CC BY
154
168
Общетехнические задачи и пути их решения
Библиографический список
1. Информационные материалы по применению современных конструкций верхнего строения трамвайных путей / Отчет о НИР ПГУПС [рук. Е. П. Дудкин ; исп. Ю. Г. Параскевопуло и др.]. - СПб. : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2006. - 87 с.
2. Параметрическое моделирование строительных конструкций : учеб. пособие / В. В. Сви-тин. - СПб. : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2011. - 47 с.
3. Разработка моделей конструкций и сооружений : учеб. пособие / В. В. Свитин. - СПб. : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2009. -85 с.
4. Текущий ремонт трамвайных путей / Отчет о НИР. № 318 ФГБОУ ПГУПС [под ред. М. В. Малахова ; исп. Е. П. Дудкин, Ю. Г. Параскевопуло и др.]. - СПб. : Петербургский гос. ун-т путей сообщения.
5. Защита от повышенного шума и вибрации : сб. докладов Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (26-28 марта 2013 г., СПб.) / Под ред.
Н. И. Иванова. - СПб. : Изд-во БГТУ (Военмех), 2013. - 743 с.
6. Альбом «Дорожные конструкции для Ленинграда» А-385-88. - СПб. : Изд-во Института «Ленгипроинжпроект», 1990. - 82 с.
7. Альбом типовых конструкций трамвайных путей применяемых в Санкт-Петербурге (классификация конструкций). - СПб. : Генеральная строительная корпорация, 2000. - 63 с.
8. ГОСТ Р ИСО 14837-1-2007. Шум и вибрация, создаваемые движением рельсового транспорта. - Введ. 2008-10-01. - Н. Новгород : ОАО НИЦ КД, 2008. - 39 с.
9. СП 98.13330.2012. Свод правил. Трамвайные и троллейбусные линии. Актуализированная редакция СНиП 2.05.09.90. - Введ. 2013-01-01. -М., 2013. - 78 с.
10. ТУ 2539-001-03222089-2011. Профили резиновые подошвенные под рельс трамвайных путей. - Введ. 2012-03-29. - СПб. : СПБ ГУП «Горэлектротранс», 2012. - 13 с.
11. ТУ 2539-002-03222089-2011. Профили резиновые боковые для рельсов трамвайных путей. - Введ. 2012-03-29. - СПб. : СПБ ГУП «Горэлектротранс», 2012. - 13 с.
УДК 681.518.5:004.052.32
Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов, А. А. Блюдов
Петербургский государственный университет путей сообщения
ПРИМЕНЕНИЕ КОДОВ БЕРГЕРА И ХЭММИНГА В СХЕМАХ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КОНТРОЛЯ
Анализируются свойства кодов Бергера и Хэмминга, применяемых при синтезе схем функционального контроля. Рассматриваются свойства данных кодов в случае искажений в информационных разрядах при безошибочности контрольных разрядов. Приводится метод построения разделимых кодов в виде таблиц, характеризующих соответствие информационных векторов контрольным. На его основании найдены и обоснованы формулы расчета числа необнаруживаемых ошибок в информационных разрядах кодов Бергера и Хэмминга. Введено два критерия оценки качества кодов в схемах функционального контроля: обнаруживающая способность и коэффициент эффективности кода. Коды Бергера и Хэмминга сравниваются по способности к обнаружению искажений в информационных векторах и эффективности в виде каталога свойств для кодов с длинами информационных векторов m < 31. Приводятся графики изменения обнаруживающей способности и эффективности кодов Бергера и Хэмминга при увеличении длины информационного вектора. Показано, что с увеличением числа информационных разрядов доля
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
169
необнаруживаемых ошибок в обоих классах кодов уменьшается и при m ^ <х стремится к нулю. Сформулирована теорема об оптимальном коде для обнаружения ошибок в информационных векторах и установлен ряд новых свойств кодов Хэмминга и Бергера при различных соотношениях между длинами информационных векторов рассматриваемых кодов.
функциональный контроль, код Бергера, код Хэмминга, информационный вектор, необнаруживаемая ошибка, обнаруживающая способность, свойства кодов.
Введение
Система функционального контроля [1-4] содержит три блока: контролируемое логическое устройство f (х), блок дополнительной логики g (х) и тестер, устанавливающий соответствие между выходами обоих блоков - f (х) и g (х) (рис. 1).
Комбинационная схема f (х) реализует булевы функцииf (х),f (х), ..., fm (х). На схему f (х) с течением времени могут действовать помехи, что может вызывать искажения в вычисленных значениях функций. Для контроля блока f (х) параллельно исходной комбинационной схеме устанавливается блок дополнительной логики g (х), который вычисляет такие функции g1 (х), g2 (х), ..., gk (х), что рабочие выходные векторы обоих блоков <f f2 ■■■ fmg1 g2 ■■■ gk> являются кодовыми
словами некоторого заранее выбранного кода с обнаружением ошибок. Схема также снабжается устройством контроля формируемого
кодового вектора - тестером. В случае искажения выходного вектора <f f2 ... fmg1 g2 ... gk> на выходах тестера устанавливается непарафазный сигнал <00> либо <11>.
В данной структуре эффективным является применение кодов Хэмминга и Бергера, которые относятся к классу разделимых кодов. В них для каждого кодового слова значения контрольных разрядов вычисляются по значениям информационных разрядов. Информационный вектор кода (его длина равна m) формируется на выходах^,f .,fm блока f (х), а контрольный вектор (его длина равна k) - на выходах g g2, ., gk блока g (х). Для векторов кодов Бергера [5] в контрольной части записывается двоичное число, равное числу единиц в информационной части. Число контрольных разрядов при этом вычисляется как k = ] log2 (m +1)[. Далее будем обозначать код Бергера как S (n, m)-код, где n = m + k.
2
x.
I
Рабочие
выходы
Контрольные
выходы
Рис. 1. Структура системы функционального контроля
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
170
Общетехнические задачи и пути их решения
В коде Хэмминга [6] контрольные разряды образуются как линейная сумма (сумма по модулю два) информационных разрядов, стоящих на определенных позициях в информационном векторе. Суммируемые позиции определяются двоичными номерами информационных и контрольных векторов. Каждый контрольный разряд занимает в векторе кода Хэмминга позицию с номером 2. Для получения значения i-го контрольного разряда берется линейная сумма тех информационных разрядов, в двоичном эквиваленте номеров которых на i-м месте справа расположена единица. Таким образом, число контрольных разрядов находится в зависимости от числа информационных: это ближайшее целое, удовлетворяющее неравенству: 2к — к > т + 1.
В отличие от кодов Бергера, коды Хэмминга (H (n, т)-коды) способны корректировать однократные искажения, однако в дальнейшем используются только свойства кодов с позиции возможности обнаружения искажений в информационных векторах, что актуально для схем функционального кон -троля (см. рис. 1).
Как отмечалось выше, в процессе функционирования контролируемого логического устройства f (х) в его внутренней структуре возможны сбои. Сбои могут вызывать искажения вычисляемых функцийff ...,f часть из которых может быть не обнаружена. Искажения в блоке дополнительной логики g (х) обнаруживаются схемой тестера всегда, так как нарушают контрольные функции g g2, ., gk. Исходя из этого, далее рассматриваются обнаруживающие способности кодов Бергера и Хэмминга в предположении о потенциальном возникновении искажений только в информационных разрядах при безошибочности контрольных разрядов.
1 Обнаруживающие способности разделимых кодов
Как отмечалось ранее, коды Бергера и Хэмминга содержат информационные и
контрольные векторы, т. е. являются разделимыми. Каждому информационному слову поставлено в соответствие некоторое контрольное слово. При этом контрольные слова для разных информационных слов могут совпадать. В табл. 1 приведены все кодовые векторы кодов S (7,4) и H (7,4).
Правила построения кода определяют такой важный параметр, как обнаруживающую способность кода. Для любого разделимого кода ошибка в информационном векторе не будет обнаруживаться, если приведет к переходу в информационный вектор с тем же контрольным вектором. Рисунок 2 содержит пример необнаруживаемых искажений информационных векторов кодов S (7,4) и H (7,4). К необнаруживаемым ошибкам кодов с суммированием относятся разнонаправленные ошибки в информационных разрядах четной кратности d, содержащие равное количество искажений 0 ^ 1 и 1 ^ 0, а для кодов Хэмминга это некоторые ошибки кратностей d > 2.
Исходя из свойства обнаружения ошибок в информационных разрядах, любой разделимый код (в том числе рассматриваемые коды Бергера и Хэмминга) можно задать в виде таблицы, где для каждого контрольного вектора перечислены все соответствующие ему информационные векторы. Тогда все необнаруживаемые ошибки будут связаны с переходами информационных векторов друг в друга в одной группе контрольного вектора.
Для кода Бергера такая таблица содержит т + 1 столбец и в каждом из них располагается Cm информационных векторов, где r -вес кодового вектора [7]. Код S (7,4) задается таблицей 2.
Опираясь на способ задания S (n, т)-кода в табличной форме и свойство разнонаправленности необнаруживаемых ошибок, можно вывести формулу расчета числа необнаруживаемых ошибок в кодах Бергера.
Будем подсчитывать необнаруживаемые ошибки в каждой группе r по всем возможным кратностям d, а затем суммировать полученные числа. В группе r размещено Cmr информационных векторов. Ошибка кратности
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
171
ТАБЛИЦА 1. Коды S (7,4) и H (7,4)
Ин( юрмационные разряды S (n, да)-код H (n, да)-код
Х1 Х2 Х3 Х4 У1 У 2 Уз У1 У 2 Уз
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 1 1 1
d является необнаруживаемой, если число искажений 1 ^ 0 равно числу искажений 0 ^ 1, при этом число тех и других типов
d
искажений будет равно —. Тогда число ва-
2
риантов искажений 1 ^ 0 среди r единич-
d
ных разрядов будет равняться C2. В свою
очередь, число вариантов искажений 0 ^ 1 среди оставшихся да-г-разрядов, равных
d
нулю, будет вычисляться как Сда2_г. Другими словами, в группе r для кратности d будет
d d
СгтСГ C^_r необнаруживаемых ошибок.
Исходя из вышеизложенных рассуждений, общее число необнаруживаемых искажений информационных векторов кодов Бергера можно рассчитать по формуле:
т,т-1 т,т-1 f 2 r ,2(
N = 2 Nr = 2 "
r=1 r=1
) d d Л
ZCr C 2 C 2
mr '~ym-,
d=2
(1)
где d = 2, 4, ..., 2r, если 2r < m, m - 1 (где m -четное и нечетное соответственно) - четное число; d = 2, 4, ., 2 (т - r), если 2 (т - r) < т, т - 1 - нечетное число.
Отметим также, что в работе [7] предложена аналогичная формула подсчета числа необнаруживаемых ошибок в информационных разрядах кодов Бергера с той лишь
а) б)
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
t ▼
0 0 1 0 0 0 1
ттТ
1 0 1 0 1 0 1
Рис. 2. Необнаруживаемые ошибки: а - в коде S (7,4); б - в коде H (7,4)
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
172
Общетехнические задачи и пути их решения
ТАБЛИЦА 2. Задание кода S (7,4)
r
Веса групп 0 1 2 3 4
Двоичные номера групп
000 001 010 011 100
0000 0001 0011 0111 1111
0010 0101 1011
Информационные 0100 0110 1101
векторы 1000 1001 1110
1010
1100
Число информационных векторов 1 4 6 4 1
Число необнаруживаемых искажений в группе 0 12 30 12 0
разницей, что сначала производится подсчет ошибок кратности d = 2 во всех группах информационных векторов, затем d = 4 и т д., до максимально возможной кратности d = m либо d = m - 1 (соответственно для четных и нечетных m), а затем суммируются полученные числа.
В отличие от кодов Бергера, для кодов Хэмминга распределение информационных векторов на группы является равномерным (табл. 3).
Исследования кодов Хэмминга при увеличении длины информационного вектора показывают сохранение тенденции равномерного распределения информационных векторов на группы по контрольным векторам. Поскольку число контрольных векторов равно 2k, то в каждой группе размещается по 2mk информационных векторов. Они могут переходить друг в друга (2 m-k - 1)-м способом. В каждой группе 2m-k (2m-k - 1) таких переходов. Умножая эту величину
ТАБЛИЦА 3. Задание кода H (7,4)
r
Веса групп 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичные номера групп
000 001 010 011 100 101 110 111
Информационные 0000 0111 0101 0010 0011 0100 0110 0001
векторы 1110 1001 1011 1100 1101 1010 1000 1111
Число информационных векторов 2 2 2 2 2 2 2 2
Число необнаруживаемых искажений в группе 2 2 2 2 2 2 2 2
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
173
на количество контрольных групп, приходим к формуле расчета числа необнаруживаемых искажений информационных разрядов для кодов Хэмминга:
Nm = 2т ( -1). (2)
Коды S (7,4) и Н (7,4) имеют одинаковое число контрольных разрядов к = 3, однако из-за различного распределения информационных векторов на группы контрольных векторов обнаруживают различное количество ошибок в информационных векторах. Код S (7,4) не обнаруживает 54 ошибки в информационных разрядах (это 48 двукратных искажений и 6 четырехкратных), а код H (7,4) - 16 ошибок в информационных разрядах (все эти ошибки имеют кратности d = 3). В табл. 4 приводятся числа необнаруживаемых искажений в информационных разрядах кодов Бергера и Хэмминга при различных значениях m.
Анализ таблицы 4 показывает более высокую способность к обнаружению ошибок в информационных векторах у кодов Хэмминга в сравнении с кодами Бергера. Как показано в [8], это связано с распределением информационных векторов на группы контрольных векторов.
Теорема 1. Минимальное общее число необнаруживаемых ошибок информационных разрядов имеет код с равномерным размещением информационных векторов в группах контрольных векторов, причем каждая группа содержит ровно по 2тк элементов.
Исходя из теоремы 1, код Хэмминга является оптимальным по обнаружению ошибок в информационных разрядах. Однако он не оптимален по избыточности. Сравнивая коды Бергера и Хэмминга, отмечаем, что при некоторых m коды Бергера имеют на один контрольный разряд меньше, нежели коды Хэмминга (см. табл. 4).
В табл. 4, в столбце ат приведено отношение числа необнаруживаемых ошибок в S (n, т)-кодах к числу необнаруживаемых
ошибок в H (n, т)-кодах: а т
Nт (S )
Nm (Н )
Проанализируем величину ат. На промежутках т е {4; 7} и т е {8; 15} с увеличением т происходит уменьшение величины ат. Число контрольных разрядов в кодах Бергера остается неизменным (к = 3 и к = 4 соответственно), а для кодов Хэмминга при т = 5 и т = 12 увеличивается на 1 в сравнении с кодами Бергера. Этого, однако, недостаточно, чтобы повлиять на характер изменения ат: в первом случае происходит уменьшение ат от 3,375 до 1,721, а во втором - от 3,285 до 2,312. Иначе обстоит дело при к = 5 для кодов Бергера (данный промежуток состоит из двух участков т е {16; 26} и т е {27; 31} - на первом из них у кодов Хэмминга к = 5, на втором к = 6). При одинаковых к для кодов Хэмминга и Бергера происходит уменьшение ат от 4,48 до 3,524. При т = 27 число контрольных разрядов в кодах Хэмминга увеличивается на 1, что влияет на число необнаруживаемых ошибок; ат, в свою очередь, увеличивается почти вдвое и с дальнейшим увеличением т до 31 уменьшается от 6,917 до 6,459. Из табл. 4 следует, что при одинаковых т коды Хэмминга имеют более высокую обнаруживающую способность, чем коды Бергера.
Под обнаруживающей способностью кода в дальнейшем будем понимать отношение числа необнаруживаемых искажений информационных разрядов к общему числу искажений информационных разрядов:
У т
Nrn
N
(3)
Рассчитанные значения величин y для
• т
различных кодов Хэмминга и Бергера представлены в табл. 4. Зависимость обнаруживающей способности кодов от длины информационного вектора т представлена на рис. 3.
В последних двух столбцах табл. 4 приводится еще один параметр - коэффициент эффективности кода '<^т - отношение числа необнаруживаемых ошибок в коде с равномерным распределением информационных векторов на группы контрольных векторов при данном к к общему числу искажений
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
174
Общетехнические задачи и пути их решения
ТАБЛИЦА 4. Необнаруживаемые ошибки в кодах Бергера и Хэмминга
m к N m Общее число искажений, N a m Y m Коэффициент эффективности, ^
S (n, m) H (n, m) S (n, m) H (n, m) S (n, m) H (n, m) S (n, m) H (n, m)
3 2 3 12 8 56 1,5 0,214 0,143 0,667 1
4 3 3 54 16 240 3,375 0,225 0,067 0,296 1
5 3 4 220 32 992 2,292 0,222 0,032 0,436 1
6 3 4 860 192 4032 1,92 0,213 0,048 0,521 1
7 3 4 3304 896 16 256 1,721 0,203 0,055 0,581 1
8 4 4 12 614 3840 65 280 3,285 0,193 0,059 0,304 1
9 4 4 48 108 15 872 261632 3,031 0,184 0,061 0,33 1
10 4 4 183732 64 512 1047552 2,848 0,175 0,062 0,351 1
11 4 4 703384 260 096 4192256 2,704 0,168 0,062 0,37 1
12 4 5 2700060 520192 16 773 120 2,585 0,161 0,031 0,387 1
13 4 5 10 392 408 2088960 67 100 672 2,483 0,155 0,031 0,403 1
14 4 5 40100216 8372224 268 419 072 2,392 0,149 0,031 0,418 1
15 4 5 155 084 752 33 521664 1073 709 056 2,312 0,144 0,031 0,433 1
16 5 5 601 014 854 134 152 192 4294 901 760 4,48 0,14 0,031 0,223 1
17 5 5 2333 475 148 536739840 17 179 738 112 4,347 0,136 0,031 0,23 1
18 5 5 9074873 156 2147221504 68 719 214 592 4,226 0,132 0,031 0,237 1
19 5 5 35 344 739 512 8589410304 2,74877-10" 4,115 0,129 0,031 0,243 1
20 5 5 1,37845 1011 34 358 689 792 1,09951 • 1012 4,012 0,125 0,031 0,249 1
21 5 5 5,3825640" 1,37437 1011 4,39804-1012 3,916 0,122 0,031 0,255 1
22 5 5 2,10409-1012 5,4975240" 1,75922-1013 3,827 0,12 0,031 0,261 1
23 5 5 8,23342-1012 2,19901 • 1012 7,03687-1013 3,744 0,117 0,031 0,267 1
24 5 5 3,22476-1013 8,79608-1012 2,81475 1014 3,666 0,115 0,031 0,273 1
25 5 5 1,26411 1014 3,51843 1013 1,1259 1015 3,593 0,112 0,031 0,278 1
26 5 5 4,95918 1014 1,40737-1014 4,5036-1015 3,524 0,11 0,031 0,284 1
27 5 6 1,94694-1015 2,81475 1014 1,80144 1016 6,917 0,108 0,016 0,289 1
28 5 6 7,64869-1015 1,1259 1015 7,20576-1016 6,793 0,106 0,016 0,294 1
29 5 6 3,00673-1016 4,5036-1015 2,8823-1017 6,676 0,104 0,016 0,3 1
30 5 6 1,18265 1017 1,80144 1016 1,15292 1018 6,565 0,103 0,016 0,305 1
31 5 6 4,65428-1017 7,20576-1016 4,611691018 6,459 0,101 0,016 0,31 1
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
175
в информационных разрядах рассматриваемого кода [8]:
$
m
N "
N
(4)
Код Хэмминга является оптимальным в своем классе и имеет постоянную величину t>m = 1, тогда как у кода Бергера 'tSm является переменной величиной, имеющей некоторую закономерность: эффективность кодов Бергера снижается при увеличении длины контрольного вектора к, а для кодов с постоянным значением числа контрольных разрядов к происходит увеличение коэффициента эффективности от кода с числом информационных разрядов m = 2к-1 к коду с числом
информационных разрядов m = 2к - 1. Например, при к = 3 код с m = 4 обладает наименьшей эффективностью, а код с m = 7 - наибольшей. Графики на рис. 4 иллюстрируют данные свойства кодов Хэмминга и Бергера.
2 Сравнение кодов Бергера и Хэмминга по способности к обнаружению ошибок в информационных разрядах
В [7] доказано следующее замечательное свойство, характерное для кодов Бергера.
Теорема 2. Доля необнаруживаемых ошибок информационных разрядов кратности d
Рис. 3. Динамика изменения величины ym в зависимости от m
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
176
Общетехнические задачи и пути их решения
от общего числа ошибок информационных разрядов данной кратности не зависит от числа информационных разрядов и является постоянной величиной:
d
Pd = 2-dCi. (5)
Авторами настоящей статьи экспериментально показано, что условие теоремы выполняется и для ряда модульных кодов с суммированием, также используемых при организации схем функционального контроля [9].
Следствие из теоремы 2. Величина Pd -это отношение необнаруживаемых ошибок кратности d (Nmd ) к общему числу ошибок данной кратности, т. е. к величине 2mCd. Иными словами,
N
т m
r\m d
2 Cm
d
d n 2
d
2 C
откуда следует, что число необнаруживаемых ошибок в кодах Бергера также можно вычислить по формуле:
m,(m-1) m,(m-1) d_
Nm = Z К = Z 2-dCjC}. (6)
d=2 d=2
В табл. 5 представлены рассчитанные значения величины Pd для кодов Бергера при различных кратностях необнаруживаемых искажений информационных векторов.
По табл. 5 видно, что с увеличением кратности величина Pd приближается к нулю.
Условие теоремы 2 не выполняется для кодов Хэмминга, что мы показали экспериментальными расчетами (табл. 6).
Сравнивая между собой величины Pd для H (n, m)-кодов и для S (n, m)-кодов, заметим, что для любого из кодов Хэмминга доля необнаруживаемых ошибок четной кратности d меньше, чем данный показатель при том же d для любого кода Бергера. Так, к примеру, для всех кодов Бергера Р6 = 0,3125, тогда как для кодов Хэмминга данная величина не превышает 0,07143 (в 4,375 раза меньше, чем у кодов Бергера).
Код Хэмминга обладает таким свойством.
ТАБЛИЦА 5. Значения Pd для кодов Бергера при различных d
d 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 100
Pd 0,5 0,375 0,3125 0,27344 0,24609 0,22559 0,20947 0,19638 0,18547 0,1762 0,07959
ТАБЛИЦА 6. Значения Pd для некоторых кодов Хэмминга
Код Кратность ошибок, d
3 4 5 6 7 8 9 10
H (6,3) 1
H (7,4) 0,25 0
H (9,5) 0,1 0 0
H (10,6) 0,1 0,06667 0 0
H (11,7) 0,05714 0,08571 0,09524 0 0
H (12,8) 0,08929 0,07143 0,03571 0,07143 0,125 0
H (13,9) 0,08333 0,07143 0,04762 0,07143 0,08333 0 0
H (14,10) 0,08333 0,07143 0,04762 0,07143 0,08333 0 0 1
H(15,11) 0,07879 0,07576 0,05411 0,05844 0,0697 0,06061 0,05455 0,09091
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
177
Теорема 3. При постоянном к > 5 доля необнаруживаемых ошибок в информационных разрядах от общего числа ошибок информационных разрядов в кодах Хэмминга постоянна:
Ут = 2 к. (7)
Величина ут вычисляется по формуле (3): в знаменателе ее представлено общее число необнаруживаемых ошибок информационных разрядов, а это количество переходов каждого информационного вектора в каждый - 2т (2m - 1), в числителе же - число необнаруживаемых ошибок (см. формулу (2)). Тогда для кодов Хэмминга ут вычисляется так:
Nm 2т (2т-к -1)
У т =
2т-к -1
N
2т (2т -1) 2т -1
(8)
Для доказательства утверждения теоремы 3 необходимо вычислить предел выражения (8):
lim Ут
гут-к
lim------
т^ю 2т ~
1
1
к
= lim —----
т^ю 2т — 1
2т 1
г\кг\т г\т
lim 22------^
т^ю 2т 1
(9)
1___1_
rsk г\т ,
= lim 2---2- = 2-к.
т^ю 1 1
- 2”
График изменения величины ут (рис. 5) и многочисленные расчеты подтверждают данное свойство.
Сравнивая табл. 5 и 6, отмечаем, что H (n, т)-код не имеет необнаруживаемых искажений информационных разрядов кратностей d < 2, а большинство H (n, т)-кодов - также и необнаруживаемых искажений кратностей d > т - 1. Однако, в отличие от кодов Бергера, где в классе необнаруживаемых присутствуют только некоторые искажения четных кратностей, коды Хэмминга не обнаруживают часть искажений кратностей d е [3; т - 2]. В общем случае коды Хэмминга имеют приоритет по обнаруживающей способности. К примеру, код S (14,10) не обнаруживает 183 732 ошибки в информационных векторах, что в 2,848 раза больше, чем код H (14,10), не обнаруживающий 64 512 искажений информационных векторов. С другой стороны, коды Бергера и Хэмминга при одинаковой длине информационных векторов могут иметь различное число контрольных разрядов (к и к + 1 соответственно), что влияет на сложность контрольной аппаратуры системы функционального диагностирования (см. рис. 1).
Y
1 m
Рис. 5. Зависимость у от т
f т
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
178
Общетехнические задачи и пути их решения
Вообще, с увеличением числа к диапазон сравнимых между собой кодов Бергера и Хэмминга (таких кодов, которые имеют одинаковые длины контрольных векторов) увеличивается (табл. 7). Так, при к = 3 можно сравнить между собой только коды S (7,4) и H (7,4), рассмотренные во втором разделе статьи (см. табл. 2 и 3). С увеличением к диапазон длин информационных векторов экспоненциально расширяется (рис. 6). Для кодов с к = 10 существует 502 сравнимых кода Бергера и Хэмминга.
С практической точки зрения сравнимые между собой коды Бергера и Хэмминга позволяют установить критерии применимости каждого из вариантов кодирования при построении схем функционального контроля
исходя из свойств контролируемой комбинационной схемы f (х). Чем больше значение т, тем большей степенью свободы выбора оптимального кода с необходимым количеством контрольных разрядов обладает разработчик.
Отметим еще одно свойство, которое прослеживается по графикам рис. 3.
Теорема 4. Доля необнаруживаемых ошибок информационных разрядов от общего числа ошибок информационных разрядов в кодах Бергера и Хэмминга с увеличением т уменьшается и при т ^-<х> стремится к нулю.
Для кодов Бергера теорема 4 доказана в [10]; для кодов Хэмминга доказательство тривиально и непосредственно следует из теоремы 3.
ТАБЛИЦА 7. Диапазоны сравнимых кодов Хэмминга и Бергера, совпадающие по длине
к m Диапазон совпадающих значений т
3 4 1
4 8-11 4
5 16-26 11
6 32-57 26
7 64-120 57
8 128-247 120
9 256-502 247
10 512-1013 502
11 1024-2037 1013
12 2048-4084 2036
13 4096-8179 4083
14 8192-16370 8178
15 16384-32753 16 369
16 32 768-65 520 32 752
17 65536-131055 65 519
18 131072-262126 131054
19 262 144-524 269 262 125
20 524288-1048556 524268
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
179
Сравнимые
Рис. 6. Зависимость изменения числа сравнимых кодов от k
3 Некоторые свойства кодов Бергера и Хэмминга
Будем увеличивать число m, в предельном случае получим:
В [7] установлены некоторые свойства кодов Бергера по обнаружению ошибок в схемах функционального контроля, а именно кодов с длинами информационных векторов, различающихся на единицу (кодов с m и m + 1 информационным разрядом). Обобщим здесь данные свойства на случай различия длин информационных разрядов сравниваемых кодов на величину i, т. е. коды S (n, m) и S (n', m + i). Здесь n'- число разрядов в коде с m + i информационными разрядами.
Используя выражение (6), запишем отношение числа необнаруживаемых ошибок кратности d в коде S (n', m + i) к той же величине в коде S (n, m):
Nd .
S _ m+i _
°m,d ~ Nd ~
m
d_
njm+i-d d2 C* d
2 Cm+i Cd _ 2i . Cm+i
d
r\m-d d 2
2 am ad
a
d
2i _ (m + 1)(m + 2) x ^
(m - d + 1)(m - d + 2) x ... x (m + i - 1)(m + i)
... x (m -d + i - 1)(m -d + i)
(10)
lim Smd _ lim 2i x
m^ro ’ m^ro
(m + 1)(m + 2) x ^ (m - d + 1)(m - d + 2) x
... x (m + i - 1)(m + i)
... x (m - d + i - 1)(m - d + i)
_ 2i lim
m 1 if m 2
— + — II — + — lx
m m )l m m
m d +11 f m d
m m m ) l m m
f m i -11 f m i
xl — + I I +
m m ) l m m
... x |---------
m m
m
■— x
m d i-1 if m d i
m m m
_ 2i
>
(11)
Выражение (11) есть доказательство нижеприведенного свойства кодов Бергера.
Свойство 1. При m ^ да число необнаруживаемых ошибок кратности dу кода S (n', m + i) по сравнению с кодом S (n, m) увеличивается в 2i раз для любого d.
В частности, при рассмотрении двух кодов Бергера с длинами информационных векторов, равными m и m + 1 соответственно, имеем:
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
180
Общетехнические задачи и пути их решения
X -о m +1 5m,d 2 i 1 ; m - d +1 (12)
lim 5m,d = 2. m—m (13)
Формулы (12) и (13) следуют непосредственно из формул (10) и (11).
Подобным свойством не обладают коды Хэмминга, однако для них нетрудно установить зависимости между общим числом необнаруживаемых ошибок в кодах с m и m + i информационными разрядами. Так, для кодов H (n, m) и H (n', m+i) с использованием выражения (2), записываем:
=
2m+i (2™+i-(k+t)
- 1)
2m (2m-k -1)
iijm snm+i-(k+t)
2'2m (2'
-1)
2m (2m-k -1)
2m+i-(k+1) 1
= 2' •
2m-k -1
(14)
В формуле (14) k - число контрольных разрядов кода H (n, m), а t - число, на которое увеличивается контрольный вектор в коде H (n', m+i) при увеличении m на величину i.
Устремляя m к да, получаем:
lim 5m =
= lim 21 •
i-(k+t)
2m-k -1
1
i-(k+t)
= 2‘ lim
m—m
2
2
2
m-k
m-k
m-k
2
m-k
2
i-t
= 2l lim
m—m
1
= 2i 2i-t
1
2
2
m-k
2i-t
(15)
Свойство 2. Отношение числа необнаруживаемых ошибок для кодов Хэмминга с m и m + i информационными разрядами и k и k + t контрольными разрядами стремится к 22i t при m ^ да.
В частности, свойство 2 для двух кодов с числом информационных разрядов, различающимся на единицу, принимает следующий вид.
Если число контрольных разрядов не изменилось, имеем:
lim 5m =
m—
= lim 2
2m+1-k 1
m—m 2m-k - 1 2m+1-k 1
= 2 lim
2m-k 2^-k
m—m 2m-k 1
2m-k 2m-k
2 —
= 2 lim
\m-k
m—m 1 1
2m-k
= 4.
1
(16)
Если число контрольных разрядов увеличилось на единицу, справедливо:
+1-(k+1)
lim 5m = lim 2 •
m—m m—<
= 2lim
-1
2m-k -1
2m-k -1
(17)
r\m-k 1
—m 2 -1
= 2.
Для кода Бергера экспериментальными расчетами частично подтверждено свойство 2.
Свойство 3. Отношение числа необнаруживаемых ошибок для кодов Бергера с m и m + i информационными разрядами не зависит от числа контрольных разрядов k и стремится к 22 при m ^ да.
Свойства 2 и 3 определяют одинаковые характеристики кодов Бергера и Хэмминга. Сравнивая данные коды по критерию обнаружения ошибок в кодах с m и m + i информационными разрядами, отмечаем их идентичность при t = 0 для кодов Хэмминга: для обоих классов кодов справедливо значение 5 = 22
m
Проанализируем общее число искажений в кодах Бергера и Хэмминга. Обозначим как sm отношение ошибок в информационных векторах кодов с m + i информационным разрядом в сравнении с кодом с m информационными разрядами. Для любых разде-
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
181
лимых кодов величина sm одинакова, так как не зависит от числа контрольных разрядов:
s
m
-J)
1)
2‘ (2m+l -1) 2m -1
(18)
Возьмем предел sm при m ^ ю:
2г (2m+i -1) lim sm = ^ 0m -t
m^w m^w 2 — 1
= lim 2m+2i -2
2m - 1
2m+ 2i 2i
= lim - 2m 2m
2m 1
2m 2m
(19)
4'
= lim
1
1
m-i
2”
4'.
Из (19) следует, что для разделимых ко -дов, в частности для кодов Бергера и Хэмминга, справедливо такое свойство:
Свойство 4. В коде с m + i информационными разрядами по сравнению с кодом с m информационными разрядами общее число ошибок увеличивается в 4' раз при m ^ ю.
Для кодов, длины информационных векторов которых различаются на единицу, величина s = 4.
m
Сравнивая между собой свойства 2, 3 и 4, отметим следующую закономерность, присущую обоим классам кодов.
Свойство 5. При m ^ ю общее число необнаруживаемых ошибок у кода с m + i информационными разрядами по сравнению с кодом с m информационными разрядами увеличивается во столько же раз, во сколько увеличивается и общее число ошибок в данных кодах.
Заключение
Приведенные здесь свойства кодов Бергера и Хэмминга на практике позволяют разработчику систем функционального контроля делать выбор в пользу более оптимального
технического решения в зависимости от допустимых кратностей возникающих искажений на выходах контролируемого логического устройства. Последнее условие определяется внутренней структурой блока f (х) в системе функционального контроля. Возможность учета ошибок определенной кратности имеется, если есть возможность постановки эксперимента с блоком f (х) подобно тому, как это сделано авторами работы [11].
Коды Бергера можно эффективно использовать в схемах с независимыми и монотонно независимыми выходами, где возможны лишь однонаправленные искажения [12]. Коды Хэмминга имеют приложение в случае, когда невозможны ошибки больших кратностей d> 3.
Изложенные на страницах данной работы свойства кодов Бергера и Хэмминга являются расширением теории функционального контроля логических устройств без памяти. Вместе с результатами работ [13-15] они позволяют сформировать полные каталоги характеристик помехоустойчивых кодов, применяемых при синтезе контролепригодных логических устройств.
Библиографический список
1. Error Detection Circuits / M. Goessel, S. Graf. - L.: Me Graw-Hill, 1994. - 261 p.
2. Self-checking and Fault-tolerant Digital Design / P. K. Lala. - University of Arkansas, 2001. -216 pages.
3. Logic Synthesis of Multilevel Circuits with Concurrent Error Detection / N. A. Touba and E. J. McCluskey // IEEE Trans. Computer-Aided Design of Integrated Circuits and System, Vol. 16, Jul. 1997. - Pp. 783-789.
4. Finite state machine synthesis with concurrent error detection / C. Zeng, N. Saxena and E. J. McCluskey // Int. Test Conf., Atlantic City, NJ, 1999. - Pp. 672-679.
5. A note on error detection codes for asymmetric channels / J. M. Berger // Information and Control. - 1961. - Vol. 4. - Issue 3. - Pp. 68-73.
6. Error detecting and correcting codes / R. W. Hamming // Bell System Technical Journal, 1950. - 29 (2). - Pp. 147-160.
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2013/2
182
Общетехнические задачи и пути их решения
7. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов,
B. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. - С. 155-162.
8. Построение модифицированного кода Бергера с минимальным числом необнаруживаемых ошибок информационных разрядов /
А. А. Блюдов, Д. В. Ефанов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Электронное моделирование. Т 34. - 2012. - № 6. - С. 17-29.
9. Synthesis of Circuits with Low-Cost Concurrent Error Detection Based on Bose-Lin Codes /
D. Das, N. A. Touba // Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. - 1999. - Vol. 15. -Issue 1-2 (August-October). - Pp. 145-155.
10. Предельные свойства кода с суммированием / В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2010. - № 3. -
C. 290-299.
11. The Impact of Logic Optimization of Concurrent Error Detection / Vl. Moshanin, V. Oche-retnij, and A. Dmitriev // Proc. 4th IEEE International
On-Line Testing Workshop, Capry, Italy, 1998. -Pp.81-84.
12. Исследование комбинационных само-проверяемых устройств с независимыми и монотонно независимыми выходами / М. Гёссель, А. А. Морозов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 1997. -№ 2. - С. 180-193.
13. Design of self-testing checkers for unidirectional error detecting codes / S. J. Piestrak. -Wroclaw: Oficyjna Wydawnicza Politechniki Wroc-lavskiej, 1995. - 111 pages.
14. Модифицированный код с суммированием для организации контроля комбинационных схем / А. А. Блюдов, В. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - С. 169-177.
15. Properties of code with summation for logical circuit test organization / A. Blyudov, D. Efanov, V. Sapozhnikov and Vl. Sapozhnikov // Proc. of 10th IEEE East-West Design&Test Symposium (EWDTS'2012), Kharkov, Ukraine, September 14-17, 2012. - Pp. 114-117.
УДК 504.054 Л. Б. Сватовская
Петербургский государственный университет путей сообщения
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОЭКОЗАЩИТЫ НА ТРАНСПОРТЕ С УЧЕТОМ ПОНИЖЕНИЯ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ ГИББСА ПРИ ДЕТОКСИКАЦИИ
Предложены пути обнаружения геоэкозащитных свойств минеральных веществ, которые позволяют им участвовать в детоксикации литосферы в виде минеральных геоантидотов. Прослеживаются параметры, при соблюдении которых возможно проявление детоксикационных свойств от ионов тяжелых металлов при загрязнении литосферы, в том числе и на транспорте.
минеральный геоантидот, вяжущие, детоксикация, термодинамика, гидратационная активность.
Введение
Одной из фундаментальных основ геоэкозащиты на транспорте является геоэкохимия, которая определена нами в [1] как наука о веществах и их превращениях для сбережения литосферы в ее естественном состо-
янии, способствующем сохранению живой природы; ее «введение» в науку состоялось на кафедре «Инженерная химия и естествознание» ПГУПС, где сбережение литосферы от загрязнений, в том числе на транспорте, рассматривается как возможное по крайней мере двумя путями - используя превентив-
2013/2
Proceedings of Petersburg Transport University
