с точки зрения информации о параметрах синусоидальной величины является комплексом, совокупностью двух параметров.

Для графического изображения такого рода величин в математике существует комплексная плоскость, на которой вектор может быть представлен двумя способами: в полярной и прямоугольной системе координат.

Рассмотрим представление некой синусоидальной величины в комплексной форме:

Комплексное число можно представить на координатной плоскости в прямоугольной и полярной системах координат.

В электротехнике принято обозначать комплексную единицу буквой

Комплексы синусоидально изменяющихся величин обозначается: А, а величин, не зависящих от времени: А.

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат:

А = Ат$т(®1 + у).

J - ось мнимых чисел

А"

А

А' +1 - ось действительных чисел

Рис. 1

А = А' + ]А" - комплексное число представлено в алгебраической форме, где А' - проекция на ось действительных чисел, А" - проекция на ось мнимых чисел.

Представление комплексного числа в полярной системе координат:

А = Ае!¥ - комплексное число представлено в показательной форме, где А - модуль комплексного числа (соответствует длине вектора),

у - аргумент комплексного числа (соответствует повороту вектора относительно положительного направления оси действительных чисел).

Разные формы записи комплексного числа используются для выполнения различных действий.

Для сложения и вычитания используется алгебраическая форма записи комплексного числа, а для умножения, деления и возведения в степень -показательная.

При вычислениях будет необходимо переходить из одной формы записи комплексного числа в другую:

А' = А ■ соБу А" = А ■ Бту, А = Аеф = А ■ соБу+А ■ ] ■ =А' + ¡А",

А = у](А)2 + (А")2, Т = агЩ —.

А"

Существует также третья, неосновная форма записи комплексного числа - тригонометрическая: А = А ■ соБу + А ■ ] ■ Бшу. Она чаще всего используется для перехода из одной формы в другую.

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.

1. Ток в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального тока (комплексом тока) является величина, модуль которой равен действующему значению тока, а аргумент начальной фазе.

г = + у)

Т — 1т

I = 1е*

2. Напряжение в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального напряжения (комплексом напряжения) является величина, модуль которой равен действующему значению, а аргумент начальной фазе.

и = ит$,т(Ш + *

и = Чт

72

и = ие*

3. Сопротивление в комплексной форме.

Для вывода сопротивления можно воспользоваться законом Ома - комплексная величина равная отношению комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

2 = Ч = Ч* = Ч,.* *) =

- I 1е* I

Рис. 3

где 2 - модуль комплексного сопротивления, равен полному сопротивлению, р = *и - * - аргумент комплексного сопротивления, равен разности фаз между напряжением и током.

2' = Я - проекция на ось действительных чисел равна активному сопротивлению, 2" = X - проекция на ось мнимых чисел равна реактивному сопротивлению.

г=г' + ¡г"=я + ¡х

4. Частные случаи комплексного сопротивления. 1. Цепь с активным сопротивлением (Я):

г=и = г' + ¡г" = яе0"=я + j • о=я.

2. Цепь с идеальной катушкой индуктивности (X):

г=г' = г' + ¡г"=х' = о + ¡хь = х

3. Цепь с идеальным конденсатором (С):

с

г = г' = г' + ¡г"=хСе''90Р = о - ¡хс = -¡хс.

4. Цепь с реальной катушкой индуктивности (ЯХ):

г = г' = г' + ¡г" = г'=я + х

где 2 = у[яГ+х1.

5. Цепь с реальным конденсатором (ЯС):

я

я

ь

с

я

г=ге^ = г' + ¡г" = 2е],р=я - х,

где 2 = .

5. Проводимость в комплексной форме. Проводимость - это величина обратная сопротивлению:

Рис. 4

где У - модуль комплексной проводимости, равен полной проводимости, -р = щ - щи - аргумент комплексной проводимости.

У' = О - проекция на ось действительных чисел равна активной проводимости.

-У" = -В - проекция на ось мнимых чисел равна реактивной проводимости.

У = У' - ¡У" = О - ¡В 6. Мощность в комплексной форме.

5 = Б' + ¡Б" = Р + д = 8-р

Б' = Р +1 Рис. 5

где 8 - модуль комплексной мощности, равен полной мощности, р - аргумент комплексной мощности, равен углу сдвига фаз между током и напряжением: р= щи - щ.

5" = Р - проекция на ось действительных чисел, равна активной мощности.

Б" = Q - проекция на ось мнимых чисел, равна реактивной мощности.

Комплексная мощность - это произведение комплексного напряжения на комплексный ток.

1. Если щи ф 0, щ = 0 ^ р = щи - щ = р = щи - 0 = щи, то комплексную мощность можно рассчитать, используя комплексное напряжение и комплексный ток.

£ = и ■ I = иещ ■ У0 = ШеЛщ-0) = Бещ

2. Если щи ф 0, щ ф 0 ^ р = щи - щ, тогда для определения комплексной мощности используют сопряженный комплекс тока: I = !езщ (см. рис. 6).

я=и ■ I = иещ ■ = те{щщ = Бер

)

Рис. 6

Законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю.

п

Ък = 0.

Рис. 7

к=1

Для составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительное направление токов.

I - ¡1 - ¡2 - ¡3 = 0 или I = ¡1 + ¡2 + ¡3.

В комплексной форме:

1 - 11 - 12 - 13 = 0 или 1 = 11 + 12 + 13.

Второй закон Кирхгофа.

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов Э.Д.С. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:

п т

Е ик=Ее* ■

к=1 я=1

Рис. 8

Для данной схемы:

Я1 + ис + иЬ + Я2 = е1 - е2 В комплексной форме:

Щ + 1(-Хс) + Щь + 1Я2 = ¿1 - Ё2

Рассмотрим пример:

В цепи последовательного соединения с активно-индуктивным сопротивлением (рис. 9) определить /(/), иЯ(/), иЬ(/), если известно: Я = 5 Ом, Ь = 5 мГн, а = 103 с-1 и и(0 = 50Бт( а/ + 45°).

Решение:

По закону Ома:

• Ú 25>/2e

j 45

1 = Ú= 25у,2~ =5eJ0 A.

- J 45

Z 5\fle Следовательно, искомый ток:

i(t) = 5y¡2 sin o)t A. Напряжение на резисторе:

Ú= i ■ R = 25 B, = 2^V2sinoí B. Комплексное сопротивление на индуктивном элементе: I = jXL = j = j5 = 5j Ом, значит, напряжение на нем:

ÚL =i ■ Zl = 25ej90 B, m¿ =25-j2sin{rnt + 90o) B.

Проверим правильность расчетов по векторной диаграмме:

Рис. 10

По второму закону Киргофа:

UR +ÚL-Ú = 0 ^ Ú =UR + UL.

Список литературы:

1. Голубев А.Н. Лекция по ТОЭ № 3 - Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел.

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: учеб. пособ. - 7-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2009. - 592 с.: ил.

3. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1986. - 544 с.: ил.

ЭВОЛЮЦИЯ ГИБРИДНОГО АЛГОРИТМА СЖАТИЯ ДИСКРЕТНО-ТОНОВОЙ ГРАФИКИ

© Дружинин Д.В.*

Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск

Представлен гибридный алгоритм сжатия без потерь информации. Описана последовательность качественных изменений гибридного алгоритма, приводивших к увеличению степени сжатия.

Ключевые слова: дискретно-тоновая графика, сжатие изображений, сжатие без потерь.

Введение

В соответствии с классификацией изображений, приведённой в [1], выделяют, в частности:

1. Цветное изображение с непрерывным тоном. Этот тип изображений может иметь много похожих цветов, причём цвета обычно сменяются плавно, без резких переходов. Изображения с непрерывным тоном являются природными (естественными).

2. Цветное дискретно-тоновое (синтетическое) изображение. Обычно это изображение получается искусственным путём. Количество цветов в нём может в значительной степени варьироваться, но в нём нет шумов и пятен естественного происхождения. Примерами таких изображений могут служить страницы текста, карты, рисунки. Искусственные объекты, тексты имеют чёткую форму, хорошо определяемые границы.

Дискретно-тоновые изображения в значительной степени отличаются от непрерывно-тоновых. Дискретно-тоновые изображения требуется сжимать с минимальным уровнем потерь информации, а лучше - вообще без потерь, так как даже небольшой процент потерь может привести к значительному визуальному ухудшению качества изображения.

Автором был разработан гибридный алгоритм - быстрый алгоритм сжатия дискретно-тоновых изображений без потерь информации. С течением вре-

* Аспирант кафедры Теоретических основ информатики. Научный руководитель: Лавров В.А., доцент кафедры Теоретических основ информатики, кандидат технических наук, доцент.