CC BY
39
УДК 517.968.4
С. Н. Куприянова
ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В статье изучается численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода в первом приближении на основе метода сжимающих отображений.
1. Постановка задачи
Пусть все пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £i = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод кругового сечения с образующей параллельной üz.
Диэлектрическая проницаемость среды внутри цилиндра определяется законом Керра
£ = £ 2 +а| Е| 2, (1)
где коэффициенты а и е2 - вещественные положительные константы.
Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в следующем виде:
* i ____________________________
E (х, y, z, t) = E (х, y, z) cos at + E (x, y, z) sin at; (2)
* + ____________________________
H (x, y, z, t) = H (x, y, z)cos at + H (x, y, z)sin at. (3)
Формулы перехода к комплексным амплитудам остаются такими же,
как в линейном случае, однако в нелинейном случае они не так очевидны:
E = E ++ iE _; (4)
H = H ++ iH _. (5)
Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся без затухания вдоль образующей волновода. Электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла:
rotH = _iaeE ; (6)
rotE = _iayiH, (7)
и условиям сопряжения
[et ]р=я = 0, [HT]P=r = 0. (8)
Поставим теперь нелинейную краевую задачу на собственные значения с нелинейным вхождением параметра. Перейдем к цилиндрической системе координат и рассмотрим случай распространения ТЕ-волн:
Е = {0; £ф;б} , Н = {;0; Нг}; (9)
I ЭЕф 1 1 Э
Нр=-------, Нг = ------—(рЕф). (10)
гюц Эг гюц р Эр ^
В этом случае систему уравнений Максвелла можно привести к скалярному уравнению:
Э (1 Э I \\ Э2Еф 2
— (рЕф) I + —-ф + ю2ецЕф = 0. (11)
Эр ^ рЭр' Эг2
Его решение будем искать методом разделяющихся переменных в виде произведения вещественной функции и и множителя, содержащего у - спектральный параметр, который предполагается вещественным
Еф (р, У, г) = Е0м(р, у)егуг, (12)
где Е0 - вещественная константа.
Сведем уравнение (11) к обыкновенным дифференциальным уравнениям для внешней и внутренней задачи соответственно:
II
и + —и — —— и + к и = 0, р>Я; (13)
р р2
1 1 2 3
и + —и —— и + к и + аи = 0, 0<р<Я, (14)
р р2
2,222 ,22 2 где а = ю ац; к =ю е^-у в первом уравнении; к =ю е2^-у во втором уравнении; Я - радиус волновода;
Ы,=я = ^ Н !р=» =0; <15)
[и ]р=я = 0, [и 1р=я = 0; (16)
и(р) ^ 0 экспоненциально при р ^ ^ .
Сформулируем краевую задачу. Требуется отыскать ограниченную и непрерывно дифференцируемую на интервале р > 0 функцию и(р), соответствующие ей значения параметра у такие, что и(р) удовлетворяет дифференциальным уравнениям (13) и (14), условиям сопряжения (16) и условию излучения.
Будем называть такие решения и краевой задачи собственными функциями, а соответствующие значения у - собственными значениями.
Таким образом, поставленная краевая задача сформулирована для нелинейного оператора, нелинейно зависящего от спектрального параметра.
Уравнение (13) - уравнение Бесселя, его решение хорошо известно. Уравнение (14), несмотря на кажущуюся простоту, неразрешимо аналитически в общем виде. Для его решения применим теорию интегральных уравнений, т.е. сведем краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений к нелинейной краевой задаче на собственные значения для интеграль-
u _ (0, R) _ Eo; (18)
ных уравнений. Будем использовать функцию Грина. Получим интегральное уравнение собственной функции и и дисперсионное соотношение в интегральном виде.
Решение уравнений Бесселя выберем с использованием функции Макдональда первого порядка, чтобы выполнялись условия излучения
u _ QK—(| k\р). (17)
С учетом нормировки оно примет вид
_ Ki(|k|р)
Kí(| k|R)
K—(|Kр) ^0, р^^ . (19)
Решая нелинейное уравнение, запишем его в операторном виде:
Lu _apu3 _ 0 Lu _ pu" + u -—u + k2pu . (20)
р
Для краевой задачи
LG _-8(p-po), (21)
G p_0 _ G'lp_ R _ 0 <° <p< R>- l22>
» / 1 2
Lu _ pu + u-----u + k pu . (23)
p
Строим функцию Грина оператора L линейной части уравнения:
J—(kp) J—(kp0)
где
n
G(P, p0 _ -
J—(kR)
0<p, p0 <R ,
N—(kR) - J—(kp<)N—(kp>)
(24)
где р< = шш|р, р0}. р> = тах{р, р0}. Интегральное уравнение для собственной функции и получим, используя вторую формулу Грина:
Я Я
|(иЬи - иЬм)йр = |(и(ри' - и(р^//)р = Я(и'(Я)и(Я) - V (Я)и(Я) , (25)
00
в которой, полагая и = О , получаем
Я
[(ОЬи - иЬО )ёр = Я(и (Я - 0)0( Я, р0) - О '(Я, р0)и( Я - 0)) = •> (26) 0 = Яи'(Я - 0)0(Я,р0);
J*(GLu — uLG)dp — —a J*GB(u)dp + u(po) , (27)
0 0 откуда следует интегральное представление решения:
R
u(Ро) — a jG(p,Po)Pu3(p)dp + f (po), 0<po < R, (28)
0
для получения которого используем u'(R — Ро) — u'(R + 0) и
G(R,Ро) — — J1(k2Po) ; (29)
™ k2R J[(k2R)
f (Ро) — Ru'(R + 0)G(R,po) — k'J'lk;2P0) • (30)
¿2 Jl (¿2 R)
Таким образом, интегральное уравнение, записанное в виде (28), позволяет применить к нему принцип неподвижной точки интегральных операторов.
Дисперсионное соотношение получим, устремляя радиальную переменную к границе волновода и используя условия сопряжения:
u(R — 0) — u(R + 0);
R
u(R + 0) — a JG(p, R)pu3(p)dp + Ru (R + 0)G(R, R). (31)
0
Распространение ТЕ-волны возможно при существовании нетривиальных решений параметра у •
2. Теоремы о существовании и единственности решений краевой задачи
Теперь сформулируем теорему о существовании, единственности и локализации точных решений краевой задачи. Доказательство опирается на теорию нелинейных интегральных операторов.
Следующая теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения собственной функции. Она выясняет, при каких значениях нелинейного коэффициента а решение существует и в какой области оно единственно. Для доказательства существования используется принцип Шаудера, для доказательства единственности - принцип сжимающих отображений.
2
Теорема 1. Если a < А , где
А — -----(32)
3 Ilf ищ
и
R
||N0| — max ^ JpG(p, po)|dp (33)
(А не зависит от а), то уравнение (31) имеет единственное решение и, являющееся непрерывной функцией, и е С[0, Я], и верна оценка ||и|| < г*, где
Теорема 2. Установим теперь непрерывную зависимость решения и от
Пусть ядро N (р, Ро) = аС(р, Ро)Р и правая часть /интегрального уравнения (31) непрерывно зависят от параметра АеЛо, N(А, р, ро) с с С(Ло х [0, Я] х [0, Я]), /(А, Ро) с С(Ло х[0, Я]) на некотором отрезке Ло вещественной числовой оси. Пусть также
Тогда решения и(А, р) уравнения (31) при АеЛо существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра А . и(А, р) с С (Л) х [0, Я]).
Результаты этой теоремы используют при исследовании дисперсионных соотношений.
Теперь докажем теорему о существовании и локализации точных решений параметра у. Прежде чем исследовать дисперсионные соотношения,
2
введем коэффициент нормировки к ~ ю и пронормируем все величины, входящие в дисперсионные соотношения. Таким образом, перейдем от абсолютных величин к относительным.
Получим
~ = к0р, ~ = к0г, Я = к0Я, ~ = е/е0, ~ = ц/ц0 = 1;
V
/
параметра у (или соответственно у2).
(35)
~ 2
и = и / С1, ко = ю 8о^0 .
Дисперсионное соотношение представим в нормализованной форме:
К^Я) - К{ (к1Я)к1Яв(Я, Я) = а |С(р, Я)ри3(р)ф ; (36)
У—1 V ч V) . •)
к2 Я J[(k2 Я) к2Я/1(к2Я) = -/1(к2Я) + к2ЯJ0(k2Я); - к1ЯК1(к1Я) = к1ЯК0(к1Я) + К1(к1Я).
(37)
(38)
(39)
С учетом свойств цилиндрических функций окончательно перепишем его в виде
я
&2ЯК^^к^К)/0(^2Я) + к^ЯКо^к^К)/^(^2Я) = к ^/1(^2р)рм3(р)^р; (40)
0
g (у) = ар (у), (41)
где функции g и р определяются формулами
g(у) = к2ЯК1(к1Я)/о(к2Я) + к1ЯКо(к1Я)/1(к2Я); (42)
я
Р (у) = | /1(к2р)ри 3(р)Ф. (43)
0
Это новое дисперсионное соотношение для случая распространения волн в нелинейной среде в цилиндрическом диэлектрическом волноводе. Оно является обобщением линейного случая g = 0 при а = 0.
Теперь сформулируем теорему о существовании и локализации точных решений параметра X.
Теорема 3. Пусть Ё1, е2 , и а удовлетворяют условиям е2 > £1 > 0 и 0 < а < а 0, где
а0 = min
min |g (кц )|
л2/чл — 2,1—i —m
min А (k),---------------------------:-;
kG а
0,3R I max r*(k)
V кєЛ
(44)
и выполняется условие
klm > Є1 (45)
для определенного m > 1, где
k1m = є2 _ i'lm 1R2; (46)
к2m = є2 _ j0m 1R 2, (47)
m = 1, 2, ...
Когда существует дискретный спектр решений, состоящий по крайней
2
мере из m значений у,, i = 1,..., m, кц < у, < к2, таких, что задача Р имеет ненулевое решение.
3. Итерационный метод и алгоритм его реализации в нулевом и первом приближениях
Сформулируем теперь численный метод решения поставленной задачи и докажем теорему о сходимости приближенных решений un (собственных функций) и kn (собственных значений) к точным.
За основу численного метода выберем итерационный процесс сжимающих отображений
и получим последовательность приближений собственных функций ип :
Утверждение 1 устанавливает сходимость приближенных решений ип к единственному точному решению и интегрального уравнения.
Утверждение 1. Последовательность приближенных решений ип уравнения (31), определяемых посредством итерационного алгоритма (49), существует и сходится в норме пространства С[0, Я] к (единственному) точному решению этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости, которая позволяет сказать, что последовательность сходится как геометрическая прогрессия
г* определяется соотношением (34).
Сформулируем теорему о существовании и локализации приближенных решений параметра Xп .
Теорема 4. Рассмотрим последовательность приближенных дисперсионных соотношений. Приближенные решения локализуются в тех же интервалах, что и точные. Пусть существуют е^, е2 и а, удовлетворяющие условиям е 2 > е1 > 0 и 0 < |а| < ао , где а о определяется теоремой 3, и выполняется условие Х1т >е1 для определенных т = 1, 2, 3, ... Тогда для каждого
п > 0 существует по крайней мере т значений X (п ) , г = 1, ..., т, удовлетворяющих неравенствам X 1г- < Х(п) < X 2 г и являющихся корнями уравнения
и„+і = Р(ип), п = 0,1,...
(48)
я
ио = /, ип+1 = а |С(Р, р0)риПф + /, п = 0,1,... о
(49)
(50)
где д := 3|^||г*2 < 1 - коэффициент сжатия отображения Р,
N (р, р0) = аО(р, Р0)Р,
(51)
к2(п) КК1(к1(п) К) /0(к2(п) К) + к/п) КК0(к/п) К) /1(к2(п) К)
я
(52)
0
где к1(п> = д/х(п) - Е1 , к2(п> = ^2 -Х(п)
, а ип определяется соотноше-
Установим сходимость приближенных решений Х(п) к точным в интервалах локализации по норме пространства С [0; Я].
к точным в ин-
Теорема 5. Пусть Хг- и Хг-(п) - соответственно, точное и приближенное решения значения проблемы Р на интервале [Хц, X2{], I < т , т = 1, 2, 3, ...
Тогда Хг-п -Хг- ^ 0 при п .
Алгоритм решения поставленной краевой задачи в нулевом и первом приближениях выглядит следующим образом.
1. Выбор констант. Выбираем параметры волновода с учетом требований доказанных выше теорем и будем осуществлять цепочку уточнений собственных значений и соответствующих, собственных функций итерациями, отталкиваясь от линейного случая а = 0.
2. Нулевая итерация а = 0. Решаем линейное дисперсионное соотношение и находим для найденного значения параметра соответствующее нулевое приближение собственной функции.
В формуле итерационного процесса
Таким образом, в результате первой итерации находим решение линейного дисперсионного соотношения и соответствующее ему нулевое приближение собственной функции щ .
3. Определение нулевого приближения. Рассчитываем нелинейное приближение параметра у , опираясь на расчет щ . Подстановка нулевой итерации М0(Р0,У2) в уравнение
Я
«п+1(Р0, У2) = а |С(р, Р0)Р«3Ф + /, п = 0,1...
(53)
0
полагаем
2
«0(Р0,У )= /(Р0)
^1^1(^2р0) к2 ]{(к2 Я) ,
(54)
2
где у - решение g (у) = 0.
к2(п) ЯК1(к1(п) Я) /0(к2(п) Я) + к1(п) ЯК0(к1(п) Я) /1(к2(п) Я)
Я
(55)
0
дает соотношение
С(Р,у, а) = g(Я, у2) -а;
Я
4. Первое приближение щ
>. И
Ро, \У / I находим из уравнения
Ні
V
( . і . . Л
л
+ а—
2 /і(к2*) 0 ,
^¡кк2^ /і(к2Ро) І^рр/і(к2р)н0(р,у(0^2
р0 I \2
2^і(к2р0) | ^рр/і(к2р)н0(р,у(0))
0
К І IX
2/і(к2р0) IфрЛ^(к2р)н0(р,у(0))'
(57)
2
Р0
2
Решения Х10 < у0 < X 20 существуют в силу теоремы 3 при
Х10 =е2 - Я2, Х20 =е2 - 7(Э0 / Я2. (58)
Первые приближения собственных функций, соответственно, внутри и вне волновода:
г
Ні
Р0.(у(0)Г) , «[р-(у(0)Г) = (59)
В результате реализации предложенного алгоритма получены наглядные и удобные для приложений и для анализа формулы, описывающие суть явления, и в то же время достигнута высокая степень точности, что устанавливается сравнением с результатами расчетов другими методами (например, Рунге-Кутта, методом решения нелинейной краевой задачи с заранее заданной точностью).
4. Результаты тестирования
2
В таблице 1 рассчитан параметр у при различных значениях радиуса волновода. Соответственно рассчитаны границы интервалов локализации.
В случае основной моды наблюдается совпадение значений у с точностью до третьего знака после запятой с результатами расчетов, выполненных с заранее заданной точностью 8 = 10-4 .
Таблица 1
Расчет параметра у 2 в интервалах локализации при помощи первой итерации
т Х1т £ сч << І у2 Є1 Є 2 а
1 1,08223 1,63849 4,0 1,44031 1 2 0,01
2 1,02352 1,39554 7,1 1,28342 1 2 0,01
3 1,00529 1,28016 10,2 1,27155 1 2 0,01
4 1,01133 1022560 13,4 1,20776 1 2 0,01
Ниже приведены графические представления зависимости спектрального параметра у от радиуса волновода в линейном и нелинейном случаях (рис. 1 и 2) для различных значений коэффициентов нелинейности.
8
Рис. 1 Решение линейного дисперсионного уравнения с выбором констант: диэлектрическая проницаемость среды вне волновода е1 = 1; диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода е 2 = 2
Рис. 2 Зависимость спектрального параметра у от радиуса волновода Я для дисперсионного соотношения в нелинейном случае для коэффициентов нелинейности а = 0,01; 0,02; 0,03; 0,04 соответственно
Выбор констант: диэлектрическая проницаемость среды вне волновода = 1; диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода е 2 = 2.
Список литературы
1. Куприянова, С. Н. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средной / С. Н. Куприянова, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - № 10. - 44 т. - С. 1850-1860.
2. Serov, V. S. Existence of eigenwaves and solitary waves in lossy linear and lossless nonlinear layered waveguides / V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov, H. W. Schurmann // Dokl. Maths. - 1996. - V. 53. - P. 98-100.
3. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1993.
4. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1968.
