Научная статья на тему 'Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации в задачах расчета немарковских систем массового обслуживания'

Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации в задачах расчета немарковских систем массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

76
16
Поделиться
Ключевые слова
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ / АППРОКСИМАЦИЯ / ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ / КОМПЛЕКСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ / НЕМАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ / HYPEREXPONENTIAL DISTRIBUTION / APPROXIMATION / COMPLEX PARAMETERS OF DISTRIBUTIONS / NUMERICAL METHODS / NON-MARKOVIAN QUEUING SYSTEMS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рыжиков Юрий Иванович, Уланов Александр Викторович

Представлены возможности применения гиперэкспоненциального распределения второго порядка (Н2) с параметрами произвольного (в том числе комплексного) типа в задачах расчета немарковских систем массового обслуживания. Результаты верифицированы с помощью альтернативных методов.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рыжиков Юрий Иванович, Уланов Александр Викторович,

A use of hyperexponential distribution in non-markovian queuing systems analyses

In this paper we consider the application of second order hyperexponential distribution (H2) with complex-type parameters for analysis of non-markovian queuing systems. This distribution relates to the phase-type one and allows showing non-markovian queuing systems states and the transitions between them as discrete Markov process with continuous time. The complementary cumulative H2 distribution function is F (t) = y1e ^ + y 2 e ^. Using of H2 distribution for queuing system calculations is reasoned by following reasons: the possibility of saving the three initial moments of the original distribution that provides high accuracy in queuing system calculation; much more compact (compared to the Erlang approximation) view transition diagrams and as a consequence necessity to calculate the probabilities of a smaller number of microstates for systems with low coefficients of variation of the service time or the intervals between customers; simple calculating of complementary cumulative distribution function. Since the parameters of H2-distributions {j}, J = 1, 2, are interpreted as the probabilities of random select of one of two phases, most specialists in queuing theory considered only the case when these parameters are defined on a real interval [0; 1], which corresponds to the approximation of the distribution with a coefficient of variation и > 1. In this article, it is showed the possibilities of the H2-approximation in the case when the original distribution coefficient of variation и < 1. In this case parameters of H2 distribution are complex. More detailed analysis of H2-approximation of the original gamma distribution with a coefficient of variation и shows that: if и > 1, then the parameters are real; if 1 > и, then the parameters are real, but the paradox: one of the parameters {j}, J = 1, 2, is negative, and the other will exceed one; equality и = is unacceptable (because corresponds to the Erlang distribution with consistent phase-change and, accordingly, can not be replaced by parallel); when и <1lV2, we have the complex parameters of H2 distribution. However, when calculating the queuing system with H2-approximation in the field of complex values of the parameters of its potential pathology manifests itself only in the intermediate results in the probabilities of "fictitious" microstate-transition diagram, which split the "physical" state of queuing systems. At the summation of probabilities of microstates tiers of complex parts are annihilated and the result of the calculation the probability of the number of customers in the system becomes real. The paper compares the results of single-channel systems MIGI1 calculation invested by embedded Markov chain, which allows you to obtain an exact solution, with the results obtained by the fictitious phase using H2-approximation of non-exponential service time. Various initial distribution services deterministic, gamma with shape parameters of 1.5 or 0.5, and even in the interval [0, 2] are considered. It is shown that the accuracy of the above-mentioned result is high enough. The maximum Kolmogorov distance was 0.002, and the relative error of the probability of rare events (about 10-5) did not exceed 15%. At the same time the quality of approximation in the field of complex parameters H2 distribution is out of question because density of H2-distribution in this case is negative and in general does not satisfy the requirements of the probability density function. Quality of approximations here should be assessed indirectly through comparison of the distribution of the number of customers in the queuing system, obtained through H2-approximation, with the results obtained by alternative methods.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации в задачах расчета немарковских систем массового обслуживания»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 3 (36)

УДК 519.872

DOI: 10.17223/19988605/36/6

Ю.И. Рыжиков, А.В. Уланов

ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА НЕМАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Представлены возможности применения гиперэкспоненциального распределения второго порядка (Н2) с параметрами произвольного (в том числе комплексного) типа в задачах расчета немарковских систем массового обслуживания. Результаты верифицированы с помощью альтернативных методов.

Ключевые слова: случайные процессы; аппроксимация; гиперэкспоненциальное распределение; комплексные параметры распределения; немарковские системы массового обслуживания.

При исследовании немарковских процессов поступления и обслуживания заявок в многоканальных системах массового обслуживания (СМО) широко применяются распределения фазового типа (обозначаются Ph). К этим распределениям относятся взаимосвязанные параллельно-последовательные комбинации фаз прохождения заявок с показательно распределенными длительностями задержек в них. При фиксации номера фаз поступления или обслуживания заявок состояния СМО приобретают марковское свойство, что позволяет представить переходы между ними в виде дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Идея метода фиктивных фаз была выдвинута еще А.К. Эрлангом. Порядком аппроксимации естественно считать количество сохраненных начальных моментов исходного распределения.

Наиболее общей формой представления фазовых распределений является схема Ньютса [1], в которой длительность каждой реализации процесса соответствует случайному времени блуждания по сети с показательной задержкой в каждом узле и одним поглощающим состоянием. При этом расчет СМО проводится в терминах кронекеровых матричных операций и, как правило, для одноканальных систем [Там же]. Машинная реализация упомянутых операций крайне неэффективна из-за необходимости выполнения большого количества вычислений с заведомо нулевым результатом. По этой причине для аппроксимации распределений с коэффициентом вариации и > 1, как правило, используют гиперэкспоненциальную (Hk) аппроксимацию, а в остальных случаях - эрлангову (Ek). В обоих случаях параметры распределений предполагаются исключительно вещественными.

В последнее время возрастает интерес к гиперэкспоненциальному распределению, применение которого показало высокую эффективность при решении задач суммирования рекуррентных потоков [2], расчета СМО с «нетерпеливыми» заявками [3], джексоновских сетей массового обслуживания [4], при анализе систем управления запасами [5].

В статье представлены результаты применения гиперэкспоненциального распределения второго порядка (Н2) с возможностью комплексного типа параметров, что позволяет аппроксимировать время обслуживания и интервалы между заявками входящего потока с произвольным (в том числе меньшим единицы) коэффициентом вариации и упростить расчетную схему.

1. Особенности применения Д2-распределения

Гиперэкспоненциальное распределение второго порядка относится к распределениям фазового типа и предполагает выбор случайным процессом одной из двух альтернативных фаз. С вероятностью y процесс попадает в первую фазу и задерживается в ней случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром ць с вероятностью y2 = 1 - y процесс попадает во вторую фазу, где экспоненциальная задержка имеет параметр ц2.

Дополнительная функция ^-распределения имеет вид

Ё (г) = уге ^ + у 2 е ^.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Подбор параметров ^-распределения возможен по методу моментов [1]. Поскольку данное распределение трехпараметрическое (четвертый параметр у2 = 1 - у1), оно позволяет выровнять три начальных момента аппроксимируемого, что принято считать вполне достаточным [6].

В зависимости от значений выравниваемых моментов параметры ^-распределения могут принимать комплексные и «парадоксальные» значения. Исследование #2-аппроксимации исходного гамма-распределения с коэффициентом вариации и выявило, что:

- случай и > 1 дает вещественные параметры;

- при 1 > и > 1/ 42 параметры гиперэкспоненты вещественны, но парадоксальны: один из параметров {у}, у = 1, 2 будет отрицательным, а другой превысит единицу;

- строгое равенство и = 1/л/2 недопустимо (соответствует Е2 распределению Эрланга с последовательной сменой фаз и не может быть заменено на параллельную);

- при и < 1/ 42 имеем комплексные параметры #"2-аппроксимации.

Поскольку параметры гиперэкспоненты {у-}, у = 1, 2, интерпретируются как вероятности выбора случайным процессом одной из двух фаз, большинство специалистов по теории массового обслуживания рассматривают лишь тот случай, когда данные параметры определены на вещественном интервале [0, 1], что соответствует аппроксимации распределений с коэффициентом вариации и > 1. Именно поэтому для аппроксимации распределений с коэффициентом вариации и < 1 гипреэкспонента не используется, а применяется распределение Эрланга Ек. Однако обширная серия вычислительных экспериментов показала, что при расчете СМО с применением #"2-аппроксимации в области комплексных значений ее параметров потенциальная патология проявляется только в промежуточных результатах - вероятностях «фиктивных» микросостояний диаграммы переходов, на которые расщепляются «физические» состояния СМО. На этапе суммирования вероятностей микросостояний ярусов их комплексные части аннигилируются и компоненты результата расчета - вероятности числа заявок в системе - становятся вещественными.

Комплексный тип параметров ^-распределения подчеркивает фиктивный характер расщепления процесса на фазы. Допустимость таких параметров при исследовании случайных процессов была впервые отмечена Д. Коксом в 1955 г. [7]. В статье [8] авторы попытались дать вероятностную интерпретацию комплексных интенсивностей переходов между состояниями цепи Маркова.

Примеры различных диаграмм переходов для СМО с гиперэкспоненциальным распределением обслуживания или интервалов между заявками входящего потока приведены в [1, 3]. Дополнительным преимуществом #"2-аппркосимации по сравнению с эрланговской является более компактный вид диаграмм переходов марковизированных СМО. Например, для моделей с эрланговским обслуживанием ширина диаграммы (количество микросостояний на п-м ярусе) быстро растет по числу каналов п и порядку распределения к (табл. 1) [9].

Т а б л и ц а 1

Количество микросостояний на ярусах системы М1Ек1п

Число каналов п Число фаз обслуживания к

2 3 4 5 6

2 3 6 10 15 21

3 4 10 20 35 56

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

5 6 21 56 126 252

10 11 66 286 1001 3003

20 21 231 1771 10626 53130

30 31 496 5456 46376 324632

Заметим, что при этом эрланговы распределения позволяют строго выровнять первый и лишь приближенно - второй момент распределения времени обслуживания. Наименьший коэффициент вари-

ации из включенных в табл. 1 распределений (Е6) составил 1/л/б « 0,408. Для расчета СМО с еще меньшим коэффициентом вариации могут потребоваться гораздо большие значения к.

С другой стороны, применение Н2-аппроксимации позволяет выровнять три начальных момента произвольного (исключая Е2) распределения, что обеспечивает более высокую точность расчета СМО. Поскольку диаграмма переходов для М/Н2/п имеет ширину всего лишь п + 1, здесь можно рассчитывать системы с гораздо большим числом каналов. В «общий строй» можно поставить и распределение Е2 -если допустить небольшое отклонение дисперсии.

Таким образом, достоинствами Н2-аппроксимации являются:

- возможность выравнивания трех моментов исходного распределения, что, как будет показано ниже, обеспечивает приемлемую точность при расчете СМО;

- гораздо более компактный (по сравнению эрланговской аппроксимацией) вид диаграмм переходов марковизированных СМО и, как следствие, необходимость расчета вероятностей меньшего числа микросостояний для систем с малыми коэффициентами вариации времени обслуживания или интервалов между заявками входящего потока;

- удобство вычисления дополнительной функции распределения.

2. Расчет немарковских СМО

Перечислим основные этапы расчета немарковских СМО методом фиктивных фаз с помощью Н2-аппроксимации:

- расчет начальных моментов распределений обслуживания и (или) интервалов между заявками входящего потока;

- подбор параметров Н2-распределения по рассчитанным на предыдущем шаге моментам;

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

- построение диаграммы переходов;

- составление уравнений баланса переходов между микросостояниями диаграммы и расчет вероятностей микросостояний;

- суммирование вероятностей микросостояний по ярусам и получение распределения числа заявок в системе.

Рассмотрим возможности Н2-аппроксимации с произвольным типом параметров на примере одно-канальных СМО. Выполним расчет распределения {р,} числа заявок в одноканальной системе МЮ/1 методом вложенных цепей Маркова [1] и методом фиктивных фаз через Н2-аппроксимацию различных распределений обслуживания В(¿):

- гамма с параметром формы 0,5 (Г0,5) (коэффициент вариации и ~ 1,41);

- Гх,5 (и « 0,816);

- равномерного и на интервале [0; 2] (и ~ 0,577);

- вырожденного В (и = 0).

Среднее время обслуживания во всех случаях Ь1 = 1, коэффициент загрузки системы р = 0,7. Результаты расчета распределения числа заявок в системе {р,}, 7 = 0,20, приведены на рис. 1. Сплошной линией показаны результаты, полученные методом вложенных цепей Маркова, штриховой - методом фиктивных фаз через Н2-аппроксимацию.

В табл. 2 приведены параметры Н2-распределения, рассчитанные по трем начальным моментам исходного распределения В(¿).

Т а б л и ц а 2

Параметры ^-распределения

В(Г) У1 Н-2 В(Г) У1 Н-2

Г0,5 0,500 0,586 0,341 и 0,500+'0,866 0,150+'0,866 0,150-'0,866

Г1,5 -0,765 0,263 0,137 В 0,500+'0,141 0,200+'0,141 0,200-'0,141

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Рис. 1. Распределение числа заявок в системе М/О/1

Из графиков видно очень хорошее согласие результатов расчета распределения числа заявок в системе даже в области комплексных и парадоксальных параметров аппроксимирующей время обслуживания гиперэкспоненты. Расстояние Колмогорова при Г0,5, Г15, и и В обслуживании составило {0,002; 0,0002; 0,0015; 0,0018} соответственно. Относительная погрешность на «хвостах» распределений, в области малых значений вероятностей, не превысила 15%.

При этом следует особо подчеркнуть, что в области комплексных параметров (см. табл. 2), особенно при аппроксимации случайных величин с коэффициентом вариации, близким к нулю, Н2-плотность принимает отрицательные значения и вообще не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к плотности распределения. Тем не менее расчет марковизированных СМО показывает, что «комплексность» проявляется лишь в вероятностях микросостояний ярусов диаграмм и на этапе их суммирования полностью аннигилируется. Указанный эффект сохраняется при анализе многоканальных немарковских СМО [1. С. 224].

Таким образом, при работе с Н2-распределением необходимо учитывать, что параметры гиперэкспоненты могут принимать комплексные значения, а качество аппроксимации следует оценивать не по критериям согласия исходного и подобранного распределений, а по точности расчета итоговых характеристик СМО.

Заключение

Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации позволяет с высокой точностью проводить анализ немарковских систем обслуживания с произвольным коэффициентом вариации времени обслуживания и (или) интервалов между заявками входящего потока. При этом комплексные значения параметров гиперэкспоненты, возникающие при коэффициенте вариации и < 1, не влияют на конечный результат, поскольку при суммировании вероятностей микросостояний ярусов диаграммы марковизиро-ванной СМО их комплексные части аннигилируются.

Непосредственно о качестве аппроксимации субслучайных (с малым коэффициентом вариации) величин не может идти и речи, поскольку плотность гиперэкспоненты в этом случае принимает отрицательные значения и вообще не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к плотности распределения. Качество аппроксимации здесь возможно оценить опосредованно - через сопоставление распределения числа заявок в СМО, полученного через #2-аппроксимацию, с результатами, полученными альтернативными методами.

Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации с комплексными параметрами также показало высокую эффективность при расчете многоканальных СМО с рекуррентным входящим потоком и (или) немарковским обслуживанием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рыжиков Ю.И. Алгоритмический подход к задачам массового обслуживания. СПб. : ВКА, 2013. 496 с.

2. Рыжиков Ю.И., Уланов А.В. Применение гиперэкспоненциальной аппроксимации в задачах суммирования потоков // Ин-

теллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 4. С. 34-39.

3. Рыжиков Ю.И., Уланов А.В. Расчет гиперэкспоненциальной системы M/H2/n-H2 с заявками, нетерпеливыми в очереди //

Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 2(27). C. 47-53.

4. Цициашвили Г.Ш. Синергетический эффект в сети с гиперэкспоненциальными распределениями времен обслуживания //

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2016. № 1 (34). C. 65-68.

5. Назаров А.А., Бронер В.И. Система управления запасами с гиперэкспоненциальным распределением объемов потребления

ресурсов // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2016. № 1(34). C. 43-49.

6. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Теория распределений : пер. с англ. М. : Наука, 1966. 587 с.

7. Cox D.R. A Use of Complex Probabilities in the Theory of Stochastic Process // Proc. of the Cambridge Phil. Soc. 1955. P. 313-323.

8. Bidabad B., Bidabad B. Complex Probability and Markov Stochastic Process // Proc. of the First Iranian Statistics Conference, Isfa-

han University of Technology. 1992. P. 1-8.

9. Рыжиков Ю.И. Развитие и сопоставление методов расчета многоканальных систем обслуживания // Труды всероссийской

конференции «XII Всероссийское совещание по проблемам управления» ВСПУ'2014 / Ин-т пробл. управл. М., 2014. С. 5208-5219.

Рыжиков Юрий Иванович, д-р техн. наук, профессор. E-mail: ryzhbox@yandex.ru Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН Уланов Александр Викторович, канд. техн. наук. E-mail: ulanov246@rambler.ru Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского

Поступила в редакцию 3 мая 2016 г.

Ryzhikov Yuriy I. (Mozhaisky Military Space Academy, Saint-Petersburg Institute of Informatics and Automatization of Russian Academy of Science, Russian Federation), Ulanov Alexander V. (Mozhaisky Military Space Academy, Russian Federation). A use of hyperexponential distribution in non-markovian queuing systems analyses.

Keywords: hyperexponential distribution; approximation; complex parameters of distributions; numerical methods; non-markovian queuing systems.

DOI: 10.17223/19988605/36/6

In this paper we consider the application of second order hyperexponential distribution (H2) with complex-type parameters for analysis of non-markovian queuing systems. This distribution relates to the phase-type one and allows showing non-markovian queuing systems states and the transitions between them as discrete Markov process with continuous time. The complementary cumulative H2 distribution function is

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

F (t) = ^e+ y 2 e ^.

Using of H2 distribution for queuing system calculations is reasoned by following reasons:

- the possibility of saving the three initial moments of the original distribution that provides high accuracy in queuing system calculation;

- much more compact (compared to the Erlang approximation) view transition diagrams and as a consequence necessity to calculate the probabilities of a smaller number of microstates for systems with low coefficients of variation of the service time or the intervals between customers;

- simple calculating of complementary cumulative distribution function.

Since the parameters of ^-distributions {yj}, j = 1, 2, are interpreted as the probabilities of random select of one of two phases, most specialists in queuing theory considered only the case when these parameters are defined on a real interval [0; 1], which corresponds to the approximation of the distribution with a coefficient of variation u > 1.

In this article, it is showed the possibilities of the ^-approximation in the case when the original distribution coefficient of variation u < 1. In this case parameters of H2 distribution are complex. More detailed analysis of H2-approximation of the original gamma distribution with a coefficient of variation u shows that:

- if u > 1, then the parameters are real;

- if 1 > u >1/^2 , then the parameters are real, but the paradox: one of the parameters {yj}, j = 1, 2, is negative, and the other will exceed one;

- equality u = 1/V2 is unacceptable (because corresponds to the Erlang distribution with consistent phase-change and, accordingly, can not be replaced by parallel);

- when u <1/^2 , we have the complex parameters of H2 distribution.

However, when calculating the queuing system with H2-approximation in the field of complex values of the parameters of its potential pathology manifests itself only in the intermediate results - in the probabilities of "fictitious" microstate-transition diagram, which split the "physical" state of queuing systems. At the summation of probabilities of microstates tiers of complex parts are annihilated and the result of the calculation - the probability of the number of customers in the system - becomes real.

The paper compares the results of single-channel systems M/G/1 calculation invested by embedded Markov chain, which allows you to obtain an exact solution, with the results obtained by the fictitious phase using H2-approximation of non-exponential service time. Various initial distribution services - deterministic, gamma with shape parameters of 1.5 or 0.5, and even in the interval [0, 2] are considered. It is shown that the accuracy of the above-mentioned result is high enough. The maximum Kolmogorov distance was 0.002, and the relative error of the probability of rare events (about 10-5) did not exceed 15%.

At the same time the quality of approximation in the field of complex parameters H2 distribution is out of question because density of H2-distribution in this case is negative and in general does not satisfy the requirements of the probability density function. Quality of approximations here should be assessed indirectly - through comparison of the distribution of the number of customers in the queuing system, obtained through H2-approximation, with the results obtained by alternative methods.

REFERENCES

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

1. Ryzhikov, Yu.I. (2013) Algoritmicheskiy podkhod k zadacham massovogo obsluzhivaniya [A use of algorithm approach in the queuing theory]. Saint-Petersburg: VKA.

2. Ryzhikov, Yu.I. & Ulanov, A.V. (2015) Using hyperexponential approximation in the summation of flows problems. Intellektual'nye tekhnologii na transporte - Intelligent technologies on transport. 4. pp. 34-39. (In Russian).

3 Ryzhikov, Yu.I. & Ulanov, A.V. (2014) The method of calculating M/H2/n-H2 queuing system with impatient customers. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(27). pp. 47-53. (In Russian).

4. Tsitsiashvili, G.Sh. (2016) Synergetic effect in network with hyperexponential distributions of service times. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(34). pp. 65-68. (In Russian).

5. Nazarov, A.A. & Broner, V.I. (2016) Inventory model with hyperexponential distribution of demand's batch size. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(34). pp. 43-49. (In Russian).

6. Kendall, M. & Stuart, A. (1966) Teoriya raspredeleniy [The advanced theory of statistics. Distribution theory]. Translated from English. Mosow: Nauka.

7. Cox, D.R. (1955) A Use of Complex Probabilities in the Theory of Stochastic Process. Proc. of the Cambridge Phil. Soc. pp. 313323. DOI: 10.1017/S0305004100030231

8. Bidabad, B. & Bidabad, B. (1992) Complex Probability and Markov Stochastic Process. Proc. of the First Iranian Statistics Conference. Isfahan: Isfahan University of Technology Publ. pp. 1-8.

9. Ryzhikov, Yu.I. (2014) [Progress and comparison of multichannel queuing systems calculations methods]. Proc. of the XII Russian Conference on Control Science. Moscow: Institute of Control Sciences. pp. 5208-5219. (In Russian).