Применение градиентных методов к оптимальному проектированию элементов силовых конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VIII 1977 № 1

УДК 629.735.33.015.4

ПРИМЕНЕНИЕ ГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ К ОПТИМАЛЬНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В. А. Белоус

Рассматривается задача оптимизации по весу элементов силовых конструкций методом градиента и методом проектирования градиента. В качестве примера рассмотрена оптимизация трижды статически неопределимой рамы, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой. Дано сравнение скорости решения задачи двумя методами.

В задачах оптимального проектирования силовых конструкций летательных аппаратов в качестве целевой функции часто используют вес конструкции. При этом должен быть выполнен ряд ограничений, вытекающих из допустимости напряжений, обеспечения устойчивости, заданных геометрических размеров и других требований к проектируемой конструкции.

Математически указанная задача формулируется следующим образом.

Требуется найти ш1пО(д;1, ..., х„) при дополнительных условиях:

<Рг(*1....*л)<0 (г=1,2..........т),

где Х\, хп — проектные параметры.

Существует ряд методов для решения подобных задач, например, градиентные методы, методы штрафных функций, статистические методы и др. [1].

В данной статье рассматриваются вопросы практического применения двух разновидностей градиентных методов. Решение задачи ведется путем последовательных приближений. В этом случае одним из основных вопросов является скорость сходимости при заданной точности решения.

Для решения поставленной задачи разобьем множество проектных параметров на две области: область допустимых решений б и область нарушения ограничений Ф. Все ограничения объединим в одну функцию ограничений, имеющую вид:

т

Ф(*1......•*„) = 2^-(?/(*!,-----хп),

1

, (" о, если Фг<0;

где А* = {

1.1. если фг>0.

Отсюда видно, что, если хотя бы одно из ограничений срН*!, ..., х„) нарушается, то функция ограничений Ф (хг.........хп)]^>0. Если все ограничения выполняются, то Ф (*!..........................лг„) = 0. Границу области допустимых решений Ф^,...,

хп) = 0 образует некоторая гиперповерхность Ф (-»С!, ..., хп) = 0.

При решении данной задачи необходимо рассматривать два случая:

1) minG(jcj,..., хп) лежит внутри области допустимых решений;

2) min G (Xi,,.. , хп) находится на границе этой области.

В первом случае задача может быть решена обычными способами минимизации функций без ограничений [2]. Во втором случае рассматривается задача минимизации функций с ограничениями, для решения которой можно применить метод градиента. Исходная точка может находиться как в области допустимых решений G, так и в области нарушения ограничений Ф.

Если исходная точка находится в допустимой области О (фиг. 1), то движение происходит в направлении — grad G до пересечения с границей Ф (дг,, ..., хп) = 0. После пересечения границы точка (xJt х3, хп) попадает в область нарушения ограничений Ф, и движение происходит в направлении — gradФ, чтобы выйти из области нарушения ограничений. После выхода в область допустимых решений направление движения снова меняется на — grad G, и процесс продолжается дальше аналогичным образом. При этом движение происходит вблизи границы ..., хп) = 0 с постепенным приближением к точке минимума М.

Фиг. 1

Если исходная точка находится в области нарушения ограничений Ф, то процесс протекает, как и в предыдушем случае, причем движение из исходной точки начинается в направлении — gradФ.

Изменение компонентов переменных хI производится по формуле

дР

где

0(хи ..., хп) — в области допустимых решений;

v{xlt .,., хп) — в области нарушения ограничении;

Дг—некоторая величина, о способе выбора которой будет сказано ниже.

На фиг. i представлена схема движения в двумерной области переменных хи xs. Как видно из приведенных построений, в точке минимума М векторы — gradG и —grad® коллинеарны, т. е. выполняются условия Куна — Такке-ра [1].

Некоторое сокращение числа шагов, необходимых для достижения точки минимума М, может дать метод проектирования градиента [3]. В этом методе

осуществляется проектирование вектора —grad С? на гиперплоскость, касательную к поверхности Ф (jelt ..., хп) = 0. Итеративный процесс осуществляется по следующей схеме. Вначале движение происходит в направлении —grad G или

— grad® в зависимости от положения исходной точки. Затем после пересечения границы ограничений вычисляется проекция —grad С? на гиперплоскость, касательную к поверхности ограничений. Далее делается шаг в направлении проекции вектора, затем в зависимости от того, в какую область попала точка, процесс продолжается в направлении —gradó или—grad® до пересечения с границей. После этого процесс повторяется. Вычисление проекции If вектора —grad G

на гиперплоскость, касательную к поверхности Ф (л^..........хп) = 0, ведется по

формуле:

чу (j® dG дФ dG

S'lGI ÁdXk dXk -lI = G-n*|G|cos(¡?, G)—-G - -------g ■ - =G- Ф

где G и Ф обозначают векторы — grad G и — grad Ф соответственно, иф - нормаль к поверхности Ф(дГ], ..., х„) = 0. Шаг Длт^ по координатам Хь вычисляется по формулам:

dG

Л А ч/---- дхъ

Ахк = Аг У п-

Vi

dG

dxk

при движении в направлении — grad G;

дФ

Ахк = АгУ~п- дХк

Vi

і

при движении в направлении — grad Ф;

Ахk = ДrVn ------Н*

0Ф у

дхь ,

при движении в направлении П.

Пй — соответствующая компонента вектора П.

Если нарушаются геометрические ограничения, т. е. х^ — Ьк <0, где 5ft — некоторые наперед заданные величины, х^ берется равным Ьк и соответствующие производные dG/dxk приравниваются к нулю.

Для того, чтобы вектор Ti был точной проекцией вектора — gradG на гиперплоскость, касательную к поверхности Ф (хь ..., хп) = 0, частные производные d<5>ldxk, dGjdXk, а также векторы — gradФ и — gradG должны быть вычислены в точке, лежащей на поверхности Ф (jcj, ..., хп) = 0. Для определения этой точки необходимо решать дополнительную задачу, на что требуется дополнительное машинное время. В настоящей работе для уменьшения затрат машинного времени эти величины вычислялись в текущих точках итеративного процесса, при этом вектор П вычислялся с соответствующей ошибкой.

В обоих вышеописанных методах процесс сходимости в общем случае носит колебательный характер, т. е. при движении вдоль поверхности ограничений целевая функция G(xlt ..., хп) то увеличивается, то уменьшается, хотя ее минимальное значение за некоторое число шагов имеет тенденцию к уменьшению. Для того, чтобы определить точку минимума функции G(Xi..........х„) с за-

данной точностью, длину шага ArYn следует определенным образом уменьшать. Этому вопросу посвящен ряд работ (см., например, [2], [4]).

10—Ученые записки № 1

145

В данной работе был принят следующий алгоритм изменения длины шага, сходный с рассмотренным в [4]. Производится N шагов и из полученных значений целевой функции О запоминается минимальное значение О].

После этого производится еще N шагов и минимальное значение из этой группы 02 также запоминается. Затем и сравниваются. Если в2<Ои то производится еще N шагов; если 01-^02> то величина Дг уменьшается в д раз и далее процесс продолжается с новой величиной шага. В процессе решения задачи путем подбора было найдено оптимальное значение числа д= 10. Вычисления заканчиваются, когда Дг уменьшается в ¡(У* раз, где число р зависит от заданной точности определения минимального значения целевой функции.

На основе вышеописанных методов были составлены программы расчетов для ЭЦВМ типа БЭСМ-3 трижды статически неопределимой дюралевой рамы со сторонами а =120 см, Ь = 100 см (фиг. 2). Рассматриваемая рама имела двутавровое сечение с высотой стенки 5 см и шириной полки 10 см, два случая равно-

р = 19,6 Н/см2

мерно распределенного нагружения р ^ 78 4 Н/см2 * Требовалось найти распределение толщин полок х (й) и стенок у($) по периметру 5, обеспечивающих минимальный вес рамы О при условии, что касательные напряжения в стенках *($) и нормальные в полках а (в) не превышают заданных величин, а толщины не должны быть менее 0,1 см.

Каждая сторона рамы была разбита на п равных отрезков с постоянными в пределах каждого отрезка толщинами. Ввиду симметрии рамы рассматривались только две стороны. Функции О и Ф имели вид:

0 = 0(4, уЬ -ф.

ф = 2 ^ + Ч + Л/ ?? + ¥г);

1

здесь лг? у?, х*? у^ - толщины полок и стенок в сечениях рамы на ее сторонах а и Ь. Общее число неизвестных равно 4 п. Ограничения у были заданы в виде:

= и? — одоп, =[ = т? — т-топ,

— цдоп, = т? — тДО“.

Здесь

‘7’

_Ь

величины нормальных и касательных напряжений, дейст-

вующих в полках и стенках ¿-го сечения рамы по сторонам а и Ь, оАОП, хД°п _ допустимые нормальные и касательные напряжения соответственно.

Для сравнения скорости сходимости описанных выше методов было сделано около двадцати просчетов для различных нагрузок и различного числа переменных. Было проделано исследование влияния числа N на точность решения и общее количество шагов.

Для каждого конкретного случая имеется своя оптимальная величина числа N. Если проектные переменные выходят на геометрические ограничения, то в

Полеречное сечение рам

Л___^___________

Фиг. 2

Фиг. 3

этом случае оптимальная величина числа N заметно уменьшается. В результате просчетов была выбрана некоторая средняя величина N=50.

Начальное значение длины шага Дг составляло 0,1 от среднего значения переменных. Счет оканчивался, когда шаг уменьшался в 103 раз. При этом погрешность определения минимума целевой функции Отт обоими методами не превышала 1,5%.

Форма толщин полок и стенок оптимизированной рамы для р= 19,6 Н/см2 показана на фиг. 3. Величина От;п = 42 Н была определена как среднее значение результатов, полученных при оптимизации различными методами при различных начальных приближениях.

Общее число шагов в зависимости от начального приближения и условий нагружения составило:

для метода градиента 600—900,

для метода проектирования градиента 400—700.

Число шагов практически не зависело от количества переменных, которое менялось в пределах от 40 до 400, поэтому время счета линейно зависело от размерности задачи. Время счета для 400 и 600 шагов составляло около 30 мин. Ввиду того, что на один шаг при применении метода градиента за,?рачивается меньше времени, чем при решении методом проектирования градиента, общее время решения данной задачи обоими методами было примерно одним и тем же.

Следует, однако, заметить, что в задачах, где время прямого расчета конструкции достаточно велико, метод проектирования градиента будет обладать •большим быстродействием по сравнению с обычным методом градиента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фиакко А., Маккормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М., „Мир*, 1972.

2. Пол а к Э. Численные методы оптимизации. М., „Мир“, 1974.

3. R о s е n 1. В. The gradient projection method for nonlinear programming. Part II: Nonlinear constraints SIAM J., 9, 514—532, 1961.

4. И с т о м и н Н. А. Об оптимальном поиске экстремумов и корней функций на ЭВМ. Труды- ЦАГИ, вып. 934, 1964.

Рукопись поступила 3/1 1975 г.