Применение интегральных топографических характеристик в решении задач обработки данных дистанционного зондирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2020. Том 27, № 1

УДК 004.94

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ДИСТАНЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

О. В. Самарина, В. В. Славский, С. П. Семенов

Аннотация. Одной из наиболее актуальных задач цифровой обработки изображений является задача поиска новых математических подходов к анализу и обработке многоканальных изображений (в том числе данных дистанционного зондирования Земли). Актуальность этих исследований определена необходимостью оптимизации существующих методов цифровой обработки изображений, повышения эффективности и качества результатов, получаемых в результате анализа цифрового сигнала.

В работе предложен подход к обработке данных дистанционного зондирования Земли, основанный на определенных инвариантных интегрально-геометрических характеристиках цифрового изображения. Инвариантные характеристики играют важную роль в обработке цифрового сигнала и широко используются в задачах распознавания образов, при поиске структурных соответствий по образцу, в задачах дистанционного зондирования, геологических исследованиях. В работе также представлено описание программного модуля, разработанного в системе Ма^аЬ в целях анализа изображений и вычисления указанных числовых характеристик.

Б01: 10.25587/8УРи.2020.16.44.003

Ключевые слова: инварианты, интегрально-геометрические характеристики, обработка цифровых изображений, обработка данных дистанционного зондирования Земли.

1. Введение

Нефтегазовый сектор является динамично развивающейся отраслью экономики. В настоящее время ведутся активные работы по освоению новых месторождений, строительству трубопроводов, терминалов, предприятий переработки и нефтехимии. Перспективы освоения месторождений, расположенных на территориях Крайнего Севера и в пределах арктического шельфа, существенно расширяют территории нефтегазодобычи. В связи с этим в целях оптимизации производственных процессов, повышения эффективности государственного контроля и объективности экологических оценок все более важной

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 18—47—860016, 18-01—00620), при поддержке Научного Фонда ЮГУ № 13-01-20/10.

© 2020 Самарина О. В., Славский В. В., Семенов С. П.

становится задача использования данных дистанционного зондирования Земли (далее: ДДЗ). ДДЗ обладают такими важными показателями как оперативность, доступность, достоверность и актуальность получаемой информации, а также высокая пространственная точность исходных данных и результатов их обработки. Создание и разработка новых, более эффективных методов анализа и обработки ДДЗ является одним из актуальных направлений в области анализа и обработки цифрового изображения [1—3]. В работе представлен подход к обработке ДДЗ, основанный на применении интегральных топографических характеристик [4-6].

Данные многозональной съемки в цифровом виде можно рассматривать как многомерную матрицу, где каждая двумерная матрица является снимком земной поверхности в определенной зоне электромагнитного спектра. К примеру, изображение, полученное со спутника Ьа^за! ТМ, представляет собой снимок земной поверхности в семи зонах спектра (синяя, зеленая, красная, ближняя инфракрасная (ИК), две средних ИК, дальняя ИК) [7, 8].

Перейдем к рассмотрению многозональных снимков как к набору п неотрицательных функций щ(х, у), г = 1,... , п, в некоторой области Б на плоскости.

Под топографическими характеристиками цифрового многоканального изображения будем понимать различные числовые характеристики семейств слоев

1—[и] = (х, у) : иг(х,у) < а, г = 1,. .. , п,

1+[и] = (х, у) : иг(х, у) > с^, г = 1, .. . , п,

где функция иДх, у) определяет значения матрицы ДДЗ в определенной зоне спектра. Примером топографической характеристики может служить площадь множеств [и], где параметр с является целочисленной величиной из диапазона [0, 255]. Данная характеристика цифрового изображения легко вычисляется и широко используется при решении различных задач цифровой обработки изображений.

В данной работе определяются и исследуются такие интегрально топографические характеристики, как обычная евклидова длина и кривизна, вводится понятие плотности длин и кривизн, а также нерегулярности контурных линий изображения первого и второго порядков.

2. Основные результаты

С математической точки зрения основной трудностью при работе с цифровыми изображениями (в том числе и ДДЗ) является их дискретность, поэтому вычисление таких характеристик, как длина или кривизна, на цифровом изображении требует дополнительных усилий, связанных с интерполяцией функций и линий [1, 8, 9]. Использование интегрально-геометрических соотношений, представленных в данной работе, позволяет обойти эти трудности вычислений.

2.1 Обобщенная теорема Фубини. Напомним некоторые факты из интегральной геометрии [10]. Предположим, что Ут и Xп — ориентированные

многообразия, т > п, отображение ф : Ут ^ X" регулярно, тогда на ф-1(ж) можно определить каноническую ориентацию. Пусть {у1} и {ж1} — положительно ориентированные карты на Ут и X" такие, что отображение ф в этих координатах имеет вид

ж1 = ф1(у1,у2,... ,ут) = у1, ж2 = ф2(у1,у2,...,ут)= у2,

ж" = ф" (у1,у2,... ,ут) = у".

Так как ф регулярное, такие карты всегда можно определить в окрестностях точки жо € X" и уо = ф(жо) € Ут. Тогда по определению положим, что {у"+1, у"+2,... , ут} — положительная система координат на ф-1(ж). Если {у1 } и {жг } — другая такая пара ориентированных карт на Ут и X", то функции

перехода для Ут имеют вид

у1' = у1' (у1,у2,... ,у"),

у"' = у"'(у1,у2,... ,у"),

у"+1 ' = у"+1 ' (у1, у2,... ,ут),

ут = ут (у1,у2,... ,ут).

Отсюда

о < |д,-у11

дук ||дгуг |,

дк ук о

дгук' дгуг

здесь 1 < ]' < т, 1 < к, к' < п, п +1 < г, г' < т.

Обозначим через Кф с Ут множество точек нерегулярности ф, через ф(Кф) с X" — множество критических значений ф. Справедливо обобщение следующее теоремы Фубини.

Теорема 1. Пусть ф € С1(Ут, X"), т > п, ш — некоторая (т — п)-мерная дифференциальная форма на Ут, О — некоторая п-мерная дифференциальная форма на X", причем ш и О — формы одного вида (т. е. обе одновременно либо абсолютные, либо обычные), д — измеримая функция на Ут, ф(Кф) является множеством нулевой меры. Предположим также, что / суммируемая на Ут относительно ш л ф*О. Тогда для почти всех ж € X" корректно определена функция

{ I дш

^ (ж) = I ф-1(х)

[ 0, если ф-1(ж) пусто Функция ^ измерима и суммируема относительно О и имеет место равенство

! дш л ф* о =у га

Здесь операция Л — внешнее произведение дифференциальных форм. Если

£(х)= | ЫМ

ф-1(х)

суммируема относительно О, то и д суммируема относительно |ш л ф*О|. Равенство при этом принимает вид

! |д||ш л ф*о| = у га.

гт

Замечание 1. Если ф принадлежит классу Ст—п+1, то в силу теоремы Сарда [10] предположение ф(Кф) есть множество меры нуль можно опустить.

2.2. Длина границы контурных линий цифрового изображения.

Пусть Б с К2 — компактная область на плоскости с кусочно-гладкой границей, и : И —> К — функция класса С2(1?). По теореме Сарда для почти всех Ь € К множество и-1[4] = {(х, у) € Б : и(х, у) = Ь} — гладкая регулярная кривая, трансверсально пересекающая границу дБ [10]. Следовательно, определена длина кривой

У < = £(Ь),

«-1М

где < — элемент длины кривой и-1[Ь].

Теорема 2. Справедливо равенство

м

J £(Ь) <И = J |уи| <х<у т О

где М = тах и(х,у), т = тш и(х,у).

(х,у)ео (х,у)ео

Доказательство. Воспользуемся теоремой Фубини, положив Ут = К2, Xп = К1, ф = и, ш =

™ _ „2 ^п _ „1 ^ _ ,, _ дхиг!у-дуиг1х

и)2 + (д„ и)2

У (9жи)2 + (<9уи)

/ = 1, О = <и = дих <х + диу <у.

Тогда

[ ш= [ ^¿У-ду«** = [ Л = т

У 3 + 3

и-1^) «-1(-о «-1(*)

/г г /"г д и <<у_д и <<х

л = у/ . л ^ = у/ + а + ¿4 4,)

Я1 О О

г г дхи2 + д и2 [ (

/ / //я" чо , гШУ = / / 1Уи1 33 V (джи)2 + (дуи)2 ,/,/

ОО

Отсюда получим искомое равенство.

Замечание 1. Аналогично доказывается равенство

м

где

JJ |уи|р ОжОу = У <И,

О т

ьР(*) = J |уи|р-1 ог.

«-1м

В частности, при р = 0 получим

м

JJ ОжОу = JJ Ь0(£)

О т

Следствие 1. Пусть Б = {(ж, у) : и(ж, у) < в}, где т < в < М. Тогда

У £(г) <И = JJ |уи| ОжОу.

т

Дифференцируя по верхнему пределу левую часть, получим ^^ = ^ / ^ = ^ // ^^

т

Полученную формулу можно использовать для вычисления длин изофот цифрового изображения.

Замечание 2. В отличие от стандартных методов вычисления длины контура в цифровом изображении [11], при данном способе интерполяция потребуется лишь в одном случае — при вычислении производной в представленной выше формуле для Ь(в).

В нашем случае для одного из каналов многозонального снимка ДДЗ и(ж, у) в некоторой области Б на плоскости с учетом выражения верхних (нижних) лебеговых множеств г±[и] длина £±(с) контурных линий рассматриваемой матрицы изображения будет определена следующим интегрально-геометрическим соотношением:

ос

где

^±(с) = ^ |уи| ОжОу,

а |Уи| — градиент функции. В данном выражении функция принимает целые значения, поэтому для производных и градиента используются разностные формулы. Данные равенства использованы авторами в численном алгоритме вычисления величины Ь±(с).

2.3. Кривизна контурных линий цифрового изображения. Выведем формулу для кривизны контурных линий цифрового изображения. Пусть и(ж, у) — функция класса С2, тогда справедлива

Теорема 3. Кривизна регулярной линии уровня функции и(ж, у) вычисляется по формуле

и(0'2)(ж,у)и(1'°)(ж,у)2 - 2и(1'°)(ж,уУ0'1)(ж,уУ1'1)(ж,у)

к(ж,у)

(и(°>1)(ж,у)2 + и(1.°)(ж,у)2)3/2

и(2'°)(ж,у)и(0'1)(ж,у)2

+

(и(°-1)(ж,у)2 + и(1-°)(ж,у)2)

где

'"' , у) =

3/2 '

„л _ д1^и(х,у)

джгду^

Доказательство. Пусть дана кривая, заданная натуральной параметризацией: ж = ж(в), у = у (в), где в — длина дуги кривой. Дифференцируя по в тождество и(ж(в),у(в)) = с, получим

ж'(5)и(1'°)(ж(5),у(5)) + у'(5)и(°'1)(ж(5),у(5)) = 0.

Второй раз дифференцируя, получим

ж''(в)и(1'°) (ж(в) , у (в)) + у''(5)и(°'1)(ж(5),у(5)) + ж'(5)2и(2'°)(ж(5),у(5))

+ у'(5)2и(°'2)(ж(5),у(5))+2у'(5)ж'(5)и(1'1)(ж(5),у(5))=0.

Кроме того,

ж' (в)2 + у'(в)2 = 1, ж' (в)ж'' (в) + у'^у''^) = 0. Из этих уравнений последовательно получаем

Ж (3) = —

=

/ И^1) (х(3), У (я))2 + И^1'0) (х(3), у (я))2 и(1'°)(ж(5),у(5))

/и(°'1) (ж(в), у (в))2 + и(1>°) (ж(в), у(в))2 . Аналогично находим вторые производные:

¿(1,°) (ж, у) (и(°'2) (ж, у )и(1'°) (ж, у)2)

ж"(5) = --

(и(°-1)(ж,у)2 + и(1-°)(ж,у)2)2

и^0-1) (ж, у)(ц(°'1) (ж, у )г/Я-°> (ж, у) - 2и<-1'0') (х, у)и^'г> (ж, у)) + (и'-0^(х,у)2 +и(1^(х,у)2)2 !

_ (ж, у)(и(°'2'> (ж, у У1-0) (ж, у)2)

У ^ ~ (и(°^(х,у)2 +и(1^(х,у)2)

+

2 + и(1-°)(ж,у)2)2 и(°'1) (ж, у)(и(°'1) (ж, у)и(2'°) (ж, у) - 2и(1'°) (ж, у)и(1'1) (ж, у))

(и(°-1)(ж,у)2 + и(1-°) (ж, у)2)2

Кривизна натурально параметризованной кривой вычисляется по формуле ж'Му'Чв) — у'(з)ж''(в) ., , ... , ., , ... ,

22 ж (в) +у' ( в )

Подставляя, получим окончательную формулу. Интегральная кривизна линии уровня и-1[Ь] = {(х, у) € Б : и(х, у) = Ь} равна

//* дхи <у — д и <х /*

ф,у)ш= / к(х,у)—^= У : = / к(х, у) (11. 3 лУ(дхи)2 + (ду и)2 ./

и-1 [*] и-1 И и-1 [*]

По теореме Фубини получаем, что

У К(Ь) = JJ к(х,у)ш л <и Я1 О

/* /* дхи <<у_д и <<х

= // Л ¿ж + ¿у)

■О V (дхи)2 + (дуи)2

П (дхи)2 + (д и)2 [[

= К(Х,У)~7= ,9 Д = г1хг1у = // к(ж,у)|\7и|сгжсгу. л/ (дхи)2 + (д„и)2 ././

. . )2 . „ . D D

Следствие 1. Пусть Ds = {(ж, y) : ,(ж, y) < s}, где m < s < M. Тогда

s

j K(t) dt = jj K(x,y)|vu| dxdy

m Ds

и, дифференцируя по верхнему пределу левую часть, получим

s

K(s) = "7- i к(1) dt= 4- if к(х, y)\Vu\ dxdy. ds J ds J J

m Ds

Замечание 1. В отличие от стандартных методов вычисления кривизны контура в цифровом изображении [11], при данном способе интерполяция потребуется лишь в одном случае — при вычислении производной в равенстве для K (s).

В нашем случае для одного из каналов многозонального снимка ДДЗ ,(ж, y) в некоторой области D на плоскости с учетом выражения верхних (нижних) лебеговых множеств [u] кривизна границы k± (c) множества [u] будет определена следующим интегрально-геометрическим соотношением:

dc

[u]

а к(х,у) — кривизна топографических линий, вычисляемая по формуле

к(х,У)

(Ш +(§ЭТ

В данном выражении для к± (с) функция принимает целые значения, поэтому для производных, градиента и кривизны к(х, у) используются разностные формулы (указанные формулы использованы авторами в численном алгоритме вычисления величины к±(с)).

2.4. Плотности длин и кривизн контурных линий цифрового изображения.

Определение 1. Подынтегральные величины

А1 (х,у) = |Уи|,

(¿и(ди\2 _ дди(ди\ д2и , д2 и ( ди\2 д / \ | т-7 11 / \ ду2 V дх ) дх V ду / дхду дх2 V ду /

А 2{х,у) = \\и\к{х,у) = —--%--—,

У 1 IV'»/ (ди\2 I (ди\2

Уду) ~г v дх )

будем называть плотностями длин и кривизн контурных линий изображения. Они также вычисляются по формулам конечных разностей. Заметим, что

•Р+(с) + (с) ^ УУ А1(х,у) ОхОу + 2 JJ А1(х, у) ОхОу,

Q и(х,у) = с

где первое слагаемое не зависит от с. Следовательно,

Ь+{с) + Ь~(с) = 2-^- JJ Х1(х,у)йхйу.

и(х,у) = с

Так как для гладкой функции и(х, у) мера множества {(х, у) : и(х, у) = с} равна нулю, то

£+(с) + Ь— (с) = 0. Определение 2. Для цифрового изображения и(х, у) величину

ос ос

назовем нерегулярностью контурной линии первого порядка.

Аналогично определяем нерегулярность контурной линии второго порядка

52(с)=к+(с)+к-(с) = ^-^+^-^ = 24- [[ Ых,у)ЛхаУ.

ос ос ас уу

и(х,у)= с

3. Вычисление интегрально-геометрических характеристик для ДДЗ

Для проведения исследований ДДЗ авторами в среде Ма^аЬ разработан программный модуль, реализующий численные алгоритмы вычисления представленных в работе характеристик цифрового изображения. При запуске модуля пользователю предоставляется возможность выбора как изображения для

обработки, так и перечня вычисляемых характеристик. Для выбранного изображения программный модуль позволяет вычислить следующие характеристики:

• А1(ж, у) — удельную плотность длин контурных линий изображения;

• А2(ж, у) — удельную плотность кривизн контурных линий изображения;

• Ь+(с) — длину контурных линий верхней границы множества;

• (с) — кривизну контурных линий верхней границы множества;

• Ь-(с) — длину контурных линий нижней границы множества;

• к-(с) — кривизну контурных линий нижней границы множества;

• ¿1(с) — нерегулярность контурной линии первого порядка;

• ¿2(с) — нерегулярность контурной линии второго порядка.

Дополнительно для оценки вычисленных характеристик возможно отображение гистограмм распределения значений вычисленной характеристики (для длины контурных линий) или графика значений характеристики (для кривизны контурных линий).

Для проведения исследования был выбран канал, соответствующий синей цветовой зоны космического снимка земной поверхности, полученного со спутника Ьа^за! 7. Для рассматриваемой цветовой матрицы изображения были вычислены все представленные выше характеристики, проведено построение графиков и гистраграмм.

Проведенные практические исследования показали, что корреляция между значениями Ь+(с) и Ь-(с), а также к+(с) и к-(с), вычисленными для одного и того же изображения, очень высока и близка к -0.95. Таким образом, в целях оптимизации вычислений при обработке изображения пользователю достаточно использовать один из наборов характеристик Ь±(с) и к±(с).

4. Заключение

Предложенный в работе подход к анализу ДДЗ, основанный на использовании интегральных топографических характеристик, является актуальным и перспективным направлением в области анализа и обработки цифровых изображений, в том числе снимков земной поверхности. Проведенные исследования показали, что длина и кривизна, удельные плотность длин и кривизн контурных линий изображения, нерегулярности контурной линии первого и второго порядков являются эффективными характеристиками цифрового изображения и могут быть использованы в качестве инвариантных характеристик снимка при решении таких задач цифровой обработки ДДЗ, как предварительная обработка изображений, задачи классификации и поиска соответствия по образцу, специализированная тематическая обработка и многие другие.

ЛИТЕРАТУРА

1. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. 2-е изд.

М.: Вильямс, 2004.

2. Кравцов С. Л. Обработка изображений дистанционного зондирования Земли (анализ методов). Минск: ОИПИ НАН Беларуси, 2008.

3. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Бином-Пресс, 2006.

4. Самарина О. В. Топологически-семантический анализ изображения // Вестн. Югорск. гос. ун-та. Ханты-Мансийск. 2017. № 3. С. 74—77.

5. Самарина О. В., Славский В. В. Контурный анализ цифрового изображения // Ломоносовские чтения на Алтае: Фундаментальные проблемы науки и образования. Барнаул, 2015. С. 542-544.

6. Xia G. S., Delon J., Gousseau Y. Locally invariant texture analysis from the topographic map. Proc. ICPR 2008. Paris, 2008.

7. Лурье И. К. Геоинформационное картографирование. Методы геоинформатики и цифровой обработки космических снимков. М.: КДУ, 2010.

8. Кашкин В. Б., Сухинин А. И. Дистанционное зондирование Земли из космоса. Цифровая обработка изображений. М.: Логос, 2001.

9. Li M., Zang S., Zhang B., Li S., Wu C. A review of remote sensing image classification techniques: the role of spatio-contextual information // Eur. J. Remote Sensing. 2014. V. 47. P. 389-411.

10. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975.

11. Klette R., Rosenfeld A. Digital Geometry: Geometric Methods for Digital Picture Analysis. Morgan Kaufmann, 2004 (Morgan Kaufmann Ser. Computer Graphics).

Поступила в редакцию 3 октября 2019 г. После доработки 4 февраля 2020 г. Принята к публикации 17 февраля 2020 г.

Самарина Ольга Владимировна, Славский Виктор Владимирович,

Семенов Сергей Петрович

Югорский государственный университет,

ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012

samarina_ov@mail.ru, slavsky2004@mail.ru, ssp@augrasu.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2020. Том 27, № 1

UDC 004.94

INTEGRAL TOPOGRAPHIC CHARACTERISTICS

IN SOLVING PROBLEMS OF REMOTE

SENSING DATA PROCESSING

O. V. Samarina, V. V. Slavsky, and S. P. Semenov

Abstract: Search for new mathematical approaches to the multichannel images analysis and processing (including Earth remote sensing data) is one of the topical problems in digital image processing. The relevance of it is determined by the need to optimize the existing methods of digital image processing, to improve the efficiency and quality of the results obtained from the digital signal analysis.

In this paper, we present an approach to Earth remote sensing data processing based on invariant integral-geometric characteristics of the digital image. The invariant characteristics play an important role in digital signal processing and are widely used in pattern recognition tasks, in pattern structural matching, in remote sensing tasks, and in geological research. The paper also describes a MatLab software module developed for image analyzing and calculating of the numerical integral-geometric characteristics.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.16.44.003

Keywords: invariant, integral topographic characteristics, digital images processing, remote sensing data processing.

REFERENCES

1. Ifeachor E. C. and Jervis B. W., Digital Signal Processing: A Practical Approach, Prentice Hall (2001).

2. Kravtsov S. L., Image processing of Earth remote sensing (analysis of methods) [in Russian], Minsk, OIPI Nats. Akad. Navuk (2008).

3. Lyons R. G., Understanding Digital Signal Processing, 3rd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ (2011).

4. Samarina O. V., "Topological-semantic image analysis [in Russian]," Vestn. Yugorsk. Gos. Univ., 3, No. 46, 74-77 (2017).

5. Samarina O. V. and Slavsky V. V., "Contour analysis of digital image [in Russian]," in: Lomonosov's Readings in Altai: Fundamental Problems of Science and Education, pp. 542544, Barnaul (2015).

6. Xia G. S., Delon J., and Gousseau Y., "Locally invariant texture analysis from the topographic map," in: Proc. ICPR 2008, Paris (2008).

7. Lurie I. K., Geographic Information Mapping. Methods of Geoinformatics of Digital Processing of Space Images, 2nd ed. [in Russian], KDU, Moscow (2010).

8. Kashkin V. B. and Sukhinin A. I., Remote Sensing of the Earth from Space. Digital Image Processing [in Russian], Moscow, Logos (2001).

9. Li M., Zang S., Zhang B., Li S., and Wu C., "A review of remote sensing image classification techniques: the role of spatio-contextual information," Eur. J. Remote Sensing, 47, 389-411 (2014).

© 2020 O. V. Samarina, V. V. Slavsky, S. P. Semenov

10. Zulanke R. and Vintgen P., Differential Geometry and Bundles [in Russian], Moscow, Mir (1975).

11. Klette R. and Rosenfeld A., Digital Geometry: Geometric Methods for Digital Picture Analysis, Morgan Kaufmann (2004) (Morgan Kaufmann Ser. Computer Graphics).

Submitted October 3, 2019 Revised February 4, 2020 Accepted February 17, 2020

Olga V. Samarina Yugra State University,

16 Chekhov Street, Khanty-Mansiysk 628012, Russia samarina_ov@mail. ru

Viktor V. Slavsky Yugra State University,

16 Chekhov Street, Khanty-Mansiysk 628012, Russia slavsky2004Smail.ru

Sergey P. Semenov Yugra State University,

16 Chekhov Street, Khanty-Mansiysk 628012, Russia ssp@augrasu.ru