Научная статья на тему 'Применение гидродинамической аналогии для определения центра изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов'

Применение гидродинамической аналогии для определения центра изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов Текст научной статьи по специальности «Механика»

22
5
Поделиться
Журнал
Ученые записки ЦАГИ
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ / ЦЕНТР ИЗГИБА / ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СТЕРЖНИ / ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Теперин Л.Л., Хынг Чан Ван

Изложен метод решения задачи о центре изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов, с использованием гидродинамической аналогии. Решение сводится к определению интенсивностей источников и вихрей на внешнем контуре стержня и по границам, разделяющим материалы. Результаты численной реализации метода демонстрируются на примерах.

Текст научной работы на тему «Применение гидродинамической аналогии для определения центра изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов»

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 5

УДК 533.6.013.42

ПРИМЕНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРА ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ, СОСТАВЛЕННЫХ

ИЗ РАЗЛИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Л. Л. ТЕПЕРИН, ЧАН ВАН ХЫНГ

Изложен метод решения задачи о центре изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов, с использованием гидродинамической аналогии. Решение сводится к определению интенсивностей источников и вихрей на внешнем контуре стержня и по границам, разделяющим материалы. Результаты численной реализации метода демонстрируются на примерах.

Ключевые слова: теория упругости, центр изгиба, призматические стержни, гидродинамическая аналогия.

Задача определения характеристик упругости призматических стержней встречается в различных разделах машиностроения, например, при определении жесткости на кручение валов сложного поперечного сечения. В авиационной отрасли эта задача возникает при проектировании упругоподобных моделей летательных аппаратов для исследований в аэродинамических трубах [1 — 4].

В работе [5] методом гидродинамической аналогии решена задача о кручении и определении центра изгиба призматических стержней, составленных из одного материала. В [6] методом гидродинамической аналогии решена задача о кручении призматических стержней, составленных из различных материалов.

В данной работе решается задача об определении центра изгиба призматических стержней, составленных из различных материалов и соединенных между собой вдоль боковых поверхностей. Каждая составная часть стержня предполагается однородной и изотропной.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть поперечное нормальное сечение стержня состоит из нескольких областей (участков) 50, 51, 52,... 5П, соответствующих различным материалам, разграниченных некоторыми линиями, так называемыми линиями раздела Ь/7 (рис. 1).

Обозначим через 5/, Е/ и Ь/7 площадь, модуль Юнга материала/-й области и линию, разделяющую эту область с 7-й областью. Значение Е без индекса обозначает распределение модуля Юнга по всей площади стержня. Коэффициент Пуассона у всех материалов, составляющих стержень, предполагается одинаковым. Введем понятие приведенной площади:

5 =ЦЕс1хс1у = 25/Е/.

5 /

ТЕПЕРИН Леонид Леонидович

кандидат технических наук, начальник отдела ЦАГИ

А

ЧАН ВАН ХЫНГ

студент ФАЛТ МФТИ

Под приведенным центром тяжести сечения будем понимать центр тяжести, который получится, если отдельным участкам сечения приписать поверхностные плотности, равные соответствующим модулям упругости. Если начало координат находится в приведенном центре тяжести сечения, положение которого определяется по формулам:

Ехёхёу Еуёхёу

В Е

Ус =-

В Е

Рис. 1. Поперечное сечение составного стержня

то выполняется условие:

Ехёхёу = Еуёхёу = 0.

Под приведенным моментом инерции 1е относительно оси у будем понимать интеграл, вычисленный при том же предположении относительно плотностей отдельных участков сечения:

1е = Ц Ех2 ёхёу = 2 Е} Ц х2 ёхёу = 2 Е]1т,

] В

]

где 1уу — обычный момент инерции площади В] относительно оси у.

Задача решается в главных центральных осях, где приведенный центробежный момент инерции JE будет равняться нулю, при условии, что начало координат взято в приведенном центре тяжести:

JЕ = Ц Еху^у = 2 Е} Ц ху^у = 2 Е]1]ху = 0 В ] В, I

где 1]Ху — обычный центробежный момент инерции площади В].

Рассмотрим задачу изгиба составного стержня под действием поперечной силы. Одно основание стержня зафиксируем, а к другому в приведенном центре тяжести приложим силу Ж, направленную параллельно одной из главных осей. Пусть сила Ж параллельна оси Ох. Перемещения в каждой отдельной части стержня будут иметь следующий вид (аналогично случаю однородного стержня [7]):

Ж 1 11

и = -9уг +—[-у(/ - г)(х2 - у2) + -2 --г3], 1Е 2 2 6

Ж

V = 9хг +--у(/ - г)ху,

™ = 9ф-у-[х(1г -1 г2) + х + ху2], 1Е 2

где и, V, w — перемещения вдоль соответствующих осей Ох, Оу, Ог; 9 — угол закручивания на единицу длины; V — коэффициент Пуассона, постоянный для всего стержня; I — длина стержня; ф и х — соответственно функция кручения (функция депланации) и изгибная функция, подлежащие определению.

Вычислим компоненты напряжения, соответствующие этим перемещениям в областях Sj:

дф

W

д% , 1 2

т -=Gje \тх - у ^ +1ух2+11 - 2у | у2

Т zy = Gj е

W

дф

ду

W

<5%

—Gí + (2 + V)ху |

и j I ду

ог = ^Ej (I -z)х,

о х = о у = т ху = 0

модуль сдвига.

Е,

где G¡ = " ] 2 + 2v

Подставив выражения для напряжений в систему уравнений равновесия упругого тела [7], получим, что функция кручения ф и изгибная функция % должны удовлетворять уравнению Лапласа:

д2ф д2ф Аф = —+ = 0 и

д2 х д2у

Ах = ^ + = 0.

д2 х д2у

(1)

Для того чтобы компонента перемещения w, которая зависит от % и ф, была непрерывна во всем стержне, изгибная функция и функция депланации должны быть непрерывны во всем сечении S. Граничные условия относительно напряжений сводятся к требованию того, чтобы выражение т 2х С08(п, х) + т 2у С08(п, у) (п — внешняя нормаль) обращалось в нуль на свободной боковой поверхности стержня и было непрерывно при переходе через поверхности раздела различных материалов.

Запишем граничные условия, которым должна удовлетворять изгибная функция на каждой линии раздела Ь^ [7]:

Gk

ёп

- G,

ёп

) = 4,

= -^к -Gj)

-(х2 - у2) + у2

С08(п, х) + (2 + V)ху С08(п, у) !>.

(2)

На свободной боковой поверхности имеем:

V

ёп

-(х2 -у2) + у2

С08(п, х) - (2 + V)ху С08(п, у).

(3)

Крутящий момент под действием силы W определяется следующей формулой:

Ж

М = 0В-

(2 + 2v) 1Е

IЕВ

где В — жесткость на кручение, а Bj = ~~ ~ хд~ + - "V) У3-( 2 +1 V) х2у

2;

Крутящий момент М равен нулю, так как его составляющие от касательных напряжений кручения и изгиба компенсируют друг друга. Если мы хотим получить чистый изгиб, то внутренний крутящий момент от касательных напряжений изгиба необходимо компенсировать внешним крутящим моментом от приложенной силы Ж. Для этого поместим ее на расстоянии у^ от приведенного центра тяжести:

5

У¿Ж =

ж

(2 + 2у)/£

2, откУДа Уd =

1

(2 + 2у) 1е

2ЕА •

(4)

Величина yd называется координатой центра изгиба относительно оси у. Выполненные выше вычисления можно повторить для силы Ж, направленной параллельно оси Оу, и найти вторую координату центра изгиба xd•

Таким образом, задача определения центра изгиба составного призматического стержня сводится к отысканию изгибной функции %, непрерывной во всем сечении 5", удовлетворяющей уравнению Лапласа (1) с граничными условиями (2) и (3).

МЕТОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ

Поскольку изгибная функция % удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, ее решение можно представить в виде суммы п фундаментальных решений уг- для потенциалов гидродинамических особенностей с неизвестными интенсивностями qi [8]:

п

х=2 * •

i

Фундаментальными решениями уравнения Лапласа являются потенциалы гидродинамических особенностей, распределенных по его внешней границе и по внутренним контурам, разделяющим материалы. Внешний контур сечения и границы материалов разделим на отрезки, на которых расположим непрерывный слой источников с постоянной интенсивностью и контрольную точку в центре отрезка, в которой будут выполняться граничные условия. Потенциал источников единичной интенсивности, непрерывно распределенных на отрезке длиной А, имеет вид:

у(х,у) = -1 ] х 1п(х2 + у2) - (х - А) 1п((х - А)2 + у2) - 2у 4п I

(

агс^:

х -А

х

М

■ - агс^й

у у /

Для призматических стержней, у которых форма контуров сечений не имеет острых углов, достаточно использовать потенциалы источников. Для тонких сечений, таких как крыльевые профили, с острыми углами на тонкой задней кромке, эффективнее использовать линейное распределение вихрей. Чтобы обеспечить непрерывность интенсивности вихрей, на стыке отрезков используется суперпозиция распределений в виде треугольников [9]. Для этого на отрезке необходимо иметь два вида распределений с линейным нарастанием и линейным падением интенсивности Потенциалы таких распределений определяются следующими выражениями:

у Г (х-О

(х у) = агс8

2л-1 А

о

У

2пА

—ху 1п 2

(х2 + у2) (х -А)2 + у2

Л

уА х2 - у2

----агСй

2 2

(х--у)=-

у г А- (

— I-- агСй

2^ А

х-

Л

у

х2 - 2хА - у2

агс^

у

2пА

V у /

( х 1 — +

V у

ху - уА

-А2 - у2

1п

( (х 2 + у 2) 1 (х -А)2 + у2

( х-А1 у

уА

■ — +

2

( х 1 у2 - х2 + 2 хА - А2 ( х-А1 -агс^

у

Используя эти типы линейных распределений, можно составить распределение интенсивности вихрей с непрерывной кусочно-линейной зависимостью (рис. 2), определяемой значениями циркуляций на стыке отрезков.

Рис. 2. Кусочно-линейное распределение интенсивности вихрей

Записав граничные условия во всех контрольных точках, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неиз- Рис. 1 Центр изгиба с°ставн°г° призматическ°г° стер^ вестных интенсивностей источников или вихрей. После решения этой системы можно определить значения изгибной функции во всем сечении стержня и по формуле (4) вычислить координату центра изгиба yd.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Координата центра изгиба стержня yd, имеющего П-образное сечение, внутри которого располагается прямоугольная вставка из другого материала, показана на рис. 3. Части стержня соединены между собой по сторонам касания. Центр изгиба рассчитывается в зависимости от соотношения модулей упругости Ei и E2 его составных частей. Горизонтальная координата центра изгиба не зависит от соотношения модулей упругости и всегда находится в плоскости симметрии.

Как и следовало ожидать, центр изгиба перемещается вверх при увеличении модуля упругости П-образной части сечения по сравнению с прямоугольной вставкой. Для сравнения на графике рис. 3 показана зависимость координаты приведенного центра тяжести yc от соотношения модулей упругости. Следует отметить практически совпадение центра изгиба с приведенным центром тяжести, если модуль упругости прямоугольной вставки равен или больше модуля упругости внешней П-образной части сечения стержня. Верхняя пунктирная прямая линия на графике соответствует положению центра изгиба П-образного профиля, а нижняя пунктирная прямая линия — положению центра изгиба прямоугольной вставки. На рис. 3 показана также вертикальная координата центра изгиба, определенная по методу конечного элемента с помощью расчетного комплекса ANSYS Structure (лицензия ЦАГИ № 501024). Результаты, полученные по методу конечного элемента и по разработанному авторами методу, хорошо согласуются между собой.

Пример профиля в сечении модели упругоподобного крыла, составленного из двух материалов, показан на рис. 4 в относительных (отнесенных к хорде с) координатах x/c и y/c. Верхняя часть профиля, изготовленная из более жесткого материала, имеет центральную вставку, положение которой может меняться вдоль хорды профиля. Нижняя часть профиля, форма которой моделирует его нижний контур, изготовлена из более мягкого материала. Отношение модуля упругости верхней части к нижней части профиля изменялось в диапазоне от 10 до 100. Положение центра масс вставки верхней части профиля менялось в диапазоне от 15 до 50% хорды профиля за счет смещения вдоль хорды.

Рис. 4. Сечение профиля, составленного из различных материалов

Положение координаты центра изгиба Xd профиля в зависимости от положения центра масс xm центральной вставки верхней части профиля для различных соотношений модулей упругости показано на рис. 5. Проведенные расчеты показали, что при большом различии модулей упругости смещением центрального выступа верхней вставки можно изменять горизонтальное положение центра изгиба в пределах 10% хорды профиля. Для сравнения на рисунке показана зависимость приведенного центра тяжести всего сечения профиля от центра тяжести центральной вставки. Видно, что приведенный центр тяжести слабее зависит от положения вставки по сравнению с центром изгиба. На графике приведены также результаты, полученные методом конечного элемента. Удовлетворительное соответствие результатов расчета результатам, полученным методом конечных элементов, свидетельствует об эффективной возможности определения положения центра изгиба призматических стержней произвольного поперечного сечения, составленного из различных материалов, с помощью разработанной авторами численной методики.

Авторы выражают благодарность В. В. Чедрику за ценные замечания и помощь при подготовке рукописи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Amiryants G. A., Ishmuratov F. Z. Multipurpose Modular Aerodynamic Aeroe-lastic Model // IFASD. Madrid. 2001.

2. Азаров Ю. А., Зиченков М. Ч., Ишмуратов Ф. З., Чедрик В. В. Методы проектирования композиционных динамически подобных моделей агрегатов самолетов // Ученые записки ЦАГИ. 2006. Т. XXXVII, № 4, с. 42 — 53.

3. Малютин В.А. О разработке многоцелевой аэроупругой модульной модели // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. XL, № 3, с. 82 — 86.

4. Амирьянц Г. А., Вермель В. Д., Ишмуратов Ф. З., Кудряшов А. Б., Орлова О. А., Руденко Д. С. Проектирование упругоподобной модели, изготавливаемой на станке с ЧПУ // Ученые записки ЦАГИ. 2012. Т. XLIII, № 3, с. 88 — 100.

5. Евстифеев В. В., Теперин Л. Л., Теперина Л. Н. Использование гидродинамической аналогии для определения геометрической жесткости и центра изгиба призматических стержней // ТВФ, 2011. Т. LXXXV, № 1 (702), с. 18 — 24.

6. Теперин Л. Л., Чан Ван Хынг. Кручение призматических стержней, составленных из различных материалов // Ученые записки ЦАГИ. 2013. Т.XLIV, № 6, с. 135 — 141.

7. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1954, 648 с.

8. Пархомовский Я. М. Метод «близкой» задачи и его применение к решению задачи Сен-Венана о кручении стержней // Ученые записки ЦАГИ. 1983. Т. XIV, № 6, с. 54 — 65.

9. Woodward F. A. An improved method for the aerodynamic analysis of wing-body-tail configurations in subsonic and supersonic flow // NACA CR-2228. Part 1, 1973, p. 125.

Рукопись поступила 12/Х 2013 г.