CC BY
15
УДК 372.851 МИТРОХИНА С.В.
доктор педагогических наук, заведующая кафедрой, кафедра педагогики, дисциплин и методик начального образования, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого E-mail: svetamitr@yandex.ru ВАСИЛЬЧЕНКО С.Ш.
учитель, муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Центр образования № 40» г. Тула E-mail: sofya_karimova@mail.ru
UDC 372.851 MITROKHINA S.V.
Doctor of Pedagogical Sciences, head of Chair, Chair of Pedagogy, Disciplines and Methods of Primary Education, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University E-mail: svetamitr@yandex.ru VASILCHENKO S.SH. teacher, municipal budgetary general education institution «Center of education No. 40», Tula E-mail: sofya_karimova@mail.ru
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРАКТИВНОЙ ДОСКИ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ
USING THE INTERACTIVE WHITEBOARD IN TEACHING TO SOLVE TOPOLOGICAL PROBLEMS ON MATHEMATICS LESSONS IN THE 5™-6™ FORMS
В статье обосновывается важность топологических задач в формировании пространственных представлений учащихся. Описана методика сочетания моделирования и информационных технологий для формирования у учащихся представлений об уникурсальности линии и развития пространственных представлений. На конкретных примерах показано формирование топологических понятий уникурсальность, уникурсальный граф при решении топологических задач в 5 классе.
Ключевые слова: обучение математике, топологическая задача, интерактивная доска, обучающийся, информационные технологии, моделирование.
The article explains the importance of topological problems in the formation of spatial representations at students. The paper describes a technique of combining modeling and information technologies to form students' views on the line unicursality and the development of spatial representations. Specific examples show the formation of such topological ideas as unicursality, unicursal graph in the solution of topological problems in the 5th form.
Keywords: teaching mathematics, topological problem, interactive whiteboard, student, information technology, modeling.
Современный урок все чаще включает в себя использование информационных технологий: просмотр видео, презентаций, использование интерактивных досок, компьютерные практикумы и контроль качества обучения с помощью тестирования. Однако, традиционные средства обучения, такие как моделирование и конструирование, по-прежнему актуальны при обучении математике и имеют огромное значение для развития пространственных представлений учащихся.
Пространственные представления являются базой для развития пространственного мышления, которое в свою очередь оказывает влияние на усвоение различных предметов и на общее интеллектуальное развитие школьников. В данной статье мы рассмотрим вопросы эффективного сочетания информационных технологий и моделирования на уроках математики. Рассмотрим создание моделей из подручных материалов, таких как веревки, спичечные коробки. Все модели изготавливаются быстро, так как не требуют точных измерений. В качестве мультимедийных средств обучения мы рассмотрим использование интерактивной доски на уроке
математике.
Топология - раздел геометрии, который не входит в учебную программу общеобразовательных учебных заведений. Однако, изучая содержание современных учебников, можно увидеть, что многие авторы рассматривают отдельные топологические задачи, знакомят с новым материалом пользуясь топологическими свойствами объектов. В учебниках под редакцией И.Ф. Шарыгина, Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон встречаются топологические задачи, так же некоторые темы рассматриваются сначала с топологического содержания. Согласно определению, данному в толковом словаре Д.Н. Ушакова, «топология - (от греч. Topos - место и logos - учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т. е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т. п.)» [5].
Важность топологических знаний для развития пространственных представлений отмечают многие ученые и методисты. С. Б. Верченко в диссертационном исследовании отмечает: «Пространственные свойства,
© Митрохина С.В., Васильченко С.Ш. © Mitrokhina S.V., Vasilchenko S.Sh.
учащиеся познают путем расположения объектов по отношению друг к другу через выделение их контура, анализа их особенностей. Выделение контура дает возможность зрительно обособить объект, ограничить его от других, исследовать его свойства. Именно топологические представления служат важным источником формирования пространственных представлений на ранних этапах обучения» [1, с. 74].
Г. Д. Глейзер выделяя основные пути обогащения и совершенствования пространственных представлений учащихся при обучении геометрии отмечает: «Важную роль в развитии пространственных представлений играет теоретико-множественный подход в геометрии. Пути: определение фигур: решение задач на нахождение точных множеств, обладающих определенными свойствами; решение задач на нахождение пересечений фигур; решение задач на нахождение объединений фигур» [2, с. 56].
При рассмотрении основных этапов изучения геометрического материала в начальной школе В. А. Гусев в качестве первого этапа выделяет развитие топологических представлений. Он пишет: «Развитие топологических представлений, характеризующихся умением выделять объект на фоне, менять объект и фон местами, видеть внеположенность объектов, расположение относительно друг друга, выделять контур предмета, выделять области на основе интуитивных представлений о непрерывности и связности, различать внутреннюю, внешнюю области, границу фигуры (эти умения требуются человеку при восприятии любого предмета) ...» [3, с. 174].
Рассмотрим какие виды деятельности на уроках геометрии являются необходимыми для эффективного развития пространственных представлений. В. А. Гусев предлагает следующую схему формирования пространственных представлений о геометрическом объекте: «формирование единичных пространственных образов в практической деятельности на конкретных моделях или с привлечением знакомых учащимся образов (входящих в их субъектный опыт), адекватных понятию соответствующего геометрического объекта. Формирование обобщенных пространственных образов геометрических объектов при нахождении моделей изучаемых геометрических объектов на основе: а) их восприятия, б) образов памяти. Первичное уточнение содержания понятия соответствующего геометрического объекта при рассмотрении «неожидаемых» или непривычных ситуаций через отнесение его свойств к существенным или несущественным свойствам понятия. Выбор учеником собственной оптимальной модели, адекватной понятию соответствующего геометрического объекта, на основе осмысления собственного опыта и его интеграции с общественно-историческим. Проверка сформирован-ности представлений о геометрическом объекте.» [3, с. 188].
В данной статье мы опираемся на представленную выше схему формирования пространственных представлений о геометрическом объекте. Будем следовать
этапам, выделенным В. А. Гусевым и рассмотрим сочетание информационных технологий и моделирования для развития пространственных представлений школьников и формирования представлений об уникурсаль-ности линии.
Интерактивная доска на уроке математики при обучении топологии позволяет: активно использовать разработки учителя для глубокого понимания топологических задач, сочетать индивидуальную, парную, групповую формы работы, наглядно демонстрировать топологические объекты и их преобразования, записывать и сохранять файлы с работами учеников. Так же можно использовать доску как экран проектора для демонстрации различных видео о топологических объектах, презентаций и т.д.
Интерактивные средства обучения позволяют вносить в урок элементы новизны, развлекательные и познавательные элементы. Однако, активная умственная деятельность учащихся тесно связана с ручным трудом и созданием моделей, в частности.
Учитель может подготовить различные видео и презентации, демонстрирующие наглядно процесс создания моделей, а учащиеся поэтапно выполняют видео инструкции, изготавливая модели за партой.
Необходимые задания можно выполнять в специальном ПО для интерактивных досок, например, SMART Notebook или воспользоваться Paint.
Рассмотрим формирование топологических понятий уникурсальность, уникурсальный граф, сами понятия мы вводить не будем, а лишь на интуитивном уровне познакомимся с ними, при изучении темы «Линии» на уроке математики в 5 классе. Согласно схеме формирования пространственных представлений о геометрическом объекте, изложенной В. А. Гусевым, первым этапом является формирование единичных пространственных образов в практической деятельности. Мы предлагаем решить Задачу 1, и опытным путем проверить можно ли изобразить фигуры одним росчерком с использованием интерактивной доски. Учителю необходимо сделать рисунок с заготовками см. рисунки 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, например, пользуясь программой Paint. Далее учащиеся выполняют эти задания в тетради и изображают на интерактивной доске стрелками порядок обхода фигуры. При работе на интерактивной доске обычно дети активнее откликаются на возможность поработать у доски и позитивнее относятся к решению задач.
Задача 1. Проверьте, можно ли изобразить одним росчерком следующие фигуры?
л в
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Проверять уникурсальность фигур начнем методом проб, учащиеся стрелками изображают порядок движения карандаша. Фигура на Рисунке 1.1 - открытый конверт уникурсальна, а фигура на Рисунке 1.2 - закрытый конверт - не уникурсальна. Подсчитаем количество четных и нечетных вершин у фигур на Рисунках 1.1. и 1.2. В отношении следующей фигуры на Рисунке 1.2. - конверт с двумя открытыми сторонами мы воспользуемся правилом: если не более двух вершин фигуры имеет нечетный индекс, то фигура уникурсальна. В нашем случае все вершины фигуры четны, т.е. она уни-курсальна, теперь можно попробовать нарисовать ее одним росчерком. Рисунок 1.3. - пятиугольник с диагоналями, Рисунок 1.4 - шестиконечная звезда, Рисунок 1.5 - семиконечная звезда - уникурсальные фигуры, что можно установить подсчетом нечетных вершин и опытным путем.
Далее, решая Задачу 2 и Задачу 3, мы формируем обобщенный пространственный образ уникурсальной линии сначала на основе восприятия (Задача 2), затем на основе образов памяти (Задача 3). При работе над задачами нам также понадобятся заготовки в виде рисунков графов в Paint, которые учащиеся смогут обводить на доске.
От вычерчивания всем известных фигур перейдем к произвольным графам. Графом будет маршрут паука, сплетенная им паутина, чтобы не вводить понятие графа. Граф называется уникурсальным или Эйлеровым, если его можно «нарисовать одним росчерком», то есть обойти его весь непрерывным движением, не проходя одно и тоже ребро дважды. Свойство графа быть уникурсальным является топологическим инвариантом, который выражается через понятие индекса вершины.
Задача 2. Паук сплел паутину (Рис. 2.1). Сможет ли он обойти всю паутину, проходя каждую нить 1 раз? Обведите цветным карандашом путь паука, расскажите соседу по парте про путь вашего паука, а он вам расскажет про путь своего паука, сравните эти пути. Пусть наш паук решил изменить паутину (Рис. 2.2), удалив вторые паутинки, выходящие из одной точки. Сможет ли он теперь обойти свою паутину (Рис. 2.2), пройдя каждую паутинку ровно 1 раз?
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Задача 3. Паук сплел часть паутины и собирается обойти свою работу по паутинкам, пройдя каждую только 1 раз, удастся ли ему это сделать?
Рис. 3.1
Решение: опытным или аналитическим путем (подсчитав четные и нечетные вершины) мы приходим к выводу, что паутину обойти за 1 раз нельзя, добавив двойные паутинки к каждой из нарисованных мы придем к выводу (опытным путем или путем расчетов), что такую паутину обойти за один раз можно. Пронумеруем вершины графа и подсчитаем, сколько линий выходит из каждой вершины, далее учитель сообщает, что связный граф можно начертить одним росчерком (т.е. он уникурсален), тогда и только тогда, когда он содержит не более двух вершин нечетного индекса.
На следующем этапе еще раз выделим существенные и несущественные признаки для уникурсальности графа. Установим от чего зависит возможность обхода контура ровно один раз и ровно два раза. Так же будем пользоваться интерактивной доской с заранее заготовленными рисунками в Paint.
Задача 4. Обойдите паутину на Рис. 1 за один раз, не проходя дважды по одной паутинке. Дорисуйте паутину так, чтобы паук не смог ее обойти, не проходя по паутинкам дважды (можно дорисовывать вершины, добавлять и убирать паутинки).
Рис. 4.1
Вывод: оказывается, любую «паутину» (систему местностей), можно обойти, если необходимо побывать в каждом пункте ровно два раза.
От уникурсальности линий на плоскости переходим к рассмотрению уникурсальности в пространстве. Для решения Задачи 5 нам потребуется спичечная коробка и веревочка. Будем продолжать формирование пространственных представлений об уникурсальности линии в процессе создания моделей. Технологию упаковки подарков можно рассмотреть, пользуясь проектором и доской, т.к. в сети Интернет много видео материалов по данной теме.
Задача 5. Надо обвязать посылку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. Посылка лежит перед вами в подходящем положении. Требуется:
A) обвязать ее веревкой слева направо и спереди назад так, чтобы веревка нигде не прошла дважды (рис. А):
т
в1 V
ж
Рис. 5.1.
Б) посылку, чтобы ее укрепить по длине, требуется дважды обвязать веревкой спереди назад (рис. Б); опять-таки наша цельная веревка нигде не должна пройти дважды;
B) посылку нужно обвязать так, как в задаче Б, но при этом она должна быть кругом обвязана и посередине и по высоте, опять-таки цельной веревкой, которая нигде не должна пройти дважды (Рис. В);
Г) нужно обвязать посылку дважды не только спе-
реди назад, но и слева направо (Рис. Г); по-прежнему соблюдаются требования, чтобы веревка была цельной и нигде не была сложена вдвое [4, с. 229].
Решение первой задачи тривиально, можно сказать, что оно везде в ходу. Уже во втором случае (рис. Б достаточно ясно показывает, как он решается) - многие действуют менее ловко, а именно, либо у них средняя часть веревки вверху получается двойная, либо же они выполняют второе обвязывание спереди назад с помощью нового куска веревки, закрепленного в подходящем месте. При решении третьей задачи (оно указано на рисунке Е) обычным способом является обвязывание на половине высоты опять-таки с помощью нового куска веревки. На рисунке Ж дано одно из возможных решений последней задачи.
Изготовление модели: возьмите небольшую коробочку (спичечный коробок и веревку (шнурок) и проведите серию опытов по обвязыванию посылки (Рис. 5.1 а-ж). Старайтесь сначала выполнить задание, не обращая внимания на рисунок (читайте только текст), если модель не получается, обращайтесь к Рис. 5.1.
Для проверки сформированности пространственных представлений об уникурсальности линии полезно организовать работу в парах на интерактивной доске, когда учащиеся могут предложить свои варианты уни-курсальных и не уникурсальных фигур, добавить или убрать части линий и т. д.
Таким образом, применение интерактивной доски в сочетании с традиционным моделированием и решением задач в тетради делает урок более динамичным, содержательным, позволяет отслеживать качество усвоения нового понятия, корректировать неточности в усвоении, формировать положительное отношение к изучению геометрии.
Библиографический список
1. Верченко С.Б. Развитие пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала в 4-5 классах средней школы. Дис... канд. пед. наук. Москва, 1983. 167 с.
2. ГлейзерГ.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978. 104 с.
3. Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В. А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В. А. Гусева. М.: Издательский центр «Академия», 2004. 368 с.
4. Литцман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 264 с.
5. Толковый словарь под редакцией Д. Н. Ушакова http://enc.biblioclub.ru/Search (дата обращения 01.04.2017)
References
1. Verchenko S.B. Razvitiye prostranstvennykh predstavleniy uchashchikhsya pri izuchenii geometricheskogo materiala v 4-5 klassakh sredney shkoly [Development of spatial representations at students in the study of geometric material in the 4-5th forms of secondary school.]. Dis. ... kand. ped. nauk [Cand. Dis. ... Cand. Pedagog. Sciences] Moscow, 1983. 167 p
2. Gleyzer G.D. Razvitiye prostranstvennykh predstavleniy shkol'nikov pri obuchenii geometrii [Development of spatial representations of students in teaching geometry]. Moscow: Pedagogika, 1978. 104 p.
3. Metodika obucheniya geometrii: Ucheb. posobiye dlya stud. vyssh. ped. ucheb. zavedeniy [Method of teaching geometry: A manual for students of higher pedagogical educational institutions] / V.A. Gusev, V. V. Orlov, V. A. Panchishchina, etc.; Ed. by V. A. Gusev. Moscow: Publishing center «Akademiya», 2004. 368.
4. Litzman V. Veseloye i zanimatel'noye o chislakh i figurakh [Fun and entertainment in numbers and figures]. Moscow: State publishing house of physico-mathematical literature, 1963. 264 p.
5. Tolkovyy slovar' pod redaktsiyey D. N. Ushakova [Explanatory dictionary edited by D.N. Ushakov] http://enc.biblioclub.ru/Search (accessed 01.04.2017)
