ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 330.4

Сидорова А. А. студент I курса кафедра «Экономика» Научный руководитель: Кошевая Н.С. старший преподаватель кафедры «Экономика»

РУДН Россия, Сочи

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ

Аннотация. На современном этапе развития общества математика и ее инструментарий являются неотъемлемой частью любой науки. Посредством математического аппарата исследуются и анализируются многие явления и процессы в жизни общества, в том числе и экономические. В настоящей статье нами представлены примеры применения интеграла для расчета таких экономических показателей, как количество убытка, величина

потребительского излишка и дисконтированный доход.

Ключевые слова: интегрирование, объем продукции, количество прибыли, количество убытка, потребительские излишки.

Sidorova A.A.

first-year student, Department of Economics, RUDN University

Koshevaya N. S. supervisor, senior teacher Department of "Economics", RUDN, Sochi

Russia, Sochi

APPLICATION OF INTEGRATION IN THE ECONOMY

Annotation. At the present stage of development of society, mathematics and its tools are an integral part of any science. Through the mathematical apparatus, many phenomena and processes in the life of society, including economic ones, are investigated and analyzed. In this article, we present examples of the use of the integral for calculating such economic indicators as the amount of loss, the value of consumer surplus and discounted income.

Keywords: integration, volume of production, amount of profit, amount of loss, consumer surplus.

Применение интегрирования в экономике - это достаточно актуальная тема в наше время. И эта позиция легко объясняется тем, что интегральное исчисление благодаря изобильному математическому аппарату дает возможность моделирования и исследования процессов, которые происходят в экономике. Впервые интеграл применялся в трудах Архимеда, который пытался вычислить площади и объемы отдельных фигур. Но главные понятия

дифференциального и интегрального исчислений были составлены в 18 веке. Этим стали заниматься двое ученых Ньютон и Лейбниц, причем независимо друг от друга. Они и сформировали базовые понятия интегрального исчисления.

Следует отметить, что в настоящее время интегрирование имеет очень широкий спектр применения от экономики до физики и нашей повседневной жизни, ведь большая часть современных технологий не может существовать без интегралов, а именно сотовая связь и интернет, без которых мы не можем представить нашу жизнь, используют интегрирование для расчета орбит спутников.

Так как же все-таки применяется интегрирование в экономике?

Разберем на конкретных примерах.

Интегрирование применяется во многих расчетах в экономике, а точнее, с помощью интегрирования можно найти объем продукции, количество прибыли или убытка. Для таких расчетов воспользуется следующей формулой:

V = \ / (г) ■ йг (1)

к

где /(х) непрерывная функция, которая зависит от времени, а конкретнее, от промежутка времени от 1л до 112.

Пример 1.

Определить количество убытка от продажи акций на фондовой бирже.

V(t) - количество убытка, г - время (промежуток времени от ^ = 1 до г2 = 10 дней), известно, что ситуация на фондовой бирже задана функцией

/ (х) = - + зг2 + Г

Решение:

Количество убытка будет выражаться формулой (1):

'с Л 10 7. 10

5 „2 .1 I . -ГШ

V(г) = П- + зг2 + / ]■ йг = 5| — + з|г2йг + |= 5■ 1п|г| 1° + з■ г31° + / 1° = 5■(1п10- 1п1)+

1 Vг ) 1 г 1 1

+ з ■ (1000 -10) + (/0 - / 5 ■ 2,з026 + з ■ 990 + 2202з « 2500з (ед.)

Ответ. 25003 ед.

Так же интегрирование используется при необходимости расчета потребительского излишка.

Формула для вычисления потребительского излишка, выглядит следующим образом:

С8 =| /(т) ■ йт - т ■ п (2)

0

при этом т - это количество товара, п - равновесная цена за количество товара т .

Будем считать, что на рынок товар щ поступает маленькими партиями -это предположение и является главным показателем при выводе формулы потребительского излишка (функция спроса и предложения при этом непрерывна).

Пример 2.

Рассчитать величину потребительского излишка. Иностранная валюта (фунт стерлингов) на валютном рынке. Известно, что спрос задан функцией щ = 600 - 100п2, а предложение описывается функцией щ = 500п, равновесие на валютном рынке достигается при щ = щ =1.

Решение:

Нам необходимо определить параметры рыночного равновесия (щ, щ), поэтому надо составить и решить систему уравнений:

Гщ = 600- 100щ2; |100щ2 + 500щ-600 = 0; Г щ = 1;

| щ = 500щ | щ = 500щ Ц = 500.

Запишем формулу /(щ) вычисления потребительского излишка, где /(щ) -является обратной функцией для функции щ = 600 - 100п2.

^ ч /600 - щ л/600 - щ ,

/(щ) = 1————=-——, теперь полученную функцию подставим в

формулу потребительского излишка (2).

С8 = г I л/600—щ } -1 _ 500 = 1 0(7600-щ)• ёщ - 500 = - — (600 - щ)2 1 I ю 10 ^ ' 15 '

0 V 10 J

3 500

-500 =

0

= - — (1000 - 6000л/6)- 500 = - — + 400л/6 - 500 = 400л/6 -1700 « 413,13 15у ' 3 3

Ответ. 413,13

Рассмотрим пример применения интеграла в экономической эффективности капитальных вложений.

Определение первоначальной суммы по ее конечной величине, которая накапливается через время 1 (лет) при процентной ставке р, называется дисконтированием.

Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Рассмотрим К - конечную сумму, полученную за ? лет, и К -дисконтируемую сумму.

Если проценты простые, то Кг = К (1 + и), где I = ^^ - удельная процентная

ставка. Тогда К = -К—.

1 + и

К

Если проценты сложные, то К = К(1 + и)', откуда К = ■ '

(1 + и)

Поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией /(г). При удельной норме процента, равной ^ процент начисляется непрерывно, тогда дисконтированный доход K за время t вычисляется по формуле:

К = | / (г)£ -ийг (3)

0

Пример з

Определить дисконтированный доход за два года при процентной ставке 10%, если первоначальные капиталовложения составили 15 млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 2 млн. руб. Решение.

По условию задачи капиталовложение задается формулой /(г) = 15 +2г. Тогда по формуле (3) дисконтированная сумма будет равна:

2

0

2

С П1, u = 15 + 2t dv = l °-udt nu 2 2 n„

K = Г (15 + 2t)r0,"dt = = -10Г0,1' (15 + 2t) +20 Г l -0,1idt =

^^ du = 2dt v = -10l -0Ji 0 Г

- 200l-0,1t

2 =-10l-0,1t (35 + 2t)

0

2 =-390 • l-0,2 + 350 =

= -10l-0,1t (15 + 2t) = -390 • 0,81873 + 350 = 31 млн. руб. Ответ. 31 млн. руб.

Полученный результат означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через два года ежегодные капиталовложения от 15 до 19 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 31 млн. руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Таким образом, мы видим, что применение интегрирования играет важную роль в экономических расчетах, поэтому широко распространено в современной экономике.

Использованные источники:

1. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов / -М.: Экономика, 2001 - 688 с.

2. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., - 3-е изд. - М.ЮНИТИ-ДАНА, 2015 - 479 с.

3. Солодовников, А.С, / Математика в экономики / А.С., Солодовников, В.А. Бабайцев / - M.: Финансы и статистика, 2005 - 560 c.

T